# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1006/text
# Catalogue record: 1006 — De reductione Tangentium inversarum ad quadraturas per descensum ad differentio-differentialium differentias, seu ad tertias differentiales
# Incipit: Data sit aequatio (1) differentialis Tangentium inversa, in qua dentur
# Date: 1691-10-23 (91-10-13)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1006&katnr=58589
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068051
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 6
# Folios: Bl. 46–47 (from the shelfmark LH 35, 6, 6 Bl. 46-47): 4 pages, canvases 91–94, page ids 00068051:0091 to 00068051:0094
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068051&page=91
# Lines: 294 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 46r — 00068051:0091
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 47v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068051/jpgs/default/00000091.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 94 lines, status machine
seps .G fucri metius in alia
e ostent
intra
reductione langentium inversarum
quadraburas  per descensum ad differen-
o differentalium differentias, seu ad tertias differentias.
sip
Noisen Data sit aequalio (1) differentialis tangentium inversa  in qua dentur yX aydx
Tollatur y differentiando, et habebitur  aequ. (2) in qua si ponamus daus20 seu
du constantem aberunt, non extabunt nisi X, dx, dx et dy. Toblatur
 ja ete differentiando rursis aequationem 2, tollatur X, habebitur aequ. (4
e in qua erunt dx, ddx, dddx, dus. Hanc aequationem reperio posse re vocari
ner iterum ad ddx, dx, dy per interventum quadraturam, et prodiens aequatio gerit
diversa ab aequ. 2. unde per aeq4.  2 et 5 tollendo dax, habebitur, aequ. (6) in
qua extabint ce valor x d ax: dy quem jungendo cum valore ejusdem
dato initio in aequ. 1, tunc sublatis ex et dy, habebitur aequatio (7) in qua
extabunt tantum X et y.
Superest tantum ut ostendatur, aequationem 4
posse resolvi, seu valorem ipsius ddax posse invenir per dx ddx et dy. id vero
ideo vide fieri potest, quia concipiendo dy ut constantem, perinde est ai s
 pro dx, dus substituendo. Z et V, deberet vrtor ipsius ddzue inveniri per
si pro dy substituendo b, et pro  dx ddx, dadx substituendo Z. dZ, ddque
deberet aaque inveniri per 1dZ, Z et , quod semper  reducitur ad quadratura
Sed rem tentemus actu ipso in exemplo aliquo facili.
27
sit
y: a = 1 + x dx: B adus fiet dy = (X ddx + A + X: dy seu dy = X alx + dx.
C1
seu x du- ex: ddx. Quam differentiando, fiet ex = - du dadx: ddx ectaxdX + dddx.: s
quns mane dx = = ddxdx - diu- dx ddax,: dax. seu dddx= 3 ddx dx,: sx - du
(4))
=oaxi. seu pro dy, ax, dax, addx ponendo b, Z dZ, ddz, fiet  ddz: dZ = 3dZZ: ZZ- bb
((4)
gy =ayt eaet fit, log.  log. d2 = 3( dZ. Z: Z2- bb. Et datur tZ per Z et b e
adryp ca Et quia datur Paz. Z. ZZ bb ex quadratura Hyperbolae, sive etiam per logari tamos,
ideoi per aeq. 5. ope logaritimorum habetur valor ipsius  vel dix per dz per Z et b.
id est valob ipsius ddx per dx et dy unde per aeq) et 2 habebi tollendo dX
habebitur did valor ax: du in aequ. 6. quem tollendo Ar aequ. 1 et 6 habebitur relatio
Ubi illud praeter expectationem contigit ut  olcurreretet dax
vel aZ, nec tamen posset ex ad extractionem ejus veniri, ut in differentialibu
inter X et y.
communibus, quia non re ad est  nisi a et Z, et ddZ, adeoque non est ad est
respondens alia differentialis extrahibilis. Sed opportune succurrit divisio
per dZ, ita ut ab una parte sit sola simplex dignitas nempe dZ,  multiplicata
hoc loco) Z et B ab altera vero parte sit quae est quantitas
simp summabilis, ab altera parte sit adz: dZ quae est etiam sumimabilis
a a quad
turis pendens.
