# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/187/text
# Catalogue record: 187 — De quotientibus replicatis
# Incipit: 1. 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21. 34. 55. 89. 144
# Date: 1681-01 (81-01)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=187&katnr=59155
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068236
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 23
# Folios: Bl. 1–15 (from the shelfmark LH 35, 3 A 23 Bl. 1-15): 30 pages, canvases 1–30, page ids 00068236:0001 to 00068236:0030
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068236&page=1
# Lines: 2,018 recognised on 28 of 30 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068236:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 77 lines, status machine
21 aequ. 4 2 +f 3048+ f0
21 aequ 4. 225 +. 1. 2. 3. 9. f 4 1. 3. 4. f F 1. 4. f + 1.2. f + 1 f . 1. 2.3. f- 4. 1. 3. f-H1. fnD
1. 2. 3. 4. + 1. 3. 4, + 1. 4 + 1. 2. + 1. B O
(168 aqu. 3. 21 +5 aequ. 2 3D + Q ax + aequ 3D + 8
seu tg aequ. 3. 4. 125 + 3. 12. 3. 4 f. 4 3. 1. 3. 4. fx 3. 1. 4. f 43. 125. (+ 3. 1 (3. h. 2. 3f. P3 b1 2 f( (1f.)
+ 225 = 1. 2. 3. f - 1. 3. f - 1. f
C
152aqu. H 2. 68 +4. seu 2. 8 + D aequ.
Ad.1)
+ 2. 3. 1. f
en 152 aequ 2. 3. 4. 225 +2. 3. 12. 3. 4 f 123. 1. 3. 4. f. 4,3. 1. 4. f + 2. 3. 12 f - 2. 3.7. 2. 3f-2. 3.Y. 1. 3. f - 2. 3. 4. 1,
122, 28171
a
+. 2. 225 = 2. 1. 2. 3.f - 2. 1. 3. f- 2. 1. f
+4. 225 + 1. 2. 34. f + 1. 3. 4. f 4+ 1. 4. f + 1. 2. f + 1. f Y-11. 2.3 f-21. 3 f. 81. f
1. 2. 3. 4 + 1. 3.4. + 1. 4 f 1. 2 4 1.
2
Ergo bego Ergo omisso  f erit b aequ map +m + p.
a Imnp + lnptprnt
Atque ita semper
tolli possunt omnia residua, ut restent dento ultimo quod in progression
Si jam ex his quotientibus
negligitur) ut restent soli quotientes.
quae sertes haberi possit series infinita numerorum cognitorum quod
prpecuti pipit
jen perpetuis substi
ribes+
fit methodo alibi explicata: tunc utique eadem opera habebit tollentur
cogn quotientes, ad est invenientur eorum valores. restabitue sola
litera a cum numeris, et datis aequationem ingredientibus Cum
ergo valor incognitae b, vel rationis b per quotientes, inventus sit
ope per quotientes  ex naturato calculi generalis, potent poterunt
jam tolli isti quotientes ex natura calculi particularis, seu ex aaequatione
data. Exempli causa sit bb+ vba -aa aequ. 0. (loco aequationis: bl +C aequ. a.)
hiiic aequationi jungatur ista: b aequ. me +d fiet: bb aequ. mc + 2med + d, quod substituendo in aqu.
aqu. a -c aequ mc +
priori fiet: me +med+ d+ vba-aa seu baequ. aa - mc -2mid - a.
seu laequ. vaa-vac
b + va p
seu ay, a- c a
aa -mmcc- 2mcd-dd
a va + b+ v+ 
a
V a + mc +d, a - mc -d
f2+ bf b + a b aequa. b + aequ  aequv+ 
V4 b
a
a
B. terabhit ess  d4  ergo quotiens primus est v.  residuum vero et Calb (tate enim
a-
qudemonaa sumendum loco b ut sit linea, quasi instienta esset divisio per a uti ec sane
brala revera per ipsum instituta intelligi debet nam dum dum ab uno latere per
signaa Ergo a, do ab alio dividi intelligendum per a ob aequationem.) hoc residuo
b debet dividi b. et fiet:  = aeqo Itaque erratum e
et sic potius procedendum; quia va +b aequa ergo divisione a simpra
parte instituta iidem prodibunt potieates qui a gextra. Ergo fier: v + b residiu
b, quo iterum sibide debet a. fiet
2
a aequ b + (∞a eu ) 7+ vaet a.
a b
5 + ba+b
aequ
aa
aequ.  aequ. + b (+ bb seu  - B sed it hor prodest, deo relmeamu aequ. X + b +bib. quod si
a aa
ac
sit b minor quam dimidia e a, erit quotiens alter v residumm vero ba + bb minus
quam aa, et pribemus: ba +bb aa quod iterum subtrahendum a divisore
isto aa. quiasut ante divisivaa ipsius va per a aequivalebat divisioni ipsius
a per, b. itta nunc divisio ipsius  ab + Bt vae per a aequivalet divisioni. si
a per P. et proinde ob eandem rationem iidem prodire debent quotientes
ergo continuanda semper novissima, idem enim semper prodibunt quotientes
pay. 5
=3.9. 1
C.3
bt a. Ergo dividendo
si r critbraepaa

