# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/1422/text
# Catalogue record: 1422 — De specialibus quadraturis per Maxima et Minima. Quaedam utilia de osculis sub finem paginae 3tiae
# Incipit: Theorema reperio summi momenti: Si duae figurae ita se
# Date: 1676
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=1422&katnr=58707
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068073
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 7, 1
# Folios: Bl. 26–27 (from the shelfmark LH 35, 7, 1 Bl. 26-27): 4 pages, canvases 51–54, page ids 00068073:0051 to 00068073:0054
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068073&page=51
# Lines: 333 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 26r — 00068073:0051
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 27v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000051.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 60 lines, status machine
se habeant
Meonema reperio summi momenti. Si duae figurae sint ita inter se comparate
areis portionum respondentium inter se comparatis
ut q (una sit semper major altera; sed ita ut ratio majoris ad minorem
continue cresnt aliquousque donec rursus  decrescat, vel continue decrescat aliquousque
donec rursus crescat, atque ita detur maxima aut minima ratio; tunc ratio areae
figurae major is ad minonem, est in causa casu maximae, ut ordinata respondens
 ad ortinatam. sint duae figurae EABCE, et GABFG, et EABCE illa semper
majore responde te priore ita tamen ut ratio figurae illius ad hanc initio inde ab AG ab AEG
decrescat, (ordinatis scilicet BF  crescentibus  quam ipsae BC) idque usque ad certum
terminum (BGH, ubi areae GA(B ratio ad EA (B(C) E rursus incipit crescere ut
circa (B), C) (FB et ita porro. Dico in casu B) (C) (F) quo suppono rationem
esse minimam, fore ordinatam Aream GA(B) (F) G ad aream EAB) G) E,
ut ordinatam (B) (F) ad ordinatam (B) (C). Quod sic brevissime demonstro
sit AB = x et BC = y et BF = B V.  utique
area quaecunque GABFG erit svdx et urea quaecunque E ABCE
erit syax et ratio  illius areae, ad hanc vocetur m, fiet
SVdx: sydx = m seu svdx = m sy dx. Ergo in
in cusu maxima aut V dX = mydx hoc est m = v: y
seu ratio arearum erit eadem quae ordi seu in casu maximae
aut minima rationis arearum, erit ratio arearum eadem quae
Hinc et in casu maximae et
ordinatarum y. E. D
minimae rationis duarum quantitatum eadem erit ratio quantitatum
Exempli causa cumin casu
quae differentiarum sive crementorum.
quo secantis ratio ad arcum est minima, erit ratio secantis ad arcum
eadem quae differcatiae secantium, ad differentia ibi est ratio fcrementi secantium
crementa autem secantium, si sinus comple
ad elscrementum arcuum,
si portiones diametri aniformiter crescant, sunt  in duplicata ratione
secantium, et crementa arcuum sunt in e et crementa arcuum
eodem casu sunt in ratione sinuum complementi reciproca. Ergo
crementa secantium sunt ad crementa arcuum, ut secans (adeoque secans ad arcum
erit ut quadratum secantis ad set factum a provenienu applicatione arcus
sinus complement ad radii cubum; seet ut secans ad applicatione rectiaguli sub
secante et simu complementi ad cubum radii Hoc ergo proveniens est arcui aequale
ergo prcus est ad radium, in composita ratione radii ad secautem et radii ad sinum
complementi, seu ut quadratum radii ad rectangulum sub secante et sinu complent
sed hoc rectangalum est aequale rectangulo ex radio in tangentem complementi
Ergo arcus est ad radium ut radius ad tangentem, sed targens complementi
etiam est ad radium, ut radius ad tangentem, ergo in casu proposito arcus et
tangens complementi sunt aequales. Quod aliunde sciebamus Ratiocinationem
Interim
tamen hanc institui, quia sine calculo eam absolvere dicuit
hoc nostrum generale thcorema videtur unum esse ex maxime miris
et in expectatis, quid enim commune habet. Summa figulae, cum ordinata
(imo Si bene rem considero etiam in seriebus numerorum finitis hoc
debet esse verum.
