# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com # Page: https://leibnizlegible.com/page/00068258:0001 # Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068258:0001?run=74 # Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 8 # Folio 1r, page id 00068258:0001 # Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068258&page=1 # Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068258/jpgs/default/00000001.jpg # Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 172 lines, status machine # Lines: 172 recognised, mean confidence 0.84 # Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German. # Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text. # Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote". # After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line. in mihi a Ct Viro Anton Arnaldo propositum. Quod eodem Tespere resolvi Inits omnibus ordine quadratisum parbus nddam, omnia ondine Triangula Rectangula in Numeris integris, enumerare pdine hiangutorum acictunq lorum puminoorum sive Regulam extribere dare, per qua unicam per quam omnes bini quadrati a quadrati integri in binos quadratos integros resolubiles, inveniantur Enumerentur ordine divisores, Quadratorum qui a quotiente subducti relinquant Latera Trianguli Rectanguli circa rectum, sive basis et Cathetus duo quilier quad uti pronimi sibiadum erunt: Latus quadrati et dimidius paris residui. Hypotenusa egit 14405 A∞B18 1+16A25 majo rum) binarius latus Tranguli rectanguli Numerici esse non potes ergo quomodor is unum alia 13 Typus generat 5+1- V4 1b +1 bc cb pro fier b ce Ergo omnes mintriquium se ducri faciunt quadratos, lad hans fonme bc. c. reduientum immediato Namrimipari ypy gi vel2ye erciuro ay- 4yacbe f. addatu q fuc tr. 1y42 cutus dicidemte V1 6c2 21+) ae Ergo G, c. vel bE.) gerum quadrut ne se mediatoru sit c. fier milie quat 2a p c + b2c Hi 8VCs fiei sentiunt. ne 2a bc + c. quod eodem rediti HHinc ZB a- 8, b ete- firs en sancris e Balhium et habetrimus tria latera re De Trianaum rectanaulo simma idim ex divisore et dimidio pari resoduo Numerico partes duae. scheda posterie ibulam Hac reguta omnia Triangula Rectang ula sive primitiba, ioe aliorum multipla continentur nillu esset Regulam hans dane omnes mem morabile numprorum qua dratorm qui ex duobus quadmas componuntur sequitur corollarium elegans et ibiverius Triangali t Rectanguli Latus esse non pote st. solus omnium numerorum unitale. majorat Arithmevici Dinarius Latus Trianguli Rectanguli esse noq potest. Demonstratio, quadratu est et Z7 intigrorum consituant evadratum integrum, erit ejus latus majus latere alterutio ut S, esto ergo Y + v. + 22 B (V+ V + V. fiet 2 siet B2y. Adeo quadrutus rato in omni Turangulo Rectangulo quadratum a latere circu rectum, ab alterius lateris circa rectum differentia ab hypotenusa debet dividi posse. Et relinquere quotientem qui dicis z relinquat. parem Z- n quippe ipsi 27 aequalem et qui minutus divisore v quadratum a Numero primus non nisi un Friangule Rectangulo Latus circa rectum esse potest Quoniam inveni aequationem na B G +d posito a, Hypotennsa; Hinc sequitur actifrium eligans reguta qua omnes, ordine Hypotenusce triangulorum Rectangulirum invenientur. Omnis numerus, cujus duplum in duos numeros. dibili pot est qui in se invicem ducti faciunt quadratum. Hypotemnsa esse potest Trianguli rectanguli Duo numeri qui in se ducti faciunt qoudratum, non possunt esse, primi inter se bbc _c Hinc sequitur porro nullu onumerus primus s ddangili crisi uno