# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1021/text
# Catalogue record: 1021 — G. G. L. De Linea Catenaria
# Incipit: Constructio Lineae a Galilaeo quaesitae
# Date: 1691-06-22
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1021&katnr=58604
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068053
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 8
# Folios: Bl. 3–4 (from the shelfmark LH 35, 6, 8 Bl. 3-4): 4 pages, canvases 5–8, page ids 00068053:0005 to 00068053:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068053&page=5
# Lines: 272 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00068053:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068053/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 49 lines, status machine
e L35xEA sN QVAM SE PONDERE
ejusque usu insigni ad
e proprio curvat ad eveniendus inveniendas
quoscunque medias proportionales et Logarithmos
e.
FLEXILE
Droblema lineae Carenariae vel Tunicularis duplicen usum habet.
urum ut augeatur Ars inveniendi seu Analysis, quae hactenues ad talia
non satis eoedatur; alterum ut pranis construendi promoveaturo
Kreperi enim hanc lineam ut facillimam factu, ita utilissimam effectu-
esse, nec pelli
textiumscerdentium secundam. Nam suspentione fici vel
carenulae inullo negotio parari et descrisi potest physico quodam Con-
scructionis genere. Et ope ejus, u semet descripta est, eahiberi possunt
quotcunque media proportionales, et logaritumi, et quadratura Hyperbolae
non est
Primus Galilaeus de ea cogitavit, sed naturam ejus assequtu
neque enim parabola est, ut ipse erat suspicarus. Hoachimus fungius
insignis nostri seculi hilosaphus et Mathenaricus, qui multo ante
Cartesium praeclara cogitata habuerat circa scientiarum emendationem
carculis initis et experimentis factis parabolam exclusit, veram lineam.
t ab exqotissimotr
raebita
us tanu os est. tani nemine
soluta, donec nuper Cl. dernoullius cumui infinitoru calcuc
differentiali expressam feliciter
as
um superioris
à me publice petivit Actorum, Mensé
quali est lineae catenana vibent an nosrum
calculi genus etiam ad hujusmodi problemata, porrigeretur. Ne in gratiam
ejus tentata non tantum successum habui, sed et lineam egregios usues
habere deprehendi, quae res fecit ut exemplo Molasu Parchatu aliorumgque
eman
as
praestitato. ondum clapio duo tantum significarunt rem
consecuros; Christianus Flugenit mbse jutera in dempublicam lite-
rariam nerita nemo ignorat, et isse dernoullius, qui his quae dedit effecit
ut praeclara quaeque porro ab eo speremus, Eum igitur reapse expertum
puto, quod significaveram, suc quoque porrigi noseram calculandi rationem
et quae antea difficillima habebantur jam aditum admiltere. Sed placet
exponere quae à ne sunt inventa:
Linea sic conteruitur Geometrice sine auxilio fibi aut
carenae, et sine suppositione quadraturarum, eo constructionis genere
quo pro cranscendentibus nullun perfectius et magis analysi condertineum
nea sententia haberi potest, sint duae quaecunque lineae rectae, determinatum
quandam atque invariabilem inter se habentes rationem, eam scilicet
quam si et  hic expositae; qua ratione sem et cognita caerera omnia
per Geometriam ordinariam procedunt: sit recta indefinita ON, horizonti

## Folio 3v — 00068053:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068053/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 79 lines, status machine
perpendicularis
parallela, eique vorticalis 3A, aequalis ipse B3s; et super 3N, verticalis
3N3E, quae sit ad OA ut 55 ad T. Incer OA et 3N3E quaeratur media
proportionalis 1N1E, et inter 1Ni E, et 3N3 E, itenque inter 1S Z et 8. A
quaeratur rursus media proportionalis, et continusr quaerendo medias, et porro
is inventis certias proportionals describatur linea E3A (2) (3) quae erit
talis naturae ut ipsis intervallis , 35N1N, 1NO, 1 (N) 1(N) 3(N
3 (2) 4 (), sumtis aequalibus, sint ordinatae, 4 N4 Z, 3(X3E, 1N+E, O+
1(3), (5), 3 (2) 3 (5), 4 () 4 (5) in continua progressione Geometrica, qualem
lineam Logarithmicam appellare soleo. Jam sumtis ON, OCv) aequalibus
super A vel (N) crigatur NC vel (X) (C) aequalis dimidiae summae ipsarum
NZ, (N) (E) respondentium; et C vel (0) erit punitum lineae catenaria
FCA (C) L, cujus ita puncta quotcunque assignari geometrice possunt.
