# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/141/text
# Catalogue record: 141 — Divisiones Formularum reperire
# Incipit: Divisores formulae sunt ejusdem generatores, itaque magni ad
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=141&katnr=59109
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068227
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 14
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 3 A 14 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068227:0001 to 00068227:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068227&page=1
# Lines: 244 recognised on 3 of 4 pages, mean confidence 0.90
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068227:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068227/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
Divisiones Formularum reperire
repemiendas
perutile est
Hoc mactientus est ad depressiones,  extractiones, analogias, aliosque
usus Analyticos, cum divisores formulae sint ejus generatores.
divisores formulae sunt ejusdem generatores, itaque magni ad analysin momenti
est, ad inveniendas analogias, extractiones, depressiones, aliosque usus cervere latentes
divisores formularum, sive literatium, sive numericarum, quas assumta  litera
pro unitate, possimus reducere ad literales. Formula autem utiliter considerari potest
instar aequationis c, quoniam divisores aequationis etiam formulae sunt divisores. Ex aequa
tione tollantur, irrationales, et quidem quantum sine exaltatione aequationis licet. Aequatia
secundum aliquam literem ordinetur, qualis X, quae vocetur ondinalis Litera ordinalis.
litera
Quod si aequatio sit divisibils, sec per formulam, a qua litera ordinatis absit, oportet altimus
terminus aequationis, et reliqua ejus pars hab divisorem communem (facile nota Methodo
Nperiendum) qui erit divisor aequationis, adeoque formulae datae. Deinde videbimus anaequatio
vel cubica, e et ila porii,venti h+X vel h+ KX+xx vel k+ (x+ LXX + X3, vel
divisibilis sit periformula na
quadre
tot f x + LXX +M X3+ X 4; et ita porro. Id vero an fieri possit, et quomodo sic investi
Si Aequatio data sit divisibilis, er siomplicem 10+ X erit 10 +x ejus radix, et
habimus.
habebit radix ratorem rationedem,  ita ut sit 1  10. itaque Ce
Ante omnia praeparetur aequatio data, liberando eam a fractionibus, et summum
ejus terminum a coefficiente, quod notum est fieri semper posse multiplicando radicem aequationis
praeparata jam aequatione, investigetur an habeat radicem rationalem, seu an sit
divisibilis per formulam simplicem h+X ita enim valor  habebitur valor rationalis
ipsius X, seu erit X = =C. Inventum jam est ab Harriolo 10 fore divisorem altim unum
quantitatem ha quaesitam fore vator unum ex divisoribus ultimi termini aequationis datae
Aest Esto aequatio data p + gX + YXX + s X3 + t X + X. Di quaerantur divisores
rationales integri ipsius p, unus ex ipsis debebit esse p _ 10 su divisi et ex si quaesitum
succedit, unoque ex iis assumto pro 10, hoc modo tentandum erit an 10 +X dividat aequatione
datam sed qvia ubi ples sunt divisores (iam affirmativi quam negativi) saepius tentanda
esset divisio; ideo pro-x augeatur vel minuatur vel augeatur Eadix aequationis
eunque valorem substituendo in aequatione data, 
jas terius ultimus erit p+ge+ ree + 5e3+ te + e
s o
datae, pro X ponendo S,
nam reliquos ejus terminos investigaret nihil nunc quidem necesse est. Quod si aequatio
oata
data est divisibilis, erit, etiam nova divisibilis eodem modo, et cumprioris divisor debeat
quaesitus debeat esse A+x, novae divisor erit itet y. itaque tote debet esse unus,
ex divisoribus diiso A Ultimi termini aequationis novae, qui vocetur () ergo (A)-h- e
ac proinde ex dicisoribus ultimi termini aequationis datae seligatur ille cujus differentia
ab aliquo divissre termini ultimi aequationis novae sit quantios assumta e. Et quia
Quod si plures divisores t ex aequatione data hoc maesteat; velet loco e
sumut pona varietur quantitas assumta, pro e, ponendo f. et uli et ex selectis
ex succedentibus divisoribus rursus deligatur is, qui ab aliquo divisore aequationis novae
secundae differet quanbitate altera assumta f. ila itaque tamdin variari potest, donec
dixisores excludant Et tandiu contingabitur variatio, donec divisor omnis, qui non constante
succedit excludatur. ita reperto , tentanda est divisio per A+ X. H Ut autem
excuditur, calculus facilior, loco ipsius e, vel f, vel 9  etc. Quantitatis assumtae assuntur
eam, 19 vel 10nbel 100a, qet ia vel - 10a vel - b0a;  pro  literam a habendo pro unitate.