vel saltema otidem quantitas a quadraturis, pendens imu summabilis per
logarithinos. idemque (quod julchrum es, locum habere reperio etsi ddz et de
eq utcunque ad potentias accendissent ut sane fieri potest. Quia
enim ab una parte  ddz, multiplicat totum unum latus, nec alibi extat et
pote
similiter dz alterum latus na vel ejus potentia multiplicat alterum latus vel
nec alibi extat, semper res denique (p (praesertim si  ipsius adx quaeratur
valor purus per extractionem radicum) idet denique res huc redibit
p m
n C seu ddzue = Z e_ V seu adque. du minim = tq  C
posito in C non aliam latere indeterminatam quam Z. Ita res ad quadaburas
dd
lm unnrmunm
ita Atque ita
am
e
mllli
divenda problemata differentialia sublimiora, seu
secunda gradus, ubi initio statim da proponitur relatio inter
e Taltibrisve taciscendentanita
X, y, dx dy, dax, aag. bi ad tollendas X,  et y, ascenditur ad dddx et
Cum
daadu, seu ad quartas usque differentiales: adeoque habebitur dy, dy, ddx, idax, ddade
ubi si quaeratur, valor ipsius daddx seu ipsius d4)X ab una parte, equidem
restao non esset est necesse ut multiplicetur altura pars per de dB)X, nam
fieri potest ut sit d∞x =Od(3) x  1 5, d O () ddddx = O. d dx + D. H dddX
vel perinde esset ac si rem reduxissermus ad daaze = O +E + D  ddZ posit
Huic
C et D contineri _ non aliam indeterminalam quam Z.
Aicultati maximae videntum an occurrit scepe poterit variis duertis
in
qua es dus antea a e pro tarssetium deductoatu asras
Non ootinuimus Essitum, nisi
certis casibus. quando
spilittet gereis
ut llia in ex
lats
n
interven
sum
entiam
Aec son
tum poter
retrura
est y. a =
1

## Folio 46v — 00068051:0092
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 47r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068051/jpgs/default/00000092.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 70 lines, status machine
Nempe assumatur aequabio generalis ex Z d dz, du constante ea
eamque differentiando vileatur an posset prodire proposita. et quidem si non
assamta illa erit vel oedinarca vel summatoria. Et quidem in summan
qualins N illud est notandum, quod in summa ejus quarenda ab una parte stare
debet ddZ a ab altera parte tantum dZ et 7 seu debet dari formula
composita ex Z et dz et dy, quae differentia ta det O dax + llax
Cum initro detur Y, dy, X dx
posito scit: adus 20 utique re re si proinde tollatur y ut extent
O +Z +. D daz
du X, ax dax dddx videtur int nos nihil tucrari, si tollamus X
ada
ddx
Linog. 2
ta enim nantiscemur dy, ex, dex dadx, addax
quae aequatio non est melior prima praecedente
an liceat ipsius 2 summatricem obtinere
au aequationem + et s, et ad huc plures tates
inter se liceat facere tales, ut podeat sumon abicite
2, dz dd
tayue licebit tentar
non faciamus. ddy =0, sed assumamus aliqua
quandam relationem inter _co ded adco, posito c
Quod
dari ex X et y
seu unde nascetur aequalio quaedam
semi arbitraria anter A
dx dy dax ddys. Hanc possumus
conjungere cum aequ. data sed ex datis faecta X y ex dys
dax, ddys. Quod si jam assumta sit talis B, ut conjuag
eam cum 3 simul tolli possint x et y res foret reducta
ad differentiales primae transcendentalitatis seu primi ordinis
quas jam resolvimus. nam extaret tantum de, dux, dy der
seu ag. 51 quae poterit resolvi, novam proarbotiro as ponendo pro ipsis
Z, dZ av, do et licebit, facere denuo de constantem, ergi
ante a seu ad y, etsi ante alia relatio assumta fuerit; quod
praeclarum est. Cujus rei ratio (cur succedat) ratio est, quia haec
nova assumtio, ut sit do  constans, non ultia servit, quam
donec semel penem pervenimus ad relitionem inter Z et V seu
dx, et du ex aeq 6l, qua reperta jam inc amplius curamus. suppositio
pdm sed insistimus no prioribt
tam
fortate
et sic utel sed difficile est ita comminisci gemiarbitrariam B ut
nem
conjungendo eam cum aequ. 3 data evanescat simul X et . Nam si
hoc. in pte fuisset, dudum resolvissemus differentiales taagentes inversas.
