# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/14759/text
# Catalogue record: 14759 — Solutio problematum qvae Dominus Johannes Bernoullius proponit in Actis eruditorum Mense junii 1696. et in programmate e
# Incipit: Exempli causa invenire curvam ex sola data relatione
# Date: 1697
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Other printings: -Teildruck: Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 3 S. 371-372.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=14759&katnr=45254
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958803
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 163 (from the shelfmark LBr 57, 1 Bl. 163.165): 2 pages, canvases 327–328, page ids DE-611-HS-958803:0327 to DE-611-HS-958803:0328
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=327
# Lines: 143 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.93
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 163r — DE-611-HS-958803:0327
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 165v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000327.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 62 lines, status machine
quae
solutio problematum quod dominus Johannes Ber noulliu
proposunt in Actis eruditorum Mense an janii 1696. et
in programmate  edito caleud. Januar. 1697. Exempli
causa Invenire curvam  ex sola data relatione
ipsorum curvae, punctorum nullis aliis consideratis
vel datis. Exempli gratia: invenire curvam talem, ut
ut  recta per punctum constans ducta, curvam quaesitam in duobus
punctis secante, sit rectangulum sub duorum curvae punctorum a
puncto dato intervallo dicto constante intervallis contentum
datae quantitati aeq constanti aequale. seu ut AB in A(B)
sit aequ. quadrato e. Quod proolema Hoc quidem praestat circulus
sed in dicto loco Actorum ostenditur idem praestari per curvas alias
infinitas, si AF sit abscissa, et sumto in curva puncto B, sit BF ordinata
angulo quocunque, et DB vocetur X, et punctum constans sit d. et dB. DC)
debeati aequari rect dato et DB vocetur  e emissa ad curvam vocetur 
dicit du. Joh. per.
et BF ordinatim applicata ad diametrum vocetur y,
X + bX + bX  + CX + CX2 V. etc.
nullius si fiat y = ax + a X
simendo continuando ut hubet, vel finiendo ubi labet. Calis fieri
quod sie si ergo b et b et c, fent ale etc. fiant aequ. 0 et
 =0 fier , et net uns it an sit quadratum unitatis, siet
ad supplendam cenem homogeneorum, fiet  ny = Xx tan, quae aequatio est
similiter quaeritur curva tB H(B), salis, ut 
ad circulum.
angulo dacta quavis recta FB(B) ad positione datam DC in angulo
dato Rectangulum sub segmentis BG, B(G) sit aequale conplanti dato
 Ex conicis constat Hyper bolam salisfacere, sed praeter illam sequente
curvas habe. Sumta quadam recta pro unitate sit dF, y, et
ha habetur quaesitum
simi sic quaritur curva B HCB) ut ducta ger Verticem D tangente D 
et alia utcunque secante punctam in curvis B(8) summa segmen
torum DA et BA, sit ubique dupla ipsius tangentis  dH
accepta quadam DE, pro unitate ex qua abscindatur in deter
minata et ad HE, F, terlia proportionalis G fint ut AE ad AF sic FG
ofiat ut DE ad dc, sic CG ad quartam proportionalem HGKC quae erigatur
perpendiculariter super DE, ita ut sit sinus arcus Fd centro A, et radio A
descripti erit punctum d in curva optata
vel si mavis expressionem
literalem idem infinitis solutionibus praestari potest, si fiat
positis AE = DE = 1. DB vel dC = x, DK = y. fiat y = X. X- 
ubi ndenotat numerum quemvis constantem.
i qui alii in hisce suarum Methodorum vires experiri velint
quae rant curvam ejqus proprietatis, ut ducta a puncto dato
recta utcunque curvam secante in punctis B, (B) solidum sub uno
segmento B dP, et quadrato alterius D B sit aequale constanti
Hactenus Haec ex du.  Joh. Bernoulli,
Haec do scrediasmate Actis junii 1696 inserto, mutatis
dato
tamen pliguris ad meum morem et uniformitatem
in Actas in programmnate vero, haec continentur.
problema pure Geometricum: in actis junii proposuisse se Geome
Nic determinandam curvam vel curvas in quibus non rectangulum
sed solidum sub quadrato anius et uno segmento et quadrato alterius
aquetur semper eidem. Sed hactenus hunc modum nemo dedit.
