# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/14914/text
# Catalogue record: 14914 — [Mathesis Universalis]
# Incipit: Mathesis Universalis est scientia de Qvantitate in universum
# Date: 1695
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Other printings: -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, VII S.53-76. -Leibniz, G.W., Opera omnia [japan.] Bd 2, Mathematica. Tokyo: Kousakusha 1997. S.29-66. -David Rabouin (Hrsg.), Mathesis universalis. Écrits sur la mathématique universelle, Paris : Vrin, 2018, S.127-156 (frz Übers.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=14914&katnr=41038
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067992
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 30
# Folios: Bl. 1–8 (from the shelfmark LH 35, 1, 30 Bl. 1-8): 16 pages, canvases 1–16, page ids 00067992:0001 to 00067992:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067992&page=1
# Lines: 1,029 recognised on 16 of 16 pages, mean confidence 0.93
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00067992:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 54 lines, status machine
Mathesis Universalis est scientia dequantitate
in universum.
Quia omnis quantitas determinari potest per Numerum
partium congruentium, seu per repetitionem mensurae
Hintiine fit, ut Mathesis univertalis simul sit scientia
de Mensura es
titione seu Numero, dive (alculo
to, quem tructat Arithmetica
incerto velgenerali
quam de Numero indefirito, quem tractat speciosa
Nam a, b, c. N n y, X; nihil aliud sunt in Calculo, quam
Numeri; ut a + b = X, significat 2 + 3 = 5 vel 1+ 7 =8 vel aliquid simib
ne
Etlicet aldlee smlet lcet de lineis invicem addendis agatur, tamen e
per lineas, quatenus in iis quantitas consideratur, intelligitur certus numerus
aliquis mensurae seu pedum. Ita verbist.   cum in unum
a et b ad faciendum a + seu x, idem posito a esse inemrius pedis, et b duorum
Verb. erb. gr. cum in unum addo =
pedum, et nihil ide in est dicere ex a +b fieri X, quam dicere ex 1+2
fieri 3, seu ex uno pede et duobus pedibus simul sumtis fieri tres pedes
Hinc patet Arithmeficam et Speciosam XaxaL HJos tractari
posse. imo debere. cum eadem sit objecti natura, eaedemque operati
enes; tantumque interesse quod in Arithmetica sunt numeri et speciales; at
Et cum periqu ii qui ad Speciosam discendam accedunt, jam intelligant
in in speciosa vero Numeri generales.
Arithmeticam; hinc commode uti possimas praeceptis Arithmeticae ad
speciosam transsatis. Quemadmodum qui linquami aliquam velati latinam
jam fenet, Grammatica esus ut mutatis mutandis utiliter ad alias
Linguas, praesertim cognatas discendas uti potest
a matenia sensibili
praeterea notandum est omnes scientias abstractas ha
seu mere vationales habere aliquid analogum _ Logicae, eoque magis
qua magis sunt abstractae seu Lagi viciniores Logicae; ita ut quasi
Logicae quaedam utentes, ut vulgo loquuntur, censeri possint. Quid enim
aliud agunt, quam quod rationes generales apic inducunt in materiam
Et quemadmodum Holbius et alii Logicam illustrare tentaverunt similitudine
computi, ipseque Aristoteles  in Analyticis Mathematico more locutus est
iter vicissim et multo quidem rectius Mathesis praesertim universalis,
adeoque Arithmeticnet speciosa tractari possunt per modum Logicae
tanquam si essent M Logica Mathemabica; et ita in effectu
coincidit Mathesis universalis, et Logica Mathematica
In Logica sunt Notiones s propositiones, Argumentationes, Mothodi.
idem est in Mathesi universali, ubi sunt quantitates, quantitatum veritates dequantitations
enuntiatae, cum dicitur una alia esse major, minor, vel ei aequalis, differentice
saequationes, majoritates, miporitates, proportiones argumentationes (nempe operationes
calculi) et denique methodi, quibus utimur ad quesitum investigandum
porro ut Notiones sunt vel Categorematico, vel syncan rorematicae; ithesiite verbi
Logicis
o: homo et equus, est synca
gratia Homo est notio symo calegorematica, sed et
terorematica, que per se non habe strne nonepetest
ita similiter in Mathesi universali  Notionibus Catego rematicis
reppondent quantitates seu Nameri,  quae designantur notis
nit 1. 4 4 p 1. 1. 2 b.

## Folio 1v — 00067992:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 69 lines, status machine
in latculo
sed notionibus syncalegorematicis Logicorum respondent
C
Nolndtae multiplicationis sunt
vincula xlationes
cam connotationes; velusi signa, 
s suber
vel.
notae divisionis
15.
initi
ubsi
significat, 15
a: 6 nota majoritalis
Mota comprehensionis seu vinculuim ut a + b. C significat a+b multiplicari
(+ b, 325. vel 3.5 X
per c, seu fieri ac + bc, nam si scrississemus a +bc, longe aliud prodisset.
Pro peviiculo eprateetie po vinculo, praesentim repeta repetito, saepe utor
commatibus, iisque repetitis sic a +b,: c+d mihi significat a + b
dividi debere per et d. sic s, a + b,:, c+d, ultm mihi significa L
radicem ex producto per multiplicationem atb divisione ipsius a+b per c+d
debere dividi per (+m. quod et sic notari possem, a+bi etd
 vulgo
vero sic notaretur etd. quod inter alia incommoda quia nimis spatii
a+b
1+M
in pagina occupat
in 
Est et nota potentio, seu ductos in seipsum () a+b significat quam
et pe) gundeso
cubi 2, 3 etc sunt exponente
 biquad
Quam quam et saepe sc sic sobummodo scribo, exponentetti supra positend:
a + b vel a +b eu pid est patentia etiarsivetabus iatas 1.
quidam solent exponentem tnscribere non supra, sed simpliciter post
quantitatem per potentias exaltandam Ex gr. a2 idem ipsis est quod 
aa vel quod  sed cum saepe in calculo numeri ipsi post siteras scribantur
nascitur hinc aequivocatio, ut alia taceam incommoda
Reciprocum ipsius Potentia est Radix cujus nota est Y, sumtaa
prima id est Y cum lineaa, ut Vab, aid, iesempe id est radio
est radix cubica
production
Ne esi quadrata educta ex ab, vel ex aa + ab.
e D’est biquadratica, i surdesolida  quadrato cubica, et ita porto.
in exemalo
Reciprocatio inter potentiam et radicem sic intelligitur _, Y9  = 3
et vicissim (9 = (23 vel 9 = 3 vel 9 = 3. 3.
Movam reculiares.
Nota aequalitatis solet esse =, ut a = b. Cartesius ad hibet ∞ (nempe a
sed ego observam
Nota majoritatis A ut 5p 3 significat 5 esse majus  aliquid quam 3
Nota differentiae a Cartesio et Schotenio adhiberi solet =, ut a = b significat
Nota minoritatis B ut  3H S
ipsis differentiam inter a et b, sive excessum ejus quod inter haec
duo est majus; se ququale quid et adhibendum ost, qu cum scilicet
ignoramus ad huc verum sit majus.
verum deprehendi non esse opus peculliari siguo differentiae, sed id continen
sub signis ambiguitatis u quae a nme sunt
itaque differentia inter a et b, nihil aliud est quam alterutrum horum
aberius exculta.
Fa - b, vel +b -c Unde a me scribi sic solet + a = b
Datur et ambiguitas major natle res litera quantitates, ut si
et quidem, triplex
sit +a + b quod signifitat vel summam vel differentiam eum
adhuc
in unantemporendam,
sciliscet duas quantitates conjungendas constat, nec tamen constat
determinatr utrum hoc s.t faciendum per additionem an per subtractionem,
et si per subtractionem, quodnam sit u subrahendum ab altero

