# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1108/text
# Catalogue record: 1108 — Specimen novum Analyseos pro Scientia infiniti. Autore G. G. L.
# Incipit: Ut in Algebra reciprocae sibi sunt potentiae et radices, ita in
# Date: 1702-05
# Other printings: -Acta erud., Mai 1702, S. 210-219 (Faksimile Essais scientifiques Nr. 99, S. ); -Dutens, Opera 3 S.373-381; -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 5 S. 350-361; -frz. Übers. Œuvre (Peyroux), 1983, S. 52-60; -frz. Übers. La naissance du calcul différentiel (Parmentier), S. 387-401; -Heß/Babin, 2011, Nr. 48, dt. Übers. S. 357-371, Originaltext CD S. 231-241; -dt. Übers. Leibniz über die Analysis des Unendlichen (Kowalewski), 1908 u. ö., S. 43-57;
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1108&katnr=58658
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068069
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 24
# Folios: Bl. 1–6 (from the shelfmark LH 35, 6, 24 Bl. 1-6): 12 pages, canvases 1–12, page ids 00068069:0001 to 00068069:0012
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068069&page=1
# Lines: 807 recognised on 11 of 12 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068069:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 8 lines, status machine
Et x +
Ect L1
X +1
X
+1
XH
X+
ee Habl +b = 1B b + 4b

## Folio 1v — 00068069:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 2r — 00068069:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 160 lines, status machine
pay. 1
sut si sit dy = ayXdx: x+ yy
ubi y summa quaesita ingreditur.
ratorem summandi a dy.
Specimen novum Analyseos pro scientia
infiniti. Autore G. G. L.
Ut in Algebra rociprocae sibi sunt potentiae et radices, ita in Calculo infipitesimali differentiae et summae. Et uti
U in scientia Algebra, seu scientia generali finitae magnitudinis
formularum
potissimus scopus est extrahere radices, aequatium ita in scientia
infiniti, qme invenire summas serierum; quae cum
ex terminis constant continue seu elementariter crescentibus, id est
curvarum ordinatis, nihil aliud et qua sunt quam quad raturae, vel areae figurarum
figurarum. Et quemadmodum aliae radices purt sunt aliae implicate, affectae, suisque potentiis mistae
potis idg. agitur ut affecta ita et summa vel indi differentiae et quantitates
cmna Et Quemadmodum alia radices purae sunt, u cum
valores  solis cognitis habentur, aliae affectae, cum potentiae ipsaemet,
ipsae earum potentiae valorem ipsarum ingrediuntur. Ita quae sumdum quise
icebar
summanda sunt ae aut psa sunt cognita, aut ipsum rarsus alist posperabam autent
lan
pe
et
ism summam quaesitam involvunt. Et utrobique  artis est reducere n etii ad condendam cientian
reducere affectas expressiones ad puras. pro ipsis
eutem puris summationibus, id est quadratu quod in infinitesimali
coqvarum irrationeli
Quadraturem irrationalium
Calculo est reducere  dfferentias cujuscungu  dfeortio difenntides ed ad rationates; et 
nempe differest
aequationes differentiales cujuscunque gradus adequidratura;
vel quod eodem redit ad quadraturas, atque  adeo his positis
xsuppositis quadraturis, ex data langentium aut osculationum
cujuscunque gradus proprietate lineam ijnvenire.ja ipsis autem rursus
quid nunc agimus
quadraturis anatus magni res momenti foret, treducere compositas
nonmultos
ad simpliciores. Abque haec est Analysis Tetragonistica, in qua non conlamundos
magnos a multis annis plogressus feci.
Nempe cum vio
quadraturam meam Arithmeticam javenissem,  per reductionem
quadraturae Circuli ad Ex Tragonisini Circularis ad
comperto
Quadraturam rationalem, inventens scilicet
a
dx
ex a + XX
ex pendere ex quadratura Circuli; jam animudverti
I+XX
reduou
s.  pro circulo est
esratione steri oporteat ostendemus
 summationum
ad simplicissimas red posse porro reduci posse. Quod novo genere
resolutionis formularum maltiplicatione productarum in partes
partes
resolutionis, producte e ex multiplicatione  conflatum ex additione. Id est transformatione
fractionum multiplicasiine productarum into
um
fractionis empe denominatorem habentis multiplicatione radicum continua uteunque
exaltatum, in aggregatum ex fractionibus, nsimplices taptum eam
Denomin
e
minata quaenaita
nclia
efctum abo. Rationatem amte uaerum
antibus t no  a + βX + V Xx + dX. Hanc cdemtis intigris puri
.
