# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/00068268:0003
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/00068268:0003?run=74
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 19
# Folio 2r, page id 00068268:0003
# Scan: The same scan is also registered as fol. 4v; its text is given once, here.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068268&page=3
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068268/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 193 lines, status machine
# Lines: 193 recognised, mean confidence 0.81
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

invenire tres numeros, ut duorum quorumlibet, summa
et differentia sint quadrati.
tres numeri eraesiti.  Ix. iy. 1)
ixtlysia +2x + 1yH b ixs) ae-iy ixsi +br ig
Ex aequatione 3 et A, ponendo +  + fiet a  b + 2ty. Ponator
af b + e. fiet ex 6. (Brbe +e  ) + 2iy. adeoque Bf iy - e. et
per 7. et 9. ap Y + e. et a 1 + iy + C. quem valorem
ipsius a inserendo in aq. 3. ffict: ix () t +
Ponamus porro 1y + in () c2.
et 1y- 1Z  d. et cs )d +f
redibit calculus similis priori, in locum literarum x. y. a. b. e. o dine
substituendo  literas y. Z. c. d. f, singulis singulas, fiet
(  12+ F. et d) iz - 5. et 15  id 2 + f
Denique eodem modo ponendo: IX + iq  g2 ix - iq Bt2. et 9F h 2m
scilicet pro X. y. 4. b. e. substituendo X. Z. 9. h. m. habebimus:
dei iZ + m. ti iZ - m.
Aequemus inter se duos ipsius IX valores ex aeg. 11. et 23. fiet
+ m  1 X + E. Ponatur 1y (2s) 1Z +9. fiet.
20 (1) + 2129 + 9 + 
in 4q u7. erat iyr 12 + 3
et ex 25, 19  47 + 89. 1t supro
Tres Numeri X. V. y. Maxinus X proximus y. minimus Z.
inae donditio ix+ iy a.
1x- 19 fib e verit exfi a- 19. ex 2. erit  btrg.
Simiet seami ees   aequando valores aequalinlen3 et 4. fiet: a Vfi 1y. 2. ergo 1XA 1b.
erati sa u i dmra et esi
a. b ∞ +1257 5 a b- 127 4. Ergo  ex7. eui 17) 5 a v
et ex 3. erit 17 ∞ a. b = d2. aequatido valores 9 et 10. enit  d fi a- b.
aet Z t. fier ex 12. iZ ( g.  et ex 13 fiet
Z H) et- H. quos duos valores aequando, sil 14. et 1c. fies
jam considerandum est sex omnino fuisse conditiones, et
tres inventas citeras, X. y. Z. verum ob  conditiones restantes, 
tres ad huc inveniendas esse uteras meam restant autem nobi
dua  aequationes resolvendae, 11. et 16. ideo invenienda est ad huc
una, ut in summa habeamus tres adhue aequationes, quarum ope tres etiam
litene inveniantur; facte autem alias adhuc aequationes inveniemus ipsius
valores 10 et 9. confeoendo cum valoribus 1+ et 15. quod cum pluribu
Rieu possit modis, faciamus omnibus, quibus fieri potest. ac primum ex 10 2+ 14
 - b - d pi g- a - b, sive
2 g2+ d2. et ex 10 et 15 fiet
2 - 1 - d. p a + V2 - h. set  h p b + 42. Porro ex 9 et 15 fict
c- +   2 + V-hi  seu C +t ti a. Denique ex 9 et 14. fiet
C a ab pg - a- 1. seu 1+ c f 9. Cum ergo quatur invenerimus
aequatines tam oniulicas, quam sunt 17. 18. 19. 20. tres ex illis, o issis
aequationibus 11. et 16. qua  in ipsis virtute continentur, adaibire sse
20. et notemus, in qualibet earum esse literam
quae sit in nulla duarum reliquarum, hurum ergo literarum monadicarum
natorem quaerere utile erit, quia ita substitntiones vitabimus. Itaque
ex 19 eut h 1a- e. ex 17 eit ap Fa g et ex 20 denique
bp Yg. e quod ut in numeris exequi liceat, primum resumto valore
 hfi saC  seu h Tare, arc. ponanus a+C fe: et a -C1 851
erit h f sel. et ax 2c erit afi se -c. et ex 23 eit a  s1 +C quos
duos valores aequando erit fe f1C et a se+ f
protees  h. 9. c. 5 el  ap tum o.
