# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1387/text
# Catalogue record: 1387 — Demonstratio, quod columnae serierum exhibentium potestates ab Arithmeticis, aut numeros ex his conflatos, sint periodicae
# Incipit: Omnis series numerorum rationalium, qui sint arithmeticorum potestates
# Date: 1701-11
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Other printings: -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 7 S.235-238. -Couturat, Opuscules, 1903, S. 575 & 580. -L. Strickland, H. Lewis: Leibniz on Binary, Cambridge (MA) 2022, S. 157-160 (engl.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1387&katnr=59016
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068006
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 4, 9
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 4, 9 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068006:0001 to 00068006:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068006&page=1
# Lines: 175 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.92
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068006:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068006/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 33 lines, status machine
Demonstrato, quod columnae serierum
exhibentium potestates ab Arithmefficis
aut numetos ex his conflatos, sint periodicae.
Omnis series numerorum rationalium, qui sint arithme
tioorum potestates ejusdem gradus (exempli gratia
series omnium X, posito X esse progressionis Arithme-
tica numeros) continuatis quantum opus differentia
tionibus dat differentiam constantem. Fultima diffe-
rentia nabur alium est 1, quadratorum ab ipsis, Z, cuborum
6, quadrato quadratorum 24, surde solidorum 1o eeo
id est l; 1. 2; 1. Z. 3; 1.2. 3. 43 1. 2. 3. 4 5. ( Simile aliquidsit
Si arithmetici non sint Naturales, sed alic quicunque,
verbi gratia impares ordine positi, 13,517, cec 7
Idem est, si series exprimi possit per formulam
analyticam integram ex potestatibus conflatam, verbi gr.
X 3 6X = 7X + 1.
dem est, etsi formula habeat numeros in denomina-
na multiplicata
per denominutorem communem dabit seriem arithmetico-
rum. Ergo et non multiplicata, id enim aequalitatem
differentiae non mutat. Exempli gratia Numeri XX+X
sunt semper integri itaque horum series aliquum
differentiam (hoc loco secundam) habet constantem,
primae vero differentia sunt progressionis Arithmelicae.
Hinc etiam omnes series Liguratorum continuatis
differentiationibus dabunt seriem Arithmelicorum
et generaliter omnis series Neumerorum integrorum
qua Analytice expressa per formulam, incognita non cudit
vel in denominatorem (ut fit in progressione tarmonica) vel
in Exponentem (ut in Geometrica) continuatis quantum
roduc 
vel quod idem est, vice versâ omnis sujs modi series fit per
Summaetionem arithmeticorum replicatam. Omnis enim

## Folio 1v — 00068006:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068006/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 42 lines, status machine
series ex suis differenties cujus cunque gradus
continuabis summationibus conflatur.
Hinc jam pergo ad Numerorum expressionem
per proportiones Geometricas sive dyadicam
cum
sive decadicam aut atiam quamoungue. Et quia
omnes series Arithmeticorum, sed manifecte impri-
mis dyadice expressa, habeant columnas periodicae
sequetur omnes series potectatum vel rumerorum
figuratorum vel aliorum supra dictorum habere
columnas periodicas, ubi ostensum fuerit, omnem
periem summatricem periodicae esse persodicum.
Nam ita et summatrix summatrias periodica
erit, imo ex hoc sequitur, quod praesupposuor
mus, Arithmeticam seriem eose periodicam, cumqe
sit summatrix seriei constantium, quae utique
operiodica est..
seriei
Ut ostendatur summatricem perrodicae esse perio
dicam quod sit lemmat, consider emus initio separa
tim quamlibet clumnam Summandae serici, tan-
quam ipsa saec columna sola ess et summandai dico:
Si series summanda periodita unius esset columnae
asnes
Seriem summatrcem Sabituram esse columnas poria
dicas, e.g. Seriei summaneae constantis ex co-
sumna A, serier summatrix constet ex columnis
QMN etc, dico quia A est periodica, etiam Lnp
eto erse periodicas. Nempe ubi evenit ut periodo
(simplici vel replicatie) columnae A, respondeat o
in columnis summatricibus, omnia in usdem co
sumnis redeunt ut ante. Ji pro oolumnis Lae M
fit in loco C, ubi simplex oolumnae A periodus
finitur. At pro columnis QM N, it fit in lcD,
ubi finitur duplicata columna A periodus, qua
etiam ipsa per se integram periodum constituit.
Previder autem potest, quota replicatione penodi
columnae A incidat o in summatucem.
Nam constat, quol penodus simplex summanda
A Sabeat unitates, v.g. hoc loce 4 Jam semel
4 dat 100 dyadice adeogue 0 in prima et se
ounda columna summatrioe. Sed columna duarum

