# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1124/text
# Catalogue record: 1124 — [Aufz. zu inversen Tangentenproblemen]
# Incipit: Invenire Lineam formatam rectis quarum inclinatio ad datam rectam sit
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1124&katnr=58674
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068072
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 6, 27
# Folios: Bl. 6–7 (from the shelfmark LH 35, 6, 27 Bl. 6-7): 4 pages, canvases 11–14, page ids 00068072:0011 to 00068072:0014
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068072&page=11
# Lines: 389 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 6r — 00068072:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068072/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 102 lines, status machine
Quaenitur constructio Lineae, in qua dy: dx = _ yy + xx: aa
a 100 + 140, : 100 = 2 :1 =
a. 10 X, 10. 9, 16. ., ( = 11 (9. 12 (4) C1 Cay): (x) e  ut 11 +1G.B
= 265: 1d0 = 53: 20 = 4 926 2 y (y ae5 14. 62
(X)), B3 (3 4.  (dx)) = 1 (as. dx = (X ) yB: aa = 169 + 214. 44, :100
fit ((417 3. 63
si nisi et dx 20 et viceversa
si X crscat et dx maneat ddy: dx = 2ydy + 2xdx
Non potest esse dy =0
rescit increscet y, nanagusspositiva
crescet et dy nam adus is positiva
Quaeritur constrnctio Lineae, in qua dy: dx y +XX,: aa. Hanc ita
aggressum novo plane artifficio. Assumo sineam, in hoc differentem
insc et fiet, aequatio ad hanc lineam do)
2144208
 ab 3)+ xx V qua occurret cuvae quaesitae in puncto ubi y et X communes   3. 4
ab ista quod loco dy: dx pono
sunt utsique. Sed velim praeterea in puncto concursus curvam quae sitam a 
nova tangi, seu in nova quoque, sed nempe circulo, ubi concurrent esse dysido= gyxx: aa
seu loca con sive b: a = dy: dx. Quod ut ob sta poterit quaesia curva formari concursu
novarum. sed ita collocandarum, ut tali modo concurant intere inter se, ita nimirum
ut in puncto contactas concursus ipsarum sit ea quam dixi proprietas contactus.
Hoc modo Nam curva aliarum concersu formata tangit formantes.
Cllo Curvae igitur novae, nempe Circuli  hoci loco, ordinatim sic collocantur
ut on ut initio
Cn Rectu Invenre Lineam qu formatam rectis quarum inclinatio ad ducta
datam rectam sit data, est problema langentiate in uurversum
Exix: dydes = (y aX. dy) A. a) s.  AX, X, AT, C TX, x. C et X- e,: y = +: a posito t: a dari ex datis
AX, XY, et a i qu invenietur concursus rectarum disferentiando secundum e et F
et sit - de: y = at: a sit jam t t: a = ( dy dx : dy = aa :, XX + yy
Ex 2 fit  y= = ade: dt nde in aeq. 1 fit, X - e = yt: a et ex 4 et sfiet
x a adet X = + deat - et de, :gd+, quibus substitutis, in aequ.
3 fit +: a = aa:, aasdede: dt dF) + ( c e dt at + pa H de de  2 p  at de ;. q ata
seu t, a a=F, a dtdt = taa de de + ec dt dt + tt dede F d+ 2Ct dt de
dede - 2ett de + eet - a. seu deto nett de  ec = ce cettaa cetteeratt acet
Et, slaaree
deat aareest at
et fit de: dt = + ett + s(Z ee -1t (22+ aat) + t (a Ce+ a)) :, +, aa + H
aateet dt
HEt (aut) =
omi nitu dle
Generalet hoc est: invenire lineam formatam rectis, quarum inclnatio ad datam rectam
sit data, quod est problema Tangentiale in universum sit AX, Y. AT, e. TX, X.