1V
Egeationalis
ostendi aequalem
A + nX + 8 XX + H X
e pisi
isuen eametata patum prssexilent
li
ajo posse transformeri aggregate fractionum, quarum
numerator sit constans seu sine X, denominatorantem sit simprex; ut ita ut quaevis haractionum
qualis exrebrita ilfctu sit qualis 
Mx
h seu h: X+b
bta X+b
ostendo. Primum quia ex a algebraequae utcn
tdivisores simplices cujus que
sis
redirent
lonalishabe
quodque si fieri ossi sic
apono radices
sunt enim
 haberet
iidem cum radicibus aequationis si formula in eam transferretur. Ex. gr.
formula XX = a  + ab habet divisores: X - a,
nihilo aequa
si esset aequatio, seu aequalis nihilo, haberet has ipsas radies cetalit X valeret vel a
itaque ex suppositis resolutionibus aequationum Algebraicis habentur divisores forimnarum,
et nostrae Analysis Geometriaeinfinitesimalis Analysia Algebraicam ut
a
ponum, . propositamjam
superior inferiorem supponit
nquana
seduut hod
quo absonto nos lavituros
putaram quicquid in hote
gener
E
tatigne
iderare posset
Et passi quideu
mihi
infiniti, elbera name
pormovendamque reductionem
latius
editionem diffuleram.
sed cum videe
hujus met hod
distuteram, sed
cum viderem
mora differi
progressum
e dum catis
meo
possem
malii publicae
utilitati svelifi-
cari ea spe
fretus, fopre qui
qui los
spargat proerant
initia haec
semina
v
doctrina
aberiores
inde colligant
tempe
filictus
de tem
Atcrines
ut
Subinde autem indicia
dediconsilis hujus nei, et
prt aliquotres innui
quod mirum ridet
poterat) perfctionem
progressu
fualy sea
nostra eoteriorit
se
sici tesimat
idem a
parfectu
na
erite
incrementis
Algebae dio pranter
facta oculata fide
m
endam Adhor
vel b.
fatuei a u

## Folio 2v — 00068069:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 92 lines, status machine
pag. L.
L + Px +  X + = A
X + EXX + C. X + 
quondam coefficiens nominatoris, ex. gr.
c - b, dab, e-b; semper est  productum
ex multiplcatis invicem residuis, 
rediens valorem ita
ntre
c
da b, 
a qualibet caeterarum
reliqua
jster
entium
il
in numeratore
epistents,
se b i constan
 qu
Fractione prosion
cabi
vel aciam altiorem
denominatoris nempe
nunc formulam (HX + EXX + aX + A multiptrcando se
dividendo per FG reducemus ad X + E XX + _ X. +
si opus, faciemus.
Huius divisores ponamus esse Xtb, X+C, X+d, us compludium
eosque per compendium vocemus l, m, n exc.
divello
sita fractio resoli poterit in sequentes
L. I +
itaque propo–
3X. H + V xxY, d X: N
Imn Ium lum imn.
Ajo quamvis harum reduci posse ad talem qualis est prima
L. N. igitur primum hanc resolvemus, deinde quomodo caeterae
ad hanc revocentur ostendemus.
Neglecto igitur numeratore constante qui
inn
nihil in summationibus mutat turbat, aggrediamur
De
resolutionem fractio num
resolutionem fractionis
vel generalius lmnpq...
