# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Page: https://leibnizlegible.com/page/DE-611-HS-958803:0171
# Permalink to this reading: https://leibnizlegible.com/page/DE-611-HS-958803:0171?run=74
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folio 85r, page id DE-611-HS-958803:0171
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 83v); this page is its right half.
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=171
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000171.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 104 lines, status machine
# Lines: 104 recognised, mean confidence 0.89
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line: the recognised lines in reading order, one per line.

C
it
constet ex angulis numero infinitis, qui incidant in toriontales infinite sime distantes
senvicinissimas; habebimus Lineam facillimi descensus; quam vocare liceat T
laphystoptotam; modumque ejus proprietates investigandi Itanc autem non esse
loerionam paracentricam, ut fortasse cuidam videri perma fronte possit, ex eo
in telligi potest, quod nostra abbit in rectam, tunc cum duo unum ex duobus punctis
(ut A et B vel A et p) alteri imminet verticaliter, bunc enim omnia radunt, in
rectam illam verticalem seu perpendicalarem,rectas autem hrunquam est
jochionas deinde nostra linea incipit a quiete, quod non facit isormona
intilligatur jam descipta linea facillimi descensus seu Tachystoptota AC
In qua mobile C. Transeat 9 puncto ic ad punctum, 3C via facillima, et quidem
ab hopijontali AB B.C ad horizentalem 3By C per horibitularem 2B2C ita ut angulus
in mediam horizontalem incidens sit 2C F de scrbatur praeterea parabo la quaedam A
culus verlex A, et AAxis AB. Utique si AB sint descensus averticale gravis inde a quiete, erunt
BE, odinalae parbolae, ut C tempora verticalia,e et F(C), ut 1F2E, A3E eti erunt elementatem porum verticalium
quod si 1BA se B(B) seu CF, elementa alfitudimum seu abscisarum sunt tempori proportion
etiam siat constantia erunt F(E) etementa paboi tenxorum verticaliam, isisiis temporibusin
Compeantur Roctangula Cid 2C, et 2C2d 3C. Erit rex, ad
Uti, 1C1d. 1d 2d ad 2d3d uit  ex natura Birectiliuedi facillima ex 1C ad 3C per 2B2C, prulo
BE, rci proce proportionalia
ante demonstrata, ent id 2C lad 2d 3C  AB  (1C2C. 1BEB: 1F2E) : (1(75. 2B3 B. 2p3F
seu ordinatarum
cirL =H 9: 2
se A seu posilis 1B2B, aB3 elementis altiudmum aequalibus erit id2c: 2d3C )
= (1C2C: 1F2E): (2C3C: 2F3C) sed a (1 : 1 F2E): (1: 2F3E) = 1B. E: E∞ E2B2E = + A.B: A.B)
Ergo id 2C2d3C = ie 1C2C. YAIB, :, 2C3C. SA2B. seu  elementa lasitudinum
sunt in ratione composita ex elementorum curva simplice, et ipsarum altitudinum subduplicata
Unde morta solito dy ut de ex  seu assumta constante 26, fiet
e vd - Xd + Xd
eote
D(C) ut c(c). 1AB. seu elemen
dy ut de Vbx seu bdy (1mo) bdy e dyrb = de bX
seu du Bta) dynde Ibn et hx X, 2bax seu fro)  abbdu 2bx dx + 2bdus
vel (2d0) 2b du = Xdx + X dy vel (3tio)  dy: dx = 1(X:, 2b -X). fiat
dy: dx = v: b Ergo (sto) X obx = ~v: bb seu (B) bbtx 2b
fiet  (5to) V. r = ArbX - XX) :, 2b - x Itaque ut ehibeatur quantitas V.
des describatur circulus in verticali AB sumatur punctum G infia A, ut sit
AG aequalis constanti b. Et centro G radio AG de scribatur circulus _ AHM cju
sinus ver in quo sumto sinu verso quacunque A Et in axe AB sumto simngi
i et sinu recto BH seu Y,2b∞ B-XX. Arcis
oductodum occurrat
m
B seu X
catur rect
quocunque ut
diametri AA
tangenti vercis in T, erit AT recta Y quaesita Nam
puncto M educatur MH quae producta occurrat tangenti verticis in L. Uttique
AGH dim
C est autem AL ad BH ut AB erit BH Ob angulos  TGA, TGH
aqlis similia sunt et aequale latus GA, GH, congruunt trianus Angulas A
Angulus AG Ex d iametris AM puncto M, educatur MH. erit angulas AMH dimidius
anguli AGH, ergo aequalis angulo AGT. ergo AT ad AGseu b, ut
BH seu six n f, 2bx - XY ad MB _Ergo ob triangula similia GAT, MBH,
erit AT ad AG seu ad b, ut BH seu L, 2bX - XX est ad MB seu ad 2b - X
itaque AT est V.  Cui sumendo aequalem BN _ in BH (si opus producta)
et per puncta ut N ducatur linea AN N quae est quadratrix mea
porro cujus quadratura dabit quaesitum
Efbu)s vax:b = s dx A(X: 2b -x) = y seu area figurae
Arithmetica, qua olim sum usus.
ABNA, applicata ad AG seu b constantem, dabit BC seu y quaesitam
Nam ss
 Inveni auta jam olim ec hanc quadratu ram a circuli quadra
tupa pendere seu Aream AB N aequari duplo segruento AH adeoque
Finca segnentorum poteritisiuum ipsas rectas BC seu y esse se ipsis AH segmentis circuli pro postro
114
pales.
sibi verticaliter non immerentibus
Dabisiguua punctis A et B
si a puncto A ad L ducenta sit linea  Tachystoptota; ducatur. per A
inde sumto circulo
datis issitur punctis A et L
verticalis AB, et ex puncto L in ipsam nomualis LK
ade erica diamebrum quamcunque rini non minorem ipsa AK de scripto circulo
seubatur ligura sgme eoma pros segmentorum indi quaeratur  cujus
segmentum duplicatum aequale divmater circuli  radius circuli b
seu Aq qui ductus in ipsam KL aequetur ips duplo segmento HTH KIH
inde inventis quotcunque rectis BC, quae a duatas) in eandem AG, aequenta
duplis segmentes respondentibus AHA, linea ducta per puncta C
erit quaesita Quanquam et sufficiat circulus quivis AM, modo
sit major ipsa AK; nam Nam si hunc KL secet
et in qqua KL sumatur sePtalis at sit rectanus. sub AG, HI aequale duplo segmento AII
o
meter A
ut  punctu B quamcunque si opus producta sumatim BC quae sit BR quae ducta i AG aequa
modo dic
va ACL quaesita
=punctis 1C,2C hC non
finitesime distan-
Ht)
videnu opemajoris circa
parabola quae per chordes constene
tur videndum an non ex ope
circuli ejuserm continuata
revolutione i
ultra cem
circulum
cresc
a ultra
semper
enti
poti a ai puste ret
it ilr  t