# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1198/text
# Catalogue record: 1198 — [Aufz. zu speziellen Quadraturen]
# Incipit: Inveni Methodum Analyticam per quam haberi possunt arcus infiniti
# Date: 1679-05 (79-05)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1198&katnr=58738
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068073
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 7, 1
# Folios: Bl. 71–72 (from the shelfmark LH 35, 7, 1 Bl. 71-72): 4 pages, canvases 141–144, page ids 00068073:0141 to 00068073:0144
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068073&page=141
# Lines: 322 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 71r — 00068073:0141
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 72v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000141.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 92 lines, status machine
Mari 1679
Inveni Methodum Analyticam per quam infinitis
 haberi possunt arcus infiniti respondentibus fcti
functionibus aequales. Nimirum minimas quaerendo
curvarum analyticarum, ita si quaeras arcum, cujus
c
Ln ad quem tangens ipsius minimam habeat rationem
erit ille arcus aequalis ad suamen
radiis ad adi scantem
in duplicata ratione secantis ad radium.
ad quem
Et eodem
modo ostendetur arcum cujus minima sit ratio
ad tangenti complemensi, eam esse ad hana
tangentem complementi in ratione duplicata
radii ad secantem
secantis complementi ad radium. Habetur ergo
e
et eo casu differentia inter arcum, et suar
tangentem vel con-tangenetem.
sone enim
fangentem F. erit arcus ejus a rquacequ
illam
a qu t + + adeoque a +- a aequ. t- 2
aequ. r + - +3 + rt aequi-
22+ 
r2f21
12+ f
r+
1712
Habemus ergo arcum cujus relatio ad suam
propriam tangentem est data idemque aliis infinitis
modis fieri potest; itaque methodus ista est genecalis
tantumque de usu ejus cogitandum, an forte
ejus ope speciales quidam letragonisimi hudeniri
possint
aequatio: ret
r + +2. aaequ.
Habetur quidem
(rdt
r2+ 
sed huignodi
aequationem analytice solveres non est in potestate. Quoniam
non amplius  in definita est, adeoque non possumus
collere Vinculum Tetragomisticum.
Hoc unum
tantum hinc colligi potest illici esse punctum flexi
curvae quaeaitur aa quae oritur arnibus Ta ad langente
 applicatis. 
Est enim Nam
ad IX posito Triangulo haracteristico GWL, erit
cum sit T1a aequ. vt. et M T aequ. +. erit
2
Tia ad MT, ut r Y+F.
x
GW’est at et WL est v ut
Rursus
ergo
erit WL ad GW, ut Y ad . id est e erit
LG ad WG ut nd  vel aaT ad TM. Cumque LG producta
sit tangens, patet eam incidere in M. Hinc autem colligita
M esse punctum flexris nam omnes langentes à parte
concava incidunt inaxem infra M, excepta illa quae
est in puncto flexus
Et hor oiide tur sempe sego
cnvanm. similiter si quaeretur mininca ratio secantis ad arcum
deo aequatio in tinicutifit reperietur esse illum carcum qui est aequalis tangenti complement
est autem saequ. SF + t et as argo
quaerendqu et + aqu. Ss = r. Ergo fiet at
s
Ss r
+ at. Ergo At B ds N+
sia
et artu ap s as sr
in asumnimaes fiet a aequ. Y hrgo  api
sr 
ex isrps hosut ante fes. aa verr
 beu tc oolntet
harum onali
solvitur p
ersctione
blema se
tunc non potest
ficar
dt n yp 
ria
Intersictio sit non lane
aaet nisi se curvee
ibidemtar
AC
aut quod ad
qu fretque

## Folio 71v — 00068073:0142
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 72r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000142.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
Mquirendum jam est an nihil omnino in nullo casu speciali
ad inveniendam quorundam arcuum ex tensionem in rectam hinc duci
possit.
Considerandae autem Miumve Maximaeq ordinatae
proprietates. Nemirum coincidit Nimirum etsi habeatur
longitudo applicatae hujusmodi, curvae  cujus minimam quaeritur
nihil inde licramur, quandiu locum ubi upplicanda est axi
nescimus.  Nam scimus quidem  esse
Num posito
  LHS.
minimae y esse C  a seu at Y aequ. Y sed
X+ 1
+
absolute
hinc non invenimus valorem ipsius a, absolute nisi detur isa +
vel aliqua quaedam functio
1 seuMr dest applicando
ipsas y seu ssenta ordine ad F respondentes in quaeritur
punctum T. sive arcus MB cujus tangens est T.
net in eodem lolo
eandem cum curva hac non analytica haberet.
minimam utique possemus inveneire etiam rectam MF.
quae scdicet tunc ex hypothesi esset eadem nam
in Analytica curva semper reperir
potest Minima.
porro multis modis effici potest, ut
duae curvae eandem habeant Minimam in
eodem loco exempli causa, si cum enim
Ex his unum est se habeant. leasdem perpendiculare
seu ut recta uni peorpendicularis producta
etiam sit alteri perpendicularis Seu cum duas
curvae sunt parallelo parallelas autem generali
notione voco, quarum minimae distantiae ubique eaedem; quod quidem
in hoc casu contingit.