et aequalio generalis X- e: y =t: a
quae differentianda est taute explica-
timem ipsius +, et si constet  a, quomodo se habet Ex X et y
et differentialis eju eri secundum e, et t, erit  = (2d0) - de: y = at: a
=ade: dt, et hoc valore substiluto pro valore y in aeg. 1. ft ubi y = a, X- e,: +
seyfret
Otio) = de : X- e unde deinde fatendo (4to) t: 4 = y x. a vel
ix e ( t)= Ide: dt. Unde dunde facierdo Haec generalia, si jam ex proposito problemate
fiat t: a = (5 Y0) g. X. a, et hinctollatur y et X, per aeq. 2 et 4 habetur reletio inte
fiet db: d
Ht at: de per e et etC, q  Hinc patet, si esset t: a = y, x- e, a, ita ut X et e
simul folli possint problema rederctum esse ad quadraturas na nam dabitur relatio inter
posse solvi per quadrtura, constat et atiunde, nam
X= b est  +X, sed si detur recatio inter TX et X Y Hecbetuo dy: dx ex H: a unde etiam datur
At: de per t: ta. sed tale protema
aequatio soliutio per quaderturs si diretir relatu si ex data A daretur daretur
r: XY non apparet in communi efilculo tangentiali problema posse solvu
ad re reducta ad praesentem cauntu, statum patet sorutio nam dateturt ex e et a
vicissia datur solutio inacommuni raculo, quae ex praeenti non appareet. Nam si in aequ. C
Cy: dx son
mnoups u e ct, de,
od hic non appares, cum ingrediatur a, Ergo videanus quae aequatio differenti alis, polla
i ad hanc formam ul sit etia = (a. L) (x e), e Hlerd t) pus quod sempert vndelur in potestate
daturrim +ia ex de: de, et yr e: a sen de id ex tra et  C: a
sita(a: L) a C m et C - t(dc. A1) - 12 5 fiet e  p  H(dC. A)
quia e in est
(a: F) ( - e),: e- + de: d6), se ta bia = X e, et e: dt)
. aa seu L. a- t a et de: t 
(H. a) 1. (C- eet +1. 44)) seu  C f(de. dt) = (a: t - e: + a
et jam data aequata deidt _ eet H, aa fiot P. a tiae
ut sit t: a
de idt= (C: t)  (a: H) (X -e, : t. a)  qud in sis
jam x H et X e=
Ao intio tlis
lia 
prsia
(per 3 et 5
do inlores
sed vera investigatio
 ilx. dus
de: -y
s Alot) a At
o anto mog.s posie er abdlatius
)-y: a Ex 2 est e x- per C
xut=de sit
= - y(dx: dy) + X
si datur dyidxe ex
(ydlx: dy + X): a
aequalio differenti alis
potest solvi. Ex. gr.
sit dydus rndae
seu dxdx + Z. d 
et fit dx - - p7 + lyyra
si aequasio dur
X- t; y = (dx : dy 2) R W01a
(2 X X + yy,: aa
aequationum ope
solum velatio ex + et U
habebitur quaesitum

## Folio 6v — 00068072:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068072/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 129 lines, status machine
quin vero hanc saltem utilitatem hinc ducimus ut transformare liceat rationales aequatione
differentiales in irrationales co generali quadam ratione ideo vidiam, AT,Q, AX, X XY, y
X y C. a et t:a D = x-:  dya (3+) de: dt = -  -y: a vel Ihii  a tratio)olgod
stu y i ade et ex, et 2 (4t) t: a = dx: dy
Haec generalia
et ex 2 et (3+10) e = vu) X - y (dx: dy).
ontra y = (3to) - ade: dt et X = (610) H e = t lv: de)
speciatim sit  dy: dx = cla +XX f  AX IXX YH _ 1 oC;, Hy 1 S5 gy + bg +CC,:, yy + my enm
= (900) Pa: t Ergo a deded unde trys et bcy+ cet =ayyt amyt ann, seu
hy + bt -am y + cet =ann - 0 seu gy + bt - amys +  s2) btuam = = () bluam = cet -ann
+-a
+-a
a
= bb t t - 2 abmt taamm = 4cett + 4 annt + 4acct - 4aann ,: 4, Ht - Eat + aa
-a
lbb -4cc) et  (2 ab, - 4ann) C + (mn - qnni) aa) - (1a t - 2m), : 42, t-a
ratonpltr reductibiles,
t- a
sit ergo quaerunque aequalio ad quadraturas dus dx- a dx: du = y: a poterit.
