# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/18636/text
# Catalogue record: 18636 — für Jean Gallois: (Accessio ad Arithmeticam Infinitorum ubi et ostenditur Numerum maximum seu numerum omnium numerorum impossibilem esse sive nullum; item quae pro axiomatis habentur, demonstrabilia esse evincitur exemplis.
# Incipit: Constat scientiam minimi et maximi, seu indivisibilis et infiniti inte
# Date: 1672
# Sender: Leibniz — Addressee: Gallois
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 002, AA II,1 N. 109, AA III,1 N. 2
# Other printings: -LAA II,1 N.109 ?? -Mora-Charles, La Bassette, 1991, S.212-216. -Leibniz, G.W., l’estime des apparences. Hrsg. u. übers. v. M. Parmentier. Paris 1995. S.232-238.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=18636&katnr=41696
# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# AA II,1: its series at Leibniz-Forschungsstelle Münster (online after accepting its terms): https://www.uni-muenster.de/Leibniz/seite5.html
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068245
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 32
# Folios: Bl. 1–4 (from the shelfmark LH 35, 3 A 32 Bl. 1-4): 8 pages, canvases 1–8, page ids 00068245:0001 to 00068245:0008
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068245&page=1
# Lines: 269 recognised on 7 of 8 pages, mean confidence 0.87
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068245:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 5 lines, status machine
uuma
summae numerorum figuratis reciprocorum seu
Trianguli Harmonici. Quod Numer omnium.
nunerorum impossibilis item. demonstratio
quolundam alcoratum

## Folio 1v — 00068245:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).

## Folio 2r — 00068245:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Accessio ad Arithmeticam Infinitorum,
Maximum, seu Numerum infinitum
ubi et ostenditur, Numerum (omnium Numerorum.
impossibilem esse sive rultum, item ea quae pro Axiomatis
habentur, demonstrabilia esse, evincitur exemplis.
Ad Ctum Galloisium
ua nuper circa Arithmeticam infinitorum. augendam. mihi inmentem
venere, ca ad FC, VIA LA RI SSMMC scribenda duri. Cum aliquando Illasbi
Alugenio navrassem, esse midi rationex quasdam sonmandi serces nonmullasin infinitum.
decrescentes, quarum compustatio hactenus prodita non est. Ille proposcitmihi
sequentem: fractiorum, quarum Numerator, unitas; Numeratores vero Numeri
AV 1N 4
3. 6. id 15621 28 Guocum differentia scilicet sant
naturales, summamque quaerere jussit. Sibi aliquando de calculo Aleae, aliorumve
ludorum forturtorum meditanti, hac summa facisse opus, inventamque a se, sed
nondum patlicatam. Quaesiui, invenique summam esse binarium seu
13 + 8 2
+ 1 +
12Z. Suod cum Augenco monstrassem, verum
essefassos est convenientus calculo etiam suo.
lgo vero eadem opera inveneram met hodum uniuertalem summand
leries fractionam suve Rationum non huius tantum progressionis
freangula
e
a
cum difserentia terminorum sunt numeri ircangulares; d friangule Tucangularium
cum differentia sunt puyramidales. D Juangulo-Bgramidalium, cum desrentia
sunt )nangulo gucangulares,  Pyramido Pyramidalium cum diffeentiae
sunt Zrcangulo-Byramidalis, _ ita in infinitum. Insicetabulam subjectum.
20
o
70
126
ae
udo
ut
20
120
252
d
 d
+
462
3
13 92t 15
0
2t
et
cum differentiae Termin
norum sunt Numeri
Naturales; sed
et Pyramida
lium
Athi sunt numeri, quoium series ali vocant, Ordines Numericos, aliq
Combinatorios, alii Numeros Progressionis symmetricae. Pascalius eorum assus
sane multos exposuit in J uangulo Arithmetico, seu Tractatu quem deiers
dedita opera scripsit. Ego Numeros appellare soleo Progregons Atitmeticae
Replicat. Nam pro Unitatitas substitui possunt. Numeri quicunque ut Dnarii
fernarii. Pro Numeris Naturalitas Numeri quilibet Progressionis Aritsmetica
proportionaliter, tantum enim si generator sit binarius omnes termini
duplicantur  si sit Ternaiuus, triplicantur co
Porro de sammis
sit idem a, Maius (. def. 4:) erit  atb conjunctis definitionibus connatetur quoque fractionum, Regula Universalis fieri poter qualiscunque sit Generalm
modo Namecator fractionis intelligatur esse Generaror, ut si generator sit 2