itaq ordine sinibendu, siteno ita otabit
hpi fel. ai sezs
dstump abi maemp
aqu mncame sdireme
Ubi tros cterae, a. c. g. duos halur esiatores niter se aequandos, ac pimum
aequando duos valores ipsius g, fiet
n e. aequando duos valores
S Denique excollatis duobus valoribus ipsius a, fiet
1E. er ipius
ne ngl. J. Ducantur aequations
35 et 36 in se invicen, fiet + 65)  p  . s. qui valo iptis. F. Si priori
in aeq. 37. reperta comparetur, invenietur
tis conditionis includens, haec: e
multiplicatione per crucem, fiet:
er sess ,
denique aequatioe omnes problema
ns et s eret 
(ernere  esre es. C eru  1s  Ps )
ps  Ex es. Quae aequatio post tot
ambages satis adhuc simplex omnes calculi conditiones includit. Quam ut
a literarum superstuarum inutili multitudine purgenus faciamus ()er
ries, fiet: nos ertens ers eose es
per  spaqu. f( , (t adeoque diudent. dec per es n, fiet ~Bv + r  B( + 1.
si Aequatio novissima, ac simplicissima, satva ad huc summ
universalitate, omnes problematis conditiones includens. Quod si ego
aequationi 45 satisfiat in numeris, solutum erit problema
ut fieb, eam ita aequi pollenter scribamus. Dpe BV 4
_B+ 1. Haque enim ipsi 45 coincidit. Eam porro it
duas: Bv + P + 2BβV  1. et +20BV 862
ex 47. extateum fici c Lon ffl. Ia 18. quidendo fict: quosa p
=23 eni Bfi. . et ex socris   f 2 B quius duotus ipsins  vutoi
aequar, fiert  PA Sv  2V. sive signo (Y) + aeq, quiq ipsu B
ambige esse Totest spmenque compendioae per novum  F ixpresse
qud d m paco et lnci + t e eol.
i uepe ipo to sin
Ae proinde nisi forte in nihilo minores cita inestatur, erit problemati, particulariter quidem
Satisfactum tamen. Et supererunt quatuor mimimum casus, ob ob explicationes fignorum F (+
a se invicem independentes modo ut dixi nihiso minores non obstent, et error calculi abfuerit.
Sinumcrqu faciams jum f esse C F sives (4) + s + et (+ D p X1.
Nnc secundum inventos valores litera; quasitas retragado ordine explicemus: 
et ex S2. cus Bfi) 442. Manentibusque e. AM. pro aubitio, erit exB 41, 1e
et ex42.  (+D In
i f(+B25. Sed hiac hari absudum orietur in aequa
tionibus 35, 36. alusque frei enim v.g 4 0. adeoque suppossitio 58. et quae ex ea sequuntur
non procedit. Resensdum ergo ad aeq) 57. videndumque an non formula 2)3+7 aequari
 posit quadrato hac enim neafatione ablolutum erir problema.
ap. p si F  sin fad s
.V. tro uit Y + ∞Y.  
Tantum ergo superest, ut quaeratur
numerus quadrato- quadratus sive integer, sive fractus, qui octonari: additus facsat
Quadralum, vel quod idem est quaeritur Quadrato quadratus qui  alteriu quaprato-
ie
quadrato integro octuplicato additus faciat quadratum
8 167 1s positis  interis, erit  + 85 aequanius quadrato seu  +8 Zo sed 
 hoc sed hoc tantisper dilato videamus an non aequatio 65 aliter possit, formaeni, sit
Y  e s +   +  et pro V N ponamus 6V. fiei 2)- VCi) F o
sit V Ss + 8 ~ + c0. et ~, 71) vs + 1 7 +  et ex rg. 71.
fiei: 232X3 + 3d 97 +36 3 20, + 3S X 8 7 + 38 X C 46 d sG 3c0, +  5 43 Gcorisuin
= 5 s -97 - co Fj F) vN rVN Z + 2Vp S x ∞7 + 245 4 r5
Ub. par videtur ratio  issam se en  an simplicem gradum redigendum eligamus, electa
ergo si destruere debemus, omnes formulas, in quibus nulla est N, fietque:
297  +69540, +6 Xc5 1cod 93. - co  =, v 3 + 21 d F S seodem modo destruema
omnes formutas in quibs tola suc simplex sed quoniam haec destructio rursus difficilis, ideo resuma
hun pus itinem 7B:  eamque ita scrbumus: 83  co- n id sit c h
XB fiis, 85 F 5+- nt  sit ha amplius Z fi 5i = 3= C2 dcgnimi utrobisue poteri
aequalio, sed non ideo soluta erit. Res autem huc redito tenique , ut indeniamus quadrato-
itii, quod vereor ut fieri
possit. ed s si retineamus o, faciamique Z
861435 +a  _ 4 . 43a 
_A 41 a +  tum qr eg. 78. pers
poterit utraque aequationis ans dividi per per - βV. et scribis AB v o
i3, e
componatur cum 83, fer v B + ZOV+B dividatur
5g. 83. per _B, et componatur nisus cum g per 20 f + BV + Z1-r.  