seu : = le: M y=
loco ax: du pom F: a, et loco y: a ponri de: dt, et prodibit alia aequatio disse
vulat vel contra; data Bde: dt = C: a, potest poni  loco de: dt poni - y: a
Crcaloroxgav
et loco t: a porie dx: dys
veniamus ad formationem curvam per concul
sit AX, X, XY, y. AZ, Z. ZY, v centrum circuli V, radius VY sit Y
et fit (Z- X) 2 + (y -v) =  rr uubi  et y quaerendo jam concursum ductum hujus-
modi circulorum, si erint X er y. per un communes, sed ZV, Y variabiles
 (Z- X) dZ + (y- v) dv2 rdr. Sed conferendo hunc
calculum cum communi, considerandum est, esse i cum circulus formans tangat Curvan
et differentiando fit
Y(Y) ipsam YY esse perpendicularem ad Y(Y). puducatur ergo dum axi occurrat in P
jam patet sore YX : X p = -dx: dy = (tio )p v, 
y seu pro eadem curva
nasic  per x’y, a
calculo nam si aequ. 1. differentietur secundum X
sive jam ergo detur dZ dv: dz = per g,F, Ya a
vel dxidy per X, y, a. potent altera ad alteram reduci, sed manebit
 arbitraria non ex tibust, D, Y, arbitraria. sed et potest concipi unam exhis tribus
dari ex X, y, a. quo facto in aequ. 2, eta differentialis et quae per eam multiplocant
conrescent. Hinc video utilius esse ut d: ax= p. P. a nonatur aequatio data
seu compendio d: d 2) t: a et Gadius r imgneat datus ex X. y. a seu r= X. y. a
aV. 1Z =(G v 93:, Z X,  7 Z - X, :, v- y. E  = (800) et 5) +: R
cursus ot ex 3 est Z Y =. Ex E est vm gua v y Cp 
Ex d est Z X Hini ex aeg. 3 fib _ dys. dx a t (gno) +: a. inveniamus jam  et Z ope
fint (no) du: dx = Ca. Inveni cmus jam
.a
otis
Z et D, per 1 et 3.. Ex 3 fit y - v = X- Z, dx .dy = (1mo ex 1) A Z, X) 7 N(rr = _ (X - q) 2)
seu per
ag4. I et 3 at possimus tollere in aqui
seu X - Z de dx: dydys = rr -  (X - Z) = sive (X- Z= (dxax + dydx)  rr dy dy seu 3. X  ralys: Sindus tays
Et pari pore vel ex 11, fiit X Z AVy = (Sto) rdx: Faxax + dydus. adeoque tandem erit
9= (15to) X + Y (dy: xx + dydy)) et v = (s)   y + rlax: SC ax dx Faydy)) Qui valores
substituendi in aequ. 10 quam pominus datam. et deinde Y poterit explicari pro arbitrio, ut
tollatur a. verum jam video rem non procedere, nam si ponatur A = 0 cum sit do: dz = dus: dx
necessario fient linere prallea v(V) et Y(Y) paralletae, seu V(Y) sive Y fet constans nec variabilis per
interiu hunc
X et y. Ac pruande in initi seu generaribus non licet ste facere, u=
calcutum tenere possumus si lineae Y () et et V(V) sint paralleli et sit AX, et AV, y;
et AZ, Z, et ZV, 0, fore du:dz= de dy: dx, et 3- x rdy: Saxdxt dypdus et Bay  raxisat tely du
sit jam  dyo d= in casu aliquo  dyidx = X.0 fint duidque  py fiet d
per
ubi ∞ significat contrariam relationes
1,2,  est x = 2 et 1 est X ~) +d Z- rev: ravdet d2) et y = V- rd  dvelat de a2)
=(gno) dvidzue
X: y ~ 1v. 4u
fiet per 6,7, 8, frat E= r(advi s, dvant an):  v- re 1 s evavt at28.)