## Folio 2v — 00068245:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
pro; +) 1 Substituendum erit = +2 + c A hoc idem est cum priore, omnibus
per Genera torem dicisis. Regula ergo haec erit:
Cumma seriei fractionum quarum. Numerator est Generator, Nominatores sunti
Termini cucusdam. Progressionis Arithmeticae Replicata; seu quod idem est. summa
Rationum in quibus Unitas esit antecedens, contequens est terminus progressioniscugd
Arithmeticae replicatae Unitatem habentis Generabricem: hacsumma inquam est
fractio seu ratio cuius Rumerator seu Antecedens est exponens seriei proxima
praecedentis seu penultimae si data scilicet, supposita altima.) Nominator vero
seu consequens est. Expones seriei proxime praecedentis pracedentem seu
antepenultimae. Cieponentem hoc loco voce Numerum seriei; seu rumerun
ordinalem Replicationis, qui scilicet primit, quota sit leplicatio. Ia seriei
L 2 2Vc ex ponens est: 1. Seriet 1. 2..3. +. B P exponers 2. cumeniim ix prima tantum
semel repelita sit unitas generatris in secunda, ipsae replicationes seu repetitiones
ceplicantur, intertia t. 3  Vu repetuntur Replicationes Replicationum. Duod
Si Gencerator sit Unitas, numeras priei seu etponens gradus coinudit numero eiu
ptimo post unitatem. Exponentem voco exemplo progressionis Geometrica
C
ut enim radicum exponens L. quadratorum 2. calorum.3. be ita hoc loco generatorum
L. naturalium 2. trcangularium 3. av
Aive erpo summa sercei
fractionum Triangularium + 3 1  1 10 t in 1 21 t B esti Nam
series praecedens seriem. 1. 7. 6. 8 rempe 1. 2. 5. Vohabet exponentem c. 
series praecedens dictam seriem praecedentem nempe L. 1. L. Bd Rabet exponentem
I Rihe fit. seuc. Et samma serici fractionum Dyramidalium; 1
eo de est =8 seu est ratio exponentis Jcangularium el Exponentem
naturalium.
Res ex hac Tabula clarius patet:
Series Fractionum Progresionis Arithietiae Replicatae
O. 2. 2. 5. 4. 5. 6. 7 8c
8
1 1 + + + +
4 5 7
i 6 10 ii 2 20
0 igia io 20  +b et
0
0 is) ic  70 eib o
310 eb, 26 +i2 462 
. 1l7 t 210 po2 g
D OIT.3. 3 4
Exponentes
E
3
C
3
Odoi  et summa
Methadum autemnecta invepiendi ac demrontr andi amuademodum protiua sit
bmultis temmatis indigeat, aliquando cum ncltis ejusdem geoleris abimai
degerendi otium suppetierit publici suris faciam.
amittere non possum occasionem mihi praebitam admonitionis cucusdam
circa naturam Numeri infiniti omniium Namerorumi Galilaeus in
deat. Mectan. 1. um comparat Unitati. Cum enum ista atiocinatus
esset: Ondnis Numerus ie infinitum. habet lum Quadratum suum
(ubum, etc. Sienim ducitur in scipsum, producit, utique ejus Quadratus
(abius etro
Huoc loco vero