## Folio 1v — 00068236:0002
# Scan: The same scan is also registered as fol. 2r, fol. 3r; its text is given once, here.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 133 lines, status machine
vb+ ab
Termini ordines sunt 1a. +b. +a - b - a + 2b +2a -3l.
aa aequ. bb + ab
(a) (6)
(a)
(bD
a
- 3a +5. +5a -8b
() aequ (b5 b, a 1 16) videamus. fiet bb aequ a +b = 2ab, +ba - bb ergo iterum bb + ab aequaa
n
et sane id necessarium esse poteram praevidere, quia Edem Eadem est ratio inter
AB
a b et a b quae est inter D et b.
quid jam si recta sit secanda, ita ut parte a toto, bis subtracta, resiluum ad
partem eandem habeat rationem, quam pars ad totum AB tunc semper quotientes
in infinitum erunt 2. et aequatiotalis erit a - 2b 1 b. et fiet: aa- 2ba equld
idem est si ter subtractatur. Hinc jam generalis habetur expressio nam
potent probleum ita formari, (x Rectam ita secare, ut si in c. ut si
C a ht data recta AB, a invenire aliam BC, b
quae si a minorem, quae si ab ea auferatur
cujus multipla Bd inratione data EF ad AB
seu cada a ata AB ablata relinquat aliam AD quae sit eodem
modo ad BC, quo BC est ad BA. ergo ipsa Ad etiam a BC
abta multipla in ratione cad a, etiam aBC ablata restibit
residuum, quod eodem modo ablatum simile residuum relinquet
in infinitum, adeoque fiet:
a -  b aequ. b seu aa = cb aequ bb.
et erit quotiens: bad a posisa a aequ. 1. a aequ.  +
c+1
seu aa bb + cb aequ. a a. Quid si loco subtractionis perpeluae a
eter
hib eatur perpetua additio, tunc resseodem redit estque tantum prioris inversa sed 
hoc accuralius considerandum si sit = b- a aequ b res fere eodem ridit
cculatis lamen sonue conside dum
si
enim enite ra progressio resituorum.
ditete si pi
 
1): 
du
en
 a - El aequ fclis
1
E passi  i at uresu uo vtae
in:sm
2
tin
us
s
d
porro siquis velit fimgere problema ita ut quotientes alternent, poterit etiam hor modo,
sit recta AB. secanda in C, ita ut
in ins pltat mullipla secundum ra ipsius secundum rationem E ad a
seu Bid sublin ctaati Aesrt linqual residuum quod sat
Elingadd residuum rursus subtractum caundi i
sC ilquat iesidum ud eq quoaie
cicc
BC est ad AB. Eiro fier
Hinc posten redibunt priores quolientes,
a - = b -d  + b, ja - 2b aequ.  bc a
AB
ABC
BG
Inde fatis video quoties cunque quohientes
redeunt in orbem problema esse planum.
G
 Bc C
1d
unde fiei:
N BC AB
(+ba da + deb aequ ba) - c bl
seu bb  +  db aequ daa
quo posito tict: 2 aequ at 
illud jum videndum quomodo comminisci liceat aliquid in subtractionibus
perpetuis, cujus ope ascendipossit ad cu altiores aequationes. In quo magnam
4L
ane difficultatem reperio. Equidem tale fingi potest problema: Rectam AB ita se carei
ten
in C, ut quadrato ejus ad AB applicato, esiti B BCseu) Bd subtracto ab AB restet Ad quae
sit ad BC eodem modo ut BC ad AB. fiet: a - _, b aequ  seu fiet a - br aequ b se 4ay3b.
sed ita nonascenditur altiu et licet ascendeatur, ut si loco quadrati assumsissamus cubum tamen, ita non
AB ac
ipsius b subtractio instituitur ab a. quare periodus ita inventa nit juvat. Non enim retinetur
prus residuum, sed semper altius collendum est ive quadrandum.
exprimente aequationem inters a et b, quae est
Pag. 2) verte retro propag. 1)
ce
5
de quohientibus replicatis scheda. 1. pag. 3
b aego 2a.
b -2a a qu.0
fier
cubus+
Januar. 1681.
ba b- 3ba+ 5b a a. ab eo auferatur aequatio pro fies ea - 3bat hiba mijs
a
B -ca c aqu b -3 cba + 3ibae - 0 a
24
3 161
Minornihilo
3C
3 ba 3c
feteba +(3) ca + p
 3. C- 1. ba + P) ca- a eb p,13(2) Ca-a + 2a
+24
et dt ere.
nihilo
2a + 3c bapi 3abra
ea
B3eba( a
-3cb al =2a
senela ca
:3
V-ca aeqo f. erit baequ. f+ ca et l’aequ 5 +2 ca f 43 Caf + Ca aequ. 0. ergo C minor quam l. alioqui
foret f23ca f + 3iaf(t 8a) aequ. 0. quod est absurdum cum omnes suit affircuntivae quantitates
a
Rarsus sit faqu fad au Ab aequ. g. seu
ubstimendo
Rursus fiat a - df aequ. g. seu af ae qu. a - g. seu faequ. a 9. in aequ. 4. fiet: a -  negt ra9  g +
Ergo Caequ. 1
(6) 26a3
+23a- 649 + 3a9 + 3a - 3a9 = a aequ. 0.
Sed cum perpetuo alia atque alia residua substitur possint videtur haec mechodus coincidere
cum una ex methodis qua investigantur series infinitae, ubi idem contingit, negligum
turque altiores potestates, quia semper fiunt minore, e minors.
sidu
esidna
vertatur
6218
1c 21
183B
ex
a - b aq atb a 6

## Folio 2r — 00068236:0003
# The same scan as fol. 1v (00068236:0002), where its text is given.

## Folio 2v — 00068236:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 103 lines, status machine
inucjor nmu uet
nen v homns lungn,
5:
 Ed
uae
Ess
e
s
5
e ∞.
e
s
ad
ian. 1681. de Sueuienties hextica tis
uin
e
1. 2
dilit
13.
il
21
nsu
sisi
55
2. 1C
Seriet temminorum
39 194
cot
Serie, numerorum : 1. 1. 2. 3.5.
X+y aequ. Z
et (1 ago Xtyfiet: x+ 29 aequ. (2)
2) aqu. 2X +3y.
1-
XD Xt
1
mo
1. 
(Daequ ary. (3 oqu X+2y
geho v . 3(9 atior 3 = v 1 2. 2. 4. 6. 10. 16. 26. &tc. vel 1.2.3,5. 9. 13. 21. Xc. vel 1. 3. 4. 7. 11. 18. 29 2
idem est an orro l  aequ fate X
jam
x+y +2xy, hinc (x
equ X
jam +x
loc loco auli
26 eandem
lina
yMaego 2X+ 27. ZD) aequ 3X + 5y
 1. 1. 2. 3
5. 8. 13 etc ves
X + 27. 2XHy. 3x+5
nam (XB)  est yxag et yX tryy, et (Y) (V) est
 (2)
+B1) hinc semper prdii
s (7) aequ yX + 2yy - XX - Yy - 2Xy
y. jamZg etiam
XZ 8. 2F 77 etiam aequ. +XX + Xy = yy. EgotZ + 8 7  17
patet etiam ecatummiti
exto
exsu
et 9(X) XY) aequ (Z) et quia (X) aqu. 
itaque in quacunque serie hujus modi, ut
porro quia X2
seu fit
ic differentia
et
 l.
12
x accuratius examinetur sumtis duobus prioribus x er y. tertio quolibet
fiei semper
ent et 10to ab 3i aliisque infinilis locum habet series prima hor modo: X. y. Xty.
1ote
313 (09 oto 4 ergo XX
1
6.
ego =()(Z) = (y1Y. Etquidem si primi termini
subis
extrepporum ex
man fcshupis en pibaterer
scribatur a. (3b
medique haber
2
 se
Xx +Xy -yy eandem formam habere cum rotabile est aautem formulam
5
eosdem prodituros, si ponantur
a
def. Quam totum et minor mapor pars tot
aequatione
aas b aba na
x
ert
e reato
furm
+1
(21
si
unulm
vo nb 
rem aere mois
ed 112 2
3 d-
u 91

