# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/13504/text
# Catalogue record: 13504 — für Jean Gallois: (Accessio ad Arithmeticam Infinitorum ubi et ostenditur Numerum maximum seu numerum omnium numerorum impossibilem esse sive nullum; item quae pro axiomatis habentur, demonstrabilia esse evincitur exemplis.
# Incipit: Constat scientiam minimi et maximi, seu indivisibilis et infiniti inte
# Date: 1672
# Sender: Leibniz — Addressee: Gallois
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 002, AA II,1 N. 109, AA III,1 N. 2
# Other printings: LSB II,1 S.222-228
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=13504&katnr=41693
# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# AA II,1: its series at Leibniz-Forschungsstelle Münster (online after accepting its terms): https://www.uni-muenster.de/Leibniz/seite5.html
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068245
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 32
# Folios: Bl. 7–8 (from the shelfmark LH 35, 3 A 32 Bl. 7-8): 4 pages, canvases 13–16, page ids 00068245:0013 to 00068245:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068245&page=13
# Lines: 396 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 7r — 00068245:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 108 lines, status machine
2,7 At vero cum Hobbius, quod unum ego abeo prae
saris recte praeclareque factum arbitror de
monstravent, atque in numerum theoredatum hac axioma redu–
xerit totum esse majus parte. Egr audapter inde colligu
Numerum infinitum esse D. quod non fecerat Galitae
In eo vero lapsus est tobbius, quod colligit veritatem omnuo
propositionum esse ab arbitrio humano. Primum enum
ea quae sensu constant; ut ignem lucere me con
ritare, excipiendae sunt:  at vero sed et eae
uf sentiri centientem unde
fichimedes jam olim in quadcatura Para–
bolae usus est Arithmetica infinitorum
nonnunquam inscriptis et cirgumscri–
tis atque Indivisibilium Geometria, in 
inscriptisque atque circumscriptis in Dimen
Hone circuli, in. de sphaera et Cylindro, in
Quadratura Parabolae: hanc metto et
Potissema esse specimina ingenit doc Minimi et
Numdrum maximu seu nrmerum orum numerorum
Constat Arithmeticam Infinitorum inter
Accessio ad Arithmeticam
infinitorum uli et ostenditur
Maximi, seu indivisibilis et infiniti
impossibilem esse sivenullur; iter quae pro axrimatis
habentur demonstrabilia esse coincitur exemplis
inter maxima documenta esse, quibus Mens
humana sibi vendicat incorporalitatem.
Et quis persraderet sibi, nullam esse corpus
tanta exilitati parvitati brevitatis, quin in
ea sint infinita non tantum partes, non
non tantum semoice sep
o
infinita puncta sed et infinita lineaecrationem racus
tiones cogerent. Quam illud vero mirabile
etiam summam inire infinitorum, quod jam
dudum multi in DC Fractionibus progessione metriae
Geometrica continue de crescentibus, veteres quae ex praecedem
senti re seu cogitale item: me
praestitere, ut.  + + te ete om infinitum
et
esse. Sensu enim certiuum
est me sentire mesentire, seu
quod tantatis vocibus idem est, me
summa est L. Item L + L +s etc in infinitu + Ergo  senitiri immediate se
vel in infinitum intra fintum spatium
crescentibus decrescentibusque limites praescribere.
quae duo unica qavel infinitorum
ducta in se invicem finitas generare figuras
earumque indagare demonstrare proportiones.
Ita Vereres dedere nobis Regulam incundi
summam Fractionum sive Rationum Geometrica
progressione in infinitum decrescentium.
Quantitate enum data, exposita linea AB
eaque linca ita continue secta et subsecta
 AB ut A,B ut ea sit ratio
subsectionis, ad sectionem
AC. ad totum AB.
seu ut aequales
AC. AD-
Dunc ea erit iano quae est ratio CB ad AB
ffere (residuli ex toto detracta sectione, AC.) ad totum AB. eaerit ratio totius AB
ad totum compotitum ex toto, et ad
en
Geometriam quidem moidistutrum resuscita
lau vit nostro seculo Cavaterius obstetricante atque
inn probante Gaulaeoidallisius Arithmeticam infi
nitorum, 7ac. Gregorius inscripta uccircum.