## Folio 2r — 00067992:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 81 lines, status machine
Itaque dum quis acquindit acquint X seu a - b, reperitur autem
postreno a - b  seu X, idem valere quod - c; aquaret apparetutiue
eum qui X acquirit revera perdere l summam c.
Unde vicissim pabet sisende perdat X, seu -c locrari c.
et Djudicem, qui hacedem haeredi tali haereditatem X adimat, revera
atque hoc est quod dici; atque adeo su
Atque hoc est quod dui solet er detractionem quantitatis negativae esse
e Nempe X seu c, et
b
ipsi adjudicare) C.
additionem affirmativa ejusdem molis.
Nempe seu -c, et  habent eandem molem C.
 habent eandem molem cantitas
Nempe quantitas X seu -c, et quantitas +C habent eandem molem, C
verbi gratia quaeritur
similis quaestio in lineis fieri fieri potest; (quantum aliquis per horam
eritque =x eidem quod C, seu  - =C = c
in
im
 cellas
progrediatur si quovis quadrante faciat passus hinc versus enet
urante ad
si quovis quadrante horae progrediatur primum passus 100 et mox red regredatur
paus eodem quadrante regrediatur passus 150; dico absoluta hora
progressu, s talis vialoris versus Brunsuigam finita hora fore passuum
=200. seu revera finita hora 200 passibus magis abfore a Brunsoiga
quam inde aberat horpl incepta. atque adeo non lucratum esse, sed
suh lucri specie perdidiste sub progressos specie perdidise. Tales errores
etsi non tam manifeste) Quotidie continguat in rebus numanis.
Numeri fracti habent Numeratorem et denominatorem, et quidem
osued
si denominator fis unitas, anneruis fractus revera est inge integer sit enim 
et sit b= 1. fiet a: b = a: 1 = a
ees epparet subefactis posse contineri interras, et sub irrati
idem contingere potest, si numeritor possit verai exacte dividi per
 sit a = bc fiet a: b = bc: b = c
fractus a: b,
Unde patet eodos regressibns hoc habere, ut eexplicatione facta
s
proponat
e a
neri passepisse
 s sub frat
denominatorem io
integros, sub irrationalibus in speciem continere et rationales; et ut suo loco patebit
atque ad
finitis, prodire tanem possit, aliqua quantitas infinita, sciendum est, 1:0 esse pateb sub transcendentibus in speciem contineri etiam posse ordinarias quantitates
e
saepe fieri possit evanescere signum rer
A
icalibus
Porro  Omnis fractus vel purus est, vel integrum habet sub se latentem
purus est, si numerator sit micor dorominatre; set ut 2: 3 sed integer admistus est
si numerator sit major denominatore ut I1: 3, nam 3 delrahendo quoties fieri
potest fite 3 patet detrahi posse ter, qui est quotiens, et restare 2, adeoque
vel potius Radicalis, seu radice affectus.
(extrahendae
lis suidus este vel radices affectus variat tum pro varietate.
radicim; tum pro varietate eorum ex quibus extrahenda est radix. Radix
feri H1: 3 = 3+ 2.3
Radix  extrahe  duplex affecte pura vel affecta.
pura est, cum
potentia radicis, aequatur datae quantitatis affecta, cum aggregatum formatum expluribus
diversis radicis quaesite potentus data quanlitatiaequatur. I. X aequatur dato ab.
e
seu si quadratur
+ 2X =5, vel
X + 3X = 45, ita B non soli sundesondo, sed praeterea Triplo ipsius quadrati aequalis
Exempli causa si X _x =6
idem est si tu
B fit X = Y, quae est radix suura qu
lura
sed si sit
extractio est non para sed affecta. harines radices affecta
aequationis quadraticae, cubicae et quadrato-quadraticae reducendi ad puras, sed
Et sciendum est inventam haberi rationem hactenus
habesris
hanc methodum non esse utterius promotam ad aequationes pordesolidas et altiores.
sunc
sit numerus 45, tactenus (inventam
de quosro loco

## Folio 2v — 00067992:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 53 lines, status machine
(umo et affecta),
Radix pura vel est quadratica vel cubica, vel biquadr atica vel surdeso
lida et. adeoque variat tot modis quot variari possunt potentiae
quanquam ib suo loco dicemus radices sub potentiis, et potentiae sub
radicibus secundum certas considerationes comprehendi possunt; imo dantur
sive potentiae sive radices extraodinariae quae sub hactenus explicatis non
continentur. Sed de his suo loco.
Ratione eorum quae Extactio fieri potest vel omninodo vel per gradum
Exempligratia etsi se extractio radicis orquadraticae e
fieri potest vel extrahendo statim radicem biquadraticam; vel extrahendo
primum radicem quadraticam, et ex pesiduo rursus radicem quadrabicam;
ita i ut saccedat prior extractio radicis quadratica sed non posterior
verbi gratia si debeat extrahi radio biquadratica ex 4, seu
si quaeratur ea. idem est ac si quoeratur Y4, id est Y2
quansitates sundae Radices spurae variant ratione eorum qex quibus
sunt extratendae, quae rursus vel sunt quantitates rationaliter expressa, vel
quantitates radicales. Et radix quae sub vinento suo rursus habet radicem
dicontinet plura membra, ex quibus unum ad minimum est radicale
dicitur universalis. Ex. gr. Ya+ Vab
quantitates surdae, quae nullam contment radicem universalem
vel sunt simplicet, quarum scilicet potentia aliqua (pura) est rationalis;
vel sunt compositae, constantes ex membris duobus vel pluribus, quarum
vel alterutium est rationale vel ambo sunt irratio nalta.
de his sub nomine aposomarum, et similibus multum rat disserurH
Euclides in libro decimo, sed quibus cognito calculo post hodiernos
exprimendi modis immorari non est necesse
illud notare sufficit, quantitatem potentia rationalem dici
cujus quadratum est rationale, verb. gr. sab, nam ejus quadratum est ab
ite idque etiam in compositis locum habet a + +ad bb+ fa-
est quantitas potentia rationalis. Nam ejus quadratum est
a + ab + a - tab + Vaa + a Jaa - - a Yaa -+bb - a a + bb
id est 2a + b unde ra + b = 1a + taa - bb + ia - saa - bb
aeterum ne quis putet omnes, quantitates radicales
fortasse aliqua nobis incognita chacterers expa
anit
potesieri rationales.
sciendum Euclidem demonstrasset quod multae quantitates sint incommensurabiles
cns
inter se seuequod denturt numeriincome adeoque rationem exprimentem inter has quantitates
exprimi per Numerum qui dicitur Sardus, id est, qui est incommensurabilis
Unitati. Nam fractus est unitati, le commensurabilis; quod ita patet
sit fractus quicunque, ut 3:5, dividatur unitates in partes 5, eq erit mensura
patet unam quintam partem esse unitati esse mensuram communem tam
fractionis 3, quam, unitatis; nam 7 in unitate contineri quinquies; in 3 conti-
quo caeterum quomodo conlinnatis operationibus per integros
neri ter. Quomodo autem
accedi possit ad fractos, et per rationales ad surdos, suo loco patebit
Ex irrationalibus oriuntur quantitates impossibiles seu imaginariae,
quarum mira est ex natura, et tamen non contemnenda utilitas; etsi
enim ipsae per se aliquid impossibile significent, tamen non tantum ossendunt
fontem impossibilitatis, et quomodo quaestio corrigi potuerit, ne esset
impossibilis, sed etiam interventu ipsalum exprimi possunt quantitates
reales.