## Folio 3r — 00068236:0005
# The same scan as fol. 1v (00068236:0002), where its text is given.

## Folio 3v — 00068236:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 94 lines, status machine
pag. F
Cb e  laequ. 0.
b la aequis a-
a 2b aequio. a eb aequis b df aqu..
a +ba -bbaguo a vb aequo. a - l b aequ. C. b -mc aequ. d; c - n d aequ e. d - peaequ f
fiet a aequ c +lb. baego dame eaequ. et nd daeqo fApe.
a aequ et ld + lmCqu a equ e
a aqu. lb +c b aequ ime td eaequ ndte daeqo petf
Caqu npe tnf + e seu tnpre +nf
b aequ. mupe + maf +me +pe +f seu baequ. mapj e mnjf
m p
a aequ. lmup e + lmuf + Im e, + lepe + lf, + nde +nf +e m
m
a uqu 1b + C aequ Imca tded equ lmndne ladete +dego tumpet lung lunet luper s terser
a aqu 1b +C aequ. lmc + 1d +c. aequ. Imnd +m e+ (d + ud te equ. lmmpe +lmuf tlme +pef +nPetnf + C
a aego _ lb + 2IbC + C seu a aego lb + Elndb + red, et pro d substituendo petffiet
ernd adtundere
+2lC +ende
 et
ae aequ lb + rnpe b + repe p le sed praestat omnia potius resolvere in b.
+2In5. x pes
+2lC
+ nesi
+Enpele
+rnffes
+e
ataque sic foret procedendum ponamus a esse
cognilam, erit L tb b incognitam fier
1 b aequi a lbaequant baequ a
Im
aequ  ergo bequ Mcff + d. Ergo a = = aequ merd adeoque a - caequ lm C + Id
Um +C
Habita jam methodo satius erit cuncta in numeris peragere.
_ 106 1 sA aequ +b. 54.
 2 + a3. 4 aequ. 12.  4
faciamus a. 225. b. 157. C. 68. d. 21.
fiet. == l aequ. 1. maequ. 2. n aequ. 3. paequ. 4
8
C, 5. faequ. 
2 1 aequ. 68 - 2.5 aequ. 4.5 +f
23 2
225 - 1. 21 aequ 1. 2. 3. 21 + 1. 2. 5. + 1. 3. 21. + 1. 5
Ergo 21 aequ. 225 - 1. 2. 5 - 1. 5 aequ 4. 5. f
1. 2. 3. + 1. 3. +1
1
l. 54 + 210 s
9 p10. 10
600 f2. 40 3. 100 4. 25. 5.5
Eg sit 225 maxima eademque incognit cognita, reliquae incognitae.
Ergo 68 aequ. 225- 1. 21 aequ. 3. 21. +5
1. 2 + 1.
Im + 1.
5. 302400. 6 59400 7. qeoa 8400 95100
14 equ 2. 68 + 21. aqu68 aequ. 3. 21+ 5. 21 aequ4. 5 +f
157 aequ 225-68 aequ268
eodem modom
alu Ime
ergo c aequ. a - ld. ergo b aequ. e lmatt a - a + ld aego ma+d
Im + 1
2a5equ. 1. 157 + 68. baequ2.
157 Rqu
Caego et b  d. ergo laequ. a b + d ergo Caequ. a- b
in
Ergo fagB.  225 - 1. 2.5- 1. 5 aequ 1. 2. 3. 4. 5. + 1. 2. 3. f +1. 3. 1. 5+
ergo 5 aequ. 225 - 1. 2. 3. f - 1. 3 f - 1. f p) C. 
1. 2.34. + 1. 3. 4. + 1. 4. + 1. 2. +1 BRC
375
25. 5. 15
300
a aequ 1b + C
+2
de
1 2
49
41 1Er 21
7
n
225
P+
245
5+0
15. 7
7
3+
157
. 5 + 1. f
227
10
215
2721 49
68
+5
157
su