seu +p.d) quae aequatio comparanda est dataex et s _ ubi do: dz Z. v. ∞r: + seu
lv: dz 5(Z. v. r) et fiet, Za r(∞CZ v.r) A (.v v: 1)F 1),:, v - pl 1: ((~ (. v. r). 1) + 1 =  ( C v. B). 1)
adeoque  rt
ex,
Z3+ vb,:rr
sit in casu speciasi ~(Z. B. B: r= 22+ v0,: r  pyt pe  = dv: dZ
V )e15) 2 o, er adeon quaeritur modus qu calculandi seu 
fit NZVZZ + v + ir - (2I + VV),: xV LZ2+ 0btrr - X(Z2F0V)1513E+0VC,: rr sed hoc quantum
quod si ergo redeamus ad generalia, seu si r manet variabilis
 sitque (ZXZ 4+( b = )  X (Z- X) de 4(V. y) do rar et Eto) vay (:Z. X- ux: dus
fiet
Judico praestari non potestus
et jam in ne data ya dy:dx = (4to) L:a posito t, dam ex F. ya. Ergo
4dv.  riy (dr (V33y-D) unbe
 p Z riri natuta
(5to) v-y : ZX = t: a _t Ex 2 et 6si et (Z-X, 2,  - V) dx
a dx +Ldb, y- v = =rdr seu y- vE (∞) Ardrocde + d
ex his valores X et y explicalo prius F perxes
2et
Ex 8
axdr: adZe + + dv L9),-X
v xtyy rar in dZue Hex + yy) da _ (e 1Hamo) seraax D et srl a y) df gyy b) avtXXB
ymo) teri 
Q-X =
y, a.+
rxrdi Lyynd et fut. Breous redeam, ad aq
tole
et ful rrdear +(v∞ + yy = Lvy) dydo = 2r(V. y) dudr= _ rrdzb- (∞- V) = de7
Prectius: ala invendimus X et y per aeq. 1. et 2
sit vay per cypendio
1+rrapdvarar
lii rrdrar + Wlodvdo Zru duar = rrazaz Wlo dede. seu WoW -2rdodea
A12 avartarar)
dodr +Y(e ddz dodv + rd ZdZ drd(rraras duav 1 ddrfrravavarar) R: , dvaytanti
(dZd  drar) (avdv +drar) + erdodvdrde,:, (2) (dvdo +drdr) et sit d
v-ys W,  seiter Z- X = ravar LYN(aZd dodo +.  dvd dedr- drt):, dzaz + arar sit jam in exemplo
e
rum tollantur. X et 
x et  et
Zet e quaesitum sec
quodsi deinde assupi posset
ite
aeq
Extgy, daa = (per 3) gq X, hucc ope valorum
iut
dr
qu
nam
post
inven
et aliu
Z a2. 
aglos substutu
icsilsio
natur aesieratu Leiphe
F vel dv: d)
vet t vel
ar: de
1d. Eaposito dr-0  ex aque
Hinc duidque n: dis set
Lyrux =V. L

## Folio 7r — 00068072:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068072/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 65 lines, status machine
generalius possemus assumere y b = y. c, ita ut c sit parameter in curva data
Nem nova. Nempe sit aequalio data ad curvam quaesitam dudaa dx= dy Xx dyt gydlus
et fiat X= b setiub = c. y et aa d= bbdy + gydy. posito ( Z = x f X - e seoto) dZ = dx
C
et quadrando fit aa Z + aaf =  sbbdus +  gy 5y sedd) X- e + f sbbdus +  9 ec
seu ponendo (guo) f - e = g fi x +9 = Sbbdus L L 73
Hinc si quaeramus jam concursum
duarum curvarum erunt quidem constans, sed x erit quidem 9 et c gemina se X et y unica
et fiet du = (mo)= 2babdu quod oidiamus an procedit in casibus particularibus, ut simbay, fie t
sudu  si b =c fit Sbbdu = sccdes = ccy et disferentiando secundum c, erit ascedus= cydc
sed E db bdus posito be C est etiam rCy dc. si bb = cc - gy fit fbb dus = scedlus - syydus = ccy - 1 y
et dfcetus asgydus) = reydus ,ut acte sit b- Cy+  CC3  fit fbbdus = cogys+ e + rey:aq
et cujus differentia secundum C est rcyyde + 40dc + 6ccyde, aa sed obd quod videam
an consentiat cum 2 db fbdus, seu afedus: a) feydus + sec dus :a = 2 (dy. a)
seu 2(yde + rede: a) (f cydys +sec dus 1a) seu 2(yde + ocde, a) (3 Cgy + cey, 1a)=
b  d fbbdu = 2sbabdus
22ye
Hinc si b = cy+ ce: a fit b0 dy = ccgytc + escydya
et bbdy:  3 CCy + ctus + ACyy3:aa, et hoc differentiando secundum X, sit
2 Cyde = 4Cydc + Bcc de gy, daa. Videamus quoan et quomodo consentiat cum
ab
2sbabdus. nempe explicando b, fit db (sec. C)  ydc +2cdc,: a, quae multiplicata in bdus
dat de, cyydy + ccydy + 2ccydy +2Cdy et fit 2s b abdus seu potius des b d dys =
2dc, Ecy + 3 cegy + 25y = de, 2 cy + 4 ey + 3ccgy ut ante. Itaque regu
reassumendo sic procedere opvrtet
sit, quaesita curva cujus aequatio differentialis data
Cimo
aadx = xxdy + yydy. fiat
(2d0) X = b et (3tio) b = C. y et pro curva nova ordinatim varianda
posito (5to) Z = X - e unde (6to) de = dx, quadrando
fiet aaque + aaf= (bb dy t, H  quam  - = (8V0) aax - e + f _ Eax +9
5bbdu +2y et differentiando secundum
jydus
(4h)
aa dz= bbdu +
mosiss
om
C et G, t manentibus x et y, ut habeatur concursus curvarum fit aadus = de feb ab c) dy
unde posis)f - C = g fit d aax + aaque=
cinmo
aa du -dc  = 2 de (b de c) b dy et ex aequ. 10. fol per 2 fit aabraaqus = (bbdly + Lyt
tiarum duarum aequationum ope tollenda est 2 y. t es quod ut ut E et habebitu.