## Folio 3r — 00067992:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 56 lines, status machine
quemadmuenteretas
loco patelit  justitia adeo ad omnia est utilis ut etiam in calculo
considerandum nunc est posse.
Algebraico ejus observatio prosit
et
oriri
Expositis jam formis simplicibus, possunt jam inde componi
formulas compositas exempl. X+y vel X+ y vel X+Xy.
vel ex+y + X Axy; asque vel 2X + 3y; aliisque modis innumerabilibus
iqua duae autem sunt reges quae in hac compositione observari vel violari
possunt una est dex Homogeneorum quam tulit Vieta, altera est
Lex justitiae, quam ego introdux .
e
Lex Homogeneorum est, qu ut qu quaen
ejusdem gradus, ex. gr. X + y vel X + yt (vel 20 +31) posito 2 et 3
ete numeros, ha enim in lege homogeneorum ni mutant. Sed si in unum addantur
diversi gradus quantitates,  func viotata intelligitur lex homogeneorum, ut si
Et quidem si de numeris vel quantitate mere abstracta agatur impune
fiat X+y + 2X + 3Xy
lex homogenectum violari potest, ex exemplicausa siC2
6+15+8 =27. ubi faciendo 2 = a, et 3 = b,  et 5 =c fiet
ab + bc + a = b3 quod verum est etsi lex homogeneorum non observetur, seu
ets. rectangulaa ab + bc, addantur cubo a.
sed cum numeri applicantur rebus, hoc non licet, neque enim in unum addi possunt
in Geometria rectangula plana ab et bc, b ad cubum a. neque
licet comparationem instituere inter rectangulum solidum spatiale, seu simplex
Sia5 Hma trium dimensionum; et inter corpus aliquod grave, quod est quatuor
Gimensionum, ut paulo ante est explicatum.
it a interim licet etiam recedere in rebus a lege in rebus ipsis recedere
a lege homogeneorum saltem inspeciem, subintelligendo aliquam quantitatem
pro unitate assumtam exempli gratia ab +bc + a = B, significabit
6 pedes cubicos, una cum 15 pedibus cubicis, et dpedibas cubo duorum pedum, aquare
ab
simul aequari cubo trium pedum; seu rectangulum solidum 
ab
en unitater
ad hibendo 1 ab + ibc + a = b3. id est rectangulum (cujus altitudo unius pedis (1)
du
latitudo duorum, (a) longitudo trium (b)  (hoc est sex pedes cubicos) una cum rectangulo solido
aac seu ac, cuius altitudo unius pedis (1)  latitudo duorum  2 (a) et Con-
gitudo 5 (C) (hoc est 15 pedes culicos) una cum cubo duorum pedum (seu 8 pedibus
Etsi autem Cartesius foleat non raro studio violarelegem homogenecrum
cubicis) aequari cubo  b3, cubo triuu
introductione Unitatis, ego tamen ejus rei non magnum usum reperio, et malo
cum viela quoad commode licet, etiam in ipsis numeris leges homogeneorum
sequi; qui a ita sponte naturae nascitur calculus maximeque consentit ordini
rerum; erroresque etiam facilius evitantur quia lex homogeneorum inter
Legem
equo9 Habeo et novam Le Homogeneorum a me introducta
examina est calculi
pro calculo differentiali et summatorio ubi praeter potentias et formas
paulo ante positas occurrunt differentiae. Et reperi Exempli causa a ddx
homogenea est cum dxdx. seu quadratum differentiae primi gradus homogeneum
est cum rectangulo differentia secundi gradus ducta in rect quantitatem
ordinariam facto. Et hanc in rem regulam assignavi generalem; sed cuinunc
hoc loco immorari noter, quia ista profundiora  nondum satis intolligi possunt

## Folio 3v — 00067992:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
in calculos
porro lexjastitio et si nminus necessaria sit quam lex
tomogeneorum, tamen non minus est utilis; non tantum enim inservit
ad calculi examen ulterius et exquisitius, errores, alias facile irrepentes
praecavet; sed etiam modum invent ostendit, quod de uno quantitate
per calculum venati sumus, de alia statim scribendi sine calculo, ex principio
similitutinis seu ejusdem relationis. Est autem
est autem Lex justitiae vel communis omnibus literis calculi propositi, vel
tantum quibusdam inter se, et aliis rursus inter se. Communis omnibus literis, utusi
ut in formula X+ ist , Z3 + 2Xy + 2X + 2 X + 2YZ + 25Z+ 2y2 +5Yy2
Ubi sileo magno fructo calculi compendiis utis inscrbendo nam hunc formulam
d breviter ita exprimo  x + 2Xy +9Xy), ubi per B intelligo omnes cubos
ex literis X, y, Z; per xy, omnes quadrato simplices ex isdem; et ita porro in aliis.
Unde multa C generalissima theoremata condi possunt, quae locum habent quam
tuscunque sit numerus literarum exempli grabia cubus ab , x + yt Z + co, et
seu compendiose cubus ab X est X + 3Xy + 6xyz. Unde in specie 
(explicando in quatuor literis cubus ab X +y+ 2+ co est X3 + 3 Xy + 6 xyzue. Uade si plures essent
Et siptusten literae verb: g. sex septem, decem, l. 3
co
immensuoririurmoles membrorum, quae tamen omnis hac
bavifiumao (3) X = X + 3Xy + 6xyZ sufficienter
nam
3 X ist
xey
3X7
yX o
3X con
nd3
ejustitiae inter literas observatae.  sto
Bdu
6Xycd
6X Zco
immensa orcetur mo les
6yreo brevi formula
ex primitur beneficio
interdum lex justitiae propria observatur inter literas quasdam,
 rco
et rursus alia propria inter alias quasdam literas in calculo occurrentes
ut si sit formula ax +  ary + ab Xy, patet X et y servare justitiam
inter se, et a  et b etiam servare justitiam inter se, etsi a et X (verbi quatias
item
inter se justitiam non servent.
Clater binas literas Amelici modo justitia observari potest, uno si
Aequationes, ut ad obiter addam, etsi non sit pane huius loci, duobus
modis postitiam servant, uno: si omnibus quantitatibus ab una parte positis
et nihilo posito in altera, oritur formula observans justitiam; quae formula
est nihilo aequalis; altero modo observatur justitia in aequatione, si quidem
ameae aequatione ad formulam redactae ambae literae non tractantur
actu ipso eodem modo; possunt tamen quod tamen de una nunc factum est fieri
potest de altera et viceversa quod contingit simplici mutatione signorum
itasi sit XX + yy ∞ al = b inter X et y perfecte lex justitio
observatur; sed si sit XX + X = yy + y,  tunc redacta equatione
ad formulam fit +xX + X = 0, ubi alitertrncratur x quamque revera tamen
sis
lege justitiae non nisi inspeciem violatar;
quoniam pari sure facere le (mutatis signis). facere licet ryy +y =0
ambae literae pari jure utuntur.
a
XX Y
quemad modum si ex priore XX tyu =aa ub faciamus Xx XX = aa - yy
lexjustitiae etiam in peciem tantum violatur
timus quantitates earumque
essi et si
caeserum
Haoenis forma
etiam
hactenus
ex indicative
formavimus explicite, possunt, tamen et formari implicite, nam
erimus explicite, seu actue ipso
saepe cum partes invicem addendae, vel in se invicem ducendae, 
le
orim
quod speciatim