Exhibebunue eum quando cunque desiderabitur Sed quia non nisi per
curvas transcendente, quae sito salisfacimus en aliud Cujus solatio
per mere algebraicas ia gostia, est potestate: Quaeeitur curva
erus proprietatis, ut duo illau seguenta ad quamcunque potentiam
datam elevata et simul sumta faciant ubique unam eandemque
summam casum smplicuimam exisente sil exponente

## Folio 163v — DE-611-HS-958803:0328
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 165r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000328.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 81 lines, status machine
seu numero potentiae I. jam dedinus in actis generalem
vero solutionem esiamnum premimus. Analystis emendam
actenus dominus 16h. Bernoullius, ubi noto problema
relinquimus
cui quo in programnate art a se non nisi per transcendentes satis-
fiem posse praejlari per curvam ordinariam, ipsum nempe circulum
si puactum datum sit circuli centrum cujus centrum sit punctum
datum. Unde conjicio solutionem ejus non esse perfectas seu
omnes curvass salis facientem possibilem comprehendentes.
sed venio ad pro Methodum ipsam et problematis
ab eo novissime propositi tractationem solationem. Venit
scilicet in mentem hac problema posse solvi per radices aequa
tionum. Nam si aequatio sit ad quadrabica ad X, cujus
ultimus terminus sit aa utique rectangulam sub duabus radicibus
eait equationis erit ab, sit haec aequatio assumtitia
XX + hX + ab=0 quae ductum est graduum, quia agitur de
duabus radicipus
Consideremus porro puncta B, (B) esse in recta eadem
quae si sit data positione, datam quoque fore angulum ejus B DF ad rectam
positione datam constantem DF, duc ergo ducta ergo recta ordinatim
applicata BF angulo constante DBF quocunque DFB quocunque patet
dari rationem inter DB, et FB sit DB x et BF y, et fiet
DB: BF seu X: y = m: a ubi patet m variari pro ut alia atque
alia assumitur recta, ponamus jam A utcunque dari per m et a
et e aequatione tamen aequatione (3) relatione earum exprimente
et ope aequationum harum tium inveniri novam continentem novam
eiuque ope tolli h, ex aeq. 1. habebitur aequatio et ex aeq. 1 ope aeg. 3.
fiet aequatio (4) in qua extabit m, non vero h,  jam ope aequa
tionum 2 et 4, follatur litera m, et habebitur aequ. (5) quaesita
Ex. gr. suf sit - h = n et ex aequ. 1. fiet
XX AX + ab = 0 unde per 2 tyllendo in fiet (,to) xxlay + ab =
quae ob subtatam ad curvam, quaesitam
quae aequatio coincidit  ei quam Bernullius hoc casu assignat in
du. Ieh.
Actis pro circulo. Aliter: sit (3tro)h= _-m
m
et ex aequ. 1 fiet (4to) xx  XX = mHx + ab =0
pro in substituendo ax: y ex aeq. 2. fiet (5to) XX = aXx:y + ab =0
Ubi
seu fiet
yXX - mxx + aby = 0 seu y = a xX: xx+ ab   quod exemplum
2
angulus ad F sit rectus
et DF sit Z fiet XX = 27+ gy, et fiet b = azit asus, :, 23+ gy + ab quae
quae solutio non est inter hernullianas
venio jam ad problema a domino era Joh. Becnoullio
utique aequatio non est ad circulum
novissime propositum, ubi quaeritar  DD + eDB) = dato
si sempe Hic rursus satis Aeri potest per radices aequationum. Nam assumta
aequatione (t xxa hX + ab = o exattetur ea ad sq. x + Xx +. x cjuterminue
cundus (secundum ex quasi racitem) est erit summa quadratorum ea radicibus
x abxX + ah =0 erit ab summa
quadratorum. Et similiter X  dbX + ah = erit aete summa cuborum.
seri scribatur ergo X +B sit aeq. (1)
et (2d0) X: y = m: a seu m = ax: y
et  q.i fet et
Et generalite (1no) Xe d. B X + a A =
ex aeq. 1 fiet (4to) X  a  XC + a M = 0 ubi et pro m substituendo valorem
1
et (3tio)  detur utcunque per m. sit h= am
ex aeq2 fiet xe  a X i.g + a b, FB, seu G = ece
tunc ex 49. per aeqe-1 ex aq
seu 
=
a. b. 1
X2C
xe - a t b. X + a
Sui sit (3to) h= al: m.ft
b X + ay x seu fiet
ax:y ex aeq. 2. fiet (5Y e - a
bl = Xe arib pla. cae  
n ad nullum
certum angulum ((4
BdF erit
assricta, atque
adeo succedet
quaecunque sit
recta DB transiens
per punctum fixum
su yi a. rbiXi
sieter n