Ex his magna mihi si unquam spes nascitur efficiendi inveniendi
arcum lari aliquem arcum circuli in rectam extendendi. ut nisi se
peculiariter opponat natura rerum, et  quasi expresse summissa aequatione
identica sese expediat Sufficientaa vida adesse data ad quaesiti oolutionem
quale quid nondum hactenus mihi occurrit, ex quo Geometriam tractavi, nem
cum hoc modo semper alterutrum inveniamus vel scilicet valorem ipsius
abscisse, vel copo alterius figurae aut compositi ex utriusque et habeamus
praeterea etiarationem figurarum per theorema propositum. Si jam
assumamus figuras tales, quarum aliunde nota sit summa vel differentia
videtur hoc modo haberi tria, abscissam, et duas figuras. licet ad hua
us  asei qud se es su  eati ribe 

## Folio 26v — 00068073:0052
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 27r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000052.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 71 lines, status machine
Sed praestat venire ad experimentum, quia res non admodum est
difficilis. sit semicirculus ACL. diametro ABL, et et dacta LN aequ AL papendi
et quae sit aequa et ductis AG, LN quarum illa sit radio haec diametio aequalis
ambae autem ad easdem partes et perpendiculares ad diumetrum, jungatur
recta GA, et set  secans ipsam ducatur BCF pae xi
i axisen diametro AL. perpendicularis secans semixirculum in C, et
ipsam GN in F. bet ex omnibus BC intelligatur conflari
ex omnibus vero CF conflariaream figurae AGet
portiones
ut AricA
AGFCA manifestum est argum figurae  Ah, AGFCA rationem ad figura,
aream semicirculi C
A BCA initio esse infinitam et continue decescere saltem aliquorisque similite
a GA
ab LN continue decrescet versus medium. Unde collini videtur ab AB
AG ad LN continue procedendo primum decrescere mox rursus e crescere
(quanquam id alias deligentius sit demonstrandum.
datur autem summa duarum sigurarum seu portionum quocunque in
Casu nunc et investigabimus rationem; et quia etiam si summa
non daretur, invenimus relationem artus ad suam quae ipsius ABCA ad
suam abscissam debemus si qu qua spes est accedente hac consideratione
quod summa data est, invenire aliquid amplius. Quanquam subvereri
incipsam ne irritus sit exitus, quia jam video summo dationem
hoc ipsum quod summa data est, jam includi in calculo primo
Quicquid sit tentemus sit AB = X. erit AB erit CF= 1 +  X- Sx
seu 1F L X - y = v. Et fier: (vax: sydx : : 1 + 2 X - y: y. Ru su
quia St Lx y: y = m fiet  X quia (r4. x- y ax: fy dx = m
et Seu X + XX: (ydx - 1 = 1 + 2 X _: y - 1. seu siet
Sydx = y. X+XX: 1+ 2X. sed ex srax: syax = m. fit:
ra y= sydx v ubi prodit idem quod ante.
ideamus quid contingat adhibilis differenties.
Quaeritur v. g.  arcus quis sit qui quam minime dffert
a suo secante, sit secans y. eritarcus (dy posito radio
SyFyy-1)
CA
y- Sysgus -, = m. Ergo filt
et fiet: S S
dy
= 0. seu fiet ytyy -1 = 1 hoc est seu posito
dadu Y ert y = Xr: +. radio Y et tangente F, (t = syy -) fiet
-
 1
y syy =1
- rr: t. jam rrit est aequalis  tangenti complementi, ergo in
la u minimae differentiae secantis et arcus, secans aequatur tansenti
complement; ut in casu minimae rationis carcus aquatur fangenti
complementi.