## Folio 4r — 00067992:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 69 lines, status machine
Cum vero ipsae de, seu v,  sive du non minus progossionem
vel incrementa aut decrementam differentiasque adeo suas habeant, quam
ipsae y, hinc oriuntur differentiae differentiarum, seu ddy: imo dantur
et differentiae tertia, et ita porro; quoadusque est opus.
Reperi autem summatorium calculum in primis pertinere ad quadraturas
el directic
diferentialem vero ad Tangentes et differentio. differentialem ad
aoscula seu flexiones; de quibus omnibus suo loco clariores notiones
pabebuntur
Hactenus de Con-notationibus seu notis secundariis quibus
in calculo utimur, sed nunc ipsae quantitates notis paan istis vel
primaviis solis cum simplices sunt, vel primariis et secundariis simul designandae
aberius a nobis exponi debent.
Terminus porsus simplex est,  et b. quo desta
Quantitas velut a vel b.
Ter quantitas de designari potest litera, ut a, b. item
numero vel vere, ut 3(ternarius,) vel fictitio, ut si 13 mihi non  significet
numerum sed tertam u tredecim, sed potius quantitatem collocatam in formula
velimus
per
prima
inde desiqui
ocoitemotam simplicem primariam
tuubus
Speciosae defectum suppleo
Qua ratione iagentem  nempe literae
quod lscilicet assumtae vulgo nota a b, etc. non satis significant
1a
esses
ipsarum quantitatum inter se ordinem et relationem;  et in propessu
alculi non apparent pulchrae harmoniae, legisque. ac thectemata quae
dete primo statim aspectu debeguatur, si ordo quidam certus et regularis
in notando servetur
moe erit ae x + b ex L cex Dex 4
+fax +fb x +f oprocbetum
eres
agX + by x + Cyx + dgX
+ a ex + bex + E ex + d ex
+fX+ bfX + csx + df
Sed sed si 10X + 11X + 2X +13 multiplicemus per 20X + 2IX +2, ubi
nulla nota sine ratione assumta est, nihilque est in assumtis, quod non exprimatur et discriminetur
in notis; etiam progressus egregie in producto apparebit. Nempe, per notam
dextram numeri distinguimus coefficientes formulae primae, a coefficientibus 
formulae secundae; per notam vero sinistram distingvimus sedem in quavis formula,
seu cuignam potentiae sit coefficiens; sic 21 significat intelligimus esse.
sofficientem ipsius orulla da e per  X in formula secunda
et per 12 sigit intolligimus coefficientem ipsius X in formula prima
10.20 X + 11. 20X + p2. 20X L1 320X E
12.21
+ 13, 21 X
jam 10x +  X etC. in 20X + 21X etc. dat
+ 10.21 11. 21
10. 22. 1. 22. 12. 22. + 19, 2
d
le
Ubi patet in producto esse omnes combinationes possibiles certa lege atque o
factas. Hellceq _ Nempe summa notarum siniste in quovis mentro coefficientis odnstioextrae
sunt eadem nempe 21 et 2  ess binio, seu combinatio, duorum numerorum
fictititiorum . in quovis membro co  se 1 t 20. In qualibet harum binionum
notae dsinistrae punt eaedem, et eodem modo collocatae, nempe 1 et 2.. Veluti 10.20
aut l1. 20, aut 10.21, et ita porro. In omnibus binionibus ejusde seu membris
coefficientis ejusdem potentiae ipsius X, summa notarum simstrarum dextrarum conficit
idem, nempe numerum qui additus exponenti potentiae dat exponentem summum 5. Veluti
Cdefficiens ipsius A X constat ex tribus membris  13. 20 +12. 21 + Il. 22. ubi patet
3+0, itemque 2+1, itemque 1+2 facere  semper idem nempe numerum (3) qui additus ad 2
(exsdentem ipsius p) possit facere 5. Unde patet etiam quot modis possibilibus possibilia
sint membra cujusque coefficientis, tot scilicet quod modis numerus 3, ex binis inferioribus 0, 12
Componi potest, et quot cujusque compositionis sunt transpositiones possibiles;  velalti 142 et 2+
sis un qudem laespetti, ses vimius cons purpusiniune

## Folio 4v — 00067992:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 49 lines, status machine
patet hinc etiam productum hoc modo scribi posse
sine ullo calculo Arok
per gredus
i
10. X + 1+ Xt 1
10. 20X  11. 20)4 12 20X
1021 M, 2
10. 22
patet etiam hinc pro ductum scribi posse sine cilpalo, theoxmatibus
hils
hujusque hujusmodi semel constitutis. Exempligratia  pro termino x
stit piimum scribemus 13., et inox supplendo fiet 13. 2, et demiqe alsilvendto 13. 20 X
2
2.
10. 2
16. 23
_ et primo membro cujusque coefficientis dato (quod determinatur ab ipso potentiae ipsius X
Et hoc majoris ad huc usus sunt cum tres. fer vel plures formulae invicem
gradu) patet reliqua quoque cum sua serie determinari,
duci debent. nam quid prodire debeat, si adhibenuus notationem regularem
et accuratam non vero ut vulgo arbitrariam, Aritim praevidere possumus sit
quid sit proditurum; et semper certa quaedam tacoremata apta eruimius, facileque
etiam errores praecavemus aut emendamus.
Hini etiam prodit iguorata hactenus vel neglecta subodinatio
Algesrae ad artem Combinatoriam. vel artis caleus formulae
seu Algecrae speciosae ad speciosam generalem; seu scientiae de formulis
quantitatem significantibus ad doctiinam de formulis, ordine, similitudine
pelationibus, etc, in universum. Ut adeo speciosa nostra
Mathematica nihil aliud quam pecimen illustre Artis
ombinatoriae seu speciosae generalis.
Unde pates quam imperfecta hactenus fuerit Algebra
quoque
cum ne  modus quidem simplices terminos exprimendi berre
fuerit constitutis, ut taceam tot alios in Notationib Connotatio-
quemadmodum et ostendum Arithmeticas notas squantum
nibus defectus à me suppletos.
ad Theoriam, hactenus male fuisse constitutas; endit ita
scilicet ut relatio numerorum inter se atque ordo non apparuerit
eaue ratione factum est, ut vera Arithmetica magna verae Arithme-
tica pars, hactenus sit ignorata, quod in seientia maxime facili
et maxime usuali mirum videri possit
primum iestots
= vel scienbis
generalis de
quantitate
ad scientiam
gene
alem
de qualitate

## Folio 5r — 00067992:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
Quantitates quae notantur per literas vel Numeros, vel alias notas sunt vel
abstractae, vel concretae, abstractao  sunt numeri, vel etiam rationes
quas ipsas (quemadmodum supradictum) ut numeros fractios concipio, mpira,
quantitates coneretae possunt esse  lineae, figu, figurae, solida; motus, vires
soni, lux, et omnia denique in quibus alicujus mensurae repetitio ittelligi potest. de quibus
alias plaribus, ut applicatio Mat Anatus Speciosae ad ma Geomet Calculi Generalis
ad Geometriam, dynamicen, physicam, Astronomiam, physicam, et alias scientiast
Quaulitates exprimuntur vel per notam simplicem, modo dicto, v
metius appareat.
velut per a, b, numerum; es. vel per plures notas inter se conjunctas,
prima formatio est per signum +, ut si fiat  ex a et b conjunctis
modum formandi quantitatis designantes.
per additionem, seu simul sumtis fiat a + b. vel a + b +C, vel a + b +C + d
fieri autem potest, ut quae hoc modo simul adduntur, habeant quandam velationem
inter se, ex quibus simplicissima est, si coincidant, ut B si bect a, et b coincidant
fit atb idem quod a +a vel idem quod 2 a. et a + b +C,, idem quod a + a + a
Ex quo etiam apparet, quomodo Multiplicatio sit additio quordam reponta
et
seu idem quod 3a. Hin
Et ponro, cum habemus 2a, vel 3a, fieri potest, a vel generaliter
be ma, vel am possumus rursus considerare, ipsam  numerum m
aliquando pose aequalem esfi numero a, etitaex am, fiet aa. unde jam
nascitur potentia,  eodem in se multiplicato; ex quibus
simplicissima est a a nempe quadratum, proxima a
Habent autem potentiae suos gradus, nempe si a multiplices per a fit ua
seu a, seu quadratum; si aa multiplices rursus per a, fit aca, seu _ , seu cubus
Tabula potentiarum: a est unitas. a seu a est latus, seu quantitatia tcliadratum
solidum
a cubus. a biquadiatum. a. furdesolidum primum. a (seu a3) quadrabenbus. aunde
a sandesolidiur secundum, (nomine siundesolidi vocando omnem potentiam cujus exponens est numerus arimitivus
2d triquadratum. a bic seu a, bicubus
d seu a quadrabi surdesolidum. a surdesolidum tertium. a seu aEB biquadratocabus
supra 3) a triquadeatum A seu a
quemadmodum potentiae nascuntum ex ductis invicem aequalibus, ita
si diverse literae in vel notae simplices ducantur oriuntur u rect quae vocare
gula Rectangula, a quoniam in Geometria ab, seu multiplica
tio a per b repraesentatur iptime per rectangulum planum; et abc, seu
ic
mnlstiplicatio a per b, et producti rursus per C, repraesentatur per rectan-
Imo etsi in Geometria non dentur nisi tres dimensiones tamen in reram
natura dantur plures sint enim duo psu rectangula solida abc, et
et pondus argenti auri ad pondus
steriu
gulum solidum.
argenti sit ut d ad p; patet pondus pranssaranguli prioris, ad pondus spati
itsardi
plma um ex auro, atterum ex argento solidiso
an rectanguli solidi posterioris fore ut abcd, ad Imnp, adeoque etsam
Qoon
spatia non sint nisi trium dimensionum, pondera tamen esse quatuor dippensionum.  si motus
impetus, motus vires, horumque varios gradus aut varias species adjugamus possunt
Habemus ergo rectangula haec:  bire birectangulum  ab, trirectangulum abe
dimensiones mutiplicari in infinitum
Eadem expli exprimi possunt per combinationes. nam ab est binio ducrum, abi est
quadri rectangulum abcd, et ita porro.
ternio trium, qbod est quaternio quatuor qua talium. quae quidem combinatio
cum numerux combinandorum coincidit cum exponente combinationis non nisi unicu
est. Sedes Alias A sunt pluces exemplii causa tium aba, b, c; sunt biniones tres ab. acbe
qu quatur a p, c, d. sunt biniones sex ab, ac, ad, bc, bd, cd; terniones tr quatur abiald ardbid
Ed de tis sroloro

