# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/14760/text
# Catalogue record: 14760 — Ad problema à Dn. Jac. Bernoullio in Actis Eruditorum D_no fratri propositum.
# Incipit: Invenire descendens ex curvis ejusdem speciei
# Date: 1697
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=14760&katnr=45258
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958803
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 177–178 (from the shelfmark LBr 57, 1 Bl. 177-178): 4 pages, canvases 355–358, page ids DE-611-HS-958803:0355 to DE-611-HS-958803:0358
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=355
# Lines: 216 recognised on 2 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 177r — DE-611-HS-958803:0355
# Scan: The same scan is also registered as fol. 178v; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000355.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 103 lines, status machine
ho fratri pros
n.)
illio in Actisen
Invenite curo ain ACH per quam descenden
grave ex curvis ejusdem speciei eam
ACH, per quam descendens grave, brevisi
tempore perpendat ad frpeu ex A
perbeniat ad perpendiculum. BZ
ACHcrculs, talis ut tempus per AC sit
scit
trevius quam tempus per alium ccu arcumcirculi
Tempus per PE est ad tempus per MN, ut PZ ad MN
ZM, sit x, t Pm sit y. MN erit ex et pq
erit Pax dx + dydus. Et tempus per PZ erit ad tempus per
sed tempus per
MN, ut Taxaxi dydu ad _x
M N est in ratione composita celeritatis p M N, ocrecta
et celeritatis in M reciproca; celeritate autem in MN
sunt  in ratione subduplicata altitudinum sed ut vax
ergo tempus per MN erit ut d dx tax. sed
ergo tempus per PQ erit ad id quod est ut dx sax, uti est
Faxax + dydy ad dx. Ergo tempus per pes erit ut
dxdx + dydus vax seu ut de tax. Et hoc est
generali in omni curva; ut tempus etementare sit
ut grave in ea decurrente si p
sint elementa temporum in ratione composita ex
olementis  curvae, et ratione elementorum curvae
et ratione sub duplicata altitudinum descensus, seu
+ elementa eorum
temporum insumtorum
siat tempora
1t ut de
descensus X
ai, fient
sit curva c tempus F, altitudo
erit dt ut derx, vel dt ut de t
ut dt: t eagu C ut loq t
jam ad specialia curvae veniendum est, ponamus circuli
Iatum esse R, ab ipsa AH distans per RE, et a ZB. per EZ seu
exr
it t BE sit Eritque RB = RC+ ZM + Mp - EZ. jam RP sit f
et fiet ff = YY+ XX + 2YX + ee +yy - 2 ey ergo diffe.
rentiando o = xdx + rax + ydus - edg. sed tam tum
unde colligi poterit quod jam constat esse
d de ad ex ut rad f ad cydi sinum rectum
de elementum curvae de ad elementum  sinus
versi d complementi ex, ut radium.
sinum rectum PM - EZ seu y- e. ergo fiet
de = exf: yne. Ergo at ut dxtix: y.e
seu fiet
et y - e =
rtx = Z. X- 2.Y
fF - YY L XX - 2YX
df ut dx f f. X : , ff - YY - XX - 2rX
dt ut dq f sZ 1. 1ff- 2Z Cujus si summa posset iniri
haberemus aequationem in qua possimus investigare
et Y ita ut t ft
ubi possemus investigare 
in casu determinato cum PM = 0, fiat possibilium
minimum. Sed quando summatio institui non potest
impertectio haec in ess carculo sse nostro sive ordinarie
sive saltem exponentialiter, imperfectio haec inest nostro
calculo infinersimali, ut aequationes ejus ad specialia
sed pro maximis et
minimis hoc succurrit remedium,  jam sepe a me
accommodari non possint.
adhibitum, ut curva optimum praestans pro speciali netimo, etiam
optimum praestet pro intermediis, quia totus exitus non oltinetur
 potest obtineri optime, nisi et media cent optima. Ergo
si grave ab A brevissimus tempore pervenit ad perpendicularem ZB
ea CB, per curvam AC que trevissimo etiam tempore perveniat
in eadem cuma A PGC, at A et perpendiculum a5 a per–
seu previore tempore, quam
alia curva ejusdem speciei per A et H transiens ab luno horum
pendiculo pH ad per pendiculum 25
perpendiculorum ad aliud pervenit. Carte si possibilis est taln
necessario sequatur quid
nim ab unoqu
utique satis facit Aum suma hoc
hac id alia quadam vineatur in  aliquo perpendicule
videtur porima fe
er potest, ut curra
eam tamen
istratio quod
vineat omnibus compuitatis.  et nondum ad est d
alias ita se habere possit ut ab omnio alia
in summa tamevineat. Verum jam video si mo
non  erga omnes
o possibilis sit anva quae in quovis minimo transitu optime procedat
alicubi vineatur
nec ab ulla alia vincatur eam utique et in toto optime procedere,
atque adeo sinc jam quaerenda est curva datae specici, v.g. circularis, tram
elementa progressurtum
sieas per A ad H pecees, ita
ad perpendiculum per H sint omnium quae habele pot
curva ejusdem speciei per A et H transiens habere possit
Unde jam apparet nihil referre ubi assumatur perpendicutus
B culu in ea curva cuilibet eorum brevissimo tempore
accedatur itaque si lineae ACH sint circulares possumus
ponere ZB bise care ipsam AH, adeoque cum _ angulus etus
ad AH sit rectus transire per omnium horum circulorum
centra Unde et in calculo hic paulo aute zacto in valore
mipsius at ipsa e  seu ZE devanuit.