Cum ergo duae curvae habent perpendiculares
coincidentes habebunt et saltem productas, habebunt et
ordinatas minimas coicidente saltem productas, quia ordinatae
minimae sunt simil perpendicalares ad curvam pariter et axem,
Quaerendum est ergo an effici possit ut
duae ordipata curvae
pactio
parallelae sunt, quarum una sit antlylica altera trauscendens. 
foc ita examinabimus considerando modum quo curgae parallis
describuntur, quod fit evolutione ejusdem curvae. Hujus curvae sive
sit anatystica gradualis sive non Ponamus haberi quadraturam
dimensonem analyticam absolutam in certis ca sibus
hnic in rectam ex tensae addi
etadi
esto
a
en vi
rectam pro arbitrio; et ope
constoiter duas curvas an rect qua
perpendi codlutiones u duorum arcuum curvae evolvendae
re tatem ut addito uno unius
evolutio haberi possit per
analyticam gradualem alterius
sit una evolutio bax
altera
sive
possit:
a. X
a. X 
s
+ X
Ad. x 4 h k
a
ex. 9.
in
70
a. X + X
a. X + 92
s
ubi debet in altero dividi posse numerator per dionn. ut eonnos
sed jom video id per calculum non posse praestari aquia si pars ma sit divisibilis
non altam totum indivisibile est; enim cava evolvenda est analysica
 sunaie enum curvas emglibet evolitne descuptis vel analustice
vera.

## Folio 72r — 00068073:0143
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 71v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000143.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 69 lines, status machine
si curva evolvenda sit invenientur vel non. An tamen
contingere po si vero curva evolvenda sit ipsa Transcendens
habeatus cuva suatt modo longitudinem tat non analysicam
sed tatem ut si addatur perpenduntam curvae evolvendae tangenti ad
axem productae (vel livo ab ea dematur) fict analytica, tunc curva
evolutione non analytiaae longitudine non analysseam habentis facta
poterit tamen esse analylica, sed ut hoc differentia constante
Aaccedente tantum, modo fiat modo non fiat id obtineri
non potest. Ponamus ergo illam perpendicularem semperferi
analyticam vel semper non actalyticam. Quaeritur an etiam
relatio inter AQ et 59. semper sit inmalytica vel non non analus,
quovis modo. Equidem si sis est data, eQq constar quid
non enit data, sed erit ad datam sis, ut PB ad BC, quae ratio
si est analytia erit et 924 quantitas analytica. Ergo s et posita es
transcendente erit et ad BM. erit et Biq adeoque et A. Q cumsendens ad AB
ergo et A2Q transcendens ad AB. at FS si curva AC analytica Eit
AP un alglica ad AB. ergo P29 non analytica.
S2H eK
2
2
(2Y CS + BC = I2I PA + AB + EB H
(2) C5+b +PC - () BA+ AB + BZ + EbBC
ad AB.
PC
Hinc et 1519. non analytrea est enim ad (B anatylicam ut P24
non analytica, ad PB anatus licam.
sin cura CB sit analitar non analytica, et 252G analytur
erit sed quaeritur etsi sit analytica ad AB, an  non possit essi
analytica ad A2G.
sed haec diligentim eractanda universali
A
alclo. sit curvae colementum: Qodus + ex,  GL
sit B X beps sit Guaequ ax. CL aequ dus. GL B a +dx sit SC aequ. sdus itdo
2SC aequ. (dus + dx + b. Jai CR aqu.  aot  Sais +di
SC
G1
Ergo CR agu. Siditx ta et C2R equi dulaus + dx +b vi, 
et AQ equ X +
x
Et SR rgo Sst dx, ar 
5Q aequ. y +
et AZQ aqu.