## Folio 3r — 00068245:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
Cubus eto Ergo tot sunt Numeri quadrati item fubici quot ladices, seunumer
simpliciter. Quod est impossibile. semper enim internameras quadratos
nulti alii interjciuntur non quadrali, e adhuc magis inter subicos non- (ubici
Qcid ergo? attributa aequalis e majoris minorisve non habere locum in infinito
e subjcit, si allus sit numerus iste infinitus, eum esse Unitatem in ea
enim esse Ellud necessarium requositum Numeri omnium unitatum infinit,
ut bot sint in ea radices, quot quadrati 8 (abi Unitatis enim Quadratum
 (abus W est unitas. Ego vero arbitror, si ullus sit numerus iste infinitu
cum esse tero seu Nullam, vel quod idem est dicere, numerumitem
istum infinitum esse nullam sec =0
Habet enim Numerus iste infinitanon id tantum, quod in eo observarit
Galilaus, ut tod sint in eo omnis generis potestates, quot radices; sedet iamul tot
sint in eo numeri simpliciter, id est pares et Impares simut, quot numeri pares.
quia paces sunt dapli numerorum simpliciter; quot autem sunt simpli tot
eorum dupli (adem modo collipitur tot esse numeros simpliciter nontantum
quot pares seu binarios, sed etim aot ternarios, seu numerorum simpliciter
b
Triples, et quot quaterparios eted triangulares, pyramidalis et  Eodem modo probatur
tot esse numerox simpliciter, quot numeros data cuuusdam progrestionis
Arithmietica, Geometricae, mixtaque, aut replicatae cuiuscunque in infinitum eunti
etsi ei plasquam manifertum et inter binarios seu pares, alias non pares, e
adhacmagis inton ternarios alios non-fernarias et eo interiici. Cum ergoinnumer
isto infinito tot sint Numeri paris, quot Numeri pares  Impares simut
scuguot Numari simpliciter, sequitur in Numero isto infinito fallere
Axiooa illudtotum esse majus, parte si quemadmodum P. regorius a
b
P. Vincentio id contendit fallere in anguio contactu:) at Mioma illud fallere
impossibile est seu, quod idem est axioma istud nunquam, id est non nisi in
nullo, sea Nihilo fallit. Engo Namerus iste infinitas est im possibilis non
unum, non totum, sed Nihit. Ergo Numerus iste infinitus =o. E) vero in 0
seuvero non hac tantum reperitur a Galilao in unitate observata proprietas
sed e alia omnes. Nam quadratum  (bus etc. de 0. est 0. et duplum tuplumque
de 0. est 0. V0+0. est =0. totum parti. Idem ne prater remhucdired
Videare hcac serierum in infinitum progredientium collectione in summam
comprobatur. Nam infractionibus Geometricae progressionis summandis
certum est
dictum est sunimam sequentis sercei, esse primam fractionem sercer
antecedentis, & 3t  ete = 2 idem  +  +
ete
1. EEgo; F: + + eto = 0
Jam 14 11 eted constituit numerum omnium numerorum infinitum
Odem evenit in tabula proxime praecedente fractionum progressionis srite meticae
Ecpilicatae, ubipatet  + eto = 8
 +1 + eto
0= 0
Idem louis nos debet admonere, si severe agendum sit, si erficiendasit
Corophia, nullam recipiendum esse propositionem, nisi qua aut sensus
obseruatione

