# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068261:0017
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068261:0017?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 11
# Folio 9r, page id 00068261:0017
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068261&page=17
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068261/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
# Lines: 59 recognised, mean confidence 0.91
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

inquiramus, an ex mea nta primitivi proprietate reciproca
tunc
aliquid ad praxin duci possit. deprehendi si n sit primitivus aequationem
= -1 = qn esse possibilem in numeris integris rationalibus. Quia autem
Numerus ejusmodi 2  nimis alte ascendit, quando primitivus ascendit supra
10000, quousque habemus dabulas primitivorum, cogitavi an ex ultimis notis
alequid dace cognitis, numerilicet incogniti, aliquid duci posset. Nam
numeri progressionis Geometricae, adeoque et duplae, habent progression periodum
ultimarum notarum semper recurrentem
2 4 8
16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
ubi patet periodum  seu notas semper recurrentes  2, 4, 8, 6.
Hnc avelenis nesse proponatur jam Numeris, 31, de quo quaeratur an sit primitivns
Ergoquaritur an  23= - 1 seu 270 = i deber e sit divisibilis exacte per 31. jam uut investigetur
ultima nota numeri 2 dividatur 30 per 4 numerum notarum periodi, et residuns erit 2,
Itaque secunda nota periodi, nempe 4, erit ultima nota numeri . Et 3 erit ultima
pota Numeri Z - 1. Sed n si numerus cujus ultima nota est _3, sit divisibilis
per 31 erit quotientis etiam ultima nota 3
sed jam ad  expressione vulgari seu denaria veniamus ad deria aliam, verbgi.
novenariam, ibi numeri progressionis Geometricae duplae sit expone exprimentur
Nempe 1 2 4 8 6 32 64. 128 256 512 1024 2048 4096
per 1 2 4 8 17 35 71 142 284 568 1137 2275 4551
perius ubi periodus notarum ultimarum est 1 2 4 87 E, _. Et cum 2, sit
In hac peodo (ab 1 incipiente) 3imus, hinc si 31 dividatur per 6, numerum notatum
serie periodica
periodi restat 1, itaque nota ultima numeri 2 est prama periodi, nempe. 1.
et nota ultima numeri 2 = 1 est 0. Et proinde Numerus hic est exacte divisibils per 9.
sedredebdoad Duo ergo habemus de numero pan 23- 1, divisum per 10 relinquere
e sed redeundo ad progressionem communem seu denariam divisum per onreliuquereo
in progressione octonaria, ultima, nota ipsias 2 = 1, quaecunque sit n, modo sit major
quam 2, est 7. Et proinde numerus 2. =1 divisus per 8, relinquit 7
in progressione Septenaria periodus notarum ultimarum est 1, 2, 4; et proinde
cum 23 sit in serie periodica ab 1 incipiente 31 mus hinc si 3l dividatur per 3
restat 1, et prima nota st rperiadi est 1. Ergo
2 habet ultimam notam 1.
f. -30 1 habet ultimam notam 0. Emu  -1 dividi potest  exacte per
In progressione denaria periodus jultimarum notarum est d. 4. Hinc jiszo divilas per 2, sit  nil remanet, et pro inde si LD- 1 dividas per 6, agla nrtia restat. )
Itaque e possun habemus Numerum 2 =1 esse talem, adt per
10 divisus relinquat
per 9 divisus relinquat 0 per 8 divisus relinquat Z, per 7 divisus
en e divesio dintinquer p
es
relinquat 0
Et generalter possumuis ducerc dato Sed si vellemus hac met hodo
sola quaerere, quid per 31 divisus relinqual opus esset periodum notorum  ultimarum
invenie, si numeri progressionis duplae exprimerentur Wideno 3I narie seu periodas
resi ductum si dividerentur per 3I, et ita opus esset 31 duplicationibus.  Et
Monumero majore quam 10000 opus foret plus quan 10000 duplicationibus saltem residiorum
quod C et mimis prolixum porro nota
verenti per ultimae secundum aliquam expressio
censibetente hacilgeotitntels di Veniamus jam ad novam suppositionem
mem sunt residui
yn
et ponamus 3I esse primitivum, adeoque exacte dividere 23 - 1, et quaeramus
ultimas notas quotientium talis divisionis, secundum quamlibet expressionem
et ces conslianis oteis s
Pis
sat113
atr