Contra si linea physice construatur ope fiti vel carence pendentis, ejus
ope exhiberi possunt quotcunque mediae proportionales, et logaritem inveniri
datorum numerorum, vel numeri datorun Logaritimorum. sic, si quaera tur
d
Logarithmus numeri  posito ipsius Ot stanquam unitatis) quam et
Parametrum vocabo, logaritinum esse nihilo aequalem; set, quod eodem
inter
redit, si quaeratur Logaritemus rationis C
ad sam
O
unma dincudia e
OA tertia proportionalis et ipsarum da et c dum
BC vel OA
 et
summa, tanquiem
abscissae G4B respondens ordinata lineae catenari aaC vec B4N erit
Logarithmus quaesitus numeri dati. Contra dato lagarithm  N, inde
ductae ad curvan catenariam verticalis _aC duplam oportet secare in
duas partes taly ut media proportionalis inter segmenta sit aequalis datae
Cunitati) OA, (quod facillimum et) et duo segnenta erunt responden tes
dato logarithmo numeri quesiti, unus major, alter minor unitare Miter:
prcata ut diclum est 
et A
cm
 erunt summa ac differentia rectarum
 et AaK, duo respondentes Logaritemo dato numeri, unus major actez
minor unitate. Sdam differentia ipsarum OR et AR est NE, et summa earum
est (X) (E) uti vicissim O2 est semisumma, et AR semi differentia ipsarum
(N) (3) et N3.
Sequuntur solutiones problematum primari
s
propon
Erguili o per dicta) ducctusgente vertier
fint samatur O aequalis OB;  ipsi O, auetu anti paralela CT Coccurrens ani AC
in Serit tangens quaesita. Antiparallelas, compendu causa hic voco ipsas OA et
TC, si ad prrallelas Ak et BC, faciant non quidem eosdem angulos sed complemento
sidi existentes ad rectum, ARC et BCT; nep triangula rectangula O AR
et CBT et FBC sant similia, si modo e sit aequat B.
CA
centro O radio OB des cribendo circulum
Lectan invenire, arcui extenae dato aequalen; in tangente vertieis AkR
  hari
utulem per
AS
At
O reguatem Oerit  equalis arcur AC dato. Hinc si catena.
DCA3 (C) sit equalis duplo parametri AC
C, dec
ingulus si AZC vel AB, aequ.  A) eri
foret catenae inclinatio ad Horihontem, in 45 graduum; seu angulus 3B3C3F semi-
cu BCT seminectus adeoque angulus C7(C) rectus
Euadrare spatium linea catenaria et recta vel rectis comprehensum
scilicet invento pancto R, ut ante, erit rectangulum dAK aequale quadriligar
AONCA, unde alias quasvis portiones quadrare in proclivi es; unde et arcus
sunt arées quadrilineis proportionales.
(Sumto puncto Rit
ti in hori)
AR ut habe
ORaequalem
OB vel NC)
tali
P ita, ut naveam
Fpatet etiam ex
dictis fore
Ved aequalem
catenae CA(C)

## Folio 4r — 00068053:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068053/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
Circulun invenire aequalem superficiei genitae rotatione linece
catenaria irca anem catena, vel circa aliam rectam quamcunque; si notalio
mu
e a
cun
 ducla tangens CT secet tangenten verticis in
E
et recta que potest duplum rectangulun EAQ erit radius circuli quaesiti. Sin rotatio fiat
circa OX vel aliam rectan quancunque, solutionen autinons per problema sequens, in quo
assignatur catena centrum gravitatis haberi patet.
CA(C)
onvenire centrum Gravitatis eatenae aut partis ejus cujuscunqu: Cater  C A a (C),
smarcur AC teu ei equali nec Aa ordinataBBaC et parametu DA, inventa quarta
proportionalis aaddatur abscit
grao
pre
esta 
le
a
e et hora ouhilem seoeitice
33
ins
enius
tam ad O tocizortali distet corsit. sed constat
etiam quantem idom distel is axe  verticali AB, scilicet longiludine A (per
pu ecedenten) habetur ergo et um il et alterias cujuscuaque centrum gravitatis; exenpt
gratia, complera rectangule E A aG  erip
ss centrum graviratis arcusAC.
Hinc et habetur n maximus descensus centri gravitatis funiculi
Linec
seu satius caterae
congilutinem habentis dalam  rendibilis eujuscunque duabus extremitatibus C, a C) suspente
ungu enim aliam
figuram assumat minus descendet centrum quan si in
guartram figuram curvetur.
