# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068258:0003
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068258:0003?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 8
# Folio 2r, page id 00068258:0003
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068258&page=3
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068258/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine
# Lines: 89 recognised, mean confidence 0.83
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

127XG. 1671.
schidru DTriangulo Rectangulo Numerro pars I1.
In praecedenti scheda h haec obtinum. Iutera Trianguli Rectanguli Numerici-
insegri
Ubi porieudo b imperrem, b - 1. et b + 1. erunt pates. Et tres qua dnt erunt
ABH b - 2b+1. BC2H b2.
AC2 b + 2b+1. Nm 
Nam AB + BCr b= 2b + 1 + 4b p B2 + 26 + 1. p AC
Sed vilco etiam haec formari posse Trianguli Rectanguli latera: AB V1
BcF2b. et AC b+ 1
nam AB b - 2b +1 et BCH 4B. et AC2 A b2+ 2b2 + 1, et AB2+ BC ∞, b1- 264 1(4b bE+ 2b4 AC
Quaeramus nunc a priori, repetita Analysi. t
a A Z + 2. sit quadratum ab a. aequale quadratis a Z. et 2. Ergo qen m a
quadrat a, majus quam quadratum a Z. Ergo a major quam Z. sit des excessus ipsius a, ultra Z, sit .
erit Q. p a-g. Posi to a. Z.  esse numeros integros affirmativns. Et 22
(1 a= 2a9+  et fiet.
( a 2aG+ g + 2 et 2aGp.  + 2. et 2a p, 8 + . Musiplicetur  per , fier .
Igitur 2a dividi debet posse in duos numeris, qui in se invicem ducti faciunt quadratum. id Duo numeri
integri qui in se ducti faciunt quodratum; eos necesse est, aut singulos esse quadratos; aut nentrum Nam si aeternter
est uteque erit Quadratus enim in non quadratum non facitquadratum. Si nenter est quadcatus tunc aut differunt
aut non differunt. Si non differunt, erit 8 _ V. adeoque 2a28. et a5 P. et Zseu a- 8, erit (0. contra
iistitutum Si differunt tunc alterater eorum dividi potest per quadratum, aut uterque. Aliquis erte duorum numerorui
differentium pe quadentum qui in se ducti faciunt quadratum, divisibilis est per quadratum. Nam omvis quadrati
est aut primus aut ortus ab orta. quadratus a primo ex duobus diffeentibus fieri non potest. Quadratus ab orto, fit
ex quadtatis omnium primorum, ex quibus fit ortus. Cujus factores, ut in duas partes dividamus, necesse est ut quadratum
vel partiamer in duo, vel totum ab uno latere ponamus, Et si ommniqu q partimu, sies putrobique idem; si nullum, fiet
utrobi quadratus. Si quadralum aliquod bipartimur aliud non fiet id de quo quaeritur. semper ego adabique ab ateruter
si non er uterque erit per quadratum divisibilis. Quodsi alerque dividatur  quadmil mesurantem, utrobique fiei idem;
Itaque duo numeri qui faciunt quadealum hoc modo generaliter enuntiari possunt.
Nam unus exhis, ut pl, b. c. d. vel pliures possunt s significare unitatem adeoque omitti. Erit ergo
cd2
e
1
5∞ 2a bc + cd2. et ap bC + cd3 +
et ZH a - 81 b2 c. + cd - vc ⊓ cd= bE
Trianguli rectanguli Numerici haec:
ZHABe cd - bc
quae formula generalissima est, et nihil omnino non comprehendit
et  bcd Et fient tria intera
H BCH bcd.
VH 2bd.
an AC  bc +cd
Prioris planolae scheda non
fuerat ita generalis, quia ita tantum scripseram, vC +C. non bca. 
esse parem, fiet, ZY42-
norum
Hic jam si Ponemus C
a  b+ d. una species Maingulorum primitivom
Quorum Hypotenusae sunt Ti quodratorum quorumlibet summae. Si modo alternter b. et de upar.
alioqui enim triangulum non est primitivum, eo ipso quia ejus latera onia per quaternarium  poterunt dividi.
nonem
Si d ex nsd t  numerorum d et b. uterque par
et fier. Z H dt - l.
si uterque impar, tunc 2at.
V1 bd. ari b + d dno enim impares additi vel subtracti faciunt pardm; aderque
Denique si utesque pat, faciemus C⊓ L
 adeoque Z. et a. pares. Vel. denique alter pur patar imprr
d  b + d2. Suppodno autem ab. etd. este primos is
1B. si primi inter se, erru qua possint esse ambo exes
et fict ZB d - b. 1 bd.
inter se; alioqui jum omnia ejs latera Trianguli rectungale communis eorum mensula quadrato divisa reducentur ad
summae duorum quorumlibet quadrato
Regula ergo haec est.
summarum
terminos smiptirissimos, quos quaerimuse
rum quorum at unus par alter impar; aut su semisses, duorum quotumlibet, quadratorum imparium,
ant sum
aut denique quadrantes summarum duorum quodumlib quadratorum parium id dant omnes ordine Triangulorum
rectang utorum Numericorum Hypate s primitivorum hypotenusae.. Generalissima enim regula haec est
Omnis nmmus multiplus summae duorum quadratorums Hypotenusa Trianguli rectangali; et omnis Hypo-
tenusa est mnnti plus summae duorum quadratorum. quoniam duo quadrati pares non sunt primi inter se; ita regulam
proTrianguli Rectangutis primitiois se formari sufficit summa duorum quorumlibet quadrutorum primorum inter se
aut si pares su errum dimidii st omnes ad Siiduo quadrati primi inter se addantur summae, aut si e
mi
voru
pares sint summae earum dimidii erunt omnes ordine triangulorum Arhmeticurum possibilium hypotemusa.
n
s
sa 201 5
1
t
 a
ee
+
AB⊓
BC
AC P
6- 1.
b