## Folio 5v — 00067992:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
seu conitinatione s
et rectangula saut, formae ex diversis invicem ductis; superest jam ut eas formas
seu combinationes spectemus, in quibus partim sunt eaedem literae, partim diversae.
Et haec quidem forma variant pro gradibus in primo seu infimo gradum
nihilaliud habemus quam unam forman, a vel b, 8 et
Aept: 
in secundo gradu sunt formae duae qua dintum et binio seu bi rectanulum aa, et ab
Intertio gradu sunt formae a. ab. abc, nempe praeter cubum a, et trirectam
gulum abel termonem abc, occurrit ab, vel  (vel quod quo ad formam eodem ratio
redit ab2) quod possis appellare quadrato simplex
in quarto gradu sunt forma a (biquadratum) ab (cubo simplex) ab. (bibinio)
abc (quadrato binum) abcd (quaternio)
in quinto gradu sunt formae a (surdesolidum) ab (biquadiato b simpler) 
ab (cuboquadiaum) abc (cubobinum abc (bibino simplex) abed (quadratoternum) abede quinia
in sexto gradu sunt formae: a (quadraticubus) ab sundesolido simplex) ab (biquadrao-
quadratum) abc (biquadratobinum) aeb (tribinio abc (cubo quadrato simplex abed (
(cuboternum) a bC (biternio) a bcd (bibinobinum) abede (quadrato quaternum) abedes
in septimo gradu sunt formae a (surdesolidum secundum) ab (quadraticubo simplex).
 a st (surdesolido quadratum) a bc (surdesolidobinum) ab (biquadratocubus)
AbC (biquadrato quadrato simplex) abed sbiquadrato ternum) abC (tribino simplens
a3bC Cubi bibinum) abcd (cubo quadratobinum) abede (cubo quaternum) a bed(biterno-
simplex) ab de (bibinoternum) a a bedef (quadrate quinum) abcdetg (septenio).
Atqu ita porio ad gradum octavum, nonum, di sequentes pergi posset, si esset opus
sed non est necesse tric multum immorari, et si libare nonnihil prosit.
Notandum otiam quadraticubum mihi significare a seu a23, nempe quia exponens
hujus potentia 6, est productus ex 2 exponento quadrati et 3 exponente cubi; ubi semper
in denominando incipio a numerae, moducente minoree. Sed cubo- quadratus, cum scilicet
a majore incipio sat  formam productam ex cubo unius literae, in
n
Ex mini desiguat, nempe
quadratum alterius literae, ut cb, vel ba, vel quod idem est a b3, ubi sat tem
in denominando incipie ab atiore; quod observandum est ad aequivocationes
evitandas. Itaque quadratoquadralicubo cuboquadratum, mihi significabit a b
et quadraticubo dquadraticubus significat ab, quod etiam efferri potest sebinio
et quadraticubo cubo quadratus significat ab e
ubi etiam notandum quae sunt ejusdem liferae connecti per genitivum, quae diversae
per dativum (vel ablativum) sic quadraticubus) a seu a seu quadratiaa, cubus:
dam revera est quadrati a, bubus, nam si a a ter in seducas cubice fit a; sed
quadia dativus facit significat transitum a litera in literam, ut quadnto 
ut cubo quadratus significat ab, seu cubum ab uno ductum in quadratum ab alio.
aticet autem observato hoc discrimine infer genitivum et dativum minus sit
necessarium discernere observare quid sit praeponendum aut postponendum; nam
quadaabi cubus seu Tubus a quadrato, idem est quod cubi quadratus, seu quadratus a Cubo;
et quadrato cubus, id est ductum a quadrato alicujus literae incuuma, in cubum
alterius literae aiidem est quod cuboquadratus  est qu cubus abalicujsis litere
a, incul quadratum alterius b. nalo tamen majoris lucis causa paeter distinctionem
genitivi et dativi adhibere distinctionem ordinis, ut in exprimendo exponente unius
litera praeponam exponentis factores seu productores minores; sed in exprimenda combina
tioneremorum latera litepam potentiarum a diversis literis praponam potentiam
ex ponentem potentiae altioris.
denique notandum est quasiam formas servare legem justitiae,  ita ut
quaelibet in iis litera se habeat in eodem modo, ut fit in rectangulis seu combi
trationibus simplicibus, nempe binionibus ternionitus abc, quaternionibus abede; et
in harum potentiis, seu bibinionibus ab tribinionibus ab  qa bitermionibus abe, triternio-
nibus 2b3; et; biquaternionibus abed, triquaternionibus aB3 , etc. et ita porrogu:
et denique in potentiarum ab ipsis diversis combinationibus, ut  tribino terris aBes C
Cesterae formae legesjustitiae non observant nisi plures jntes addantur inter se exempl
gratia quadrato simplex aeb oliter tractat a, quam b si tamen in unum addantur, aeb + ab
corrigitur in justitia, et in formula composita ambae literae aequalijure utuntur
Atque haec vel