erit divisto, ila facilis Atue haec quidem jam habentur  apud alios, repetenda tamen erant,
Sed sidaequatio sit divisibilis per formulam alicujus gradus, adeoque reducibilis
aquano data ut caetera faciliis intelligerentur
licet non per valonem, radilis rationalem haec methodus nondum applicatarhabetur
reperi autem posse eam huc quoque promoveri magna facilitate, nec minore fructu,
Et quidem semper verum manet ultimum terminum aequationis datae for e divisibilem peu h
ultimum terminum vel infimum terminum formulae dividentis quaesitae. Et quedem s ea
jam sit quadratica, nempe h+ KX + XX, in eassubstituatur ety,  terminus infimus novae
secundum y prodeantis erit h + Re + ee, quae quantitas sit (h) ut ete erit (B) h divisibilis per C
pus ar ge es drio sonbus aequationis nobae, fit es at usibus per e, ellarte
suudit vet
nat
u
 passsi
quaesita
non habet
eationem
quae si

## Folio 1v — 00068227:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068227/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 76 lines, status machine
idem est in altioribus formulis, nam si esset cubica h + KX + L XX + X focder 
faciendo X- yte X pro x substituatur e+y, erit ultimus terminus formula nov
exit h+ Re + lec + C ) qu qui aequabitur uni  id est (h) unus ex divisoribus
ultini termini aequationis novae itaque rurgus (h) - h erit divisibilis per e. Generaliter
rataonalis
ergo, ut investigetur an aequatio data sit divisibilis per formustam alicujus
talem
s p.
gradus rationalis integra ordinata secundum X sit divisibilis pers formulam rationalem
inferiorem, secundum eandem literam ordinatem, velut X; notentur omnes
divisores ultimi termini  divisionis datae Aequationis datqe et pro X ponendo 
y+e, notentur divisores ultimi termini aequationis novae; e variundo variando
et ex divisoribus, prioribus seligantur illi quorum differentia a posterioribus sit
divisibilis per assumtam quantitatem e, utcunque e varietur. ita facile excludentur
divisores non succedentes, cum quaevis variatio od excludendum servire possit. Quodsi
nullus  non excludatur divisor ultimi termini aequatiohis datae; non potest ea aequatio
vel formula dividi per formulam talem inferiorem; cujus curque sit gradus;
idque adeo praeclarum huic methodo inest; quod omnes gradus una 
en
u
sit dibisor
e postquorun varrationes ipsiis, e, ali qui
e  uot quecese est qsibi respondentis, seu ynttimum
poterunt etiam inveniri reliqua  caetera eterae coes laeteri coefficientes formulae dividentis
R. 1 m, etc. prout aequatio altius ea scilicet plusmina a minus aut plus assurgit.
Et lit hoc diversa nihil operatione opus est, pro graduum diversitate, est tamen communis
non
processus ut mox pabebit
ed Incipiamusa formula dividente quadratica haket ee e
h+ KX + XX, quae transformata r habebet pe pro x ponendo ety, dabit formulam
dividentem aequationis novae crjus novam cujus ultimus terminus evit h+ kec + CC = H.)
