# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1186/text
# Catalogue record: 1186 — Tentamen inquisitionis in quadraturas particulares
# Incipit: Demonstratum est in praecedentibus schedis
# Date: 1679-03-25 (79-03-15)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1186&katnr=58726
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068073
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 7, 1
# Folios: Bl. 56–57 (from the shelfmark LH 35, 7, 1 Bl. 56-57): 4 pages, canvases 111–114, page ids 00068073:0111 to 00068073:0114
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068073&page=111
# Lines: 336 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 56r — 00068073:0111
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 57v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000111.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 72 lines, status machine
15 Marti 2679.
Tentamen inquisitionis in quadraturas parliculares
Demonstratum est in praecedentibus schedissub simili
titulo 10 Martii 1679 conceptis) quadraturam circuli haberi
si detur secans cujus minima sit ratio ad summ arcum,
na l nam tangens complementi hujus arcus
erit ipsi arcui aequalis, arcui anterm exhiberi potest aequalis
Circuniferentia
sit Radius, Y.
et tangens T. Constat ex
Ponrg tangens complementi aequ. K (1)
onstat ex alibi demonstratis, esse
et arcus a, et secans S.
a aequ. ps at
esse s aqu. x+ t et K aequ Y
Ex  aequ. 1. fit: a aequ. +- +
Y+ +2
+ +5 +7
G74 776
et ex aequ. 2. poterit duei valor rationalis ipsius s etiam
infinitus
Nam 1  a + b aqu a + 2ab + b.
et 1) a +b aqu. a + b2ab + 3ab + b3. eC. Et ita pono
jam 1. 2- 1-
Iem 1. 3.3. 1. item
porro ita generalitem exprimi possunt:
pisi 9 vit2 a 
1 1.4. 6. 4. 1. Et ita
X. Y1 9 , 43 a. e
19- 3y+ 2V
1, 2, 3
fiant
v 3V + 2y
3V + 9
y - 6y + u y - 6y
di res desene
 ete recta descendentes
crescentibus apparere quod sit ut in seriebus
1. 17. ist 1p. etc. item
11 y. Mt.
86y)
1eF. F.
2y.
1y. 1 37. 16 y etc.
Et in seriebus transversalibus: 10. 20. 6y etc. 19. 3G. 1y etc
1y7. 6y ex.
promessionis.
Continuando facile investigabitur regula
sed et addendo
Sed et invicem addendo saltem primos terminos, fiet.
24y
 Ity 12y. 4y- 12y + 8y.
1,2,3, 4
+243 + 12y + 4 1  y
5 + 11 y = 6y3
= 12s
24 + 147
y= 6y +5 -67
seu 24 1224
1,235
1, 2, 37
1, 23,4
gerum haec additio inutilis nisi cum a. b. sunt aequales untu
inter se.
et V, y-1, y -2 aequ + 3
agu a , 28
ponendo ergo 2 aequ  fiet. By-C1 aqu
et gy.1, y- 2,9 - 3, aequ - 18 et v, y - 1, 9u2, 9 - 3, y 4 aequ. - 15 5 - 7 aequ l05 
aqu 2 0 5 2816
arb aqu a + Lab - = a b += a b et C. Et ponendo a aequ. 1.
fiet 1+b aequ. 1 + Lb - + b2 + 3 13 - 15 b+ 105 V etc. oportet
esse b quarlitatem minorem quam 1.

## Folio 56v — 00068073:0112
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 57r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000112.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 74 lines, status machine
sit jam C idem quod 2.
ficil.
(aequ. 14 2 + - 1 f + 2 f- f 4 +  p0 Mt
Sinis sit  constat esse V aequ. Y
32
SEu aego
 V aequ. t K posito raequ 1.
NIt
et H aqu. P
Ergo ( aqu. )+K. seu S5 aqu. S
 Ergo
+
Sit s
rt
tancerento
aequalis partione lndicae
i sub radii relicudine
cum sit (aequ. 1+ E + -  f4 + 3+6 -E
a aequ + tL
a aequ +F
5
+ tc
+ 2++
t2X
deterhendo e1 - + + + - t - 1. f2
s-a dabit
Kaego.