casu dectanguli esse potest quia si sit primus, Ejus duptum non poterit dividi in duos numeros facientes bimanu sa quadmtum. Habebunt enim nillam mensuram ietr binarium. ind habelunt, scilicet binarium. Hatenus ergo notam hanc: si numerus primus tux duplicatus =binario minutus non relinquit quadratum, non potest esse latus tmanguli Ani Rcctangulia. Sire si nomerus primus unitate minutus relinai quadrati dimidium, Apotenusa est Trianguli rectonguli; sin minus non est. Hline Triam Numerus primus non nisi unius Trianguli Rectanguli Hypotenasa esse potesse Si Numerus non est primus tunc communis divisor ejus duplicutus aliquis duplicutus ab ipso detractus relinquere debet quadratum. Nam d numerus duplicandus est ejus ve duplum resolvendum in duos numeros, qui in se adncti faciunt quadratum. Hi dud numeri sunt aut aequales, (quod semper ficri potest. Eo ipso quia duplus propositus est par) vel aut sunt inaequales. Si in aequales, necesse alterum alterius esse mensuram; et b eo subtractum relinquere quadratum. Sed aequales nobis non inserviunt, fier enum Dli receptripali. b cnci beoBEF L. et a quia 2a Y 8 + . fierit a pG. adeoque a c 8 , g. foret 10 ex quibus a. hypotenusa r ad sin sit gri hecfrestqes a- 9 A 15 +c= bc b quod non resugnat, sit admittam latera negativa, quia quadrata eorum affirmativa. Et fient tria latera: Z +C. +c _ c- bc. bc. ex quibus a es ua Habemus ergo egregiam et generatem notam, qua inveniri potest, au datus mmerus sit hypotenusa alicdius trianguli rectanguli. Duplicta Divisor dupli aliquis, subtracts a duplo hnc relinqu Hypotenusa. sed haec non diffemnit a priorbus, quia si latiro squaeruntur affirmutiva, posterior rejici Dupsus ejus divisiDopli quotim Dupl numeri dati quotiens inDuptum numeri dati metiri debet summa quadrati et unitatis. suatu ordine series nmnerorum 5, Y0 17. cred multi plicetur per numeros quo slibet, (nsi quod Cum numerus impar realtiplicandus per parem.) ed Hi multi pli cubumat ordine sive numerorum 5. 10. 17. et multipli pares dimidiati, dabunt ordine omnes Tiangulorum Rectangulorum possibilium Hypotemisas. Hinc datajetur jum methodus investius audi primitivos. Dividendo per c. sive faciendo E unitatem. Ita enim Namerorum, 5. 10. 17. erc. ui pares erun hypotemusas Triangulorum rectang ulorum primitivorum ht b. necessario erit imjar eo ipso quia b +1. fauit parem ex hypotheti. Ergo et B b - L eerit Integque. Hypotennsae omnium ordine Triangulemm Rectanguline itentetbu sunt 2 dimidia summarum ex unitali et quolibet oumero quadato impari Dedi Domino Arnalio haec D 12X611671 R egula qua omnia ordine triangula rectangum primitiva in numeris in tegris inveniantur pramarim dimidii erunt Hypesienusae omnium in humeris integris possibilium, 941 10.e 5 10l10 ve 25+ 1H26 2C M 13 49+130 C 25. 8 + 182 B p 4 iidem numero alia reguta non mnus elegantiar parem. simplici invenientur, hoc modo. tur, summae ecunt hypotem se omninom omne triangulorum rectangulorum in mulderis integris possibilium (Hine sequibri cotollarium elegansioun quadntum in duos quum 10+2sB Harum duarum regularum demonstrationes habeo cum per anolysin invenerim. Eadem operc complua observavi theoremata, ex quibus unum vedetuo memorabile uu sit Monadicum. solus om nium numerorum sumtate. Haerc Arnuldo dedi. Altera stat ies exquo mihi proposunt Nota, priorem regulam aanalusi inveni posteriorem tantum cosernitione Tubulae praecedentio, cum viderem eosdem pronic nuerasi videmo regulam de 2 12-1 e 13 b 1b L ure dimidial idem est Adeo duae regulae com