# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1058/text
# Catalogue record: 1058 — De la Chainette ou solution d'un Probleme fameux proposé par Galilei, pour servir d'Essay d'une Nouvelle Analyse des infinis avec son usage pour les Logarithmes
# Incipit: L'Analyse ordinaire de Viete et de Descartes consistant dans la
# Date: 1691-12
# Other printings: Journal des sçavans, 31. März 1692, 147-153 (Faksimile Essais scientifiques Nr. 39, Bd 1 S. 229-235); GM V, 1858, S. 258-263; Juškevič, Lejbnic i osnovanie, 1948, 165-166 [teilw.].; Heß/Babin, 2011, Nr. 18, dt. Übers. S. 137-145, Originaltext CD S. 87-91 -Dutens, Opera 3 S. 260-264.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1058&katnr=58608
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068055
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 10
# Folios: Bl. 3–4 (from the shelfmark LH 35, 6, 10 Bl. 3-4): 4 pages, canvases 5–8, page ids 00068055:0005 to 00068055:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068055&page=5
# Lines: 148 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.97
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00068055:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068055/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 40 lines, status machine
la Chainette. ou solution dien
Probleme fameux proposé par Galiler; pour
servir d’Efay d’une Nouvelle Anelyse des infinis
avec son usage pour les Logarithmes, et une application-
à l’avancement de la navigation, par M. de Leibniz
Analyse ordinaice de Viete et de descartes consistant dans la reduction
des Froblemes  Les Equations et à des Lignes d’un certain degré, c’est à dere-
au plan solide, sursolide, etc. Mons. des Cartes pour maintenir l’Universalité
et la sufisance  de sa Methode trouva à propos d’exclure de a la
Geometrie
a celle methode
tous les Problemes et toutes les lignes, qu’on ne pouvoit pas assujettir
dus pretente, que tout cera n’estoit que Mecanique. Mais comme ces Problemes
et ces lignes peuvent estre construites ou imaginées par le moyen de certains
mouvemens exaits; qu’elles ont des propiretés importantes; et que la nature.
sen sert souvent; on peut dice qu’il fit en cela une faute semblable
constructions
celle, qu’il avoit reprochée à quelques anciens, qui s’estoient bonnés aux contraulios
 que de la negle et du compas; comme si tout le nette estoit
M De Leibniz ayant
mecanique. M remarque qu’il y a des problemes et des lignes.
qu’il x a
qui ne sont d’aucun degré determine; c’est à doie des problemes, dont le degré
même est inconnu ou denandé; et des lignes dont une seule passe continuellement
de dlegré en degré Cette ouverture le fit penter a un calcul nouveau, qui
paroist entraordinaire, mais que la naturé a reservé pour ces sortes de lroblemes
transcendans, qui surpassent L’Algebre ordinaire. C’est ce qu’il appelle.
L’Analyse des infinis. Qui’ est entierement differente de la Geonetrie des
indivisibles de Cavalieri, et de l’Arithnetique des infinis de Mons. Wallis.
Car cette Geometrie Le Cavalieri (qui est tres bornée d’ailleurs) est attachée aux
figures, ou elle cherche les sommes des ordonnées. Et Mons. W’allis pour
faciliter cette recherche nous donne par induction les sommes de certains rangl
des nombres; Au lieu que l’Analyse nouvelle des infinis ne regarde ny les figures
ny les nombres, mais les grandeurs en general, tout comme fait la specieuse ordinaire.
Elle monstre un Algorithme nouveau, c’est à dire, une non velle fac on d’adjouter
de soubstraire, de naltiplier, de diviser, d’extraire; propre aux quantités
incomparables, c’est à dire, à celles qui sont infiniment grandes ou infinimen
petites en conparait on des autres. Elle employe les Equations tant finies qu
infinies, et dans les finies elle fait entrer les inconnues dans l’exposant des
paissances; ou bien an lieu des puissances ou racines elle se sert d’une nouvelle

## Folio 3v — 00068055:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068055/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 42 lines, status machine
affection des grandeuurs varrables, qui est la variction même marquée par certains
caracteres, et qui consiste dans les differences ou differences des differences de
plusieurs degrés; aux quelles les sommes sont reciproques, comme les racines le sont
aux paissances. Une partie des Elemens de ce Caleul avec plusieurs echantillons
a esté publiée dans le journal de Leiphig; ou l’auteur l’a appliguée particulieren
à quelques Problemes Geomet rico. l’ hysiques; comme par exemple, à la ligne
Hochrone, dans laquelle un corps pesant approche uniformement de l’horison
en descendans; à la ligne loxodronique ou des rumbs de ventspour resoudre enfin
les plus utiles problenes Geometriques de la navigation, ou l’on n’estoit arrivé
jasqu’icy qu’inparsartement par certaines Tables subsidiaires) à la resittence
des solides ou des liquides (pour avancer la mecanique et particulierement la
balistique) Qua loin harmoniques des nouvenens llanetaires ( pour approcher de la
perfection de l’Astronomie:) et à d’autres usages de consequence.