quod tamen miec demum alia ora obtinui. Ponamque cd dari ex
X et 3, seu deo esse constantem habelbitur aequatio quam ingreddem
tur X V, dx dy, ded. Hanc eq. 5) conjungendo cum data h
et hujus quaeratur differentialis 1, in qua erunt X,  dx, cdx, y, dy, Alydeo
onjungamus jam navam ipsam propositam
3 et1
resolvendam 3, in qua sunt X, dx, adx,  d y dgus ddus.
His duabus semi arbitram
Et opegaeqq.
5 et 1 tollamus X et y ex aeq. B, estabit aequatio, in qua extabunt tantu
dx dus, deo dx dx; ddx, dy, ddy, et deo. ita vicimus nam
mutando in respondentes Z, du pV, do, b. suam deo est constans) res
reducta est ad problema tangentium inversarum primi gradus
seu ad differentiales primi ordinis. Et habita relatio ne inter Z v b
habebtur eo ipso relatio inter ax d ex, dy, dao, jam deo jam tum
datur ex ax, dy, X, y; ergo tandem res reducta est ad aequ. D, quae salam
inter du,  X, ex y dy. cujus differenliando. Dabitur aequ. 6 ubi
X dx IdX, y, dy daq diversa ab aequ. h. data et jangento 6 et h et resultan
tem ex Y (explicata dco) tellemus dux, ddus; et sit aequ. 7. continens
ex y dy X dx, quam aequationem 7 iuagendo cum 1  sublatae erunt
denius disf differentiales  et relatio habebitur quae sita inter X et y
interim potuissemus etiam ex aeq. sola Y) invenire relationem inter X et y Methid
oes  ondiuts recueie an pous
ad nodas  vadraturas recurrere non sit opus

## Folio 47r — 00068051:0093
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 46v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068051/jpgs/default/00000093.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
methodusjam est. jam generalis seu rem omnem differentialium seu
Transcendentium per infinitas et infinite parvas reducit ldad perfectionem
am per assumtionem ipsius cd, ejusque habebimus aequationes, duas 25. et H
quarum ope ex data seu ex datis facta 3, quantascunque demum
quantum cunque demque habeat numerum differentialium redec
 sublatis altissimis duabus X et y:  faciemus novam I
quae mutari potest in aliam uno gradu inferiorem prous y et horum
serffere pro dx, dy, et harum differentialibus substituendo Z, D, et harum
Exemplo  utamur: sit aequatio data
(Xd Sydx Xa soclssiet sxdy 4a: se ydx. fiet Xyatylx. qu. fydx
diferentiales.
seu syta = aa  SXdu = aB a D -aE: Sydx. fet Xay = ac y dx: qu. syax, seu fiet
Cyax = a Lacy dx: Xdy. adeoque yax a d acyax: xdys: 2 L acyax: xay 5)  fete:
data.
Cd Xay. _ydex+ dycx =  yax X ddys - e dyax: 2 facyax: xdy. et quadrando fiet
gy dx. q acydx: Xdy  cca qu. xdy. ydaxt dyax - yax X ady - dyar. Qua re
vracta habebimus tandem aequationem h. a vinculis tam communibus quam differen
tialibus liberatam quae assumenda eris pro data, et more praesciciti tactanda
arerum qui facta est nolixiasenta assumamus  haec differentio differentialis
deductaex datis tacta est procixiusenta. Itaque poterimus ejus loco aliquam
assumere differentio differentialem datam ut Xdex ex+ dus faciams
R Xy = aco fiet Xdy + y d = adco, et Xddus + rdyx +yddx 0 ponendo ddco =0
seu ponendo Xy: a esse progressionis ArdtEmebicae jam per 59g. 1. 3. 4 tollamus X et y.. Nempe
ex eq. 3 est 3 = adco= xdy dx = (ex 4) X ddy + 2dy axB: - dax  seu ex 7. fiet
=1 deo ddx + X dy ddx = X dx ddyu + 2 dy cx et pro x substituendo valorem ex aeq.  1.