+continue decrescentium in
Lua affulgeat, nulla exes est proveheno
et n quae ex sensu cognitis, adhibitus
onstrantur, ut
a mesentiri coritantem sentiente
sine medio, inter me enim et ne,
medium nullum est. Quicqued imme
diate sentitur: id in mediate se
sibile est. Qicquid inmo immali
immediate sensibile est ine erro
re sensibile est, (omnis enim erro
a medio sentrendi, ut alibi demon
strandum suppono) quicquid aensibi
propositionem: ego sum
senti pus, al pe consequens, eg
ego sum. Excipidu
autem etiam sunt pro positiones ideu
ticae seu ejusdem affirmatio de
scipso, vel verbis etidem ut rmale
ribus cum defimtio praec
definitiones diversaec
ejusdem definiti des
invicem, aut pars definiti
definiti definitione inc
sen
AB+ AC + AD + AE4 etc.
et ad huc sectionis sectione,
a doctio viris, sed minine non absolutam
idem locus nos debet admoner
ex principio universali,
ex da duco elegnitem
phia nullam esse recipiendam propositionem
nidi quae aut sensus obterratione immediata conste
aut sit demonstrata, exceptis definitionibus, quae ut toties in
sic oper scriptis inculat Galilaequs, arbitrartae sunt ac
damtous nosd nis expertees mado clarae. Cum enim haec ipsa propositio: totum esse majus parte, dabitationem
receperit apud maxims geometras, quales sunt Galilaeus et Gregorius a S. Vincentio, ullas ne alias
notas clamitatemus Bergemus, cum Galilaeus crediderit Numerum infinitum esse aliquia
tati, et tamen in et negati habere laum majorts ex u ocum partibus esse maus
Hujus Regul demonstrationem tentatam vidi ego eam rose agendum sit, si perficienda eit philog
non demonstro tantum, sed et equentiam

## Folio 7v — 00068245:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 67 lines, status machine
Fractionibus continue decrescentibus
Sumtis Progressionibus Fractibuum trogres.
dionis Geometricae aquarum numerator sit unitas,
sujusdam
Nominatores vero termini progressionis geometri
summa Fractionum sequenti omnium progressio
datae, erit Fractio prima progressionis
Geometricae praecedentis. Ut.  + 4 +g etc =
Et 1 + L + = et c = L. Et  +  + L etc =
et ita porro.
sed hac parum est, accedamus ad ea de quibus
ne regulo quidem hactonus fuit. cum aliquando
CumIllustri Hugenio natrassem, esse mihi ratione
quasdam sumtuandi series nonnulla in infinitur
decrescentes, deququarum computatio hactenus
prodita non est. Ille proposuit mihi sequen-
tem, fractionum, quarum numerator unita
natores rero Numeri Triangulares D. 1. 3. P. 19.1
feorum differentiae scilicet sunt naturales 1. 2. 3.4
et c A summanio
o 15 21 28 clculo  aliorum ve sat
5. 637. Ck
quaerere jussit. Sibi aliquando de Alea smeditanti 
hac tsumma fuisse opus, inventesus eam, sed
nondum publicastam
Quaesivi invenique
ac ne summani esse 2.. quod cum Hugenio
mrassemus vorium esse fassus est. Summam
esse  seritit
binatie et.
19 +.  + = + = et =Z
quid cum Hugenias  monstrassem, verum a suo calculo
conremengo verd dud esse fassus est, conveniensque
talculo etiam suo.
Ego vero eadem opera inveneram Methodum
universalem summandi series non hujus quoque tantum
progressionis, Trian fractionum, aume
Triangularium, cum alifferentiae derminorum
sunt numeri naturales sed etiam progressionis
Pyramidalium, ut vocant, cums differentiae Teritorum
sunt numeri Triangulares; et Friangulo Triangulari
cum differentiae sunt Pyramidales; et Frian gulo-
Pyramidatium, cum differentiae sunt pyppridales
serent
et pyramido- pynamidalium, cum differentis aes
terminorum sunt numeri Triangulo= pyramidales.
et ita in infinitum Inspice Tabulam subjectam.
 edt
10 20 35
62, 3590
s
2955 it nst geb su
 Elost etae is pres
1024 64 12 256
184 20
14+ 8 1064
21. 28 et
+ 1024 Vra
Fractio num
 schini
deponentem vono exempto
ut enim radicu exponens 1
quadralorum 2. Tuborum).
ete, ita hoc loco gene
lalorum lnaturatim
2. Triangularium 3
ts ier inn

## Folio 8r — 00068245:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 131 lines, status machine
Et hi sunt Numeri, quotum
uli comlinatorum
Ordines Numericos, alii Numeros progressionis
 sane
symmetricae, Pascalius eorum ususmultos exposuit
in Triangulo Arithuetico, qu seu  tractatu
quem de iis ex professo ecripsit scripsit exprofesso
Ego Numeros appectare soleo, progressionis
Arithmeticae simpliri Replicatae.. Nam
pro Unitatibus substitui possunt Numeri quicunque
ut Binarii Ternarii, pro Numeris Naturalibus
Numeri quilibet progressionis Arithmeticae, a
D propositionis veritatem esse ab arbitrio hu-
mano. definitio enim arbitrio humano est.