Cetle methode
fut applandie et saivie d’abord par quelques personnes habiles. Mons. Crarg
sen seroit en Angleterre; et ensuite M. Bernoulli Proseperor de Bale
connu par plusieurs belles productions de Mathematique, l’ayant étudiée et
en ayant remarqué l’importance, il pria l’auteur publiquement de l’appliquer.
a la recherche de la ligne d’une chainetle suspendue par les deux bouts
que Galilei avoit proposée, mais qu’on n’avoit pas encor determinee jus qu’icy
L.’ auteur de la Methode  y reussit d’abora, et pour donner aux autres l’occasion
d’exercer encor leur methodes, il proposa publiquement ce même problene, leur
donnant le termedun an. La frere de M. Bernoulli ayant appris que cette
Methode y alloit, la medita de telle sorte, qu’il vint à bont du probleme.
et donna à connoistre par là, ce qu’on doit attendre de luy. Messieur
Bernauli pousserent mêmes la recherche plus loin et l’appliquerent à d’autres problenes
qui ont de l’affinité avec celuyei. De ceux qui ont employé d’autres Methodes, on ne
connoist que Mon sieur Hugens, qui ait reussi, il est vray qu’il suppose la Luedratiure
d’une certaine sigure Du reste en ce qui estoit commun aux solutions ou remarques
sur cette ligne, il s’est trouvé un parfait accord, quoy qu’il n’y ait cu aucune
communication entre les Auteurs des Solutions, ce qui est une marque de La
verité propre à persuader ceux qui ne peuvent ou ne veuillent pas examinez la
chose à fonds. Par la Methoue
(qui a été le premier a resondre ce probieme
solution: M. de Leibniz rcci l’ayant reduit à la
ceque M. Bernoulli a fait ausi en suite;
Luadrature de l’Hyperbole (mais la Construction de M. de Leibniz donne enfin
le moyen de marquer autant de points qu’on voudra de la ligne demandée
en supposant une seule proportion une fois pour toutes; et n’enployan
du rette aucune Luadrature ny extension de courbe, mais les seules moyennes
ou troisienes proportionnelles.
Et comme c’est tource qu’on peut soulaitter

## Folio 4r — 00068055:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068055/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 38 lines, status machine
pour les Problemes Franscendans, il sera bon de donner icy cette conslruction: soyent
menćes les droites infinies, NO (N) horisontale, et OAB verricale. Soyent parallales et continuellemtert
proportionelles autant qu’on voudra de droites, comme 3N35, 1N1E, OA, 1 () 4(Z), 3() 3(E) ec. dont
les distences 3N1N, 1NO, O1 (N) 1(N) , (N) etc. soyent tousjours égales: en sorre pourtant, que
prenant 350, ou O3 (N) egal à DA Soyent 3N33 à Oet ou et à 3 (N) 3 (Z) en rarson
de D à X qu’on suppose connuune fois pour toutes, et tousjours la même, Hinsi appliquant
autant de moyennes ou troisièmes proportimnelles, qu’on voudra, pourveu que tousjours les
intervalles des proportionnelles soyent egaua, on aura la Ligne Logarithmique hA (E)
e ettant comme les nombres
les intervalles Os seront comme les Logarithmes. Maintenant prenons dans la
verticale OAB une moyenne Arithmetique OB entre deux nombres NZ et (5)
sui ont lemême Logarithme O1X, ou O (N) c’est à dire dont la moyenne.