fet C - adco ddx + d dys dx dax + du dax = dx ddys + dx cus adys + (2) aydx ddx. libi
ubi famen magna quaedam nascitur difficultas ex eo quod dx et dau per se non servant
ea revera tamen servant
legem homogereorum cany tantes communem.
am abso late tam communem tpstam transcendentalem, nam, deo, vel des, vel dx habeet
lam funt. 1+ 1- e +2 - 4C seu 4-50) et 3- 3e + 1 - 2e (parsus 4-5C) et ita porro in reliquis.
term
Tale autem aliquid in calculis differenta dispercitralibus quame qui ex differentialibus c
adcox ponentem
unde jam non nihil erit difficaltatis in reducenda re aa differentio. differentiali ad aquiva
centem differentratem aqvationem. Facita   pro  x scribamus
Zdco. a et pro dyl) paciam () dx = Zdco: a et fiet Lix = 27 dco aa ddx - dz deo: a
et dy = vdco: a et ddu = do deo: a et ex aq. 9. fiet per 10, talis:
= a deo +Z: a + v dco dz dco: a 1Z dco du du: a + Zdco v de dudco: a + vsco Z deo dzdeo: a
et divisis omnibus per deo, mulliplicalisque per a fiet postremo:
= a 4z + v deo du= Z dv deo + Z V ded de +. vZ io de fe duec
do - asZ + B3 dque da - v dZ ded: 2 Zta. Ubi si consideremus ded
esse constantem, quaeritur an nulla ejus ratione habita Methodum illam initio propo
sitam pro Tangentibus inversis ad quadratures le redudendis sequo liceat. Vel vel potius
videndum est an non haec ipsa difficullas refundatur in Methodam nostram initio
hun scredae praescriptam Nam  fliciter evenerat ibi ut y et a simul evanescerent
non ita habuis semus exitum, nam non potuissemus simul omnes literas
aequaliter attollere, se uli tunc aequaliter  aelevare potieramus naddito ad expomenter
sed si remansiscet a,
E, Pacrendo Z ex ex et eZ et dalx, eta quim non potuisum attollere a, us farcendo sa
en a etii altius atteclendu, quod tamen, qud hicsaciatnve apparet.
luns resamendo huntra huu schedae aliud aggredianum exemplum: ut
Xs a. 9 = 16X atque (et adyue. gy= x gra =  1+ a dx: xdy. fiet q
Deycax X ax
du= aa dax dx dx NC ace: xdus di a- 
y eagax   Xay
9 y+a x ex tdg
adx + dxidus 2X ex + x X ddx: dy = x dey: dus
du:
a ydy a ux +xdys fet au adix e  addx +  de dy
42
ay G X, Y ax seu adque
yeu adx ady seu du adex + dx du + Xddx + ax. et spet
ydy = a adx + a dy: X, fier tu= a ddx D dydxae:  XX seu  xy fadax-
seu AX = a Ydyax: addx aus et dx : a =d dyax: adax- dys : 2 Vdy dx: addx-dy
seu da  dax a ddx- +g set dx: adue x: agen-di + dx adddx. (3l addx dis 9: 2 V dyax: a dax-dest
seu fier  Saycx: adex. du  adus  aau taa- adX I astx dis: aux  = dddx
Hic haeret aqua, nisi excogitemus, Nethodum per quam modum tales formulas heteratitas
unandi in quibus ubi possimus: pro da nux, dadx  scribere 6 Zdy: a, dq dly: a + ddze dy: a
et
llt eei a a e iti te dus utoce s ula te deg. 1 ls tia
ita pro

## Folio 47v — 00068051:0094
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 46r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068051/jpgs/default/00000094.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 58 lines, status machine
A Hrdo2
voniam ego omnia turbantur an solu determminata
seu constantea, quae semper ut dixi haberi aetest pro unica
differentalis
Aeuatid)
etsi adessent plureso itaque sic procedamus. Quaeratur
ddatoe differentietur duta differentialis prime gradus differentialis data sit
primi quadus in qua extent X, y a, dx dy. Hujus q quaeratur alia (2) ut qua sint
X, y, dx, dy, dex, ddy. destructa jam a. Assumatur aequatio in qua sit 