Imn
ete
Imup
posito, ut dixi esse l = Xtb; m= xFC;
q= X + f; et ita porro. His positis
reperi, quod quidque experiando, de monstrare poterit  ne opus
n = x +d; p = X+C;
semes reper jan facile
sit i demonstrationibus non necessariis tempus terere
BL
Im c- b, l
b-c, M
Imn cab. d. b, l b- c, duc, M b- d, c- d, n
Imnp cub, da b, e. b. l b. C, d. 5, C C,  bad, cd. C. d. W b.l, cre, d.C, p
nam ex aspecta patet
et ita porro, patet enim progressus
t
Aalocaipin
ut autem aliquis si velit veritatem experiundo comprobare
in infiur qivoet
acile posse
cissimus, quia ita facile appare, nec in reliquis diff ceteris
possit dabo
oniam ib
differt nisi prolixitate.
bm-cm + el - b. jam pro
c - b, l b -c, m  2bc = bb = cC, LM
L +
ipsis l, m, substituendo  valores X+b,  X+0  fiet
bm - cm + et - bl = bx + bc - cx - cc + cx + bc - bx - bb
=(eon destructis nembris inquibus est indeterminata X) 2bC - bb - cc
ergo erit
2bc - bb -cc
bn-cm + cl - bl
2bc - bb - cC, M 2bc - bb - cc, lm
prout desiderabatur asserebatur
XX
Jam omnes fractiones mn. Imn. imn..
etc
Quarum numerator non est constans, reducemus ad frac
numeratoris constantis qualis est. Reperi igitur esse
Imn..
rursus quae sequuntur:
n
reu
pude
Im
Regulae universales

## Folio 3r — 00068069:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 44 lines, status machine
X+b =X-
(X+b - EXFC
xb. Exic
b - c =U- mm
Xal-L C Um + Inm
Vxtb-sxro
=
Exib, YXFC, Xtd AXtC. EXId
(X+b. SxC (X + b) SxFC + (CFC) Sx+b
Txb- xc
2X+ b+C -2 (Xib. Sxic 
Xtb, Xec
SXFb- X +C
1V1 - c
8 = Y+
b -C
 - 99 XtC : epip
ntb
b x = 98 - b - 
+ v 8 = Z - v. finc
ZZ + 2ZV + v~ = b = 22
seu Z = b - c,: 4v.
LEViv
et fiat
(X+b - (X+ = 8- 1 = 2V 1v
fiet
seu
2D bc, b.0 - vv
1p9 il 0
3. v3d N = 162 + b C + ex
b-c - HpE
99 - Vip = ab - ac
XX + y 22  ZZ  22
2+ 2770V + V 4ZEXV
2 (et 77-vD
S. n
Yxtb, 1x+C
c
st
AX+
Hrc Hco
) NXtC +tC) NxEb
sete
(x+ b) vate. xto+ (rd) uxib xec

## Folio 3v — 00068069:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 73 lines, status machine
Regulae Universales pro
tionibus
Numeratoris indefermdinati
qua non involventibusinteqros
indeterminatos, resolvendis in fractiones
u carente Numeratoro,ndedermunto
XX
1
L..
-brc + bb
M..  m.
-
F
X
Im.
dconstantis
b+ctd + bb+cCtbC
Imn.. 1 n..
mn.
bb +c+ dd
Or.
e
1 b + bc + bd tcd = detbcc+
Imnp.. 1 p.
e.
np
ounet Duncta?. hic significant, et proalles,
sexs, pane possent die literas supplendas,
ut si opus pro illis poni possint; exempli grate
gratia, si pro x daretur.
e.
lun mn lmn
Imn
1
foret
series exhibentes Regulas pro Fractionibus Numeratoris
involventibus
ateqri indeterminati, qua integros indeterminatos involvunt
Resolvendis in suos integros et srti in Fractiones qua carentes
Numeratores indetermintato constantis
= X + b m = X+C
XX = X - b. + bb
m
X-
btc-
p= X+d
bbscetbe b
M
im
bbicctdd B+C
b
hictd +babdrcd bbctbce +
= X -
P= Xte.
X
 =xX- bx +bb   b
n mn lun sim
btotceted b2rC
= Xx btcy,  - bbctb.
u
M
seriei cujusque, serierumque ipsarum  interse
progressus in infinitum apparet ex aspectu, praesertim
columnarum. in membro unoquoque numerator constans
est formula plena sui gradus, ex literis  competentibus
formata, Exgee tansimplex, ut nullis
coefficientibus varietur. t itaebtce + d + se 
ita bb + Cc + dd + bc + bd +cd est formula plena secundi
gradus, ex literis b, c, d, formata, carens coefficientibus
adeoque constans ex aggregato quadratorum et rectangulorum.
laterm
mmp.. Mmp.. mn
e

## Folio 4r — 00068069:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 67 lines, status machine
pag. 4
XX
lmmp..
lmmpus..
b+c +. bb
mmp.. Enp..
bfct betbbree
npgs.. mupq.  Imupg..
b+ctdre berbdrdbbtatdd bbc +bcC r b. + 3
imupgr.. qr. par.  npgr..
b
mmpar. Inmpqr.
