# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1300/text
# Catalogue record: 1300 — De tensionibus funium et obliquis directionibus
# Incipit: Quanta vi A et B sustentacula trahantur, a pondere C. seu suspensis
# Date: 1690
# Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 N. 077
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1300&katnr=58943
# AA VIII,4: its series at Leibniz-Edition Potsdam II (CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/de/leibniz-online
# In the Akademie-Ausgabe: AA VIII,4 (PDF, Leibniz-Edition Potsdam II, CC BY-NC 4.0): https://leibnizp2.bbaw.de/fileadmin/Webdateien/dateien/LSB_VIII_4.pdf#chapter.77
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068187
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 11, 14
# Folios: Bl. 15 (from the shelfmark LH 35, 11, 14 Bl. 15): 2 pages, canvases 29–30, page ids 00068187:0029 to 00068187:0030
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068187&page=29
# Lines: 220 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 15r — 00068187:0029
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068187/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 128 lines, status machine
Maxima ex intinatis maximis hic quaerenda
Facius duterius casum speciatissimum tantum, et hunc recte resolore.
possumus loci infinuorum circutuum concipere pondere in quarcunque proportioroe, et
sertum vel jactum aquae pondera sustinentem, linea jactus est perpendicularis
ad curvum. vis jactus autem mensuraeda per centiu gravitatis. Idem est si d
ad potentias uscendatur
trahitur.
A
chardae ad rem facit
Co per sila
n
probatio quod corpus tahatur ea vi quia qua hahit
Aequaliantem vi res retinacula trahit, nec ingiendo
pe
cerd  replicatio) qua
et
veu stylas altingit continuatum esse langendem curvae
aapsorum
pates 
car
earus rectam
porro iidem est si plura sint fita
replicata, duo enim articuli articuli enim plurium silorum in puncto tensionis seu concursus eorum
inter se concipi possunt congruentes cum nihil referat quae sit eorum magnitudo. Intelligi
urro cum stylus tritens seu filum intendens unum tantum articulum abtingit, esst ad ipsum perpendicularis.
alioqui exim si obliquis esset particulus in es stylus ar ad Atylums intentem linea pS. manifestum est sylum
posse ad huc progredi verjusangulum Y. Nam si dicas fieri posse ut eiglus st totum angulum imple al apo detra
hesponder delcarendam esse maignitudinem imitilem, cum essimi possi quantumis parvus et velut in puncta
is us. perpendiculari ergo stuli nisu existente p) maniffestum est stytum intendentem fila ta, ea cr v
ger ab ipsis intantum retrahi, inquantum ipsa trahit, adeoque perinde esse ac si eo qua ar conciuitur
indefintae parvitalis) ac si stylus S, impelleretur conatibus parallellis cipsisla t, et, ve LYV
ipsiusi
Atyli conatum aequlibrantibus. . Cum autem conatus isti sint aequales hinc peinde est hac
sentro s vel a vel  descta (haec eumm puncta coincidiunt) describatius circulus secans reotas
a0, YC, YB in punctis 1, Y. l, m eruntus nisus ut ai arrl rm et nisus ipsus
ipsis aequibbratus est cujus directio est ps trmusicus per centrum gravitatis omnium punctorum i, Y, 1 m
ed matiplicatus multiplqu ipsius nisus sis in ratione numeri punctorum i, er, l, m ad unitatem
af
dem est si plura puncta, ut v et C, coincidant inter se, considerabuntum enum ponderis respectu
caeterum  resumamus aequationem paginae procedentis quae eratr et
uvelut plura
pro ll+ nv, scribamus coco  eteha  et siet et + adg-  deo A et -erth - hl+ coc
n. e+ dte posita m maxima fet K= C+ Ch: Thh-ihl + coco = 0. seudhh - 2hl + coeo = = eh:
Et fieret Stih - 2hC+ cocol seu BC ad H h seu AB, ut e ad Ergo pari jure erit M+v seu c
seu AC ao h seu AB, ut d ad et quod debet verri subst tulado valorem tollendo  ex aequ. superiore
cope valoris inventi, et rursus quaerendo
omam nempe co- sehoccth + 2hb sit
hih - 2h. l + c0co =) a tih: cc. seu 2 -. ec th rcc h hna cec Hh. cc.
seu l = h: 2 + coco: 2h = h ee: 2cc. unde ex org. C habemus: ch: 2 + Ccoco : 2h - hee: 2C 4 dg - dco + er + eeh: c
no 2s dituifet) largo + e c + da
 m. C+d +e seu ph: 2 + c0: 2h + h ee: 2C + dg - dco + er = m c+ + C et fiet
ced: h - d = 0. seu co ad B ut d ad c. ut praediximu. qua
ex intinitis maximis rursus uaximam quaerendi.