11+ 
+ (~F aequis 1t t aqu. xa aequ X
Sed his missis ponendo tr 1.
et
8
6
2 1+F2
Quantur an sit quantilas affirmativa, seu an semper e a
quando Fr 1. Videtur demonstrari posse quod sic
Quando ostendi potest s calculo generali seluper diu serie
termationi praecedens majus nemativo sequent
aerdum setantis super sr adius
sum
arertum est antisatet excessindiferentiam a ran
non
ebi esse
initio esse infinite parvam sub infinitam, sub finem
etiam infinilitu in medio finitam, itaque necesse est
alibi primum R decrescere mox iterum frescere itaque
assignari pol debebit arcus ubiest in aliquis secans
ubi
ere
desinit dcrescere, et iterum incipit crescere
ratio saferentia secantis et arcus. ide est de ratione
ves
secantis ad arcum. Et notandum Ulud est, rationem
et differentium inminiu concurrere, seu cum minimus
es differentia logarithuotum minima est, etiam
differentiam Nmmerorum Minimam esse.
L
id ergo agitur ut quaeramus modum definiendi
arcum
positione illam arcum, qui ad secantem ad
quem secans minimam habet rationem
Quod ut sat quelamus alias duas quantitates
Ordinetespondente quarum vel ratio vel differentia his duabus
secanti et ircui: easque etiam arm positione Recuti
quae sint ita inter se, ut cum ratios
Rerentia
secantis et arcusderescit
ratio charum duatum quantitatum
etiam decrescat, et cuymisus rescit illa, etiam hac erescat.
sint 
et Vdem quod
serierum in unam
compositarum est
decrescens

## Folio 57r — 00068073:0113
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 56v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000113.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 68 lines, status machine
t
t etc
ebequadsc
centro Bi quadrantis ABC arcus AEFC. sitque linea
curva AOPQ talis ut ex punctis ejus d. P. e.e perpendiculares in avod seu
I.
radium quadrantis erectum AGHB, nempe dG. FH. 3B. secantes
arcum quadrantis in E. F. C.
et et ab eo abscendentes arcus AE. AEF. AEFP
et a radio erecto abscindentes sinis versus
AG AH, AB; sint ipsae perpendiculares 
AF AC aequales vel saltem proportionales.)
curva 
G arcum supra dictorum
OG. PH. arcubus AE
describatur alia
ig itamat ordinatae KA YG. H sint  psis AL.
describatur et curva LM N D. Ita ut c ordinatae AL. G M.
HM. et. usque ad asyuptoton BD. sint simis secantibus arcuum
AE. AF. AC. proportionales aequales
Ilem curva KYZ
talis, ut sidinatae KA.  YG. ZH. se sint differentiis arcuum et
sim secantium, seu ipsis AL. OM. PN. aequales. Manfestum est
alicubi ZH vel PN esse minimam ZU vel PN. uti ipsa cuv tangea
ita nempe dt recta langens curvam KYZ in 7. sit ipsi radio erecto
seu axi ad Quem applicantur ejus ordinatae normates. parallela
Nel describatur alia cuva W F VX. utrinque habens asymplotam
AW et BN talis naturae, et G VH repraesentet rationes
ut
seantium ordinatant TG (vel VH.) repraesentet rationem secantis
GM ad arcum GO (vel secantis HN ad varcum Hp) patet eid ange
si ZH sit minima etiam VH fore minimam. seu ductam per V parallelam
radio AB curvam lausere
Quaeritur jam an exeogitari possit cuva aliqua analytica certi
gradus etqu nature, ulcunque indeterminatae
hanc unam tantum
conditionem habentis observantis ut ipsa HZV si opus producta eam
secet ei ocurrant in puncto tali ut manim curva etiam verticem
exp seu minimam latitudinem HS nexhibentis.
Cum enim
aujusmodi curvae possint infinitae;  non videtur absurdum
cunam aliquam ex ipsis esse analyticam certi gradus qua curva
exhibeta, utisi et circuli quadratura habebitur
sit erus
Et rusus fa 
ba stta (s+ a
5. da, d s. seu 8 as-
sit ergo S- a 1 s+ , - a + da seu 1r ds- la
a
seu da ri ds.
quins
S- ds, =, a - da
Ad est cutra in arcubus ab una parte
minores
as r da
ipsius puncto F quaesiti sumtis erut differentiae arcum mjores Efferentiis
eu
secantium respondentrum inter se ab altera parte erunt minores (neqe
IBBB.  tamen ideo uspiam eruut aequales+ at 1 est autem t’ aqu _ s- 1 et Bat aps
ds
1+ 12
a equ Er. Ergo da aequ.
adeoque: 2 +  aequ. 254 -0. Ergo  fiet. Et aequ.  aqu 
Y5=1
pono
Ergo da aequ. as
e
Habemu ergo

## Folio 57v — 00068073:0114
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 56r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000114.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 122 lines, status machine
Habemus ergo loco harum duarum aualim de teminationum da ras set sida
fas duas.
 e ds et d
SY52i
s Quod fiet
aliis casibus erit
Sis 1
N ds id ethas duas: 1r s- 5
supponatur et 1⊓ s- s
S sit aequ. 2. nam in omnibus
 major vel minor quam 2.