Et ita porro, patet enim rursus progresus in infinitum, cum signa
alternis varientur, numerator autem quivis sit formula plena simplex
respondentis gradus, qualis exliteris ci competentibus formari potest
verbi ingr fractione bc + bd +cd +bb + cC+ dd: apgr. locus seu
ordo fractionis ostendit, numeratori competere literas tres, b, c, d,
gradumque secundum formula autem rationalis integra plena simplex
se cundi gradus, ex literis b, e,d formabilis; simplex, in quam,
ie id est hoc loco, in qua membra n habent coefficientes eosdem,
ut hic unitatem, nulla alia est quam aggregatum ex summma rectangulorum,
bc+ bd + cd, et summa quadratorum bb +cc + dd.
Quodsi quis sublatis l,m, n, etc.  restituere
velit valores earum, X+b, X+ C, X+d et c. Theoremata  stabunt
ultimo
hic subjectis
quemadmodum patet in  exemplis ex prioribus, et in un epenultimo ex
ullino
posterioribus, hoc modo:
Erta+ peruiedgnbia cbdtes, tB tedmentie tocda
ec
N + b X+ seXY + pedX + bede
e
cd ede
de
ae qu aFidem est quad
cb, da b, e- b, XF b, b. C, d. C, e- c, XFC, b. d, crd, e-d, XFd b. 8, cad, d- e, Xte
XZ L. X2E bE XX + bed X + bede
b+c +d
e
18
de
EdE
aequat idem est quod
lef bb+cC +bc
XXHX+de XHGHCTCXtcde
Xt+ LX + et.
operaeque pretium foret quamlibet fractionem valoris
rarsus
hujus, quaum dat exemplum posterius, resolvere in valorem
ex fractionibus simplicibus compositum ad modum valoris
quem dat exemplum priusus eoque modo nevam Theorematum
seriem exribere? si si locus iste pateretur pro valoribus
ipsarum fractionum, ute ut
ita
exhibendis Imnp.
imnp..
immp.. Immp.. Immp. etc. per  aggregatum ex
X , X
simplicibus fractionibus conflatum exhibendis; si locus iste
pateretur.
es
XtC
Imn.
Imn..
np
P9..

## Folio 4v — 00068069:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 118 lines, status machine
Ex his ergae patet omnem fuctionem rationalem reduci
posse ad fractiones simplices rationales constantis numeratoris; ratio.
nales inquam, quoad indeterminatam X, quae extra vinculum esse debet
Itaque si daretur fractio aliqua resolvenda, velat 2XX +X M2 + 15,:
XX +2X + V3, vel aliqua fractio simplex inter resolvendum occurrem
ut fractio 12:, x + B3; in hoc analyseos genere habetur pro ine
Symmationem
summationum non moratur, qirrationalitas, quae indeterminatas. In quo com
modior hoc loco est reductio irrationalium ad rationales, quam in
B
2.)