aequatio in qua  b, db, g, du, et a, si possemus ita explicare  per 3 et C
et 9 per e et  per c, ut in proveniente aequatione tollatur aliqua ex his tuibus, b, g, a
dum tollitury. sed si nulla fiat explicatio. Ex sed hac dita
vlata autem explicato ipsorum  et b, ex 22 fint  aaqu=
a a ddg: de = 2 b dy d soc C)b) et aa db + aa dg= bodus + yydy
Cper y et lo
adque: de 2b d ((c. 1)6) Quia nil refert b explicemus per C et y, an vero  per
b + d9
a bb +7y
possemus quidem
b et C, ide fiat res hoc modo videtur perduci ad quadraturas
vel y per b, C sed polus opus est explicari b, sit sit b= y t suandet qua
a d((see 9b) = G fit aal ex 11, aodus - 2 de fy  du = 2 de 9,:y ret 1 = aadus
et ix va 1 fit   aag = (s ye dy + 2 9) ha y en  2y = au y
dratum
n12
10. sab  abste
=y concursus difecentiando idum b o et 2 sit a dbs +
ed
desecic) seddus
posito co = C y
est
de s cue eo

## Folio 7v — 00068072:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068072/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
absisa HX, positax, et ordinata,
quaeritur curva Y(Y) cujus ea sit proprietas tangentium, ut posita HX, n Set XY,
et constante a, et tanganle TY occurrente axdin C, sit  Y Xad XT seu dy. ax
 seu dy ad dx, ut a gy +xx ad aa fietd dy: ax = yy + X : ac
Assumatur alia curva VY, quaesitae occurrens in Y, eamque ibi tangens cujus ordinatu
quidem sit in puncto concursus sit eadem Y eamque ibi tangens, itaque in puncto
occursus sive contactus locum habebit et pro curva novae aequatio dildae
sede cincipiatur autem proquolibet ta puncto Y, curvae quaesitae, talis
deb
in puncto concursus sit
ut sit b. a = (2d0) y9+ xx, : aa, adeoque b: a (tio) - yy 4X, taa dy : dx
In omnibus aatem hoc verum ei pat
verum oportet etsi ordinatae in omnibus hoc modo sint y initia tamen abscissarum
 ex novis punctum in
variare oportet, pro alia atque alia cuvva. sit ergo cumo un
axe fixum F, et HE sit Af ut in puncto concursus sit b:  d (2d0) dy: da
adeoque (3tro) b: a = yy +XX,:aa. Sed si id ubique verum esset, in curvis novis, nec
nisi longitudine ipsius b differrent, hae curvae forent circuli concentrici quarum concursu
non potest formari linea ulla, nam non concurrunt. Videamus ergo an variare possimus initia abscis.