Hfin H ficit S+  aequ 5
seu S-1 aequ 1 seu saequ. 1f
Nam cum in omnibus aliis casibus reffertent
seu sago ts5
ae C etige
etraiu aliis omnibus asibus, different magis differant I et ss ulius
in aliis omnibus icasibuus etiam magis iferent
ominbus. alis casibus magis different ds et da.
aliis casibus magis differents et a
s et ds id est
(1S=1
Ergo et in omnibus
Non vero
equitur hinc quod probe notandum set a hoc casu qua minime
differunt esse aequales.
possunt enim differri qua praecerea
quantitalibus constantibus quae in calculo differentiarum investigando
Nota si major est differentia summarum, mapo
 in aliis omnibus casibus major erit et differentia differentiarum in
tolluntur
aliis omnibus lasibus, modo simul perpetuo crescant termini)
Illud ceigorose demonstrandum rmo possunt et differre quantilalibus
inconstantibus quarum differentiae saltem sint constantes
derum re recta expensa dubitari potest, an facere liceat aliquando
l aequ
4 (2
Sed jam
B seu as aequ. da.
necessario contingere. Nam cum ponere possimus.  aequ 1.
n uni infinitesimae
alaut locus recta
curvams
utque parallelogrammi ordinata, cunum
 indefinota terminars ordinatas paralleloram
am de qua agitur alicubi secabit, quandoquidem haec recta constant
nunc major est nunc minot, ordinata curvae
Noc. es
confici posset res inter sectione  Hypebolae subicae
et 1 figurae angulorums. ubi enim as aequ. da.
greviter
Resmeum in omni alio s est s+- st major  vel
minor quam 1. praeteiquam in co ubi 5+-st, aequ. 1.
Ero et in omni alio: easu da major vel minor quams
A+b+c + d + e +f
l+ m + n + p + 9
btc. -om bicad, - lamin erc.
sint b. c. d. e. f aequales, fiet:
8+ 10 - 1
§+20 - 13
5+20 -24
8+4 = 10
o sa seps 
72 sequoy P
256 - 16 240 sagu 4 svideo ita
515 = 25600 saequis
12 saequ L. 
10000 100
ndmet
St = 9
146 - 121 3 4 saegu is
100v0 9 100 ) 10000
626. Saequ
16F109) uebi s. epo 1
salet si
aequ. 1.
sgnter io
parcuua
nespentbus et arcus
Manifestum est si secantes ponantur aequaniter helcere,  seu aequalibus
96 19b
rum analyticarum
Strauscendem etium intersectiones
methodio
differentiate d
ners deneraliter
sempe enim 169
E1 in prestite de
ad differentis 28561
tias differen
tiatum venire 1561
contra si socantibus eqqualicer verescant arcus veaesent inerementis datpencibus
donec acuum et secantium incrementa fiant aequalia
Et contra se differentia arcuum et secantium diminuatur cominice eliqua squ
Thodo semper inteniri
ac padem moq
per hanc 1 3,
et differen
licebit
e691
(16236
sintus incrementa erum secantium aequalia mecesse est arcuunus incidmenta hescere
et secantes sint initio majores arcubus, necesse est arcuum incrementa
crescere donne si jam postea differentia ila rui angeatur necesse est
ascuum incrementa tursus decrescere. Ideo locus ubi diffecentia est
minima, est tunc cum arcuum atiuum et secantium est minima, est tunc
ubi cum differentia incrementum arcuum est maximum, itaque s incrementa
arcuum positis simibus aequaliter crescentibus) seu simibus applicata)
haberi possint anatylice seu curva ipsis proportionali tantum, opus
est hujus curvae nassimum lalitudinem quaeri
constet nf eere haec
arcuumsi
tantum aequ. 
erunt. Incrementis 
nota esse incrementis sinuum
incrementis, arcus vero cieseant crestentibus incrementis marifestum est s
differentiam inter arcus et secantes diminui itinue dones desiranet arcus
caepere cessentibus vles argpementis et incipisut aterum decrescere. Et
o acidens suptior calculus retificatu sua
ut infinits in finitum posera lomen sit ut da sit mnor quam
er acidens superior calculus redtigsicatur qua fecimus in cusa quaesito debert ese da aq. . . t
da major) tunc fit de ninor Ergo aliquanto