4(9 3() (26A
e  35 48
jan
rationali irrationalis, quia tatis irrationalitas analysin
et termula fractionis non
 
+
64
5
Liguratorum diophanteo. Hinc sequitur, etsi
irrationales sint radices, modo sint reales, non vero imaginariae,
in seriebus quidem Numericis rationalibus summandis, quae
sunt determinati gradus, seu ubi Indeterminata non ingreditur
exponentem, rem semper posse reduci se semper posse reduci
ad summam numerorum progressionis harmonicae aut poten-
fiarum ad ipsis Et in vidinatis rationatibus, seu in quadraturis
figurarum Algebraicarum rationalium, em semper cum
seu la Quadraturis
po
Cqu
omni
radices sunt regles, reduci ad quadraturam Hyperbolae. Hinc ee
modi in seriebris numericis summandis res redit ad summandas
prius explicen
vel omnes etc. posito y = xte, vel
XF x+Z, vel X+ s3, aliterve, ut placet. Nam quia series ipsarum
omnes vel omnes jy
in Numeris est qualis
+C
 pate eamecese
442 6t2
etc. posito X esse
x esse Nam si  X sit 1 vel 2 vel 3 ete, et e constans sit 2. erit
pes Z Y 2t2
312
 = = etc. sin X sit 1 vel 3 vel 5
4+2
vel 7 etc. et constans a C sit s3, tunc series omnium erit
Numerorum
series anium e
habet nisi radices reales
nel
itB t 13
i C Et2 3t2
etc. L;
SFVS B IB3 3+ 3
t naturalis
erunt progressionis harmonicae
Itaque sds erit  in Numenis summa progressionis harmodice
sionis Harmonicae; ad has ergores redit  isi Series Numericae
et sdu
rationales determinati gradus finita, vel cum id fieri potest finitae, sum-
yy B)
mandae intelligantur. Et licet series harmonica infinita numero terminorum
est in seriebus potentiarum ab harmonicis) differentia tamen d
etiam magnitudine sit infinita, ut
terduas
seriecum harmonicae progressionis fint infinitanume infinitarum
finitam magnitudinem constituere potest.
Et interd ccum absoluta habetur summatio, independens ab harmo
ipes
finitaes
nicis terminis horumae potentiis summandis, hac analus
se
sut
inab
minos ese sponte ostendit summa.
nostra destruuntur harmonicae,
(dx posito X esse 2 vel 3 vel 4ex
est. seriet quae fota in intinitum summani potest: et dx quidem hoc loco b
24
Ex. gr.  + = = 15
XX-
35 ta
 per regulam nostram
(ob valorem ipsius im
quia l = X+ I, et m = X -1 adeoque b est 1, et c est- 1) dabit
est . et XX-1
exit = =2, XFI
+
2, X - 1
deties  est 
Et ferios est.
Ergot - 1 -
Ergofd p
1seri
i  seu 2) X-1 X+I
 += +  + et
  et  etc
iete
+13
S+ (3
pay.3
Faut his destrucois ad
au de
quantitatem constantem
seu summam absolutam,
sactem
ad seriem inteqrorum
quae in rationalibus
certigradus semper summari
potest sultem pro parte
seriei finita. In seriebus
vero linearum ordinatarum
rationalibus summandis, seu
jam
etc

## Folio 5r — 00068069:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 47 lines, status machine
seriess est + L + 
seresit est
se Xt
Ergo  2
det
+ Zsdx  est = Z, , Y 2 + h + 4 + = + etc.
-1
lx
2) XtI
esex
4 +
2. X X -  -  - = - etc. Ergo
ee+
X erit = 2,  + Z X X X X = 3
dx
itagtande 3
=
summationem, 4
x 15 54 n
Cjam olim cum Quadratura Arithmetica edere memini. Similique
ode es methode aeterae summationes sericum rationalium realiter resolubilium
realiter resolubilium
determinati gradus Inveniuntur, aut ad harmonicas, earumque potentias
rediguntur. De imaginaria resolutione, quae et ipsa prodest, mox dicetur. Eademque method sui subinte
Ede Quodsi X vel  essent non recta non termini discreti, sed
continui, id est non series numerim intervallo assignabili differente,
sed lineae rectae abscissae continue  sive elementariter
hoc est per  inassignabilia intervalla crescentes, quarum series
figuram ita ut series terminorum figuram constituat; patet
eodem modo omnes fractionum rationalium determiali gradis constantis
suman
summas, hoc est omnes quad raturas Figurarum rationalium Algebraicarum,
supponendo Radices formulae denominatorem constituentis esse reales,  posse
vel absolute inveniri; vel ad quadraturam Hyperbolae reduci posse
Nam quia praeter integros summandos ut sdx, sedx, sexde etc.