quae ramus jam aliam aequationem differentialem
ta dy  yda -m dy
nempe: sit 1 - a = m fiet a. a
yy
seu fet Fadu = yda = ndy. Est autem da = 1y: y Syy -1
seu yda =  dy : syn -. fiet: + a + 1: Syy 1 = m = 3 y- a. et anter
t aut
per priora 1: Hyg- 1 = y in hoc nostro casu Ergo sit fa  - a +   o
seu au - a y + ry =0 seu na - ya + L yy = = gy - ry) seu
a = Ly + S: yy -ry
quia rY = ytq = _ seu r = y rgus seu y -gy + 1  +  r2.
seu  y- rr = . rr15 seu y - Y : 1415
sit (D, = t ptarn denique a = Er S:. 1+ S5 +Y S 1+ ss-  1
sea
sed jam video calculum esse
Vatur autem utiu minima talis
diffenntia, seu permissus est apsus culculi de maximios ac minimis posit
difercutiam inter sectatem et al arcum esse aliquando esse radio
auinorem
a = +- 5 r +. s- +H + e1
ABR: BC:: BC: CA
t: p:: p: F- p
seu ++ - pt = pp
E t: F. H: : fa H: e

## Folio 27r — 00068073:0053
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 26v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000053.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 107 lines, status machine
Ante omnia videamus, an aliquando differentia inter secantem et arcum
sit radio minor. Et quidem plet differentia inter R
et AC  in longioribus secantibus est e ipso RC. longe major
et nempe quo magis C tendit vers E. sed ( ab E progrediatis
sceantes continue decrescunt, harcus etiam continne decrescunt, sed magis debrescunt
cautes quam arcus. Certe facile demonstrata est rationem secantis
ver in E esse infinitum, in A esse etiam infinitam at in Medio esse
um ergo ratio ella ab E decrescit; aliquousque deindde aursus crescit
sad videndum an differentia quoque inter secantem et arcum ubi salis decrevit rursus
ceseat. seu an aliquando differentia inter a quod conclusum erit, si aliquando
sit minor radio, nam enm in extremis sit circa E infinita circa Aaqualis radio
ubi arcus = 0 secans vero est radius) utique si in medio est minor radio necessario
alicubi dect, ubi sutis decrevent cusus decrescere incipiet, adeaque datur
arcus, est minor radio, utique irius differentia a secante eadem erit multo minor
Et quidem R ass
Manifestum autem est differentiam inter secantem et Chordam
aliquadus esse radio minohem ut si se chorda sit AC sit
aequalis semiradio, utique si transferantur inter TF patet
RF esse minorem radio. itaque differentia
an AC RT - ACr AC.
AC) ALC Ergo ACp ALC
Ergo RT- AC p RT - ALC Eg seu RT- ALC, RT - AC1 RC
itio irca
infinitum
 artu continue
demonstratum est ergo excessum secantis super
Oecrescere ab E aliquousque donec rursis crescat et fieri minorem
donec rorsus  creseat et ubi ad mdinim e et antequam tamen
 set cum nunquam evanescat, moxrursus pescere
donec postremo ipsi radio aequalis fiat, cum artus evanescit,
gura adjecta videmus.
Est aatem  sit autem secans = y. erit
dy
fere ut in
et sit y - Say. = m.
=0 seu   seu radio sive uilate vocatur Y
areus arcys seu a= ygy
(ilt , rr = y ser-yy, est autem y secans trryus tangens, ergo fiet
ns radius media proportionalis inter tangentem et secantem, at idem
siy
psitoredia prop inter sec tangentem et tangentem conplementi
tansenti complementi, ut supra jan demonstravi
n a hoc modo habemus positione rectam quae FGH quae lineae MG
it
ihal tamen hinc duci potest
e quatu
asu
adius
cargo
ingodinatae sunt differentiae secantium et arcuum) ad angulos rectos occurrit, licet punctum
cat
Sed
Occart, non sciamus, quod alioqui nondum de linea tauscendente haberem
illud hac dispici poterit si liceret centrum t radium circuli qui
Et sane si quaeramque
inem rectam hebet oscularims habituros nos ipsum punctum G
rectam NM dato puncto N ope ipsarum GN GP, PM, patet in casu oscut
solebamus.