## Folio 6r — 00067992:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 54 lines, status machine
praesertim ubi sunt magis compositae multipti ductum
illum non actu ipso peragimus (quod quomodo fieri debeat pertinet
ad explicationem Operationum) sed tantum faciendum esse indicamus,
Veluti sit si a idem sit quod X + y, et b idem sit quod x-y
erit e ab idem quod X + y X-y seu XFy. x - g. imo si essent tres
vel plures formulae idem locum habet, ut si a sit + xry+Z, et b sit +X+ y -Z
et C sit Ay+Z et d sit -x+ G+Z  tunc siq  utique e
abede abcd ab cd. erit tx + y+ Z, tr + y-Z x -y+Z, X +y + Z
adhitetur ad
quorum inse invicem ductorum radix quadrata aream trianguli restangali
ex datis tribus laterious X, y, Z., ut constat.
aequalium
Hactenus non nisi additione, eaque repenta se musen multiplicatione,
eaque persaequale seu potentia, et horum inter se combinationibus usi sumus; de
 adm
Nunc tempus est dari calculum regressivum. qui eumque non semper
esse in potestate. et hic calculces est pro contrariis additionis, multiplicationis
et, potentiarum exertationis; nempe pro subtractione; divisione, et radicum
Nempe quodvis licet addere cuivis, quidvis libet multiplicare per quodvis
subtractione ex tractione
et ab uno quoque datam potentiam excitare licet; sed non licet vicissim subtrahere
quodvis si quobis, nec dividere quidvis per quodvis, nec extrahere quamvis
radicem ex dato. Non licet inquam sciliceerita, ut numeri oriantur
Non licet inquam scilicet ut Numeritales inde prodeant, quales
hactenus srastavimus, integri scilicet, qui constetit ex repetitione
ex progressus repetit ex progresiente mensurae repetitione. Ne Nam
non licet subtrahere majus a minore, nec exacte dividere numerum per aliu
multos, g primitivos, nec exacte extrahere redices, nisi ex certis numeris
per multiplicationem in seinvicem conflatis.
prodeunt tamen succedanea, nempe cum majus subtractio irrita est,
numeri nequ prodeunt negativi, cum divisio irrita est numerifracti,
lum extractio irrita est, numeri surdi idemque est de quantitatibus,
Haec succedanca vere  salis faciunt, et exacte exhiberique etiam
exaste
quod de Numenis.
dantur et quantitates ie ine infinitae vel infinite parvae, item
in natura actu ipso possunt.
imaginariae, item transcendentes ipsis ut ita dicam surdis surdiores,
quae tamen in Geometria et natura actu ipso exhibentur sed de his
et quantitates inassignabiles, eaeque vel infinitae, vel infinite
suo Loco clarius dicemus.
prursum parii gradus. Quae etsi per se non prosint
prosunt tamen non raro ad quantitates assignabiles per inassignabilium
dantur ve
ambages inveniendas; et omnino in omni transcendentia intervenit
parvae, eaq
uunives salem seu speciosam
Mathesin generalem (in duas partes dispesto
aliqua consideratio infiniti
Unam Algebraicam quae tractat qu de quantitate finita, perfinitas
Et generaliter
investigata, alteram transcendentem, quae tractat de quantitate
finita quidem investiganda, sed interventu infinitarum. et si postremo
ua infinito illae vel inassignabiles evarescant. ita ut Matheseos

## Folio 6v — 00067992:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 59 lines, status machine
Itaque Mathesies Universalis pars superior revera nihil aliud
est quam scientia infiniti quatenus inveniendas finitas quantitates
prodest. Unde er  visa est viris ingeniosis  mirabilius
eriti
aliquid et ut sic dicr divinius in se habere
sublio et divisi Caeterum divisio subtract
Et Et cum inter potissi ma Mathescos universalis superioris instrumenta
sit Calculus differentialis a me introductum, de quo suo loco; saltem id huc loco
norabimus differentiationem esse etiam operationem pogressivam, adeoque
semper succedentem, sed summationem esse operationem quandamregressivam
quae non est semper in potestate.
in Omnes tamen operationes regressivae seu coarctato semper
sed non semper explicite, vel
fieri possunt indicative, per notam scilicet suam proprtam. Sic att
sic a-b significat ab a debere subtrahi b
epsi
similiter ae 4, vel ut ego scribo, a: b signficat a dividi debere per b
et ab significat radicem quadratam exhahi debere ex ab,
Utrum vero res per calculum pacte fieri queat an vero tantum organie
per Geometriam et Nanturam fum demum apparebit, cum accedet
literarum explicatio per numeros speciales. Exempl. si a sit 2, et b sit 8
ab erit 16, et succedet extractio fietque a Yab seu Y16 idem quod 4. sed
si a sit 2, et b sit 3. ab erit 6, et fie Vab ide erit idem quod io
ab, quo casu execta extractio non sucredit.
interdum ex operatio explicita ubi non prorsus succedit, saltem
tamen e proficit ad majorem simplicitatem, sic si sit a - b, et ponatur
a = b - C, patet a -b fore idem quod = c nam fit 4bc eC 
nam fit a = b, idem quod _ b - c = b seu (b) - c (=b) seu - c.
destructis scilicet destruendis quod circulis illis vel inclusionibus noto. Et
soleo inclusiones diversas destructiones diversis d distincte notatis inclusio
nibus designare. Ut si sit, a idem quod b -c et l idem
exhg
proponatur
quod m -n, et scribatur b a + b - b -m. Fret (B cFI - n (- b (= m)
idem est in divisione, sit enim a proposita fractio a: b seu 4 ut
id est nC - n
gulgo designant, sit a b = ac fiet a: b = 1:C, seu
a - a ergo a ib = a: ac ergo a b = ti, seu = (a: (aC seu = 1 : c
Sed et in extractionibus sape per explicationem pervenitur si non ad
u extractio sublationem omnimodam surdae per explicationem extractionem
perfectam, saltem ad surdam simpliciorem. vert. gr. s Tab si data sit proposita
pradix tab, et  a sit  et b sit 6 tunc ab erit 12, et tab seu
Y12, idem er 2 13, quia 12 idem est quod F4. 3 seu quod S4 13 seu quod 213
Nanlitates Negativae, cum _a minore suberahi debet majus
seene oriuntur in calculo, et indicantis et licet non videantur respondere
ad quaestionem reapse tamen respondent perfectisime non tantum enim
judicant, quaestionem fuisse male conceptam  non inepte quidem quando res
perveri (et si venia danda sit, quia praevideri non poberat) sed etiam quomodo fuciit
concipienda et quid ad eam recte conceptam sit respondendum.
Exemplicausa quaeritur quantum Titius possideat seu habeat in bonis,
subducto calculo eorum quae possidet, et quae debet, et quae credidit aliis, reperitur
eum moo nihil habere in bonis, (nisi scilicet ipsum debitum, passivum quod praestat
non habere, uti meritum sceleris) sed etiam habere minus quam aihit, id est
nn
acquisitionibus adhuc quibusdam opus ei fuisse ad nihil neque habendum: itaque ostendit haec solutio
nim nihilu sed quid acquirere eum oporteat
 nno libit interioa laciam los pe tea m heres ens sa sie mtam itestc
quaerendum fuisse, non quid habeat (quhabet
us no lebis ana lamace sed perdere tantam summari quantr es ta fipro afecta