sarum in curvis novis. Itaque pro curva nova sumamas in Axe punctum F, eritque HF, f, semi constan
nempe eadem procurva nova, sed rarians variantibus curvis novis et FX sit Z, et r
fiet X HX = HF + FX seu X = (9t) f +Z adeoque in curva nova erit dx = (5t) dz
cum in ea f sit constans, ergo in casu concursus dy: dZ = (6t0) b: a,  et ex a9. 3
celtenam fiet ab = g(6to) yy +ff +2fZ+ZZ cetta quae est ad Circulum, ubi
o et f sunt constantes in eodem Circale, sed Z et y variabiles de circulo autem in
circulum mutantur etiam t et b. Ut aut ergo inveriatur concunsus sed a est
constantissima, quae in aliqua surva et in omnibus manet
Ut ergo inveniatur contactus duarum hujusmodi curvarum, considevndum
est in puncto concursus earum, eandem manere, y et AtZ, adeoque differentratio
fieret db =0. Ergo concursus inveniri non potest, seu Circuli sunt concentrici
quod si velim, i
quaesitum ergo tali arte obtinem non potest
X, = fix et differenti faciendo adb afilf + 3Z dZ + 2fdZ + Zdf; apparet
nihil nos lucraturos, quia in duabus illis curvis concurrentibus non tantum
X y sed et f+Z seu X est constans. Quod si pergemus tamen fiet
poterimus etiam differentiare aequationem 6tam, i pro eadem curva
ybi f et b manent, sed Z et y variantur, et fiet: Ydy + fd Z + Z4Z =0
seu dy: dZ = - y: x f+Z. = b: a  hoc quidem bene, sed quia aequ. = non
Quid si loco aequ. 2 faciamus bb + 1bk, :aa = (2d0)
Re sumamus Calculum ita, ut sic differentiando non ptossit fieri ab =0, nempe
procedit, nihil agitur.
faciendo sit ay: dx = (imo) Xxtyy: aa, faciamus bb + 2bX,: aa = L (260) cy: dx
Rursus X = (45) 5 +X adeoque incurva nova dx (stu) d)
jam ex aequ. 3. per 4
et in casu concursus (6) dy: dz = 164) bb + 2bx; aa, in curva nova.
adeoque fiet (3tid) bb + 2bx = gy + XX
fit bb + 2b( +7) = y fymo) gus + stx He (f+X) 2 fies differenti Et concursu talium
curvarum fiet differentiando 2bb+ 2b db + L 2 (f + Z) ab = 0 seu b - Qv) = - X
sed ita problemata hujus modi semper solvi possent sine quadraturis, quod est nimium. praeterea
hoc modo non invenitur Recta f, seu punctum F et invenire b per t non
dy: dx et
sufficit, quia ipsum punctum  qua X quaeritur
faciamis retingamus
idem incorumodum reperio s fiat u mnova quadrabilis
 sit dy.  gy4X; ra ut
pro aliqua inordinata sumamus constantem ut
ante, et farrimus duit pri nvaturva ayrax= aa +xx, raa. siotus adeo tales
ad ature raperbalis
curva ardinatim quaerendae, qualum intersectine quaeralo formeltur quaesita. primum
quadremm fit dadus = aa ax + Xx dx B et quadrando aay a aas=
smenlius b E. y, et na dx id - Brpian sit aa dx: dy =  Xx +yy,: aa seu ac d= xxgu + yydy, fiat euri nova ubi
sit X  in caso concursus eum ista adeoque aaaz -bb du +yyay et quadrando aat mae-b y
curvam at X=+Z.
aa aaX - aaf + aa e =bby + f, ubi in pte est facere e
us in eadem curva sid varian, unvam
deoque dx= dz
 etfiet aax = bby + L sis, sed, ita differentraaudo secundo
mon qua nuissent ora habita fuisset b exX
nvuret
sid non ideo relatio, inter b et qua quoritur videtur tamen remediam hic appareo
b evanescunt omnia, vel
nam quia est apbilitariae, fiat e = 2f, et erit aaX (= aa F) + (D na F = bby + L y3, et
and+ = ,by db. et ad aequ. praecedente pro X ponendo b fiet
nab + aa f = bbg + 4 y3 et ex aquontripsa aads2b unde sollendo y per y = aadt: 2b db
habebitur relatio inter b etf
iarra
itaque concurrunt quidem survae, sed eamm invenire concursu
differentiando fit
bb: agus = 99 + bhg. 2abbg9 nov difficultas est aequalis proposilae. Quia tamem e arbiliaria, ideamus an aliquia
sed rursus dofegubia
utilis comminisci liceatcax. aaf + aa e bby+ y, sit conorendo pro concursus
fit qux aadio sy a ponendo 9- c- f fit anx + aaq = bbys +  et differentcando aadgs = rbus ab
 Et in casu concarsus X=b. sit aab + aag = bby + +  A et aadg = 2bVb. ubi lollenda u
nisset etiam penit
ope, Earum duarum aequationum, et arbitrarietas
b pro  sit
suva uta  bb
 po Ah  t. q  a cus a:  aeta tet
gereralius na Xtague= Sbbdus + Lyh
posito b dari ext et y
n  
et pro yponendo valorem
Rtabilic priori