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# Title: LBr. 560 · L'Hospital
# Folio 55r, page id DE-611-HS-855907:0109
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Monsieur
ernons le par
de
Hospitat
Je vous aves ecrit il y a quelqes semaines pour lever
les simpules que vostre honnestete vous avoit naistre
sur la publication de vos belles deconvertes et meditations
Geometriques. Et j’avois adjoute l’effay demes
quelque essay de mes maniches de mas methodes
de W’inverse des Tangentes. Cet Essay donnoit une
solution generale, de la formule dy:dx = v v + Wy
de quelque puniere que les grandeurs V et W, soyent données
par X, et je voy l qu’on le peut pousser plus avant
Cependant comme nous ne sommes peut estre pas encor
tout afait en estat de donner tousjours des solutions
bon
si gentrales. Cependant il sem de de tenminer
important de donner la Methode de determiner it
est possible lors il s. il est possitle de recuire
s s’il est possible que la Ligne demandée est ordinaire
ou Algebrique; et c’est à quoy cette methode nous mene tousjours
par une voye asseurre. Il s’agit dons generalement de e
reduire les Tanscrudentes aux aequations differentielles
aux ordinaires, si cela est possible commengons par les
or
plus simples, ou il s’agit des quadratures c’est à dire ou
l’une des different se trouve sans sa grandeur absolue
et pour on l’affaire est  vaidée lors que lu
Et an lieu de dy: x mettons malutenant eia, or taffaire est vaidéé caliule
affairs est, vuidée lors qu’il y a C + 11 =0
une
suppose que qe soyent commes par  des formule
se
le nombre I1
signifie
enti rationelle eatieres, donnee par X, j’appelle
entieres et ratioelles,on l’in determinée x n’entre
pas dans le vinculum, ny dans le nominateur
Allous mnintenant  au cas  soivant ou il y a
 ee + 11 C + 12 = O, ’il est ais il s’agit
de trouver  yy + 21)+22par on peut demonstre l’estaisé de demonstrer
quod es qu’il est impossille que l’equet la grandeur y
puisse monter plus haut que celle de d’e On pertmaintenant
hifferentier cette equation cherchée, ansi ou trouvera une
 no  et il proviondra, 2yC + 21C + yd21 + d 2220
it C ou bien e
d21 y -a432,:, 2y + 21 donc par 2 et 4
nous aurons + dei des Aa Gy + 2d2iduaa y + 42d22 aa
= 2d21H a .. = 2.11d22a.
= 1121421. = 11. 21d22 a
+ 4. 12 . + 4, 12.2.
+ 12. 21. 2
Et etse qvation doit slee coincidente avec sefle, de  mult
coefficent du plus hant degré de l’equation
donc +d21421 aa yy + 21 d21dy aa y + d21d2)
= 2adI a
1
= 2 11d21. 22
= 21121d21a.
+4. 12. 21.
+ 4. 12. 22
1(5)
1
a
equation X 4. 12
qui provient par la maltiplication de l’equation 2.) doit estre
coincidente avec 4 l’equation 5. Il  faut donc ue comparer
et la
ou coincidencier le second et le 3me termue
comparatiore des seconds terme donnera l’equation
et celle du trossemes termes domea teedonnera equationls
Mais comme je ne surs
pas iapresent en estat
de tra vailler, et le
trouve persoune dans ces
pays qui n’y puisse
aider, jeus cin ent
en trouveroit a p
et que vous pourres
meinons proculet
quelque ussistances
qu
t dons
que pourries
et vondries bien
me procurer cese
assista quelque
spistance, puisquue
a apparement
chesbons des gens capables de
qui ne le refase
ptorent pas. comme
en effect ne se ne
ferois aucune difficulte
de payer leur peine
c’est ce que j’ay desa
insipué hans mapre
cedente.
= je me sers
des, hombres
au lieut des
 lettres parce
que la note
dextrenistre me
fait comstro
observer la loy
des homogenes
et la sinistre
pour discerne
les quantites
qui sont cey
données du
Gerchées. May
on peut pourtant
se servir des lettre
dans lors que
l nombre n’est pas
fort grand comme
est en effect il
ne l’est pasp
hondans
exem
resent