et et 2Raequ (tu ax +b, idiadx
et 252 aequ y +
Quaentur an relatio inter Arg et isrque possit esse analytica licet
marelatio inter A9 et 59 sit transcendens
nonamus relationem inter vee Ratio inter v et e est anclytica possita
 el ( v- e aequ. bitay b d ato
Hinc si analitia
ad X. erit differentia _ et e analytica ad X. ergo et relatio v ad e eno
analytica  relata autem e ad  non analytia ex hypothesi, ergo
et relatio inter Y et V non atalytica. Jam relatio ente  er Z
analytica si ex analyticae ad X.). Ergo relatio inter V et Z altia non analyst ca
confugiendum ergo ad hoc ut ponauus dus non esse analyticam ejus unde
ide et  yad X multo magis non eris analytica sed tunc
jam es debent autem   v et Z inter se habere relationem analyticam
Estus ex
yd + E S9L +b91 dX + e
Vdus + SGL, ax
Xdx + SGt + bGL, du V  Xax + SGL, dus
(quod fieripotest
 tunas a  etis seat uats iui orta volis ium mesta ad 3 t Ag. glis an malstu ad ite)
+ ad ex dato
uno alterum
haberi potest
analy tice
J
a
peytica

## Folio 72v — 00068073:0144
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 71r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000144.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 83 lines, status machine
si y du ex + SGL x non analytica ad X dx dus + SG de
Ergo ytus. + SGt
Ergo y tus
. . . . . - - ad Xdx. + s5t
v B C + b Gt 
ad X ax
Zuqu. Y + b GL
ergo fiet: Z∞ - 1.
et Z aqu. v
dus
ax
+
bGLp Ze RV ax. v- e
dy
y
 et Zx - Ax  vaus = e dus
 ( + Y - etu vel posita du B 1.
Ax
ax
EX
fret Z equ. ~ dus + - ectus jam Y o est quoe quantitas
Itaque si y annlytica ad V. necesse est, pro dus. Y. e.  quaerendo
ipsorum valores per Y et Z. fieri aequationem, in qua e
anacitica
du. et y. Tollantur, adeoque aequatio habeatur inter Z et v. li
quae non habeatur inter X et Y.
video:
essumentio
uvercluns
v- c
1
un xdx + Sedy de Saus du
6.
e Vitus + Stayirai iet a
loverex
y
stbihari
in quo nondum impossibilitatem
a vator per ipsa
Xv
inventa aequatio novisima reddatur anatylica ope transcendentium
arbibrariarum explicalarum, ut in iea connescant aq item a. tansenden
letragonistica. Quod si succedit abebimus duas  curvas minimum
eodem loco habentes, quarum una sit analytica, 2 ultera sit
transcendens quod si tronscendentis mini. debent autem tales
esse, ut minimas habeant et ut prinima tronscendentis peu non
sit an  ubi minima ranscendentis est, abi letragonistica
ant
e
tica
respondens sit notae relationis ad aliquam suam fanctionem
fis omnibus effectis habebitur, functio per minimam anahyticae, cujus locus
invenori potest. Adeoque habebitur absolute ipsa tetragonipica quantites.
Quantitas tetragonistica est, quae nonaliter determinata habetur, quam
quod est pendet ex quadratura cuindam figurae vel extensione curvae in rectum ext
Ordinata Punctio est recta certo puncto respondens, ex  ex dato
ipso determnata, ita langens arcus, sinis, chorda, etc.
vaerendum an non et alia ratione duae curvae aralytica et
non opplys tica possunt habere eandem minimam. Simirum si
differentia earum semper constans; sed hoc nobis non seunt; item
si composita sit ex duabus  curvis minimum habentibus eodem loco man
summa earum vel differentia etiam erit miginia, ilem quonodoconque
composita ex duabus minimis sine fractione semperenit minima, et ex
duabus maximis maxima. Sed cur fractione, fieri potest, utsit
modo masima modo minima, t erit tamen puto alterntia quod
nobis perinde est. Nempe sint duae plen curvae, quam
uniue ordinatavlta et quaeratur transcendentes. Quaeratur minima tam unius quam
alterius prodeatque utroque modo eadem idem valor o tetragonisticae
a, quam involvunt in ordine ad X. ab abscissum oun communem
tunc determinata erit X (quia a, non est nisi facta ex X. modo non satis
an vero in oposito illo ognito) si jam exihis duabus v. et c. componatur novus cutor, tali
modo, ut Ende fiat y. adelerinata per solam V. et ed sine interventu
ipsius et ipsius a. tunc habentibus v et e u rdices aequales habebusm
ety duas radices aequales. de seu locum maximae vel minimae eundem. dubium nam
seuvert r ifsos comporilea e n
-
Et ideo magamatiu dem minima, tum
e sunt.
im
  vre
evanescere possit
a dubitara
potest