## Folio 4r — 00068236:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
De quotientibus Replicatis.
scheda Ida
Resumamus exemplum proximum, quia novam lucem dedit.
b + va b aequ. a. ptet quaeritur ratio quae est inter bera
b et a, ut id est quaer Instituatur divisio replicata ponatur autem
 quaeruntur ergo quotiontes replicati. Manifestum est a esse
majorem quam b adeoque a majorem quam b. sit autem a cognita, b
incognita. per aequationem habemus: b + va equ. a. itaque
omisso. E seu divisione a per b. adhibeamus a b+va seu divs dividamus
b+ va per a. prodibunt, enim iidem quotientes quoniam eadem ratio
est. Jam va +b aequ  v+  bb Ponitur autem V
aa
numerus integer.  Erit V quotiens et bb residuus, quia minor divisore aa.
jam ergo rursus dividatur aa per bb. seu scribatur aa
cui A ex legibus aeq per aequationem 1. aequ. b
a - vb
b
nihinc nihil duci posset, quod non jam duxerimus ex ipsus aequ. 1.
itaque exaltanda est aequ. 1. et scribendum multiplicando utrobique
per b. et scribendum: b+ vae bb aequ’ab. unde fier.
aa (6)
aequ. V itaque loco divisionis aa per bb. dividi
ab
debet bb+ vaa per ab. vaa + bb dividi per ab. debet
autem divisio ita institui, ut quotiens sit quantitas cognita
quod non fit, sive vaa dividatur per ab. (quotiens enim fieret va)
sie sive bb per a b (quotiens enim fieret ) itaque
ut b evanescat in divisore, substituamus in dividendo loco naa
teamin aliam quantitatem aequalem, ubique b. continentem.
quod fiet multiplicando aequationem  per v. H et dividende fiet
cet
Hva aequ vb + vvaab seu vaa aequ b + v ab
quem valorem ipsius, vaa substituendo in aequ. 6. fiet.
dividendo pe.
aa aequ vb3 + vraab + ab b seu divisis om nibus per b.
bb
(8)
aab
fiet: aa aqu vbb + vraa + ab et dividendo fict: 
bb
ac
aa aequ vv + vbb + ab. Sed quaeritur an adhuc  ab vbbr ab.
subtrahi possit aa sive an continuari ad huc possit divisio est
bb
aa
autem per 3 aequ. 1. ab aequ. a - b Quem valorem substituendo
0
va
in aequ. 9. fiet ag aequ vv + vvabb + a - Bb quod si jam v sit aequ. 1.
11
bb
v93
op+
poterit ad huc institui subtractio, et fiet: 
(14
ovabb = b qu
va
seu fieret 2 + abb - b3 aequ aa. et utra a bb- b3 foret
c
bb
residuus, est enim utique minor quam a3, quia abb- b a- b b
a3
est enim a - b ra et bb r aa. ergo abb - b5 a3.
a
aa
Sed
(16)
quando v1 tunc redeam) ad aequ. 11 ponamus ibi esse v aequ. eet 1+ (∞)
et t loco v0a bb + a3. b
r subthido nominatorem silimmerature fiet
fiet 4abb ta bZ. ubi vid abb +a) a6b, ab(ta
scribi quidem a 4abb + a2. b3 subtrahende
13 fiet 4ubb ba b a () a ubi
d
quod non proredit, ponendo enim saltem B  a oqu 2b se vaequ pro a
Cum sit major quia V, 2. est quoliens et aliquid praterea restat) fiet
8 bbb b2 8bh. quod nom procedit. fieretenim residuu minus cihilo nempe- b3
quod si ex sit aequah vel maije multo minus proceder put abb ra b subate possit ra
Jang 1681

## Folio 4v — 00068236:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 57 lines, status machine
et quomam generaliter constat esse a vel majus vel certe
non minus quam vb. itaque haec sucurrit methodus generalis
ut pro a substituendo vb sit certi sumus ipsi a attribuisse
vatorem ve non justo majorem, et pro a substituendo
vs+ b. Certi simus attribuisse valorem non justo minorem,
Est autem fct in aequ. _ 11. fractio: vvabb + a- b3. ergo
va3
(15)
aergo
pro aponendo vab fier haec fractio: v3b + vb- b seu 20- B
D463
Ulnde statim patet, si p sit HD. esse procedere sub tractionem
et loco aequ. 11. scribemus aa aequ 2. aequ. 14. sed
si vp1. erit V p.2V- 1um Nam si ve2. foret v,
seu vep 2V2- 1 seu v p v - 1. sed si v p. erit v p 203
ergo multo major qu vi multo p 2V - 1.
Si vero pro a ponamus vb + b. tunc ex fractione
aequationis 11. fer  (add. aequ. 15) fiet:
3
vvvb+ Vvb + vV + 3Vb + 3vb+ b3- b
9a b + 3V b+ 3V b + vb3
aequ.
aeqo 2V + 4 v +3V, ubi itidem posito vaequ. 1. est
v3 + 3V+ 30 + 1
nominat numerator major homina
tore. sed posito v p. 1. marti
fistum est, nominatorem festum fore majorem, nec proinde
amplius subtrahi posse, itaque, sive aa ratio a ad b
assumatur justo major, sive justo minor, semper ut idem
provenit. Ut ergo generaliter loquamur, sumendo
loco V, V aequ 1 1 () fiet primus quotiens:
++ (V) dividendo a por b fiet primus quotiens 2
1 + (V) secundus 1 + 2(v) + (v;
si aequatio 1. b+ vaeb aequ De a. fiet 
aequ  V +
ubi B significat 1. quando
v0 + + v aequ. 1. sed 0, quando Yp 1-
etc.
residuum autem primum erit a- vb. quod subtraedo mulliplum
per v + subtrahendo _ a b. fiet residuum secundum -va + h.
t
-
Videamus an jam possimus conie absque superiori illa consideratione
rationum ex ipsa aequatione ductarum, nunc porro progredi
Nempe a refiduon omisso (compendii causa) + videamus
an possimus  quaerere quotientem non novum per
quem multiplicari debet tresiduum novissimum. va +vb+b
ut quantum satis est sub trahi possit a praecedenti a - vb sit ille
Quotiens quaesitus n. Ifiet:
- v
tea + 17
+nsa - nv ib ubi pro
a substituendo vb deber esse = v 
nPan ubi res non succedit, quia sumta
josto minor. Sumatur ergo a aequ Vb+ b fiet X+1 + pB n + nV in
ili vol lunedit, atitus enim it moo pn. Vitnter sumitui jam 1F
bon