At vero omnia theoremata axiomata et
quae a sensu non pendent, imo omnia scientia
differentia sua inciprentis, ut pro 1. 12. 3. + eteo
rum a sensu et experimentis independentium
theoremata sunt prupositiones ejusmodi,
quod et Aristoteles amin ad vertit, qui unicu
posuit demonstrandi principium, definitia
nem. et vero Axiomata omnia quae Eualides
velut principia praemisit Elegunitis cuodefo
iitignibus demonstabilia duntuid
discimus ergo inies cum hecemata talium
scientiarum
2. 4. 6. 8 etc. Eademque manet Tabula, proportionaliter A
tantum enim si generator sit binario omnes
termini duplicantur, et si sit ternarius omnes
termini triplicantur et C Eodem modo dantur
numeri progressionis Geometricae replicataes
Regula Universalio haec est: re
summa summa seriei fra.
ctionum, quarum, dea numerator.
itas nominatores termini cujusdam
igamus
nisi celenteque
cum p
hil inquam
Amhdeto
quatu
id 48526 progiessionis Arithmetiea Replicatae unitatem geeraorem dabentis
Replicatae
quod cdimast
in quabus anteredem
umima rationum
consericuls st progression trcum
unitatis ad aliqua termines curodam dictos
Replicatae unitatar habenti
Arithmeticae progressionis replicatae peni
haec summa, inqua
talem generatorem habentis, est
Natio Exponentis, datae progressione
A
ad exponentem praecedentem, 
rent ex Algea ubi nemo non
seu vel summahaa umfractionum est
sive numeru unitate mivore sens
lopens serei proximae praecedentis seu penultimae
altima) seriei nominator, axpomens eriet proxime praecedentis praecedentem, seu antepenul
con seu ver
fractio oujus numerator
cedentis sive nutuerus unitata minor.
pponens se cerien hoc loco st numerus
primus post unitatem, sive ut in icta
serie vel est Expenentem hic voco
Ita aeriei primum seriei numerum scilicet
post unitatem omnitus communem
3 8 10 19 21 26
summa este2. seriei enim Nam series
praecedens seriem 1. 3. 6, 10. =15. et. nempe
series 1. 2. B. 4. 5. v6 etc habet exponentem
2. Et series praecedens dictam seriem prae-
cedentem, nempe 1. 1, 1. 1. 1. 1. habet
omnes saripturaliauus rei res de sere
oerentur definitionibus suis, et quod in Aigebra
aequationes, sed sic omnibus ess theoremata ubi
essent, et prublemate omnia possen, a solv
et infinita et problemata proponiet iheo
remata nullo negotio demon man sutiqe
Y fractionum Pra. Triangularium, 
seu ratio exponentis maturaliam, ad
Triangularium ad exponentem naturalium
n nempe.
exponentem tas loco voco nsthimerum serre, sen numerum ordinatem
Unitatemne
possent, nec in ea scriptura utra esse
quisquam nisi rerum intelligenti posset
exponentem 1. hinc fit 2. Ergo summa
seriei fractionum pyramidalium, est
L = etc est ratio exponentus
4 10 20 25
et mn irgo potestate foret uniucujus
utan Arithmesica sine ratio error
ratiocinari. Atque hujus scriplurae
Universalis sive Characcterisimi philoso
phici Algebra tam  numerosa
quam speriosa non nisi pars, seu
specimen est. quod a maxims viris
non satis unimadversum miror. Ego
in vero specimen paro, in re morali, seu
eo quod justum est, ut appareat
256 Replcavis quiscrereer ex prmnt quota sit repercad. Ila serie L L et exponens est
serici 1. 2. 3. 4 et exponens est 2 Cum crum in prima tantum lemet repetita sit lenotas generatru in secumit
26  tantur replicaoes replicationm. Quod
ipsae rpercaioes seu repetitiones reptocantr in tertra que
nerator sit caomitas, mmierus derici sen Eognitust inadit vaneno ergestiama prast un tota, ut en tertia 3.P
ora (64
areidrum
progression Gdometinae, Htinier la serieii+
symbolis ad ordina
cogniiis et a seusibus acceptas idea
sive ea symbola sint nomina
paracteres Ut in numeris, quis
net nihil novi disci in tota
metica nisi nomina numerau
varmonice fiunt
s recurus, qui si rur
theatnata eliciuntur
maxima eta et
imi potest
nmafaccile
axime appa