## Folio 177v — DE-611-HS-958803:0356
# Scan: The same scan is also registered as fol. 178r; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000356.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
Quoniam autem hoc modo omnibus curvis ejis
dem speciei communis est punctum E, seu ipsa, y
praestat omnia potius  ad s reducere quam
ad X. Ponamus autem e = 0 ob causam jam
dictam seu E cadere in Z. est autem
Y= Y sf. rr x x est autem utique
r+X = (s5 - yy seu X = - r+ Ss-yy. et
Ax = de : dy = f.Z = f0, 11X  f: 15f- yy
Ergo de ut f Et quia at ut de x, fiet
de ut dyf,r + a s- yy,: SB gy Cum
ergo at debeat esse minimum, ergo etiam
et du ite n su est commune, erit
f. L. ar + ars gy: Sf-yy omnium minima,
et manente  eadem debent f et r ita eligi
ut quantitas haec minima prodeat. et primum
quidem assumatur Y ut variabilis, s aero ut constans
et manentibus fradiis iisdem eligenda est centri
distantia aptssima, Y. et  debat esse
J.ar Farf- yy minima. Ergo et 
-ar + a tf- gy minima, an ergo fiet
adr = 0, unde nihil invenitur. Sed si non
quadremus fiet adr =0 unde r reperiri
Harrars. yy
non potest sed videtur simper major ac major issumi
posse lita ut  sit infinite eleva
si centrum sit anfinite elevatum supra AH
sit tempus omnium possibilium maximum; quia
tunc plane quiescet, eum grad  arcus circuli
abe at in ipsam rectam horctontatem AH, ubi
defcens s gravis descensus vel motus a gravitate
est smnte, tardus seu nullus; sia centrum sit
re infinite depressum
sed vi jam e considerandum interr et f relationem
dari. Nam Ad sit 2a, et AZ sit a
et erit fF = aa +rY. Ergo habemas
tandem, f- a sf. aa + a 1 - yy : (f - yy = minimo n
ut inveniatur optor ipsius ita ut sid dm =o
oportet ut evanescat y seu ut habeatur f per solam
f10: +D  seu m= f D 1iE uti2
se gerat. Sit M 2 g 1.2 1 + f D F. (2) Cd 1. 2 g f01n 
do-ydg. D de= dD=  2faf
d0 = - afaf  + a fdF
ft. aa
iffagy
q s
 + ff 10 =.
217 10
D +)
=asti D + assisff- an + ff 10 =0
515
2 if - aa. D 10
impossibile est curvam optimam quaesitam ubique esse optime
procedere. Alia ergo adhibenda est curva, in qua vel
vel summari possit at, vell ut utnon sit
opus processuto optimae ubique esse optimum; vel eva.
nescat yein valore constantis variabilis  in una
curva secundum curvas ejusdem speciei variabilis
liberatio ab aequatione differentiali fieri it vel absoluta
quadratura, vel quadhatura difere Tanscendente
Exponentiali, vel per seriem infinitam. Redeamus
seu At = dxfLX: aa - XX - 21X vel si matumus ut
jam (0) h+v = h + CF v + ee h v et c. et si
C = 2 fiet ( hrv- Ih +   Y + L. - t v 4 2. 2.
et st et ita porro, seu
2hev = sh + 2, B~ - 1; 1 v + 51. 3 v 
23 l2 hth 2, 12. 3 thoh 2. 1.18)
C 1; 1. 3.5 V
24, 123Y B th
dF = 1. 1. 11. 1 + 1. 2, 12. 1Z + 1. 3. 11. 13Z 41. 4. 11. 143 ~15,1. 15Z)
+2.2. 12177+2. 3. 12. 1323 +24. 12. 197 er
per f5- Z2
aeq.
5
+ 3.3. 13.1371
An sic dt = 212+312 + 2333, et. ei
ubi si absuisset afsD, licuisset pacere f-a et evannisset O
et D, in quibus y sed nunc id obtinere non licet, ideo
ut ea habeatur per solam constantissimam f,
suminatio autem ipsius at, seu invertio insiu t vel
ergo ad _ at = dx f Y X:, ff. rr- XX - 21X
supro dt = du f fZ. Y, :, ff. Z2 poslo ff = aa + rY.
1. 2 hih 1. 23 tht
dt = 1. 11. 42.12 X +3. 13X + 4. 14. X etc.
undinde quaeratur  dF quod multiplicetur per
ff - ZZ vel per aatrr -7Z et provenions aequetur
cum -rf + C7. ita invenientur 21, 22, 23 etc.
quit ita habita at, facile habetur quadratura seu summatio
qua coarctanda ad cusum specialem. Ita per senem
vel neu nunt ex a, adoque per numerum habebitur
quantumrs propluquam habebitur ratio f vel Y
Tao a. Nec aliud quadam requiritur F
seu 20 issuaa - atf D + affIss aa SD + 2ff  Iff. a = 0
1D
sZ 2,12 21Z 3, 1237 (1Z
sit t = + uX + 1 x + 13X ete
P squan r Yf 10 f.- D
25ffagy V0
-aH + aff
sytaa
 
et ft destuncto as sit
Sa TH. au 4 ar. yy -af 4 af
seu 10
155- 4y
+
Ih
Ergo _ (2) Z. r = 1Z - = Y. - 1i1 rX -1,1 3. 13
qui valor si differentietur secundum s aportet
a, ut scilicet eadem podeat f pro quolibet y alioqui
non est possibile ut i curva optima utivis opfic
fiet am =0. = C
seu tC
ming es tue pocebil, qui hese fona cuv aeges est deseniat

## Folio 178r — DE-611-HS-958803:0357
# The same scan as fol. 177v (DE-611-HS-958803:0356), where its text is given.

## Folio 178v — DE-611-HS-958803:0358
# The same scan as fol. 177r (DE-611-HS-958803:0355), where its text is given.