res reducitur ad summationes simplices posito y = xte; quales,
Sdy; Sdy: (dy etc. in quadraturis, autem semper habentur
(au sdque  etc. Hinc patet solam superesse  id est
Hyperbolae quadraturam. Verum enim vero tenacior est
yy1
vanietatis suae pulcherrimae, Natura rerum, aeternarum veritatum parens, vel potius
parens, qua ut id est dicina Mens quam ut
es
etiam ad serie pro seriebus
rationalibus indeterminati
gradus servire posunt
graria sub unum genus

## Folio 5v — 00068069:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 1 line, status machine
ocaib tootat aont ore

## Folio 6r — 00068069:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 105 lines, status machine
pag.7
 Verum enim vero tenalior est varietatis suae pulderrimae Natura
resum rerum, aeternarum veritatum parens, id est divina Mens, quam ut
omnia sub unum senus compingi patiatur. itaque  elegans et mirabile effugium
reperit, in illo Analyseos miraculo, idealis mundi monstro, pene inter Ens
non eqet non Ens Amphibio, quod radicem imaginariam appellamues. It quoties
aties Denominator Fractionis Rationalis habet radices imaginarias, quod
infinitis modis continosit Hyperbola quoque cujus opus esset quadratura, fieret
imaginaria, construique nullo modo posset. Sed quia quaevis radices imaginariae
suas compares habent, oriuntur enim extrahendo radicem quadraticam ex
quantitate privativa; extractio autem quadratica omnis duplex est, ut signos.
ut notae ejus Y.. praefigi possit + vel -. Hinc ex productio talium radicum
imaginariarum debito invicem ductu prodit oritur productum reale
quod vel erit ipse denominator, eoque casu quadatura (si n ad numeratorem
constantem reducta sit fractio quodratura desiderta notollaturque
si placet terminus secundus  formulae) quadratura proposita non potesthc
reduci ad simpliciorem; vel producatur divisor reali  aliquis realis divisor
reali
dei potest
simplicor 
ab alia simpli simpliciore pendet, qualit Ex. gr. sit formula
it
denominatoris, ejusque ope quadratur proposita
fractio  patet denominatoris radices esse XtI, X - 1, X + -1, 
X - -1, quae in se invicem multiplicatae producnt xt - 1. Et erit per regulam, arta, -
a-
1, f-1 -13 XtI ++I, t AHI, -t 1, X - 1 +1- I, -1 - Y.1, - -1 - v. 1, X + f- 1
+1+ S- 1, - 1+- 1, + 1∞1+N - 1, X - L-1
vel  erit aequ. 4, uri
ve 1 4, un 4,X1 4+1, X+ sp1 4s - 1, X - - 1
vel erit
(de vel s non possunt ad Hyperbolem nisi imaginariam
X-1
4
Ubi
e t
revocari. Jungendo ergo tot radices imaginarias inter se, quot ad
XV I +1
Axr-1- 1
est ideo hoc loco summando duas posteriores fractiones, nempe
tollendam  tolter
prodibit. xs -1 +, = Bx Y- 1 +1
4Xf- 1 - 4, 4XY- 1 +4
. 4, _XYI x L - 1 - 1, XF- 1 + 1
. Est erga
fieret inde
id est  2 itI
exsi vellemus similiter in unum aggregare axt 4XI.
1
. Et aggregando in unum 2, XXOI 2, XX + 1
2, XX - 1
4, x 4, XtI 2, Xx HI
redibit. t-1
+Es quod adeo est
ped Unde patet pendere
Unde patet (de pendere ex Quadratura Ciuliet Hyperbolae
ert 
et circuli simul. Nam (dx et (dx adeoque et f dx pendere
4- 1
x+1
DXX- 1
ex Quadratura Hyperbolae, dudum constabat: sed (dx pendere
X-1
Xx+1
Ex h.
Hinc sequitur omnes actionos, qdivisores reales habent simplices primi gradus
ua into
Theorema, Diametri existente omales
X4. 1
 1 + 1 - 1 etc. Hinc sequitur omnium tigururum)
emubi genominatorin valore ordinatae
Are
ax
 vel etiam s t
ex Quadratura Circuli a me primum cum quadratura mea Arithmetica
ut xte, reduci posse ad Quadraturem Hyperbolae; e cum vero
divisores  reales habet planos seu, secundi gradus, (qui scilicet ipsimet
(termino, ut XX + ae,
non habent, radices aequales, alioqui aducunt ad Quadraturas absolutas) ut XX + fx + ag, vel sublato secundo
uctum
pi  domuen tpute a tiut ae e t
27
21.