Geometrique est l’unité Ot; accomplissons les rectangles BoNe, B0(3) (C) et C,
(C) seront des points de la chainetle demandée FCA(C) L, suspendue aux deux.
extremités + etlsiy dont le sommet renversé sera A, l’axe OAB, et le parametre
sera OA, ou l’unité prise arbitrairement; et OB ou Ne sera la hauteur
du point de la chainetle C, au defsus de l’horizontale NC(N); et BC ou ON
logarithme commun des deua nombres N3, (X) (E
E) Sera la largeur de la chainette.
à cette hauteur; ou la distance du point C de l’axe. Euant aux principaux Pioblenes
qu’on a constume de chercher sur les lignes, sçavoir les tangentes, dimension de
la Courbe, quadrature de son aire, centres de gravité tant de la ligne que de l’aire
ou dimensions des surfaces et des contenus des solides forme par la rotation
de la ligne à l’entour de quelque droite qu’on voudra prendre pour l’axe;
On trouvera tout cela renferme dans ce peu de paroles qu’on a mises 
a la figure. Metons seulement icy l’ulage priacipal de cette Ligne, et faisons
voir comment elle pourroit servir pour les Logarithnes, et toutes sortes de
proportionnelles, moyennes, ou extremes, multiplication, divition, regle de trois; oue
extractions; pourveu qu’on suppose que celle Ligne puisse ettre dearite physiquement
par le moyen d’une chaine deliée; que je prefere a une corde laquelle se peut eftentre
et n’est pas si flexible.
Estant donné le Nombre Oco, soit à ce nombre et à l’unite
OA, la troisiême proportionnelle O1, et entre Oo, oy moyenne Aurthmetique O1,
de B menons à la chainette, l’ordonnée BC et nous aurons le Lagarithme demanaté
BCou Os. En échange ettant donné le Logarithme on, menons de S, à angle droit sur
osx la droite He recontrant la charnette en C; et du centre C du rayon CB egal
à NC, decrivons l’are de cercle qui coupe AR Chorizontale par le Sommet A) au point R:
Aprés quoy, la difference et la somme des droites ea, A, seront les deux nombres demandes, N2

## Folio 4v — 00068055:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068055/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 28 lines, status machine
et (X) (3) (l’un au dessous l’autre au deffus de l’unité CA) dont le Lagerithme commun
esloit donné ON.
Il resalte encor de cecy, et des deconvertes de l’auteur.
n’il a reduite aux Lagarithmes
de cette Methode sur la loxodidnie qu’on pourroit resoudre sans Fables par la chainette
suspendue (comme par les Logarithmes) le plus important Probleme de la Geometrie de la
navigation, qui est: l’angle de la Lonodromie ou le rumb de vent avec lequel on va dun
lieu à l’autre estant donné, aussi bien que la difference des latitudes, trouver la difference
des longitudes. Ce la peut servir, parce que dans les grands voyages on peut perdre la table
des Logarithmes, ou la carte logarithmiquement quaduée que M. de Leibniz a proposée.
Mais la chainette y pournoit suppleer en cas de besoin pour ne rien dire icy des autres regles
au besoin
que de leur Logarithmes, sans rien perdre de la precision. Voicy en peu de mots
la regle qu’il a donnée pour les Rumbs ou Loxodromies, qui pourra tirer les Hydrographes de
l’embarras, ou ils témoignent se trouuer sur ce sujet. La difference des Longitudes est au
Logarithme de la raison qu’il y a du nombre, 1FC au nombre 1H), comme la tangente de l’angle
(C
que lethumb ou la loxodromie fait au meridien, est à un certain nombre constant et perpetuel
qu’on peut marquer une fois pour toutes. Supposé que le sinus total soit l’unite, et qu’e
soit le sinus de la latitude plus grande; et (e) le sinus de la latitude plus petite. Et s’il y avoit
une carte, ou les degres de longitude fussent egaux, les meridiens paralleles, et par consequent les
loxodromies representées par des droites, il faudroit representer les degrés de latitude (dans les
divisions daxterque du meridien) en telle sorte, qu’une droite qui couperoit obliquement des meridien
eloignes l’un de l’autre plus prochain d’un même intervalle (par exemple des meridiens disposés
de degre en degré) y rencontreroit des latitudes, dont les sinus estant e et le sinus total 1.
les nombres te seroient en progression Geometrique. Ce qui suffit pour la construction
d’une carte gradvée comme il faut pour la marine. On en peut encor construire d’autres
sur le meme foudement