# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/867984570:0680
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/867984570:0680?run=74
# Title: [Quo Continentur Claudii Ptolemaei, Porphyrii, Manuelis Bryennii Harmonica: Archimedis Arenarius, & Dimensio Circuli; Cum Eutocii Commentario: Aristarchi Samii, de Magnitudinibus & Distantiis Solis & Lunae, Liber: Pappi Alexandrini, Libri Secundi Collectaneorum, hactenus desiderati, Fragmentum ; Graece & Latine Edita, cum Notis ; Accedunt Epistolae nonnullae, rem Mathematicam spectantes; Et Opuscula quaedam Miscellanea] Quo Continentur Claudii Ptolemæi, Porphyrii, Manuelis Bryennii Harmonica: Archimedis Arenarius, & Dimensio Circuli; Cum Eutocii Commentario: Aristarchi Samii, de Magnitudinibus & Distantiis Solis & Lunæ, Liber: Pappi Alexandrini, Libri Secundi Collectaneorum, hactenus desiderati, Fragmentum ; Græce & Latine Edita, cum Notis ; Accedunt Epistolæ nonnullæ, rem Mathematicam spectantes; Et Opuscula quædam Miscellanea (shelfmark Leibn. Marg. 100:3)
# Folio 644, page id 867984570:0680
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=867984570&page=680
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/867984570/jpgs/default/00000680.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
# Lines: 63 recognised, mean confidence 0.87
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

64 4
F. P ISTOL A R V M
ee _ alceram indetinitam quancitarem, ex cujus poreltaribus Series conticienda est. Deinde, cumm
Aiquatio aliqua proxonitur, parallelosramma lingulis ejus terminis correspondentia insignio
noca aliqua: FF Regula ad duo vel forre plura ex insigniris paralleloxrammis applicata; quo
rum unum sic humillimum in columna siniltra juxca AB, et alia ad Regulam dexirortum Lta,
eaeteraque omnia non contingentia Regulam supra eam jaceant; Selixo terminos Aiquationis
per paralleloxramma concingentia Regulam desnatOS, et inde quaero quantitatem Quorienci
addendam.
Sic ad extrahendam Radicem y, Cx po -- 5 x yh + - gt = 7 a _2 gr + 6 a3 43 = Bb  = 0:
parallelosramma hujus terminis respondencia lieno noca aliqua ; ue vides in Fiz. 2. Dein ap
plico regulam DF. ad interiorem c locis signatis in sinistra columna; camque ab interioribus
ad superiora dexrrortum eyrare facio, donec alium similiter vel Forre plura e reliquis signatis
locis caeperit attingere. Videoque loca lic attacta cAe x a xyy et y F. terminis itaque
1 = 7 a a X X py F 6 a N tanquam Nihilo aequalibus (de insuper si placet reductis ad v - 7v2
=6 =0, ponendo p = v Vax,) quaero ralorem Y, e invenio quadruplicem, = Va X, = Va X
= Y2 aN, _C -- Y2 a x, quorum quemlibet pro primo termino Ouotiencis accipere LICeE, PrOUE
E radicibus quampiam extrahere decretum elt.
Sic Aiquatio p F a xy = aay = ~ - 2 a = 0, quam retolrebam in priori F. pistola, d3F
=2 a F a ay = p = 0, e inde y = a proxime: Cum itaque a sit primus cerminus valoris
Y, pono p pro exceris omnibus in intinitum, ee substicuo a f p = y. (Obreniene hic ali
quando difsicultates nonnullae; Sed ex iis, credo, D. Leibnitius le proprio marre extricabit.) Sub
sequentes vero termini qr sec. eodem modo ex aequationibus secundis, terriis, exterilque eruyn-
TuIT, quo primus p c prima, sed cura leriori; qula careri ralores y Tolene prodire diridendo ter
minum inrolvencem intimam porestarem indetinicae quancicaris a per Coesicientem radicis P 91
auF 5.
Incellexti credo ex superioribus, Regressionem ab Areis Currarum ad Lineas Rectas, fieri per
hanc Extractionem Radieis Afecta. Sed duo alii sune modi quibus idem perticio.
Forum unus altinis est Compurationibus quibus colligebam approximationes sub tinem alterius
Epistolae, ee incellisi porest per hoc FxempluM. PrOPOnatuE Aquatio ad Aream Lyperbola
2 = x F =X x F 543 = Z 4 = Z N _C. EF partibus ejus mulciplicaris in le, Cmerget Z Z = v
+ ~3 f 15 ∞t f. 3 ∞ _c. 2 = ∞d = 3 et + 2 13 ec. 2 = a f 2 N _c. 2 = N ec. Jam de
2 autero = 2 2, d reltat 2 - = 2 2 = _ = E N = 2 2 - 23 x ec. TIuic addo 5 23, _ tic 2 - = 22
F523 = x f 2 a f 3 p ecc. AuterO 2 2, e rectat ∞ = 2 22 + 52 - 24 X = N - 220 N 8c.
Addo 1o 2, de tit 2 - = 22 = 62 = 5 4 2 + 1o ~ = x quampr Oxime; live x = ~ - = 22 + 52
= 2a 2+ f 15 2 _C.
Eodem modo, Series de una Iudetinica Ouanticate, in aliam transserri pollint. Quemadmo.
dum si poticor radio circuli, _ sinu recto arclis 2, e _ + ,
407
accus istius; arque hanc seriem a Sinu recto ad Tangentem rellem rransterre: Quaero lonsitu-
  reduco in infiniram Seriem x f
3X
2 rr8x
=eC. VOcetT
haec quancicas, 1. Collieo porestates ejus s = 13 f 3 ~ _c. P = 15 + _c. Antero aurem ,
de 2, _ reltat 2 - + = - -
2 ry
N = dc. Addo ; P, 8 fic 2 - + + , B = 5 43 f _tc. AV-
Fero 2 p, de restat 2 = 1 = ; 1 - 5 5 = 0 quamproxime. Ouare elt 2 = 1 - 3 p + 5 p = _c. Sec
siquis in ulus Frixonomerricos me jultiltet exhibere exprectionem areus per Langencem; cam
non hoc circuitu, sed directa methodo quaelivistem.
Per hoc genus Compuri collisuntur etiam Series ex duabus rel pluribus indetiniris quantita-
ribus constantes; e Radices aftectarum Aquationum maxna ex parie extrahuneur. Sed ad hunc
posteriorem utum acthibeo porius Mechodum in alcera Lpistola deseripiam canquam generalio-
rem, e (Regulis pro Elisione supertuorum terminorum habitis) paulo maris exvedicam.
ero Reorettione vero ab Areis ad Lineas rectas, et similibus, poltunt hujusmodi Theoremata
achiberi.
THeOrema L. Sit 2 = ay = Bpy = cyo + a yr + ey dec. Fc viciltim erit y = =
2bb = aC
13 + 5abc -5b - aad
+346- 22 abbc +6a ab a + 248 - a
Exempli grucia. Proponatus Aquacio ad Aream Hyperboile, L. = y
a