# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068238:0004 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068238:0004?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 25 # Folio 2v, page id 00068238:0004 # Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half. # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068238&page=4 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068238/jpgs/default/00000004.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 116 lines, status machine # Lines: 116 recognised, mean confidence 0.88 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. adhac inc patet revera idem esse ac si nulla divisione instituta per hinc patet eadem residua proditura, si oten potentias ipsius 5 mulipice edividas per oisi Nomresa re pet dividas restate Nam si 1, 5, 25, 125, 625, per 7 dividas residui sunt 1, 5, 4, 6, 2, 3, 1; illi ipsi scilicet residui quos hic invenimus dividendo 100000 tc per 7 quae autem sit progressio quolientium hujus potentrarum ipsius5 divisionis per 7, quos hic audlatus posilos videre est nempe 0,0, 3, 17,89, 446, 2232 nunc inquirere non vacat, suo tamen tempore non erit omittentur Exthos jam colligo talem squationem transcendentem semper Hinc jam porro in numeris esse explicabilem _ v - 1 = NX seu v- 1 esse posito N et v esse datos eo modo quo diximus ut scilicet N sit praution seu alius cujus altimus residuus in decimali per ipsum divisione sit v,, et fier 5 - 1 = 7X. Uuo generaliter A S - M = _7X posito Aesse quemcunque mo e vel esse quemcunque numerum nimorem quam 7 e le ve semper poterunt inveniri in nunceris integris M et X; contra posito M ess quemumque numerum minorem quam 7, etiam in integiis e 43 rest 5 4 sort. 1 haberi poterunt e et X. Et generaliter se V - M = NX in integris solvi potest, posito Nesse datum; inde enim reperiri poterit v in in tegiis quo facto eligendo e pro arbitrio modo sit minor quam N haberi poterit M et X, vel eligendo M) pro arbitrio modo sit minor, quam A hjaberi etiam slicet non ita facile poterit e et N, eoque casu ibiut ascenden ad aequationem transcendentem, in numeris, quae solvetur divisione ipso opere exponente ea Hinc jam porro conferri poterunt inter se potentia ipsius V facta, et expositis didine residuis. et ipsius 10. quae est ejusdem gradus; nam: 10 - 1, (seu 999999) exacte dividi potest per 7. et _5 = 1 etiam exacte dividi potest per 7. Seu scilicet 1 est tam mrimum quam altimum residuum; sed in caeteris non ita respondent, nam 55-3 est B- 5. et similiter 10- Peresto medio item 5 - 2 et 10 - 4, item 5 - 6 et 10 -6, omnes sunt divisoles per 7 maelerea Et 5 - 4 et 10 -2 et 5- 5 et 10 -3, et 5 -1 et 10 - 1 hinc etiam colligi potest dalis aequatio N-1rC si omnes sunt divisibiles per 5. in Numeris resolutitis integris V-M et AC 10 - M havent Communem divisorem N, posito, e esse minorem quam N, et vatus N habere eam inter se relationem quam hoc loco 7 et 5 id est ultimum residis un ante 1 esse V, posito potentiam ipsius 10 indefinitam dividi peri ppit D5, cui adtendo per N. Et pro A 10 res succedet quoque in alia progresione quacunus o unde ogittendo Sed jam operae pretium erit dispicere; quomodo ex inveniatur v nempe si M sit 7 19, 23, 31; V erib respective 5, 277, 28. via quidem certa est divisione e indefinitae potentiae ipsius 10 per M acta instituta, sed alia est via compendiosior; nempe considerandum est si N sit 7, tunc primos duos residuos, cum 1000 ex dividitur per 7, esse 1, et 3; et 2F 30 debere residuum relinquere 1. Ergo fit 3V = 7l +1 in integris quaeritur D boliens inversu divisa quod problema sontu non difficile est, imo ut reddatur facilius, et plane deter (nam pro 7 resi minatum fiat, licebit adhuc tertium assuncere, residuum 2 dua sunt 1, 3, 2 etc) et debet esse 20= 7m +3 ( quas dua aequationes jungendo fit 6V = 14l+ 2 = 21 m + 9 seu 2l = 3m +, alia est ratio pla. quae libet harum equatinum sufficere potest sed relinendo primam 3V = 7l + 1, quaerendi sunt simplicissinis Ternarius et simpercissimus seplenarius, quorum ille cunc excedit mutate, quod fit cum v est s, ut experienti patet. si M sit 19, seu excedat sed sit infra 100, tunc primi primi duo residui sunt 1 et 16 unde detet esse 10 ∞ = 19l + 1. et reperietur v esse 2. Verum detenin rerum alia suppetit ratio solvendi plane determinata, per alibi a me inventam divi– sionem inversam ab ultimo, quotiente incipientem quoties constat divi sionem succedere, jam posito ultimum residuum esse 1, utique et 9g9gq dis per N numerum, accurate dibidi possunt; et opus est duos tantum ultimos quolientes quaert, vig. 999999 divi Dendo per 7. adextris ad sinistra ita stabit ut apparet ad O, ubi inventitus hoc modo duobi ultums et 7 hinc desideratos residuos invenemus, nam redeundo jam ad commonem digudendi mogem esidum quss quotied, 3 mnllipticatur pl, Aprobit oritis moiat arate es qetaente suibis scanto l10 exemete fisp g ssr 2615 25 =4314 125 =71+6 625 = 7. 89+2 3125 =2.Hb+Z 15625=7. 21324 1 1 4 46 edssstus Novas puldherrima obsermitio residum Ene praecdenre rivantur lsimo,, ita et residui sequente erivantur vidine ex primo, sic 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1 fb 3. 3 rcsta t, 3. 2. 2 r 6 et 2era et 6. 3 est 4 cum ergo cum de tur altim primque eodem modo habebunt illi inter se invicem nempe s seuur 5- 3 = 7H 3- 5= 7 K t56- 9. 5 = 7. 5 N 36- 3.5 = 7. 3K Ergo 5 - y 5N+31 itaque quaerendus est nume Talis, ut secunde antia ipsius asi diys) At un sidum terore llimos a quatio as integntes ati possim solve earis ita B