## Folio 3v — 00068245:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
otseruatione immediata constet, aut ex clara distin claque imaginatione id est Idea
vel quae idece significatio est, definitione, sit demonstrata exceptis scilicet ipsis
definitionibus, quae ut toties in suis scriptis inculcat restaurator hilosophiae
Galilaus, arbitrariae sunt, nec falsitatis, sed ineptiae obscuritatisquetantum arquendae
Cum enim ista propositio totum esse majus parte, dubitationem
receperit apud maximus Geometras qualis certe Galilaus  D. Gregorius a Sto
vincentio fuere, ullasne alias imposterum perse notas clamitare pergemus e
Galilaus certe credit Numerum infinitum esse aliquid, scu unum totum,
comparat enim unitali, o negat tamen in eo habere locum majoritatem, minoritatem
seu numeros simpliciter, id es quadratos e non quadratos plures esse numeris quad eute
vel totum majus parte.
Ego vero cum habeam pro compento, omne totum suapart
macusesse, audarter concludo, numerum istun infinitum; sive Numerum maximum
seu omnum anitatum possibilium summam, quam  infinitissimum appallare posiis, sive
numerum omnium numeroium esse 0. seuinitit. Et demonstratio noua vel ex eo
suppetit, quod Numerus maximus est summa omnium unitatum, siue Numerus
omnium Numerorum, at summa numerorum necessario major est numero
numerouem ( ut 1 +2 +3. eted majus quam , + 1. + 1. ete) Ergo Numerusmaximus
non est numeuy maximus, seu Numeras maximus est o. Etsi non ideo infinitas
partes Continto, aut infinitam magnitudinem tempori a spatio protinque negem
Hinc apparet etiam ppropositiones istas: eidem aequalia etiam inter se esse
aequalia coqualibus ad dita vel dompta facere aqualia, totum esse majus parte
aequimultiplicia esse ut simpla; si proportionalibus addantur, demantarue,
proportionalia, produci proportionalia etc. sum dubitationis capaces sint
demonstratione indigre, oc proinde si sunt verae, demonstrabiles esse. Ex terminis
scilicet seu definitionibus. Atque id voluere scholastici ex terminis inspectis
innotescere primas veritates, id est faciles esse demonstrata, ac definitionila
vicinas, contra quam illi, qui nescio quo lumines naturali, per se notas putant
Cum constet quadamt ab aliquibus inter per se nota poni, qua abaliis rejciant
et distinguantur: nec Chiterion afferriperse noti, nisi forte opinionemcommunem
quae praeterquam quod dubitationibus obnoxia est, probabilia poneret fundamenta
demonstrationum, quod est Dyrrhonus manusdare
Sedage demonstratilitatem axiomatum in exemplum propositorum opere ipso
potius, quam verbis ostendamas. Primum eidem tertio aequalia esse interse aqualia
statim intellegitur, ex definitione aequalitatis. Suento enim a = b. _ b = c. ajo
a = c. Nam cum aequalia sunt quorum eadem est quantitas, seu quoium alterun
alteri substitui potest; salua quantitate; substituamerqo vel c. inlorum b.
in aequatione a - b, vel a in locum 6 in aequatione b= fiet Utrobiq a =c
. C. d.... Secundo aequalia aequalibus. addita vel dempta facere aqualia
a = b et c = d. ajo a +c = 6 + d. Nam a +C = 6 +c (quia a = 6:)  b+ C = b. + d.
(.quia d. ergo a +C = b+d.
Tertio; totum esse majes parte Nam si
( defi.) partes sint a. 6. totum (def. 2:) erit a +6. item si Minus (def: 3.
demonstratio: Totum = a +b (.defic.) a +b- C s. def. 4)C- Macus (.dect. def. 7)
f 1. dit tatum l. es  partet  p. Ed. Est autem
totum p+c. A Mojus quam p sit P + y. per  intelligendo indefinttum quamlibe (
as etsa pro y substitando  erit p +  ujis quam p. il est per defin 2. 3 totum erit majus parte.
aut partes, p. cd.

## Folio 4r — 00068245:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
da
b+dX b
Nequa autem dubitatio restet ca - E o a ita probor probo:
Eb
DE a - c a.   ca. est auteum hoc loco tignum
multiplicationis
Pars - a s. def. 3.) a = Minus def: 3. )
quater
Duarto aequimultiplicia esseat simpla, vg. ut sunt trca ad A. itabistria adbis
quater. Cg = e Nam ca e  e
a
C
Ouinto si proportionalibus addantur demanturue proportionalia producta esse
proportionalia, Ut, cum ita sint 4 ad s. ut 3. ad 6. eliam 4 +3 seu 7
ad P+6. seu it eodem modo erit seusi  Ergo = arc
autem praedemonetro hoc lemma . bc = ad. Nam quia a
utrumque per d. erit ad-
H consequentia patet: (
jam pergo si a+c Y a
eudit
6+d   = 1 erit a+C a H S
Cergornultiplicando
a +6
antecedens probo b+dX batb
  (quiaha jam bc = a d per lemma praemissum. Ergo ba 4bc batbc
a +
cb
ab + ad ab +bc U
Dab t ad
ca-avi Intelligitur ex ultimo isto exemplo, propositionem hara quintam inter
b+ d
atc. D
Axiomata positam non facilioris esse de mon strationis quam alias nonnullas.
b+o a qua theorematis accensentur. Crempli causa: tleorema est, si duae rationes sint
atc t.
b+d 2 a
aequales, etiem carum inversas esse aequales; id ita demonstratur facillime
a
= ajo  - Namsi a X = - 1. erit 6 -d: Andecedens probob
d
6c
da
=bc - 1. Nam per temma dictum da - bc. Atque ista quidem sufficere
arbitror in exemplum observationis parum creditae, necessariae tamen. ad
stabiliendam contra Pyrrhonios, scientiarum severitatem
a+8 b
+o

## Folio 4v — 00068245:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068245/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
almididut
DERSACHSISCHE LANDESBIBLIOT