h et fiet fiat (h) hy: c = scribamus (S) h ee : e = 1∞ 10 et
 ob datur (6) k, Ct) H, ob inventas jam h et (5), notamque e unam ex assumtis 
tui respondet (h), fiet habebitur et K =  (h) - h - ee: e quam quantitatem
cum integra sit per compendiam vocabimus Ha, et fiet di Formula dibidens quaesita
inven porro quantitatem (h) - h - ee, e quia recurret per compendium vocabimus 110
Hs; formula dividens sit cubica h + KX + LXX + X, fiet h + K e + lee + e = (H)
et quia (h) = h - e3 divi ai potest per e, proveniens compendio appellabimu, 3 quo et siet
R + l et = 20D. Sed pari jure pro e assumendo L, loco (h) pradibel   sumatur (2h)
et loco (2h) = h - f3, if, assumatur 31 siet K+ 1f = 3t ~I, ergo fiet 
= 310 -311,:, e - f = 370 et fiet K = 310 - 21 = 310 e
Si formula dividens sit biquadratica h + KX + l XX + m X + XY fiet h + KC + lee + MC + C. 1B)
et (H) = h = et : e = 410 adeoque R + l e + M ee = 410 et pari sure faciendo
(2H) - n - (4: f = 411, fiet X + lf + mff = 4+P, unde 41D 4+1, :, e- f vocetur 420
et siet l+ em = 420 et A te l. + ee m = 410 -411, et 410 - 4u, :, e- f vocando 420
fiet l + em = 420. sed pari sure faciendo (3h)- h - g,: g = 412 et 410 - 412, :, c- 9 - 421
prodit, m= d430 et l = 49 420 - (et 5) 430.
R= 410 = 420 C + 430 (e+ f) C = 4 30 ee et firt K = 410 -420 C + 430 ef
Si formula dividens sit surdesolida, h + KX + lXx L mX3 + n X + X5, fiet h + Ke + lee + me tne t C- B)
(H) - h = 13, : e = 510 adeoque R + le + mee + nC3 = SIO et pari jure R+ l.f + nff + nf = 511, sit
sit Sio- SI, :, - f = 520 fiet l+ M (et f) + n (eet ef 1f5) = 520, et pari pure ob g, fiet
L+ m (8+9) + n (Cet eg+ 99) = 52I unde n (f.9) + nC (f.9) + n (H- 99) = 520 - 521, et
posito 520 -521, ig f- 9 = 530 fiet m + nser  ) (s+9) = 530 et pari jure m
m + n (et f+Y) = 53l et n (9 -)) = 530 -531 sit 97 530 - 531, :, 9- 7 = 540
et fiet tandem n = 540 et m = 44 530 - 540 (et 5 +9) - (510
et l= 520 - 530(C +5) + 540 cec+ 2ef + 55 + 89759) -540 (e +es + s5) seu fiat
= 520 - 530 (et 5) + 540 (eft e9+ f9) et R = 510 - 520C + 530 e (815) 540e (eft egt fg)
+540 ep (e+5 19)
seu K = 510 - 520C +530 ef - 540 efg
5408
= 530 et
fiet l+ em = 42, habebimus e (f- 9) m = 420- 42 et 4g0 fiatque 420. + 21, : f. 9 = 430
et
AHini suficit
risores
cdateriqui
un in fra
radicem
quadratium
ivide ad
Hadeo qeabebitu
et formula
quesita
dibidens
quae sita
h+KX + XX

## Folio 2r — 00068227:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068227/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
eamque dividens
sit ergo formula dividens aequatione data inferior quaecunque h+ K X + lXX + mX + n X + X
ejus altimus terminus x substituatur , ety fiet aliqua formula secundum y
cujus  insimus terminus (h erit h+. K et Leetme+ ne + e. cujus maximus termi
nus quicunque e, ut co hoc loco =5, fiat (h) - h - e : e = 310, adeoque erit
positr. C exponente in gradus formulae dividentiss
90= K+ let mee ne  similiter pro e ponendo f, et proch) ponendo (2h) fiat
(2h)h - f. : f = gi D = K + 1f + n Ss + ns3, ZF quarum duarum atquationum