26.,-
1
s-1
+1 +
tiL. 1, +
1
-1
se
1 +
(.1 - + 4V
-1
1
i
4Y
sa
= x+1 + x+1 = 
4, XX - 1
2, XX - 1
XX + 1 = xX +1
2, Xt-1
uamm ali
Rationalio

## Folio 6v — 00068069:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068069/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 92 lines, status machine
pagi)
Hic jam ordo nos ducit ad maxomi Momenti quaestionem
utrum omnes Quadraturae rationales ad quadraturam Hyperbolae
caheu
in nostra hac Analysia utrum omnis Aequatio Formula
hale rat realis integra, quo quoad indeterminatam rationalis
possit resolvi in divisores planos reales simplices aut planos.
hoc statueret, eum
Verum comperi, hoc modo fove, ut  quoque modo Naturae copias
vi
i arctius contrattur quam par sit. Esto sit
extaas.
prodibit formula. itaque no modo resolvendi
XF a
hancformutam, non pervenitur ad divisores planos reales; videams an possint ilbi
in XX-aari
Nam
eo perseoc perveniri alio resolvendi modo Equidem XX = a a Y-1
resolvi potest in X + a f- 1 et  X - a f - 1 et XX + aa f-1
in X ta Xta Y(.N. 1) et X - a Y (A.1). Itaque
formula X + a prodit ducendo invicem Xta, X- aV = I,
Xta L(-r - 1), X -a r(- Y - 1), sed quamcunque instituas duarum
ex his radicibus quatuor combinationem, nunquam conseque
mur, ut duae invicem ductae dent quantitatem realem,
seu divisorem realem planum. Itaque
(ex, neque ex circuli,
neque ex Hyperbolae quadratura per analysin hancs nostram
deduci potest, sed novam sui generis fundat. Et vellem
it
optarem (quod alim et alias etiam me innuere memini) ut fxta
seu quadratura hyperbolae pend ut Sdx: (xt a) seu quadraturam
Hyperbola constat pendere a sectione logarithmis, seu sectione
ration, et (dx. (extaa) a sectione Anguli, it a Porro hr
progressioen constareque, quanam cuinam problemati
responderent Sdx: (x +a), Sdx: (X + a), et
Haec desiderata spero Caeterum ut obiter addam 
1) ceR esolutis igitur Quad dac Be
essntis eigitu SX dx: (Xe + aC) verb. gr
(Xdx: (X + a) et sXdx: (Xta) et SX x: (Xd F a3)
et ita porro pendent ex quadratura circuli, si F significet +
et ex quadratura Hyperbolae si significet .Ut facile agnoscit
potest peritus (alculi differentialis. quanquam et ex hac praesenti
Quaerendum
Analysi deduci posset.
Unum jam potissimum quaerendum superest, utrum et quomodo
e a ircuti quae ordinatas habent irrationales,
Heg
ad alias rationas Homometras, id est ut data quadratura unius
bscissis non generalit
abcolute vel rationaliter detur quadratura alterius) reduci possint.
iie
b
uo in genere multa quidem tent minta habe nec tentavi necue
atis
nostra. Iue hinc
raro cum successu, nondum tamen quicquam generates ausim polliceri
et ut verum fatear rem pro dignitate tractare non vacabit. Itaque
et distuleram editionem Methudi, donec in reductione irrationalium
summandarum, ad summandas rationales majores progressus facere
liceret. Sed matui tandem haec iaitia Totamque doctrinam servabam
eri psculo meo  scientia infiniti. Sed cum viderem Hhac mora differri
progressum artis neque dum satis de tempore meo statuere possem,
malui publicae ubilitati velificari, easpe fretus fore qui latius
spargant semina novae doctrinae, aberioresque suctus colligant
 praesertim si incumbatur diligentius quam factum est hactenus, in
amplificationem Algebrae diophanteae,  Cartesii discipulis fere
resrecto pod utitae i lspometia parmum peripexei sut. Ego vero aliqudties
= cujus de nominatoM
est formula realis
dx = co
1X
u irg: v ty
4
uus
9, fict
dec
er
HXE
X
 X = X +
+-
1- 3 + 5
2 - 5 +9
L - L 
i
se
33
 + 5
9
23
e
0