## Folio 7r — 00067992:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
subtraere licet saepe,
itaque quemadmodum Ad subtractio est liberare calculum formulam
a signo, sivitere est litegare calculum afractis, a signo- seu quantitate
negativa, a quantitate fracta, a surda, ita sicet caleulum liberare
ab imaginaria, idque vel operatione depressiva seu regressiva, quod est desitera
seu evolutiva, quod est desiteratum, vel saltem operatione involutiva
seu progressiva, quod tamen et ipsum summ usum habet, et aliquando ad
evolutionem conducere potest. Sed haec tum erunt explicanda cum de
seniu
operationibus agetur. Nunc tantum nonnulla praelibare oportet,
et variae quantitatum species intelligantur
quantitatis, omaginariae oriuntur, cum extrahendae sunt radices quadra
ficae, vel involventes quadraticas extrahenda sunt ex quadra quantitatibus
venativis. Exempligratia Y1 V- (seu YN) Y- (seu 3-1)
Hae expressiones id habent nirabile quod etsi in calculo nihil absurdum et
contradictorium involvantu tamen non possunt exhiberi in natura
Ad quas reduci possunt caeterae, nam -2, idem est quod 2 mult. per Y-1
Ho expossiones id habent inirabile, quod in calculo nihil involvunt absurdi
vel contradictorii, et tamen non exhiberi possunt in natura rerum, seu in
contretis. Quomodo autem significen quaestionem male esse constitutam
apparet in exemplis ,ubi facta debita mutatione in datis, evanescunt
imaginariae, de quo  jam viri egregii dissernere. Nempe res ostendot
nos quaesiisse punctum in recta aliqua linea, quod tamen quaerendum erat extra
ipsam. vel linea aliter erat assumenda, ut si quaeratur punctum
Res exemplo patebit: Datus circulus ABC, quem tangat recta AE; ex cujus
puncto aliquo F, educatur normaliter recta FG occurrens circulo in punctis H et L
quaeruntur puncta ramsus H vel G patet in casu quo F incidit in 
ita ut fiat AF vel A aequalis radio circuli, duo puncta occursus coincidere
in unicum punctum R, et ex sectione fieri contactum; sed si F adhuc
magis removeatur ab A, ut si ponatur in (F) tunc ductam (F) (G) nullo
modo posse occurrere circulo. Unde 8A est omnium FH maxima,
curiosus
His positis aliquis Analyticus merito quaerat, quid factura
et omnium Fs minima
sit natura rerum ut calculantem eludat, qui sumens AF radio
majorem, nihilo minus punctum occursus quaerat, cum circulo, quod
punctum tamen est impossibile. Sane idem plane instituitur calculus sive AF sive
sit major, sive minor radio; imo calculus fieri potest generalis, qui eo casu quo fit
quomodo ergo discernus u s quo casu est impossibilitaem
in calculo assumatur, aut prodire possit persa aat sua natura aut adeb prodite
de possit per se et sua natum absurdum. Sciendum igitur naturam nihil aliud
habuisse, quod impossibi inquisitioni impossibili opponeret, quam imaginarias
quantitates, seu radices ex negativis.
u Res clarius patebit, si digressione non 
centimsralisi K. AF sit X FH vel FL sit y. radius KA, vel K d sit  Y. ja
vel
Yseu FH est ( F Ht vel FL est et HL bisecetur in medio M. patet esse KM.
aequ AX seu X et HM, r
YF - XX. rersus FH = FM (seu AK) H seu HM = Trr - XX. rursus
FH = FM (seu Y) = HM. Ergo FH seu y = Y = trr-xX, et eodem
modo FL = M (seu Y) + LM seu HM. Ergo FL seuy -r + Vrr -xx seu
generaliter Y = Y + frr-x, ut scilicet diversa puncta H et L uno eodemqe
calculo ambigno designentur; quanquam suffecent scribere y = Br + Vrr - X
quoniam omnis radix per se ambigna est, de quo suo loco. Hinc YY = XX = o
fit y = Y et evarescit irrationalitas adeoque et ambiguitas, et i patet in casu
sessantis ambiguitatis seu coincidentis utriusque puncti H et L, AFcoin ipsam AFsed R
fieri ae qualem ipsi radio Y seu AR. sed si X vel AF ponatur major quam ratius  vel AF
tunc rr - XX est, quantitas negativa, quippe residuum post detractionem majoris Xx 
s u  esse imposlilet
et majus quam r, esse imposibilet

## Folio 7v — 00067992:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 98 lines, status machine
Uunde discimus quaestionem non bene esse constitutam, et vel deber
Circulum ABC sive radium ejus Y, assumi majorem; vel eodem manente
circuld, ipsam X vel AF assumendam minorem, ut quaesitum
obtineri possit. Et nisi darentur tales quantitates imaginariae in calculo
impossibile foret institur calculos generales,  seu vatores reperiri
ssibilibus et impossibilibus communes, qui sola differunt explicationeliterarum
Aarequam tractationem de Notini Themate simplici Logicae
ladeque nihil perse
Mathematio, variisque Notum quantitatum sulli Numerorum jive quanti
neribus
tatum Mathesent universalis tractationi subjectarum, harume inter se
conotationibusque earum finiam; nunnibi de quantitate inassignabili
superest, ut nonnihil addam dequantitate in assignabili, sive ea
sit infinito parva, sive infinita; saltem ut aliquioo aliqua de illis notitia
detur, caetera enim suo loco explicabuntur:  Recta TC, curvam sevet in AC()
secet in duobus punctis C, et (C), et quibus demittantur e ad axem
CD
AB perpendiculares, B CB et (1) (B) jam eX C in (B) (C) agatur ite
patet cD esse differentiam abscissarum AB, et AB); Cd(C,
esse differentiam ordinatarum BC et (B) (C). poro Et Riangula
Et si recta TC axi AB occurrat in T satet triangula TBC
et CD(C) esse similia. Sed in casu contractus, eum recta TC
gC et (C)
curvam AC non secat sed tangit, seu cum puntes
coincidunt, vel quod eodem redit, infinite  parvo distant intervallo
patet tom triangulum CD(C) fieri  inassignabile, et cd esse elementum
constans ex rectis insi lateribus infinite parvis; et cd esse elementum abscissae,
et D (C) ese elementum ordinatae; et (C) esse elementum, quemadmodum et suo
loco patebit CC) esse elementum curvus; adeoque Triangulum hoc assiqabie inassigna
bile CD(C) simile est Triangulo assignabili seu ordinario TBC, imo ope hujus
nassignabilis, seu ope rationis inter Cd et d(C) quam noster calculus differentialis
menhibet, invenri, tangenter modum tange ducendi tangentem 
inter quantitates, inassignabiles CD, et D(C), quam noster calculus differentialis
exhibet per quantitates ordinarias sive assignabiles, inveniri rationem inter
quantitates assignabiles TB, et BC, adeoque modum ducendi tangentem TC.
sed et usus est quantitatis infinita in calculo. Exempli causa constet
ex opticis cum radii diversi veniant ex eodem puncto, idque punctum ponatu
bess
infinite vel inassignabiliter ver ut subinde loqui soleo, incomparabiliter 
radios fieri parallelas. Unde fingutur pr redii ex sole venientes finguratur parilleli
et directiones gravium etsi ad idem terrae centrum tendant, tamen ob magnani
sed quia mirabitur, aliquis quomodo in calculo assumtis merit calis quantitatibus
hunjus centri distantiam pro parallelis habentur
esse quantitatem infinitam seu unitatem esse mediam proportio nalem, inter
nihilum et infinitum; adeoque si quantitat aliqua ordinatia dividatur per inhilum, po
Talis autem divisio in calculo continuere potest, quod exemplo ostendam
sit angulus rectus KAH, indeficite t cujus crura ut cunque producta intelliganti
Quotientem esse infinitum
x et in alter uno ejus latera sumatur recta AH descripta sit curva LC talis,
naturae, ut quocunque ejus puncto sumto, ut C, a atque inde ad  rectam AH demissa perpendiculam
EB, fiat semper rectangulum ABC, (seu sub, AB et BC) aequale eidem constanti quadrato ab
jam AH vocetur a
ergo ex
X
ab AH. quam curvam ex Cenicis constat esse Hyperbolam.
et HB vocetur X, fiet AB = a -X.  et BC vocetur
dicta curva proprietate fetcum sit AB in BC, (e aequ. AH. quadr. seu a- Xy = aa
utique fiet y = aa:, a - x seu valit ipsius y sive BC, et oritur, si aa dividatur per a X
sed  quando B incidit in  A, ita ut AB, fiat aequalis nihilo evanescat seu fiat
aequalis nihilo fiet a = X, seu H AH = HB, ergo a - x = 0, ergo in
eo casu fiet y = aa : 0. ergo y est quantitas infinita; ac proinde recta perpendicula
sen si B incidat in  A, ipsa BC fi normatis fit infinita, sive est asum; adeoque recsta
exlenta H ex A ducta  normalis ad ipsam AH est onnepium occurrit Hyperbolae, nisiu
eam
versus educta ex A versus Hyperbolam est infinita, nec ullum et licet continue
amus. accersit, nullum tamen punctum assignari potest, quo  occurrat. deoque solet dici Asum
quaeres multis incomplehensibilis visa est, integrisque olim libris materiam dedit
ideo tantum paucis attin libare plaenit, ut infinitae magnitudinis designatio per finitas
ni
ejicermatin ut tunc
um
locum
intelligeretur
o ase ut tuis
dhanc rem nos a in con
ds posten ususque muiuis desissuntes set tantamem catorem
sin
Logico
Mathematica
hariisque generibus
sumerorum sivi
Quantitatum
natheseos uni-
ersalis dinctatio
ed
mibist
pum
pasititate
an
cier
nem impe
un
ota
S
mento
ota.
ed
hac

