# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068245:0010
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068245:0010?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 32
# Folio 5v, page id 00068245:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068245&page=10
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
# Lines: 80 recognised, mean confidence 0.91
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

Et hi sunt Numeri, quorum series alii vocant Ordines Numericos, alii Combinatorios, alii
Numeros Trogressionis Smmetricae Pascalius eorum usus sane multos exposuit in Triangulo Arithmefico
Replicata
seu Tractatu quem de illis dedita opera scripsit. Ego Numeros appellare soleo Progressionis Arithmetiae p
Nam pro Unitatibus substitui possunt Numeri quicunque ut Binarii Ternarii. Bo Numeris Naturalibus, Numeri quilibet
Progressionis Aritumeticae a differentia sua incipientis, ut pro 1. 2. 3. 4. etc. 2. 4.6. 8. etc. Eademque
eut Tabula proportionaliter, tantum enim si generator sit binarius omnes termini duplicantur, et si sit
Ternarius, triplicantur etc.
Torro de Summis Fractionum, Regula Universalis hac estofien
potest, qualiscunque sit Generator, modo Numerator fractionis intelligatur esse Generator, ut sigenerator
sit 2. Pro L + 1 + etc. substituendum erit = + = + 2. etc. At hoc idem est cum priore, omnibus per Ge-
neratorem divisis. Regula ergo haec erit:
Summa. Seriei fractionum quarum Numerator est Generator Nominatores sunt se
Termini cuquesdam Progressionis Arithmeticae Replicatae; seu, quod idem est, summa Ratioum
Unitas est antecedens, consequens est terminus progressionis cujusdam Arithmeticae replicatae unida
tem habentis Generatricem a haec summa, inquam, est fractio seu ratio cujus Numerator se
Antecedens est exponens seriei proximae praecedentis seu penultimae (data scilicet, supposita ultima.)
Nominator vero seu consequens est Exponeos feriei proxime praecedentis praecedentem seu ante–
penuetimae. Exponentem hoc loco voco Numerum seriei, seu Numerum ordinatem Repli
cationis, qui scilicet exprimit, quota sit Replicatio. Ita seriei 1. 1. L etc. exponevs est a. 1
seriei 1. 2. 3. 4. etc. exponens 2. Cum enim in prima tantum semel repetita sit unitas generatrix, in
secunda, ipsae replicationes seu repetitiones replicantur, in tertia rep    L etc. rexetuntur AC
Replicationes Replicationum.
Hnc ergo summa seriei fractionum Triangularium
+  +  +2 +  + 2 + L etc = est 2 Nam series praecedens seriem. 1. 3. 6. etc. nempes 1. 2. 3. etc
habet exponentem Z. et series praecedens dictam seriem praecedentem nempe 1. 1. 1. etc. habet
exponentem 1. hinc fit 2. seu 2.
Et summa seriei stactionum pyramidalium t = + L+
+Z0+ 3s etc est = 3. seu est ratio exponentis Triangularium ad Exponentem naturalium.
O
Res ex hac Tabula clarius patet:
2. L
senes Fractionum Rogressionis Archmeticae Replicata
3. 4. 5. 67 etc. Exponentes
20 65 26
e 35. 1b ib 2to
21 Hb 196 i 461
∞ 7 20 84 21o ib2 qu
C
3
3 4. 3
00 0 a 2 3 4
SeF
et Summae.
Methodum autem ista inveniendi ac demonstrandi cum admodum proliva sit, et multis
temmatis indigeat, aliquando cum multis ejusdem generis ubi majus digerendiotium suppetierit,
publici juris faciam.
Hoc loco amittere non possum, occasionem mihi praebitam.
admonitionis eujusdam, circa Naturam Numeri infiniti omnium Numerorum. G
Galilaeus in dial. Mechan. 1. eum comparat Unitati. Cum enim ita ratiocinatus esset:
Omnis Numerus in infinitum habet suum Quadratum, suum Cubum, etc. si enim ducitur
in seipsum, producitur utique ejus quadratus, cubus etc. Ergo tot sunt Numeri quadrat e Cubici,
quot Radices seu numeri simpliciter. Quod est impossibile: semper enim inter numeros
quadratos multi alio interjiciuntur non quadrati, et adhuc magis inter. Cubicos non Cubici. Quio
ergo? attributa, aequalis et majoris minorisve non habere locum in infinito; et subjicit
si ullus sit numerus infinitus, cum esse Unitatem in ea enim esse illud necessarium requisitur
Numeri omnium unitatum infiniti, ut tot sint in ea radices, quot quadrati et cubi. Uni
Ego vero arbitror si ultus sit numen
tatis enim quadratum et (ubus eto. est unitas.
iste infinitus eum esse dero seu Nuuamo, vel quod idem est dicere, numerum istum infini–
tum esse nullum seu 5
Habet enim Numerus infinitus non id tantum, quod in eo observavit Galilaeus, ut tot sint
in eo omnis generis potestates, quot Radices, sed etiam ut tot sint in eo numeri simpliciter. id
est pares et impares simul, quot numeri pares, quia pares sunt dupli numerorum simpliciter
qtot autem sunt simpli, tot eorum dupli. Eodem modo colligitur tot esse num eros simpliciter
non tantum quot pares seu binarios, sed etiam quot ternarios, seu numerorum simpliciter
triplos
0
 quod si generator sit Unitas,
numerus seriei seu exponens gr
coincidit numero ejus prino pos
unitatem. Exponentem voco
erem plo progressionis Geometrici
ut enim radicum expr
torum 2. cuborum
loco, generatoru
quadra
ita hoc
1. naturalium
2. triangularium 3. etc.