## Folio 2r — 00068006:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068006/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 53 lines, status machine
periodorum.
olumnae A. seu bis 4 est 2000 dy aedice
id et dat or in tertia columna sum matrice eto.
doperiodus, simplex dabuis set unitates tres, tunc
lix
+er5
1I ee 2. 3= 110 ∞ 3. 3 = 1001. et 4. 3- 10B etc
Et ita primu oolumnu, summ atricis periodas for
odi columnae,
et
mancae, serundae columnae summ atrcis
quadrupla periodi columnae summanda
 octupla eec idque contingit, quoties suma
penodi ipsine A est numenter inifari
Assiomo jam Lemma alterem: Dure vel pluree
columnue periodicae in unum additae, ita ut Atatur
Terminus termino respondenti, dant seriem periodicum
Nam si duae sint columnae addendae, D, E; semper ad
detur aut oe0, aut 0 eei aut 1eer. Dnmo casu pro
dit o, in seriei conflatae 
idesto cum prima columnae Fisecum
casu 1, tertio 0 seu 10.  translato 1 in volumnam
columnae nisi binue f eeC
harentis prodeunt
ex duabus prioribus utraque sequitur
periodum columnae longissima periodo praetitu, quae
hic est E. Nam semper post hano redeunt puora
Suxpono enim, ut semper in nostris dyadicis.
periodum majorem continere minonem, esse
scilicet ejus duplam vel aplam vel octuplam aec
quanquam si una alteram non meliretim, tamen
periodus communis tandem haberetur facta ex nument
periodicis, ut si una periodus esset terminorum 3, al–
tera 4, periodus communis foret terminorum n)
Hinc sequitur rursus etiam trec vel plures alias
olumnus in unum conflatas ita scilicel, ut ter–
mini repondenter, in
utq
periodicam; cum Tertia columna periodica adden
da fit conflato ex duabus prioribus, quod uti jam
ostendimur, ex columnis periodias conctat.
Nactenus diximus de solae columna A
summanda; nunc consideremur seriem summan
L
datam
dani posse constare ex pluribus columnis A, B, C, ad
et quamlibet pun habere summatrices, ut A ipsas
LM N eto. B ipsas a, n, v, etc. et C ipsac
3, V, 2 eto, ipsam autem serdem summatricem
fuisset 1
duplares
periodus e
tentiae

## Folio 2v — 00068006:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068006/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 47 lines, status machine
habere columnas XYZ eeo Dico X fore L, sed
fieri ex a e M; a Z fieri ex 3, n, X. et ita poro.
vel ut clarius res exprimatur ipsius columnae A
summatrices columnae Q M, N, habeant terminos
designutos per circellos; ipsius columnae B sum
matrices columnae X, r, habeant designatos
per triangula; er ipsiue C summatrices, nempe
li
dVI habeant designator per quadratula.
Patet X conture ex meris circellis columnae 2,
Y conflari ex circellis columna M, et trangulis
columnae 2; 2 denique conflari ex cirvellis
columnae N, triangulis colummo n ex quadra–
tis columnae h. Et ita pono. Vel si verbis enunci
es; X prima columna seriei summatricis XyZ
constat ex L (columna prima summatrice pri-
mae columnae sumantae A) Sed Y secunta
columna seriei summatriois conflatur ex M
(recunta volumna summatrice primae oolumna
1296
Summandae A) et ex A (prima columna summan
trice secundae oolumnae summundtae C3) et Z
tertia columna serici summatrias conflatur
ex N. (tertia columna, summatrice primae co-
lumnae summantae H) et ex n (Recunta
columna summatrice secundae oolumnae sum–
mandae B) et denique ex 3 (prima columna
Summatrice tertiae columna summandae C.)
Et ita porro.
Cumi autem (peu Lemma 1) singulae columnae
conflantes sint periodicae, etiam conflata erit
periodica per demonstrationem precedentem
seu per Lemma 2, et licet inter conflantum
rursur aliquid rejiciatur in columnas sequenter.
manifectum tamen est, id ipsum quoque esoe periodi–
cum, adeoque id addendo caeteris periodicis
columnas tandem periodivas constitui debere
l
o
515 50
25
62
65
d
1
60 24
24