fre GN = MN, et pM pariter atque GP (ex quibus illa est data haec quaesita)
esse aequales nihilo. Et b his autem abstrahendo quasi igndraremque posse nos inventa
pM GN, MV quam praebet natura linea, seu
labea (in qua  sublata
polerit intert.gi GP quon ex natura lineae datur valor relatio licet trauscendens inter GP et pM,
PM, GN, NM collocetur ab
E
Ps, et et e nam relatio
simhl delatione inter
reclatione inter
uno latere, quo facto quaereado differentialem evanescit areus, ut et dx seu d ess
efficere ut arcus, qui ingreditur relationem inter
et habetur relatio inter pM, GN NM libera ab omni transcendentia. Verim aliunde
scimus Aeri X =0 in casu proposito et GN = NM; ergo inventano habebimus
vea verum, jam video um inter data, involvatui,
FG, quam tollere non potuimus, cum esset arcus invariabilis. Ideo sociticum ipsum
magnitudinem ipsius GN. ex datis
Notandum obiter, etam ca in casu oscul fieri tam
X a X =0 et y 0 quam et dfieri praeterea etiam ax = 0
datam langens,
non invenimus.
solvenda sunt ejusmodi problemata, ubi  data est species liteae, (sed
unde facile, solutiones per acculum habentur
ta non data est positione prorsus, nec vero datum est punctum contactus viu. Quaeritur
recta rC, quo e puncto dato dcta educenda est ita ut paribolam Ac tangat quaeriti
nant ad parabolum aequatio est xgu ad rectam aequatio
a posito A+ dari = b, et a esse parametrum datam, quaeritur X, y F
cujus differentialis est e=2y. Ergo ex aequationibus 1, 2, 8, Egbentu
punctum C adeoque rectae AB, BC
literae X, y, e. Nes aliquid amplius ex his duci potest. Sed si ponamus aequationes isset 4 ex ea ductam sesse differentiales transcendentes
bd = yy
Mey
nisi felici C
+X: y
quia e ba+ ey fit xa
non possum hauscerndentiam evitare.
quantilas ejanes t2 hodumus im
 ua
vipiendo absolutos denique transcendent
inamus dispentialem transcendentatem esse et in agia
intingut, ut valores
1
qui tunc
a ut ee tiis quieite qu itais n iba u aelli. inti teiu u erid ertur
ntuti
introssibilitatem
an
hic minimum
minor radio

## Folio 27v — 00068073:0054
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 26r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068073/jpgs/default/00000054.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 95 lines, status machine
eliquae literae praeter unamu ut transcendenialis eranescat in ea aequs
et ope resituae partis aequationis habebitur quaesit  ullina quae restat litera
itaque opuserit ope duamus aequationum commonium
2 et 6 talli lileras X et y.
at inveniri, ut earum valores iveniri ut in aequ. 1 substitur possint susisirituantur
ergo ubique in aeq. 1. et Ibi tollantur X et Y exceptatranscendent
substitui supervacccum quia termini transcendertes tilli debent. Quo facto explicentur
dixi residuae litera, si, ut omnis transcendentia evant scat Jussi autem tolli
prius x ad y. ad explet nam cum illae non possint sumi po arbitrio nonlicere
venise ad destrnctionem transcendentium. Ope hujus Methodi poterimus invenine  punctum
et cicutum qui linerm arcuum in illo puncto tantat, sequidem sed possibile est, quods
hoc non est possiale videtur, utique nec speciales dimensio ralidam
linea cujus aullum punctum aliunde datur, v. g. binga dufe
sumatur
libiles esse
um arcus et secantis
pol similis. Ejue enim nullus est vertex; ita cavebimus ne natura rerum nobis illudit,
lisqui enim contragit aliquando ut dum credimus nos reperisse non quod pueri in
haba revera reperiamus punctum aa illud unirum tanscendentis linea quod solum
ratemms si no ha sicebit e dispicere, an non saltem sentantem imem
tianscendentem
datur
at est, quia hac ratione adhus unam possumus quaerere
diferentialem, seu differentialem differentiatis. Et ita tres dantur aequationes
et nihilominus postremo opus erit venire ad destructiones transcendentatium
hac methodo naterire possimus.