## Folio 5r — 00068236:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 79 lines, status machine
fiet:  abn
tvv)
- nv 3b.
in
sonendo iam + V
a aequ. vb +np b
fiet: +ps
= vb
nx quod non procedit
13
sed ponendo a cego vb +b fict. Fu )b = io3 et sublatis tollendis nVB+VB -n
nv
+vr
=n
debet ergo nv + 1.  - n esse po et nvv + vD = n 10
unde exhis limitibus inveniri debet valor ipsius n, quippe integer;
. et inp vv debet
1-vV
autem latere enor in calculo foret enim alioqui n aliqua fractio.
Resumamus. Primum quotienlem l constat esse aequ. V. per aequ. 3.
singamus
Dquaeritur m. est autem +1 + mD b pima. poms a aequ vb
fiet: + + m p inv quod per se patet nec quicquam docet; ponamus 
a aequ vb +b fiet +1 + mv p mv+ m. quod fieri non potest
Rursus sumatur m+1. loco m fiet 1+ mo + vp mv + v +m F
firi 0 p1. quod absurdum est. Itaque ipsa hujus ratiocinii funda
menta nondum satis constitui Utique manifestum est tmobpima
Unde a r 1+ mv b supra a p. vb. Ergo  F) in + x. quod per se patet. A
rusus im + 1a H 1+ mo+o b. Ergo in ap 1 + mv +v. supra ar, vib b
n
v+ 1
m+ 1
Ergo Y +1  + V, quod etiam per se patet unde video hinc
nihil duci redeundumque esse ad ipsam aequationem fundamentalem.
im +1
Habebamus per aequ. B aequ on +a- b
va
vbb + ab
per aequ. 9. aa equ DD + vbb + b vV +
bb
jam porro examinemus.
aa
aa
aa pronova divisione Itaque aequationem
vbb + ab
C13
1. multiplicemus per bb. fiet:  b + vaa b3 aequ. a bb  B
Lb
substituatur onter ex aequ. t fier: b5 + va Marab aequ ae bb.
ergo  q aa aequ a bb + vua maltiplicetm aequ. 15 per B. fier:
per V fici  a vbb + a b aequi b  vaa b) + a- ab
a6b (va B3)
va
Ergo et B b cp. pro b ponatur b bb et pro B valit ex aequ. 1. fiet:
a bb et pro  t vaa b ex aequ. 1. valor ipsius B3. frei.
(16
b+ va = Wvab a qu abb. Et multiplicando omnia per v.
vel retinendo aequo 15 fie et efficiendo ut nanciscamur
in ea v bb nab nam oqu. vel retinendo aequ. 15.
et efficiendo ut nanciscamur in ea vbb + ab. fiet
mulliplicamus prius aequ. 1 per v. fiet Vb + vvaa b aequ. vab
addamus utrobique at babum purte
et valelem a- b a ab alteratiet
per aequ
va
a5- ba
ab as 
et quia unus in est terminus purus. ideo fiet: aa aequ. va rbb tab + b’ a - v b- v ab
varbl vbbab
Ex aequ. 16. ita procedemus: vb vva ab ab aequ ae vbb (v al b + va b
ergo aa aego av vbligab + a vbb = va Bbb - vl5 - r2 a rbb
vnas
a vbb +ab
b
+ a = v b insto 
=m a +mb B
in a.
 Isomi
ph aqu5

## Folio 5v — 00068236:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 71 lines, status machine
ed non vidlo 
Video ad hanc materiam rite tactandam, altius ordiendum esse, s
Divisio enim supponit subtractionem. Sabtractia autem hoc loco semper fieri
debet minoris a majore. Jam minus est quod alterius parti aequale est. itaque
redeundum est ad aequalitates, quod si jam exemplicasa pro aponas vb. tunc
sola liberarum iuftrest v: itaque ponendo v aequ h vel v- haequ. 0. hanc
aequattonem multiplicare possumus per formulam _ + Cx +YVD. vel etam
aequationem V +ho+ K aequio. prer tatem. possumus et aequationes assumeo dia ium
lileparam, easque ita exaltare. Hinc Ejam habebitur quae quarlitas sit maja
altera si habeatur quae in aequetur
sit aequatio a bb + ut v ab = aa aequ. 0. Ponatur brequ la  substituo
amusque fiet Uaatolaa - aa seu H + lv-1 honatur baeqlata
fiet Haa 1 ntaa  a a) + 2taa + (a) + vaa ee
seu fiet I + 2t + 2 l + B quae utique est major nihilo si v, est attirma
tiva Ergo altera I+ lv - 1 foret minor nihilo. Ergo deber laisse mino
quam t. quod est contia hypothesci ergo in hac rabiorinatione erratum
Sane si pro b substitentur justa minunt ne la, neamplius anet aequatio sed
subtratenun fit ominus cam prgo subtia rendo existente vero bb +vab restaret
nihel ergo cum
ponatur a aequ lb. Et posito a este majorem, fiet
bb + vibb - Ubb. seu 1 + vt - I prpo to contra posito a aequ 1b + b.
seu a aequ l+1. substituendo finit + et - I + v = 2l - x 1q il o
p. rvl p Us U B vt +v- 2l F e I1. irg. U p vL +v - 21 per 7
9)
per5.
ungendo 6 et 8 fit: _ ,+ ut ( vt + v - 2l. et vl sublato fit: 2l +,  V
Ergo 1 fi V-. dabet esse quo valores substiluto in aqu. 8. fier: ver 1 - 2n  o l t ab
Ergo 1(3) v +1 - 20 - av (1) ∞ + 1- 40
v-2
hos limites: V - = et v + 1- 40
v
consistet ergo l’intra
eeto und jam debet esse
integer et si vp utique.av est fractus deberentue limites esse tales ut non nisi
unus intoger inter eot possit contineri. quod e sed dubito an isti tam sint accurat
inelius forte sa sine quadhatione ex 11. faciumus U p vl - l quo natore
2
substilula inaequo sed fortasse optimum, si nullas adhibeamus substitutiones
quia  in determinationibus, quanto saepius substituimus eo ra laxiore
frunt cmutes qui invenimitur Ergo relentis determinationibus pringi–
tivis 6 et 7 p et 6 dividendo per l. fit  + vjl et ex 7. fit van. 1
quod si l p1 proxime minor quam = +V erit v. seu beut v. et eo casu propime
minor quam l erit V. itaque valor ipsius l. erit v. Et veneralius. duo
valores ipsius l nempe 17 et 18 non debent differre unitate. Inga tubsti
luendoralterum pro altero quod cisus inde sequitur, quia debet ex aequatione
et duabus illis determinationibus ipsius b inveniri posse. Nempe
in aequ. 3. pro l substituendo l +1 fit aequ. 45. Quia ergo
differentia inter hos duos valores ipsius e l est minor unitate
faciernus.
P
2
F+ (+ v) (4 v) + ∞ =2  1 1. Ergo
Vshinc
Sed nihil ad modum discimus.
Redeundo ad aequ. determ. 17. 18..
si lest proxime minor
pubysi it valore aquationis valere 11 per 17. est necessario v, sive
sit major sive mino aequalis ipsi 1.  et in determ. 18. sive
exgedat
sit v, sive ab v differat unitate, subitituendo ibi  loco
 vel 2 vel  loco  semper propime minor est ieum v.
1 sed ista omniu nondum adhuc mihi salisfaciunt omnino
sit aequatio: F_ S A + sbb+ + ab + v aa ponatur +a b
aequ. c. et pro C substituendo valorem fit:b L c + a. fiet: Secs. 2aC + saa
aego (5) CC t (t) aC + (V) aa aeqvi0. fiet (5) aequ. s.
11d
t ac a
 ussiu atuium
 sivve progime major
hunc est. F vind nanc
nenesse est l. essi majore

