# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/DE-611-HS-957479:0035
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/DE-611-HS-957479:0035?run=82
# Title: LBr. 454 · Augustin Thomas à S.Josepho
# Folio 18r, page id DE-611-HS-957479:0035
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 17v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-957479&page=35
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-957479/jpgs/default/00000035.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 82, 2026-09-09T18:17:48Z — 95 lines, status machine
# Lines: 95 recognised, mean confidence 0.85
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

tut d. sen resitul qunlus bosserentim co
ioemur ergo tandem ad perfectam probematis propositi solutionem
pervenise, ut liceat vel pronuntiare de impossibilitate, vel dare omnes solutiones; ee dato nuvero a
integro, quaeritur nuneras X, sive integer sive fractus, ut  x + a sit quadratus, sive integer sive fractus
Is quadratus sit gy, seu fipt X + x =yy  demonstravi si X si integer posse quodem y esse fractum; sed
si y sit integer, aderque si Xel y sint integri, seu si debeat x + a aequadri quadrato integro
non habeat binos confactores, quorum
si y pt integer necessario etiam X esse integrum.
tum _ ostendi necesse esse a sit se aus unus ex binis
et sportet ut b. + C sit aequale quadrator nempe 13. (quod
summa sit quadinitus, impossibila est, ut X  aequetur quadrato integro vel
Si X, sit integer sed X + = iit aequaetur quadhatu gy fracto necesse est ut X et a, habeant communem
divisorem Hb et ut X dinisus per hunc communem dirisorem , N det quadratum coco, seu erit X =  coco, posit a =  bc
veb oporiet est vel necsse est, ut cum X et a sunt primi inter se, ut X sit quadatus coco, et  fiet = 1 et ac
quod si jam velimus X et a esse primos inter se fiet fiet X = Coco, et 7 = v - co, omnia in integris, et fit
OP - co  a. Et recesse est, a posse divedi per v+ coco a produci ex v + coct in v- coco, unde tantum
tentare oportet an divisires ipsius du confactores ipsius a tales esse possint ut unus sit v + coco, alter v -coco
quodsi a sit primitions, oporet v + coco esse =a et D - coco = 1 et erit 20 = a tI et at 1 = 2 +5ocoseu = 1t c
itaque si a sit primitivus, et X desideretur integer, rei est impossibilis, nisi a unitate deminulus relinquat duplum
quadracum.. Quodsi X et a, non sint primi inter, se, sed habeant communem divisorem  et sit a
et y = v: co  fiet ut dixi X = Dcoco, et proibit aequatio ultima vo -c = c
Unde collegi cantum opus esse tentare rem v. vmdane quam D minoribus quam C, et in coco minoribus quam C,
posito c esse ubi quem ex binis cinfactoribus ipsius a, et b esse alterum. In his scilicet v et coco, tentare sufficit
an fier possit ND - e cot = C, quod si hoc non procedat opertit r in his finitis numero, nec adeo
multis tentamentis, pronuntiari potest, rem esse impossibilem, ut scilicet x sit integer. potestetiam
tes proponi, ut tegitur altima, aequatio, posito X peti integrum, titx - 2 et habere cum
a, communem aliquem dicisoremp ponatur X = , et debebit esse y - v: Co, tentet
atiam
tenteturque an pes juccedat in quovis posito v esse minorem eram C, et co
quod si permissum sit, ut X sit fractus, quo casu etiam y sit fractus. Ponamus
Z: 8 et y = ∞: cd Sponendo Z esse numeratorem,  denominatorem;
fractionis  valorent ex exprimentis ad minimos terminos redactae. Et similiter v esse numera
torem, ed vero denominatorem fractionis _ valorem ipsius numeri y exprimentis, ad minmos terminos
et a habere communem mensuram b repentur esse
Et primum quidem ponamus
demonstravi non posse feri, ut X et y sint ffractiones quae ad minimos terminos redactae habeant
X= bG: 44, seu Z = bq et e = y 
Communem denominatorem. Demonstravi tamen etiam has duas frattiones sad nrinos terminos rodactas) non posse habere
commanem hatere denominatores qui sint primi inter se, sed eos necessino habere communem mensuram. Adeoz
Fq et y = v: qV, ubi debetue  esse major unitate. am X et 
ese posto jam X et y isse fractos, A sumanms duos casus, unum, cum Numerator ipsius X, rempe Z. habet
sunt primi iater se.
Qando q et a habent commurem nensuum sit eb e ttur Z = biz et a = bc. et X- b 
deber sumi sumi X =
communem de mensuram cum a; alterum  cum
et y = v:,  47 qu et fit v0 - 60 = C9, quae sequntio est parsus gemin pupto praecedenti, etsi Xpt 
vo = bv +Cq Itaque oportet numerum a datum binos tales habere confactores est C
posi (seu bc = a), quu qui multiplicantes suum aliquod quisque biquadratum, faciant productorun summam
unum e) esse fixum alterum continue mntan fat et crsrenim V crescere in progression
et erit d bv b (+1+600 + 40 + 1) acc vava aulo
dnius madi differentarum, possit conficere differentiam inter duo quadratu seu _ siet
differentiarum, et ita porro, donec perveniatur ad daffecentias
eam
auta dufercatiam
nd plures incognitas. Itaque vereo ut haec serviant
t
literae D seu
arithmetica, fiet bV+ 4V +600+ 40+1
Calculi ferte dyadico res attentari posset, oumendo q= 10 +  rZ + 9. 2 + 13. 2+ 14. 2, et c. et Fmiliter C220 + 21. 2. +22. 5423. Q tar
tonam lorum sum
polibet diadipen multipliciri unus per b, alter per c. Dpdiae datos, et addito in num, sufecenit investi
bi quaratis sunt 24, Videndum erpo Mpeveniatur
videndum quandonam sum
psius vest quanquam ipsarum  differentiae non sunl constantes. Et ibi
habetur verus qui sit
tiam ibi vident quandmam exto po  fic
oit . no
hobtarias non ascendere
p n 
ausur ponatur primum Z= a, fiet F_
Et ita est  X
jam vi 9, item
t ut nons uti
seo quaroc difficile, pu
in 
vactato quudralus
et haum esser tum biqondent, in 
un fia ee
commone, inu
li potest aduberi canon, ubi notandum
estracta vel diviso existe
delt su aqu
psut h habent st
et et v pumi inter se rce est ut 1t
D1E aapum B et a sunt poim
meigu non patesi ess  = 4. sit a 9 ( + 4 443d
21.  al laco ihis a culu a
34. 2433. 2 + 365
lv Fo
pat p potest dviit pe
= 9b: l ut sit a +
aduo sin abq t = ov
=Ue, et fi it, a = v0 - qua seu a = v +99, R 14199
b et c fiet 20 = btC, et b = c = 29y pev ib
ipsius a, quom