ope tollendo K, et faciendo 910 - g1, :, e- f = 920, fiet 920 = l + m (ets) +n (eet ef. + ff)
pro  assumatur 9,  cui respondeat (3h), est ita eodem modo sde fiet
(34) -h - 9, :g = 912 = k +l9 + mgg + n 9
et 910 -912, :, -g = 921 prodibit
121 = l + m (er9) + n (eC + Eg +G9). Et ope aequation valorum 92a, et qut tollendo l
es faciendo 920 - 92+ conjungantur valores 920 et 92 a se invicem subtrahantur
930 = m  =+ m + n (e+ f+9). Sed quia adhuc una super est ita habetur et m
sed quia adhuc superest invenienda litera n, opus est ad huc una minatione. itaque pro
loco ipsius g, assumatur d, et fiat  931 = m + n (C+ S+D), et tollendo m
fiet 930 = 931 = n (9- 8). et sit 930 - 931, :, g. 8 = 9+o et firt n = 940
itaque m = 930 - 440 (et musqe ad 940 (et s+ 1) l = 920 - 930 (et () 4940 (et f, et 519)
seu l = 920 - 930 (e+ 5) +940 (est eg1 59) denique H = 912 - 920
denique K = 910 = quol. + 930e(et f.) = 940 C (ef + 19 + f9)
-930 ee 4+940 ee (et f+9)
940 (ee + eft A)
5G10 - 920 C +939 ef- 940 efg
generale ergo pheorema huc redit Quaeritur formula   aequatione data
940 e
xx + mX + nX + et c. Ponamus E esse divisorem
inventam methodo explorandi divijores ultimi termini, reliqui coeficientes X, l, m, n, et
interior exmas dividens, h + F L
feriore
inventum
sic invenientur; posito quantitates assumtas variandae aequationi datae, pro _ X ponendo
ultimi termini aequationis datae
meluti
Et fiet 920 -931 = in (f -9) 4 ne (f.9) + n (ff- 99) sit 920- 921, :, f- g = 930, prodibit
terminum prudmentes) ex hypothisi =
methooo
4+ C, vel v4 f vel Z+ 9, vel V + B, etc suisse e, 5, 9, D, et c. nempe pro
nempe pro X ponendo Yte vel V+ f vel W +9 vel 2+b, etc, et divisores
ultimi termini cujus variationi convenientes in quavis variatione fuisse
Nempe erit:
gto 92oe + 930 ef 040 efg  45 ef g posito non procedi ultra e, t, g, B, a
esque
N) vel (2h) vel (h) vel (4h) etc
920 = 930 e. +940 ef - 950 ete
+930 = 940 a 4950 ses
+ 940 qo e
+ 950
(= 910 = 92oC + 930 ef - 940 efg + 950 efg6
+920 2930 G 4940 es
sg
- 950 efg
9t
f90
+950 et
eq
95b e
910 = (h) = h - eE, il
920 = 910 - 911, :, e f
930 = 920-9213 21 fg
et significat omnia omnes ter
biniones, sed in secunda columna
sunt solum vra est, in tertia
sunt tres, nempe trium rerum
in quasta 6 nempe quatuor
rerum, et ita res etiam
in teliquis habet
posito non
procedi attra
variando
ultra e,f, 9, B, A
seu non esse diviforem
plus quam qui
Formulam dividentem
non esse plus quam
quinque dimensionum
Columnae ta et valores tot
ib actui
dent, quot gradus acesent
+ 950 audformutae, aut sot decedent quod
postremo gu, g2o, 930, etc sunt integri quorum valores erunt stiprodi
sic prodibunt.
rods dement adjicientur
adementur) quot gradus nut
(decedent) formulae
9u = feh )  h - 5 ., : f (912 = (oh) -h - 9 , :g (93 - (pli -h - D, 18
921 = 910-912, 32-9 922 = 910-913, : 9- 0
931 = 920 -9225:, f. B
continuando
Quedi una aequatis Et quot aequationes accedent unicolumnae horum novissimorum
talvram
940 = 930-931, 2, 9- D
lit eliam ceternis adiicientur
=
(d =
440
+94

## Folio 2v — 00068227:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).