detur valor ipsius co ex X et y. sint intervelltu allius a. qe unde quaeratur
alia a(+) in qua extent deo, X, y, dx, dy. Et hanc differentiando, alia () in
qua exlabunt to Xy, dx ddydius conjangendo jam aquades 245 tolli possint possunt
X et y fietus aequ 16) in qua extabunt ax, dax dy ddus et ded, quae promo
veri possunt omnes ad _Z, dz, v, dx, b habeturque nova aequata crferentialis primi
gradus qua solata etiam proposita esset soluta. Sed m constat ipsam esse proposita
solutiorem tractabitiorem Quod si sustulessemus day, et de, primam unius
et summani alterius haberemus y dague du y, au dx dax deo esias b
cliam attolli posse ax ad Z, et dax ad de. (quod 0x eo patet, quia possumus
deprimere y ad  dW et dy ad adco, et ila cu exfent, du, ddu, dy, adx deo
possumue has oes simnl attollere. Atque ita poteramus et abinitio) postremo follam
y et du du ut sola supersit super sint:  e, dx dix deo: non satis apparet
quid agi possit quemadmodum etiam si reli sustatissemus oul smt dec y, adus,
uut super fussent ay, X, dx dax deo. Illud interim hinc didicimus quomodo
sine transformatione, se propiie dicta, cautari possit aequalio differentialis in
quod si leliquissemus a, habuissemus aequationes: 1, 2, 4, 5 in quibus
_, X, y dx, dy, _ in 1; et X, y dx dy Bded, in 4; et AX, y, dx, dy, dax ddus in 3
aliam.
et demque  X, y, ex, du, dax daque deo in 5. quarum ope poterunt totli tres
ubi
exempli causa X, y ddu, et restabunt ddy, dx, dux, c deo, et a
demerent a ddx, et di paequio lebunt easdem leges servabunt, itemque a
ubi easdem leges servabunt: dai et ddx; item addi, addx de, duo et dem
ex et ded itaque ddus x tabbus additis, ut x: a, deo. a  ddq, ddys dx: deo
Sed non apparet, quod inveniri possit verb. gr. Sex: a  sic et ipsi ddus est
iomogensa: addX: du Qualium summam invenire difficile videtur. Et
videndum an se non hic auxile esse summatio solidorum. Sic rectanus. solidum
m est Zdxdus AB, ∞ ECY LMN, Ax aZ. ponamus altitudinem
rectanguli solidi cujus balis est rectangulum LMN, esse
XZ: a et avea totius solidi erit contentum erit AZ
a XZ exdque. verum tunc X et Z non habent deter
minatam, inter se invicem aliquam relationem
 sed si maxima x ex omnibus ad eandem Z respon-
dentibus vocetur X fiet na SX. Zdx = a (XZ ax ax
Ut redeamus ad superiora res omnis videtur eo levire ut simul
Tollamus a et y si placet. At ergo si placet d dy: de = a + Y,:, XX
faciamus a + g= ZX. fiet dy: dx = Z: X. seu dyX: dx 21G. se d dy + Xlly: ax C- Xay dax
quam dqe jam ponimus esse constantem, seu dx aq - dx dy,: adus dx- du ddx = X. sed video nnhul ax
hoc prodesse, nam dum collumus dx accipimus non tantum ddax, sed et dedu licebit tamen opinor
sic prodere ex aequ. 2 est 29tus = Zax + Xdque ubi etiam abest a, ud tollendo y, fiet
Q fiet   d  = 2 ddy: dx + 2 dy: dx - 2.7 du ddx: dst = X da Z: x - d3 + xd ddx idx et dz. Opc
jam ex syc
aequationum 6 et 8 tollamus X habebitur vg. 9. ubi , dus, ddqus dx, dulx
et ex aeq. 9 tollendo X et y habebimis duas aequationes, in quam ut erit
sValor ipsius Z careata  poterimus
dx dx, aucx dus odus ddus. sed nihil hinc
tobtea Z, et lagitur. quid si sic aequ. (1) in qua, ax y, x, du. sit cqu (2) in qua Z,X, y
differentietur 23 sit B) ubi L A, 4 ax. du, dq., differentietur 3 rollendo y fit (9) ubi X, ex, ddx dus, ddus et
differentietur. I loblento a fit (5) ubi X, y, ax, ay, dax, ddq