Malta Theoremata ac Poorema i
iis
ccidis
har
cujuscunue arcus alterius ut Coe distantia cent
curissa i) Y ab ax
A posito HM esse perpendiculare
arm  dis
vel nallo negotio inde derivantur cum brevitati consulere visum sit. Sic arces AC magnitudo
As Amper ese nqjur quam AB, et ninor quam OB.  sumtis duobus catenae punctis ut
Cet C C, aC quorum tangentes sibi occurras
oonta
verticis demittantur eales
 ex punctis 3C, a, +C in ipsam AEE
2C
vel A
a, fiet frectangulum sub
(111) () differentia ordinatarum, et arcumajore vel ) dento rectangulo sub (3CaC)
(C,C) differentia arcuum et (3)a M) distantia verticalium per extrenun arcus minoris
et concursum tangentium duitarun; aequa
net
.p  (B4 B) differentia
abscissarum et (B A) parametro; A 34) en A4C dCa in 37a M aequ. 3141
in  possunt et series infinitae utiliter adhiberi; sit si parameter et sit
anitas; et arcus AC rec Aa dicatur a, et ordinata BC vocetur y, fiet:
y = + a - = a3 +  a-  a etc.,
duae series facili regula continuari potest. Patis quoque lineam deterpinantibus
haberi possant reliqua ex dictis; sic dato vertice et alio puncto, et longitudine
catenae interceptae eiberi potest lineae laramet e son datis punctus A, C et recta
(ut 4B+ L) et ex R educatur recta X 
eitait Latur et B, jungatur BR
Eeslus d  aequalis iphr angulo se BA,
et ipsa  (producta) occurret axi BA,  puncto C quiesito.
Had quoque valde mengribite est non tantum quadritinea AC Ne A esse arcabs AC
proportionalia (ut supra notatum est) sed et distantias uetriusque censtrorum ab
horizontali per C) duiraesse proportionalles inter se, ifa ul dittantia centri ora
vitatis quadrilipei spatu ab horizontali per C ductas, sit demedias distantia scentu
gravitatis arcus ab eadem.
n in simo et dictantiae centrorum gravitatis quadylineorum
ab Axc AB non proporiionales tantum sed et plano aequales sunt sipsis AE distantis
centrorum cavitati eptorum arcuum ab eodem ane  Itaqu habetaq centrum gnravitatis
figurae sujus cunque linea cate narga et recta vel rectis comprehepsie, adeaque et solida rotatione
harun figurarum circa quaspunque rectas genita, ita si sit dimidia  completo
Eettangulo a eriss centrum gravitatis quadrilinei A0+ 4 A
Atque his quidem potissina conlineri arbitror unde cetera circa hanc Lineam (ubi
apus) facile duci pofernnt, De monstrationes adjicere supersedeo prolinitatis vitande
causa, praesert in cun nov nostre Analyseos calculos in his Actis explicatas intelo
ligenti sponte nascantur.
invenire centrum gravitatis figurae linea latenaria et recta vel rectis comprehensae sumatur
(B dimidia ipsius OG et compleatur rectangntum BAEg erit q centrum gravitatis quadrilinei AONCA
unde et cujuscunque alterius spatilinea catenaria et recta vel rectis terminati centrum facile habetur, Hins
porro sequitur illud memorabile non tantum quidrilinea ut ABNCA, arcubus AC proportionalia esse, ut jam notavinus
sed et amborum centrorum gravitatis distantias ab horizontali per C nempe OG et Op, esse proportionales cum illa sit
semper hujus dupla, et distantias ab axe CB, nempe pG, QB adeo esse proportionales, ut sint plane aequales
invenire contenta et superficies solidorum rotatione figurarum linea catenaria et recta
vel rectis comprehensaruu reciica rectam immotam quaicunque genitorum. Habetur ex duobus
moblematibus praecedentibus ne notum est. sic si catena C ACC )rotetur circa axem AB generata superficies
aproitur atalo cesis rerdtus posuldaniam rererpuum ega

## Folio 4v — 00068053:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068053/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 51 lines, status machine
Linea in quam se flexile
proprie pondere curvat,
uousque ad Logarithmos insignis
Autore G. G. L
OB = OR AC = AR Triangula sim. OAR et _BF
NZ+ (NE) = bis OB - NE + (N) () = bis AR OR - AR = N3 OR + AR - ( V )E)
ectar
atio AONCA.
C2 = AC = GP Od + OB = bis 65
E  2 centri
=0
rav. 4CAA(C), AgC, AO, Na A
AR 2
Logaritmi 
G. G. L de Linea Catenaria
OB+AC se DR + AR ut Numeri; DCut Logarithimi
OR- AR = NZ OR L AR - (NH
Rectang. OAR = spat. AONCA YCo = CA()
av. CA(C), AC, AONC)
nans uin BaR CB
Constructio cineae a Galilaeo quaesitae
 s
lia (3
itas 
 N Sel BC ut amer
ON vel BC ut Legarithmi
NC med arithm inter NB e 
ruigerae quogita qes  ao +
Catenat lalitado CC) est 1o
tnus aaiequa
est in ratian
di
5) ut numeri
XE
primusque
ni fallor
illustre hoc
Problema
solvi
A
Y OA _ sit 3N3 ad C.
=AR = NS OR+AA = (X)
Triang. Sim. OAR 
1 cd = CAC  AA = AC
Rectanu _ RAO = Spat. AONCA
G, P Q centra grav. CA(C), AC, AONCA
OD + 08 - bis 0s- quiter e AlaGp. B2 sed poticis
videatur figuea
posteriort.d
quam dia
accommonavi