## Folio 6r — 00068236:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 55 lines, status machine
G
Scheda, 1II. de quotientibus replicatis
hoc loco-
Quoniam divisio nihil aliud est quam subtractu, quoties fieri potest
et numerus subtractionum semper debet esse integer seu aggregatum
unitatum; hinc pro investigandis quotientibus replicatis orietur talis
progressio. Sit aequalio gradus secundi generalis: H
Sbb + t ab + vaa aequ. o. ponendo. s. t. v esse numeros integros cognitos
et ut et ab. et signa, eorum esse qualiacunque. Facimmus
jam + a + b aequ. c. ita ut C sit differentia inter a et b. et
4 significet +  si a sit major, et et - si b sit major; et
 + contra. erit b aequ =c + a. Ergo substituendo hunc valorem
in aequ. 1. fiet.
Sec +25 a C + saa aequ. 0.
4 + a c + + aa
ad instarae qu. 1
+ v aa
cujus aequationis 4 loco si scribamus: (5) CC + (+) ac + (V) aa aequ. v.
16
amparando aequationes 4 et 5. fiet: (5) aequ. s. (t) aequ. 4 25  ++
Unde ja jam porro poni potest si subtracto adhac continuari potest
eodem modo, seu s si jam ponamus eem a esse
majorem quam b tunc fuit +a - b aequ. c. Et jam 
videndum an ab a adhuc semel subtrahi possit b. seu an
scribi possit aC - baequ. d. an vero contra ponendo C
esse minorem quam b: scribendum sit = c +d aequ. d. sed jam
video satius esse sine discrimine cogniti et incogniti incipere
semper a maximo, sit ergo a b aequ. c. subflitende
seu a equ C +d. substituendo in aequ. 1. in locum ipsius a.
fies: sit ergo: sed ita non sutticeret explicari c deberet
etiam explicari a, quare sic optime opinor proodemue:
saa + + ab + vbliiquo + a + b aequ. c. seu a aequ b+c. b +C
(4
fiet :+ s bb  + 25bC + SCC aequ. 0 seu 15) bb + (+) bc + (8) ce aqu. 0
+ +
+ V
+ + bc
ergo (5) aequ S + L + B. (+) aqu f 25 +F et (Bsoqu.s.
(∞).
Rursus videamus an possimus scribi possit ce b +C aequ. d.
Soed difficultas progressumo in eo nascitur, quod, si b sit
ominor sive subtrahendus, tunc a in nova aequationem inter
C et d ingredi debet, si vero sit major, tunc b potius.
itaque resumendum in fallor, semperque positoque a esse cognitam
b incognitam semper servanda a, et proquediemur hoc modo:
(2s
saa+ tab + v bb. aequ. 0. bequ. + a = ba qu c. seu baequ +a +c
fiet: + fua  ef 425 ac + cc + Saa 4 ac
+taa
ac
+ aa
+v aa
 tac
+ 2V
vago s+ t +B

## Folio 6v — 00068236:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
+5 bb + + ab + v aa aequ. 0
+ a + b aequ. c.
Ergo per 3 firt b aequ  c + a. quem valorem substituendo in aequ. 1.
fier: sec 4 25 aC + saa rqu. 0 seu (s) cc + (+) ac + (V)aa aequio.
+ t ac + taa
+ vaa
et conferendo aequ. 4 et s fiet:
(0)
(5) aequ. s. (+) aequ + 25 + + (B)aequ. s+ + + v
Rusus  aequ (- 2]C 4 b aequ d. sive erqu d
sine Caequ a d + h aequ. f a. + b. Ergo b aequ f a )d 1f1
ergo caqu (d) +  d + a ( d) seu cago + 4d fa1+.
ut signis istis careamus, faciliorque sit scriptio, relenta aequ. 1.
loco aequationis 2 scribemus +C.) a - 1) b aequ. c. fiet.
baequ  - 6) c + a. unde in aequ. 1. fiet.
(4)
5
5. ce = 2((1) aC +saa aequ. 0. Ergo ob ()cc + () ac +() au oqu. 0
= +6) ac +t aa
(1
+vaa ()
frei: () aequ S. et saequ. C - 217 = +c) et hoego s + t + B
167
sit +() C - () b. aequ. d fiet pro b. substituendo - (1)C + a. fiet
et (2) C + (2) (1) C A (2) a aequ. d. et caequ a + (2) d. sed
+ C)
ita illa orituo difficultas, quod tes concununt literae :c. et a erd.
at itaque priora resumamus: sit camajor b minor
sit a et aequatio saa + + ab + v Bb. aequ. 0. hinc
sit a aequ c + b. fiet: s C + 2scb + sbb aequ. 0.
(4
+ + cb + t bb
=+ v bb
seu (Ssec + (t) cb + (B) bb aequ. 0. et comparando:
(5) aequ. s. () aequ. 25+ + (2) aequ. s+ t + v.
Rursus c aqu d + b. et scuibendo (sD d +  D db + (v) bb aequ.0
(11)
2)
fiet (S) aequ (5) et (tB aequ 2 (5) + (t) et () aequ. (5)(I (V)
0)
Ergo (5)) aequ. S.
(15)
et (1)) 45 + + et (V)) aqu 45 + 2 t + v.
(.6)
et ((V) aequ. 95 + 3 + + v.
Unde satis habetur progressio est est enim (2 (S) aequ. S.
potest etiam fieri: C aequ ( ((a)
2
25 + 7+ + v
(10)
et daequ. ((a)
et e aequ. (3Ca) et et f aequ. (4 (a). ono sunt
(31) 
c. d. e. f residua. Et quot residua tot subtractiones
seu nom Zue noneu asidatum est esiou nuneus quotientum
Quinto Zeeo eaequ f + b et scribendo  ((5)f + (4 (t) fb + ((1) bb aequio
Crat
fiet: ((5) aequ s. (4(4+) equ 85 + t et (2(0) qu. 165 + 4+ + v.
C
Rartus: (16) d aequ. e+ b et scribendo: () ee + (+) eb + ( ) bb. C7
(19)
(9)
erfier: ( ((5) aqu s. (C+) aequ. 8f 65 +1 
10)
(27)
(29)
notunda
plagulae
in