## Folio 8r — 00067992:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 59 lines, status machine
Nota quoque peculiares Rationis et proportionis adhiberi solent
sic quidam solent per aebe a: b:: C: d, significant eandem
esse rationem ipsias seu proportionem ipsius a ad b, quae est ipsius C add
regulaniter
sed ego reperi deprehendi non esse opus in calculo peculiaribus signis
pro et proportionibus vel rationibus, earumque analogiis sive proportionalitalibus
rationibus ver
sed pro ratione sive proportione significa sufficere signum divisionis,; et
pro analogia sive proportionum coincidentia sigsufficere signum
aequalitatis. itae o R
itaque Rationem sive proportionem ipsius a, ad ipsum b, sic scribo a: b
seu  quasi de divisione ipsius a per b ageretur
Et Analogiam seu duarum proportionum aequalitatem sive convenientiam
designo per aequalitatem duarum divisionum sive fractionum
Et uside icum designo eandem esse rationem a ad b quae est c ad d
a: b = c: d. ( seu 4 = 
Etsi enim in se et formaliter aliud sit rationis  proportionis quam
sufficit scribere.
divisionis natura; attamen quia posito a: b +: c = d seu per conti
est a: b = c: d, et vicissim hoc posito sequitur illud; hinc ne
superfluas si notas ad a in calcuto adhibeam ipsam rationem et
proportionem sic exprimostatim hoc modo in calculum traduco.
praesertim cum s infra appariturum sit, omnes Euclideas de
Rationibus, et proportionibus consequentias ex hoc notandi
modo sponte nasci, aer opus esse peculiaribus regulis vel
praeter notationem proproportionis vel rationis, ad hbeo
praecestis.
etiam interdum notam relationis ia genere. Est enim proportio
tantum relationis species, eaque simplicissima. Sed relationes ad huc
cum dato sipr
e
es
innumerabilibus
et sinu verso detur
uod
relatio
  sinum rectum et smumo
resinum versum quam sic exprimo Y; sin. rest; sin vers.
quaedam inter
inter radium sinum _radium Y, sinum s, et sinum versum V, quem sic
designo Y; S. V
et si esset r. s. Y eadem cum m; n; p,
Y, si vV e m; n; p id mihi significaret etiam
m, n, p, sese habere ut  radium sinum et sinum versum.
significaret, m, seu
ue
similitudinis V,  qua et usus sum in exp exemplo
proxime praecedenti sic si sit aa - bb = Cc, et I = mm = nn
tunc dico esse a: b; C ∞ l; m: n seu relationem inter a, b, c, eardem
esse respective (seu eodem ordine servato) cum relatione inter l, m, n
Habeo et notam coincidentiae ∞. eseu identitatis.
aa X + 2ab X + bb ∞ lX + mX + n, hoc mihi
non tantum significat aequalitaterinter has duas formulas (quemadmodum si scripsissem
Exempligratia sit
at aa X + rabX + lb. = IXX + mx +n vel +aa XX + rabx D + bb = ∞) sed
significat etiam coincidentiam ,adeoque aequalitatem singulorum terminorum. Adeoque
erit l= aa, et M = 2ab et n = bb. itaque quod vulgo vocant
comparationem aequitionum, revera est identificatio quaedam seu
coincidentia

## Folio 8v — 00067992:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067992/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
Quemadmodum etiam + est nota a conjunctiva
seu cumulationis, et respondet ipsoeet 4cd et, ut a + b, id est a et b
simul; ita datur quoque nota disjunctiva, seu alternationis quae
respondet, Ta vel sic a a D b mihi significat a vel b
Eemp idque et in calculo nsum habet, nam si sit xC XX + ab = a+ bX
erit X = a v. b seu , X significabit vel a vel b. habetque valorem
ambiguum Exempli causa XX + 6 = 5X potest X esse 2, et potest etiam
X esse 3. Nam si X sit 2, tunc ex XX +6 = sx fiet 4 + 6 = 10, et
Si x sit, 3 tunc ex xX +6 = 5x fit 9 +6 = 15. plures autem radices aequationis
incognita valores, seu praesentis aequationis radices dari non possunt, ut suo loco
Hac usum quoque habent, signa ambigua, et suo loco patebit ambi-
palebit.
quitatem in calculo esse fontem irrationalitatis, Omnomque
radicem habere valorem ambiguum; itaque ut cum scribo, 
X = 3 + 14
14 seu
tuns de id posse explicari tam per (3+2, seu E,
potest
11 sen = 2 seu 1.  adeoque erit X = 5 v 1.. Nam
ut tollamus irrationalitatem x- 3 = 14. Ergo XX - 6x + g = 4
quam per 
seu XXA. 6X +S- osen xx 6 usi, ubi patet satis facere tam 5 quam 1
X+5L6)
Nam si X valeat 5, es sit 25 +5 = 30; sin X valeat 5, fit 15 = 6
Inter introtuxi et novum genus signorum signi notandi pro salculo
diferentiali et summatorio; sit enim fga vele series, abeclesca
repraesentata per figuram ad jectam ubi abscissae AB, nempe
AB, AB, A3B, et C significant, locum in serie; seu numeros
ordinales. sed ordinatae BC, ut 1B, C, 2BoC, 3B, 3C et c. signifficant
ipsos terminos seriei; et AB quamcunque generali appellatione
vocemus X, et BC quamcunque ipsi X respondentem vocemus y
si placet, adeo, ut si X sit A2B, respindens ei y futura sit 2B2 C; his positis
ereae
jam porro possumus considerare incrementa quaedam seuo
tam
in odi abscissis (quam an ordinatis. Ex. gr. differentia inter .b et AEB est 1B2B
seu 1c2d, et differentia inter duas proximas  ordinatas 1B, C et BrC est 2d 2C
qximi
vimas abscissas A3B et A+B est 3B4B seu 3C4d. et
pas oidinafas 3B3C et +B4C est 4d4c; Et
imiliterque differentia inter duas
iudentes
Quemadmodum autem s abscissas, A1B, A2B, A3B, A+B, et generali appellatione
differentia inter duas pross
vocavimus X; et quamlibet ordinatam velut 1B1C, 2Bit, 3B3C, 4B+C generali
var
appellatione vocavimus y; ita quamib quodlibet incrementum vel elementum abscissae
quo scilicet sequens supra praecedentem crescit)velut 1B18, 2136, 3b 4B
vocabimus ax, id est diffecentiam duarum proximarum X; et similiter
uodlibet elementum vel incrementum ordinatae (quo scilicet sequens supru
praecedentem crescit)  velut 2D2C, 3d3C, 4D4C vocabimus dy.
siat autem summae quodammodo differentiis reciprocae. Nam si dy sit
arum
it est differentiam proximarum 7.
erit (-y seu  Adhibuimus etiam notam pro summisi nam 
 id si quaelibet harum idiC, 2D2C, 3ddC, adec, nocetur v summa omnium
(id est id1C+ 2d2C+3d3C + 4dC) commpentre i  lveabitur esta id est 4B+C, à me-
itemque
velac tum,
Hinc. patet ut reciprocae sunt additio et subtractio  multiplicatio et divisio potentia
per compendium vocabitur su
et extractio radicis; ita et recipiocas inter se esse 
Nam in schemate praecedenti , quamlibet ex  dictis
summas et differentias.
diC, 2d2C, 3d3d, yd+c
vocarimus V, sdde tel ita ut v sit DC; sed easdem etiam vocavimus dy,
resterendo ad ipsa) y seu BC, quarum sunt incrementa. Habemus ergo dy = v et
vicissim s Su = y. nam summae omnium V vel omnium DC, inde ab initio aequantur
ultimat y
seu idid  DCtBdy d 4d+C = 4C BC) quia ergo su = y, et v = dus, fiet say -
seu summa differentiarum inter ipsas Y, reddit ipsum terminum y. prorsus ut in
il 13 =3
Cum vero ipsae
potentiis et radicibus