hoc ethodus
i iu deter minatas
quae ex sola data comitione maxime quaerenda determinari, debent ut hoc loco
et co  func omnes habeantur pro aete rminat enita una; rovera enim quae quae ex posita
ad maximam siquatione inveniatur. Et  reperta per aequationem incrementaterto st collatur ex
aequatione. Ex residuis duabus rursu unia tollatur eadem methodo et ita parrui; vel quod eode
redit statim prima aequatio secundun r
amy
BE. b. AFf. B F h. DR AC, 9 cB BC C
A pondera d,e C, d, e. po destersus AD AL, l. Ad, a A. ergo AG desceusus = ceritu
se
nechod
licarun
veru igitur
Sunvitatis ponderum erit ad + lc. + ad + e,:C+d + B, quiadbet esseomnium possibilium maxim
jam considerandum est esse lonsitudinem funis DAC item CdE, esse datas. et esse A sit DA + AC = g..
et EB+ BC = Y  jam Ad _ est a et AC est AE + C  jam CL sit B fiet AC - 11 + vV = Y
et habemus a + Si + DD =g  rursus CB BM B5 est b. fit et BC est BM + cM. jar BM =
AL - AF seu l- f  et CM = FB - LC L h - v, et fiet  b + S. I - 215 + B + th - 2 hB + vD~ Y
ergo pro a et b valores ex eg. 1. et 2. substi tueende in aeg. 1 fier
(4.
le + d - d srv + Aest eer = e SU- 215 48 + hh = 2hv + vD = m C+ d +e = lc +dq. darescencys
visue 3
ergo ponendo primum B constantem fiD C - dl: X   e - El.y + ef: 9 = 0. At ponenda l ostantum fit: - dv: x + Pt.  - ev: y = et ex centro F H
Ex aeq. 6 Ex aeq. 7. patet esse d: e c. h v seu CM : CB, dv: C h. ∞:: x: y seu momnta ponderum d et E, ex axe HC Tum
ut chordae AC, BC. Aensirere in cusuigitur cordarum aequalinu, pondera D et E ex H forent in aequilibiio quod am
ut BT ad AS  seu ex aliorum theoreniate est pondus  D ad pondus E, ut R ad F e
3ete
ostendumus pugina pracedente
ad signum (X. Eigo delet esse BT ad AS, ut FR ad F9. sed hoc reperitur verum. Nam trianus colum  CF
est ad triangulum CFB ut A5 ad BF (altitudines, ob comminem basin CF) Rursus Triangulum CFA est ad triangulum
CFB ut FQ ad FR (attitudines, ob aequales bases CA, CB) ergo A5 ad BT, ut FQ ad FR. seu ut FX ad FV, (in f.g.
prima) sicerum sunt pondera seu lensiones hordarum in casu chordarum aequalium. Ergo et semper, qua
quae sit longitudo chordarum nil refert. Jantur ex so quod per opportunum accidit ex sola aequutione
solvitur phoblema, nec opus est reliquis aequationibus 5, 6, et praeterea explicatione ipsarum X et y uti. Adeo
seu incrementatem Caeterum hoc consentiretam comuni sententia sic
poni
etensiones chordarum RC BC seu chordas
pondera DE ut FQ ut FR ad FG, tum ex nostro calculo, tum otiam ex eo quia vect libra Ai
do ergo tructiones per crC) et ek reciprace ut FR ad FL
et x paraterla ZC
istus
1 ad L
aequilabrr
 C per Fhorias AC, BC est
coserdo quas
ea similiter X_R est rectus
aquales esse et ostendo angulus yFV est rectus (qui
Mang ula AQX
FRadFx, ceu
tiones
eresidui XAZ, et ta erunt aequabs ergo triangula
elgo anguli EFY et X FR sunt aequales, auseratur ab alioque lommonis rensiones funium suo AC, BC, seu pondera
B. E, sunt HVadH
FXad eV. idem et alio adhuc nempe tertio modo sic probo breviter. Pondus C vid tendit ad A et vi E ad B, tendit ante
5
et Y sunt similia adeoque FR ad FG ut FV ad FX.
direclices ad A, ad B ad F, sunt scomplato paralletag urum seu pondem d, E, C sunt ut (completo
EF ergo vires parattalomammo
exprsat Cx, CB, CF
quid si foci
pe
possit
veorum.