Ubi jmluge pro arbitrio fieri possunt positiones quarum  utraque probtema in finitis
Sovit modds Sonamus scilicet
elitque B  vo
E cud in adx 85. Dectabet 1nD.. 3Y
Ubi se una tandem offert positio, ut faciumus  p
seu Bp r vel B(E 4 . quo sosito in aeq. 85 oestmetur βV. restabitque tantum 
et ex dicta aq. 85, fiet 2~ H F + L. seu v +  doque vB quaeramusjum
(p a et fici: d ( 1+ gre. su 418 2  +6   ac derque ent
+18 + 8
8+1B- 1.  seu C
per hes aequationes 8F 82. 86 aepects nationaliter tubus literis
ipsis esse salisfactum, adeoque et aequatium 45. omne problematis conditiones involventi
quae ipsi (81 aequivalet. Et solutiones habentur infinitae pro varis explicationibus
arbitrasiae residuae . Sdstu superest it jam qualores omnium literarum
vesigenus, atque dd pitito mintes isierae arbilgente oue erpesumiinsesig
Ergo ex 41. 43. 45. eut 1 +e 
PB F 17 8s nr C. 290.  c
Si men  seront s s ar B 20. ndr
ep se ed p se o
cex hragor ain a tm enomen
op e  ion B ni iei
Sed vide obsego, quam sulbitie it erroc irresserit, ex eorum nunero qui difficillime caventur. Nimiru
4g. 90+ cvel datis vatorem. (2 seu Hg. 91. vel dat 8-1 p0. seu 8p1. Nos elegimus valorem
E. sed id hoc toco non licet, nam quia indeninus VB) = = per 88 ideo inserendo in ag. 45 hunc valorem
Ein alternabilem, F cum ubi sit Dv, it est 1. fist ex coq. 45 ( Br  D B (1 adeoque
V  + b  +1. adde 88. et B manebit arbitrania
fient e et
ed experus ipse
em t Y et T. aequales mundem  34. et 27 et C
i
lesse
Cxo absurdam est ob aequationem 7. non ergo procedit positio 86. redeamus plonde
ad aeg. 83. 84. 85; ubi illud tentum nota verimus, mupo serum utile, ut  antequam
reteogredete ultima redeamus explicando, videamus an intermedus et quidem proximus
satisfactum. Itaque semper quaedam velut periodi in calculo constituendae, quibus absolutis particula
ex examina rctimenda, vitandis erroribus. ex 84. eit v- β + XBD +ZBB = ade oque ert
 6  7+ p 918 e
Sato B. mis ex 3 es v  28 ( -. adeoque uutilicando
 pertmen for. 1XB+ B - 3. 9. BG, - (5. 8 a 30  ( Z. 8a p 60B 1
ubi si iterum ponerenus BBF +1. rediremus ad prirca seu ad aeq. 97. Videndum au liceat facere
 ita eniom in aeq. og. omnis B destruotur  Quare-
de quation B1. in peris satis faciat tantum
Epotectate est. sit enim +. B + d B
opus + 3 3 aequari quadrato. Hac vero denique in
Z2A2. fiet 1 Z+1F ZD et E
nitu  semper negativa. si tigissemus 3) a 6 ( + 2Ba + a2 fier
sive oid
esi 2taN 
El19)ZB destructis scilitet
  V -1 e. 2 noc  ium 38
et fiatl BV +1 aequ.  B(4) v
ex 2bvasi ptibuit
aL pone Baqusv. et pF βn
va ita ex 114. 116. vel  121. 1E ex
et jam deprehendo, erit enim B loco r ZH p
suclis omnibus ad conv. divis. et hune Abjiciendo
  siui 
Antequam pergeremus + ad aeg. 119. i
i  Noi pulus enim cavi
itit  os t ri satis s  te
eli i itis pe
di eenuer aliis iatalegu
puo varm es dies fatiu et cup aqutius
alao 2otuose cae
B 1=1. id est B - 1 ⊓ 137-1