Non inutise erit  in linea different arum langentis et secantis, aut simile
quaerere ciculum qui sineam osenletur, et cum possimus assumere centrum circuli
F H. dassum, et ita
orere son rectum FH quo panatur esse distantim cum centu ab axe, tum insum
ponere e in id esse in recta F
circuli radium. dissimulando nos jam scire, quo quantitatem ipsius x seu quod circulus
esse in aliqua recta
ille secet curbam n eo puncta in quo secat cectum aFH. Uande atis Nisi Xorte
quode tamen non suspicor contragat, ut circuus ile centro H descuptus et curvam
an
rentemus an possimus invenire centrum et radium circuli, qui tangat lineam
pi circuli pendentem; ipsumque punctum contactus. sit linea exprimens 
ad
inis ordinalis rationes secantis ad arum suum, quae utiue habebi
duasasumplotos, adeoque mullum ejus datur vertex. esit nullunque adeo punctum, quaeritur
circulus eam tangens, et punctum contactus Et quidem siu complementi RB existente X
ra RY existente Y, secans RS erit rr: X et rodius arcus erit sdx: Ser X
et ratio secantis ad arcum in rudium ducta erit e rY: X(dx: Yrr.X
quaentur jum circulus hanc lineam in duobus punctit coincidentibus secans
tangat, a
y
ejus aequatio sit
y +Xx + bx + cy + ee 20 f Hujus differentralis le quationis 1 erit, dx. soryGy
aequalio cub 29d
x atax + cdu 2 seu sece dy. ax A X 1b. Ey+C  (pgy 
a -xx - bx- l
qualio habebitur (4) qua
rr: Cax: Trrx. Unie quidem  differen
tnebit x dabit valorem X
abebitur valor, auque
est
e
quo
bistitulo in
am video cur nequeat. Toler
sed eo casu foret arcu = c
:cc Xx - bX- es - etuo
transcendens, alioqui enim nec valor arcus in hoc casu posset inveniri. Itaque a
quare pergendum erit ad oscula quaeratur primum aeq. 4. siet: r2X+B:
_r. Frr. xx Et ita habeberturX p quem volarem substetuendo in rg. 2. habebitur
(relicto seu non substo
quem valorem ipsius y inventum per r, b, C, e. substiturmo in aeq. 
ad
rercto X seu non substituto ipsius valore, fit Cax: Tri= constanti Quoniam vero osculat licet
se locum habet, hujus quaegendo nisus disferentialet foret l. Srr. x = 0 seu x - 0 unde nihil
obtinetur. Sed quid si fiisset y = X (rsde sendu + 17: serdx: drrx tunc ponendo valorem
apsius Ay repertum esse onst adeoque esse constantem  indifferentialem quaerendo fiet.
=
rr. 843.X
rY: tr-x Ex qua aequatione
quaerenti Valorem ipsius x, eninque aequando vatori ejus jam invento hadeterminabuntur literae
modi reperiri, quo magis
rr. serx re: 0- x = s... seu fiet:
scalae, quanquam forte opus sit ad huc plures aequationes
via consentiant. Sed operaa pretium erit haec praestare in aequativie cognita seu
eodem modo procedenda, vider quio
Xax: Trrx. queratur frati
abi rederi Vatus quadintura alicujus summae
linea ex hac summa pendens e alia quaeratur circulus at ejus, osculans ciiculus
puodea, ut fautiones discamus vig datu
aliunde quae ratur. deinde quaeratur et hac methodo quasi summam istar
undagare nesciremus et videatur an prodeat idem Hoc uni Hanc uni camtractemus
viam constantem rproistis video
uud
li poters ex
lude y
rali
habebitur et valias y.  et hoc sabhis substitatis in aeq
enta