## Folio 7r — 00068236:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
f. Z
(34)
(Z5a) + 2Z 2(a) b + 795 (laequ. 0.
+
+
7t.
ubi litera Z est quotiens, et (Z (a, est numenus 2f
quotus in ordine residuus sit. ubi Z sit 0. nullus est residuus
et (Z(a) est a. aequ (o(a) est a.  et redit aequ. 1.
ubi siquidem residuus ((a) sit major quan b
Residuum generaliter vocabimus Y. et fiet.
Pr + 2Z r b + Z76b equ. d
+ +.. + Z+.
ac si scipsissemus.
+ B..
idem enim est
a aqu b7 Zb + BCY
a aequ. r +Zb. et fiet loco aequ. 1. fiet:
(36
(37)
Sr a + C 2sZ Yb + 72bb aequ. 0.
+ +.. + +y bb
ut
 vaeritur jam qualis debeat esse Z, ut  pro Z Ponendo Z+1.
quio
(nc)
Continuata jam quantum satis est subtractione
fingamus aquationem:
hadix vera transmutetur in falsam. vel etiam
quaestio est an Y sit adhuc major quam b et mnor quam 2b.
vel etiam an Er sit major quam b et l r mnorquam b.
vel si ponamus aequationem initio habuisse omnes
radices veras seu f suisse spositivam, diminutivam,
et V positivam quantitates, tunc finiendum erit quando
fiai t in aequ. 37. fieri incipit: 2s p  25Zpt.
ino
 Z A 2Z+. v 77 + v p +Z. itaque quando raqus et sapu 1. tunc fit  exinic prt
itaque non potsst: esse  Sp rquando vero s aequ. 1. Tunc Z proxime
tunc sit t Zaequ. 
minor dimidia ipsa  quando vero B  C. aequ. 1. et
quando
V p 1. Junequando Z aequ. integer inclusus in . Nam quando nam
2
loco ZZ + vp. t3 pribendo F + v pi _ t haec determinatio  ad huc falsa esse potests
L
Lrgajor quam
utra ergo prio vera est, ejus ratio haberi debet Multiplicemus
 nisi ipsa
sit vabdemact perpes
dua determinationes in se invicem, 25Z B + + 8. seu 25Z - + - a aequ. 0.
23+ v  +Z + (3. seu ZZ+- +Z + v β. aequ. 0. ducantur ae
Euae in se invicem; sed non est opus. generaliter
Concludi potest, quando aequatio data 1 omnes
habet radices veras tume fore quando et v lY non
est major
12 qu
tunc erit Z pxim inleger maximus
1
et 78- + go,  F- v seu Z ego p + + A- v. sed haec methodus
4
2 2
contentus in +
non plocet; quanqua si quis labore subire velit, hac methodo per veras
radies cuncta definore possit
Panis ergo haec complecti
ict: sit aequatio
Saa + tab + vbb aequ. 0
ponatum a aequ r+Zb. posito
a dicisore b. dividendo Z quotiente
Y. residuo fiet
Se + 2sZ rb + 2 
i.
eritque Z. verus quotiens, si loco
Z substituendo Z+ 1. fiat radix
ipsio ex pera falsa, quod
Aignasci potest, si muterur
consequentia signorum
in terminis. Hinc
etiam habentur diversi
quotientes, pro diversis
ejusdem aequationis
radicibus.
F et saequ. L.