os
ut focos ut
 
error in
calulo, qui
scriti Etio
Loae sequantur
b
c
M
Ers. . . . . . . . - bc

## Folio 15v — 00068187:0030
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068187/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 92 lines, status machine
-
-1: 2
1
YX
de Tensionibus funium, et potentis  obliquis directionibus
quanta vi pods A et B sustentacula trahantur a pondere C.
seu suspensis ponderibus D et E quaeritur ratio eorum, ut omnia sint
sit D et E ponderum centrim grav. F in recta DE, et centrum grav.
in aequilibrio
omnium G in recta CF. si jam ponamus C ascendere in (C) descendentibus
tunc si
D et E in (D) et (E) et omnia prius in aequilibrio fuere manebunt nunc
quoque in aequilibrio, et punctum G manebit immotum. puncta ante
(CY, G (F) erunt in eadem recta. Et debett esse elevatio ipsius C
et depressio ipsius F recipioce ut C ad DFE it verum hac
assertio non est certa videtur enim potius centrum gravitatis
olli, sive c ascendat sive descendat
sint tria pondera  C, D, E. quorum duo extremitatibus
Det E, extremitatibus chordae D ACBE sint affixa unum c
redio aliim juncto chordae quaeritur situs punctorum talis
ut centrum commune gravitatis G, sit n descendat
quantum potest. jungantur  D et E, sitq centrum
eorum F rursusque jungantur C et F, sitque centrum C
sint A et B in eodem horizoulali, id enim arbitrarium est et ipsi
AB paralleta seu horzontalis transeat per G occuirens ipsi De
Ad in H. quaeritur situs punctorum talis ut D, C E talis, ut BH
a
 = = X  ix
ete
dX
nisissem
H Sit omnium possibilium maximat.
d X = C. X dx
+ JX = a X
1
o
AB _
ponder aG,D, E, desiguentur per literas c, d, e et Ad vocetur a
et BE, b et transeunte LCM horrzontali per C. tunc AL vocetur b
et BM, m. datur et DAC _ quae vocetur 9 et EBC quae
voeltur Y. erit CA = 9- a
et CB = Y. b et siet
c.L = S ( 99- 29a + aa = U et CM = erY - 2rb + bb- rum
Ex C. H de mitlantur perpendiculares EN et Fp in Ad. Est autem a
EN seu AB, h erit  P ad NE seu ad h ut e ad d+ e. et similiter
seu FP = he: dte et similier DP ad DN seu ad  a - b ut
_e ad d+ C. ergo sit D P = a-b e: d+ e.
similiter PH ad LH ad LD ut CG ad CF, seu ut dte ad et d+e
est autem LP = LD = DP et Ld = a = l et Dp inventa est
ergo fit a -t LP = a - l - a- be: dte. ergo sit
LH ad LP seu ad a   a = a- C dte = a - bep: dFc ut
d + C ad c + d + e. Ergo LH = a = l dte = a - b e: et dte
cui si addas AL seu l fiet AH tales
AH = cl + dl + el) + ad (F a e - d1 - e1) = ac) + be,: c+ d + e
et sit AH = cl + ad + be: et die quod etiam praeviteri
potuerat quaeritur
AH omnium possibilium
minima fit cl+ ad + be,: c+ d+C = m, ergo
0
CRes eg redit, ut quaeritu, uti
planum superficiem tangens plano dato paralletum, tunc ordinata in
2
c dl + sita  + esb _
a superficie ad planum erit minima) eae lerum subest ui adhuc aliqua
relatio, nam Ad seu a + e sit CL v, siet: a + sUltvo = 9
et V+ SM -2hl + U + vD = Y Hos valores substituamus in 6q.
cl + ad + bC = m ct d+ C. siet G cl + d g- sutvV + C +- Sun.3LV
mc+d+C. et fict C + c - l. suton L( Ah- l. FE- nL + P  8 pon
seu C   d AL: LC - pC CM: Coterumquia possumus a
et 6 assumere pro arbilim, ss ideo cumque et r sint ditae summnus sit
qua sit = r- b seu ut siat AC = BC et fiit l+ vv = hh-hC + vx
seu  1 = ZA et fiet  Ch: 2 + D q- co + er - co = im crare posito co = AC = BC
ita ut
sit - D - e =0 eo caso debet esse d = C.
insuctisum
t
o deo c in
ates
sum
ina
+t
ae litndia
xECC 
VFC CAAI
de
X
 
tur
a hic mihi non
feanlia sed
vantitalem
ignificat