on integra
videt, omnia symbolis varie transpo-
asitis agi ingenti fructu, non quod nova
discantur, sed quod res nude exhibentur
menti. quare si vel linguam vel
saltem scripturam haberem philoso–
Dhicam, de qua a me dictum est in
phabeto conteretur) Elementis eagitandi

## Folio 8v — 00068245:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 90 lines, status machine
antendicta invenvi acd
series fractionum Prgcessionis
demel bis tex quater quingries sexies ptles
cuindmod prolixa sit, et multis tedmmat
indigeat, de, aliquando cum multis aliit ejusdem gen
ubi maji digerendi otium auspetierit, sublici
sed etiam ut tot sint in eo numeri
simpliciter, qua id est pares et impares
simul, quot numeri pares seu dupli
numerorums quia pare
numerorum simpliciter est autemidum
dupli quot simpli Eodem Eodem
modo rolligitur, tot esse numeros
Teti simpliciter; quor pares seu binarios
Methodum opsam, cum mullis aliio tractionibus
sive rationibus continuo decrescentibus in unam
summam collectis; publici juris faciam
ubi majus digerendi otium suppetierit:
et quot ternarios pseu numerorum
simpliciter troplos quot quaterna
rios etc.  etsit m anifestum sit int
binarios seu pares, alios hon pares
et adhue magis inter ternarios
occasionem mihi praebitam
Hoc loco praeterire non possum admonitionem cujusdatu
ati
rca na turam numeri infiniti
vel ideo qia a gatilaeuus in diali Mechan. 1.
infinitum Numerum comparat unitari. Cum
enim ita ratiocinatus esset. Omnis numerus infinitum
in infinitum habet suum quadratum, suum
cubume, etc. (si scilcet enim producatur in se
siptum produceturi utique ejque quadratus cubus etc.)
Ergo tot sunt Numeri, quadrati, et cubi etc.
quod radices seu numeri simpliciter, quod
est impossibiles. Semper enim inter Numeros
alios non terna rios interjici
Cum ergo in numero infinito
tot sint Numeri pares, quot
numeri pares et im pares simul
seu quot numerit simpliciter
Sequitur  infinitum Numero
iifinito totum esse majus parte
enfinito fallere Ax ioma illud: todum
C esse maji parte (quemadmodum
 Gregorius a S vincentio id con-
 Fat Apioma illud fallere impossibile
Quad ratos multo alii interjiciuntur non Quadrati, dillud nunquam  nonnisi in
et adhuc magis inter cubicos non cubici.
quid ergo? attributa aequalis majoris
minoris, non habere locum in infinito.
 et subjicit _ si ullus sit numerus
infinitus, eum esse unitatem in ea enim
Nulloseu Xihilo fallit crao Numerus infinitus
omnici umidoti mmtrus infi nitus = O. Et vero
esse illud necessorium requisudum numeri.
infiniti, ut tot sint in va qua radices
quoi quadrati et cubi. Unitatis enim
quadratum et Cubus etc. est unitas. ste
Hiec ille. Ego vero ajoisi ullus sit numerus
infinitus, eum essa Zero, serinultam, et
prande vel quod idem est dicere, Numerum
infinitum esse nullum, seu infinitum LO.
Habet enim Numerus infiditus non id tantum
quod in eo observatiit Galilaeus ut sot sint
in eo omnis generis potestates, quod radices
in O seu zero, non haec tantum a Galilaeo
in unitate observata infiniti proprietas
est, sed et aliae omnes, nam quadratum
et cubus de 0. est 0. et duplum tri-
plumus de O: est 0. et 0+0=0
Pars totiaidem ne glieno praeterrem
huc digressus videar, hacue serierum
in infinitum progredientium collectione
in at fractionib ritouleticae progressio
Ergo 2 + L + L etc = C. Jam 1+ 1 + 1. etc. est consti
smt  ua patventin lt
thmeticae replicatae, ubi patet in i etb
summam sequentis seriei, esse primum serie
31 + L etc = L. item L +  + L et =1
nis summandis ose ob dictum est suma
fractionem serici antecedentis et 
d tendit fallere in angulo contactus
 est seu quod idem est Axioma
est impossibilis, non unum non
x totum, Sed Nihil. Ergo N
in summam, comprobatur
Arithmeticae Replicatae
Res ex hac Tabula clarius putet
mticae  epic