## Folio 7v — 00068236:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 74 lines, status machine
Alia succurit via
sbb + + ab + vaa aequ. 0.
seu  aequ. + = + 7
a aequasb+ta 
va
Sed ex his agnosco
non facile posse generale aliquid definiri pro aequatione ejusdem
in gradus; et satis esse si singulos casus exgminemus.
gneraliter autem progressio sic reperietur. sit aequatio aliqua
ut  b Fab aequ a.  primus quotiens est v. nam
4)
est  aequi bb +vaa. Ergo seu v + bb. jam bri a. ergo
aa
aa
bbriaa. itaque quotiens primus est v. et scribamus a aequob +c
et at aequ B v+ t v 2V V c + 2vbc + v bb. et a3
 in  J. f et a aequ. c3 + 3Vb6 + 30v bbc + p313. ques valores
7. et 8. substituendo in aequ.   1. fiet:
(3 +3bCC + 2vobb CA v3 b3) aequ. b3.. Unde rursus analogia:
- vb.. (- _ ob bbc) - 1363)
Cn
Ergo b aequ. 20V +
cc +3 bc
B
cc + 3bc + 20vbb (10) 1
 aequ
bb c c+ 3b- vb
 seu 20v +
seu 200 +E, E +3. v Est autem c minor unitate. et si quidem
B sit 1. tunc vel major tunc b erit major quam 2C et ita
fingendo si aequalem fieriet: loco E+ 3- b fieret  + + 2, id
lt mat
tc
sit si sit 1 tunc quotientem
secundum fore 200 + 1. sed alias fore: 2 vv. itaque scribemus.
b aequ. 2+ 2vvC + d. Eumque valorem substituamus in
)
aequ. 9. fe et ita continuemus similiter operando, donec
perveniamus, ad aequationem alicui praecedentium quoad determi
nationes istas conformem,  tunc, quotientes sequentes similiter
ex hujus cognitis educentur, ut caeterae ex praecedentis coginitis.
Necesse est autem hoc tandem contingere. Idque videtur evenire
debere etiam in aequationibus altioris gradus. itaque opietur quaedum
quasi periodus; non quidem eecundem quotientium, sed quotien
gium eodem modo ex prioribus nascentium. Hoc scabilito sues
est aequationum naturam perfecte cognosci posse continuandus
est nonnihil calculus. et quoniam Et compendim ex eo videtur sumi
posse, quod aequatii in omni aequatione quolies mulatur ordo
aignorum, tobres aliqua radix mulatur ex vera in falsam
vel contra. Unde etiam distingui poteum diversaerradices.
videamus an hic comminisi liceat problemata, ita ut propus
quotientium, in altioribus gradibus habeatur:
 a b p aequ. 3
e
t
b + Vvab aequ 43
ut la + mb  aequ aa
na + pb+q bb
Crto) VCrqo  d3, (B) a d aequ 13 seu P ctr
seu l aequ (C aqu +1. seu fier
a - 3a 1b + 2ab - b aequ (2) a - 2() ab + to s b + 1 et ordinando.
b B3 abb - v a b aequ a
2Ivh. +3 a b
sed haec metiust
Sed plura scheda L varta
a
+49
2
F quod fit in solo
gradu quadratico,
 aequ bb
tog
(1
ua

## Folio 8r — 00068236:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
de quolientibus replicatis. Scheda 1V.
proratione a ad b
Tit series quotientium replicatorum e 1. v. Wv v. v. v. er
quaeritur  Erit aequatio exprimens relationem inter a et b.
a - 1 b. aequ C. b - C vv aequd.  c - vd aequ. e. etc.
a = vbaqu. 1. (a) - v (b) aequ (C). Et generaliter:
(a)- v2 (2(b) aequ (2(C)
sive (Z(a) - (2+ 1 (4) Eequ (Z ( a)
quod si aequatio
(A (21 (a) - (B ((7, (6) aequ (211 (C)
(2 v ,  (6)
vel (Z (a) 2. v (Z() aequ. (Z + 1 (c)
vel denique: CE (2 (a) = v ( (a) aequ.
Eodem moda
(211 (a) - (2+2(a) aequ (2+3 (a). Et pro (Z +2 (a) substicuend.
volarem ex aequ. 2. fier:
23+1
(7+1 () (2+1(a) = v (a) + v (2+1 (a) aequ. (((212(a)
Ergo daegu;
seu c aequ a - v b. Erga d aequ b- vc aequ b - v a + p b
seu
+ B1 2b = v a
p
+vo1.
fiet: e aequ. +1 a - v 7b
10is
= verdt
fiet: f aequ - v a +.
- 1 7
pis
+voH
+ v
+ vor. 3 B)
f. aqu d - ve.
vel genepaliter assumendo quotientes
l. m. n. p. g. 8. et faciendo: Reis quantitates. a. b. c. d. e. f. g.
a - lb aequ. c.
b - mc aequ. d  C - nd inqo e. d -perequ. f. C- 9f aequ. g.
erit c aequ +1 a. - l b. daqu. b - mia + l. m. b
d aequ. - 1.m. a +1 b  equ +1. a - l. b. + 1. M. n. a - 1. n. b - l. m. n. b
e aequ. + 1.
+1. M. n..
faequ = l. m
+
+ l. m.
a ct1
+ l. m.
a +1.
= 1. m. n. SP
. +l.
Pa ego qu 1 a
+ vel Y
+ l
+
um
+
ut 
b aequ +E a + y
C aequ. +V a + 5
-nl
e Et il porro
faequ. - 1m a + 1+ l. mb - 1+ 1.m. n p a + l+ 1r Lm A B b
gaequ. B - gf. est autem C aequ B a + A b.
et f aequ. B a + Z b. Ergo 9 aequ. +B a + A b
ergo coefficiens residui sequens fit ex
qu. =95.
sequentis (exempligratia D- qu. coefficiens cum a. pro
residur  ipso residuo g.) it conflonitur ex D
resic coefficieate refitii verultium respontente cum
a scilicet) residui penultimi e, et eo efficiente
respondente in residui ultimi f ducto in novum
quotientem q. et subtracto. Habemus erg. regulam
proprediendi.

## Folio 8v — 00068236:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 9r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
sed ut melius continuatio scrbendi appareat valor
foet: Gaequ.
+ 1. mn
+ in
+ 1. m nsI
Hina habetur modus scribendi pro coefficiente a habendo inci sumrntur
hade duo: 1. 1. pro rvefficient e ipsius b. haec duo 1. l.
jam pro coefficiente a. formetur prius id quod mult plicari coefuiens
ipsius b. quod ita scribendo fiet: scribatur C
0et estt 
3
seu
observandum extimos multoplicatores procedere per
sallum, ut l. n. 4 multiplicatores ejusdem
extimitatis procedere per saltum, ut l. n. 9.
m. p.
l. n.
primi incipitur ab 1. hoc multiplicatur percast
multpelicanter
1. secundo Repetitur I. cidemque udditur l.
in m. praeredens terminus ductunni proximum multi-
plicantem M. fit et In quod ducitur in proximm
mulliplicantem n. Certio repelitur praecedens
terminus non mulliplicatus 1+ Cm., eius additur quicquid
processerat ductum in p. ambo simil dicuntur in q
quarto ut patet: in valore ipsius h. repetitur praec-
dens sed sine mulliplicatore suo extimo (nempe
oefficiente b. pro
in valores h. pro nutermino mulliplicando
per Y. repetitur procedens mulliplicatus per p
Cunum seuper intervallum inter mulliplicatores ejusde
quippe
extimitatis, hoc loco inter P et Y et interjicitur 9.)
sed omisso p. Ejus adjcitur subjicitur tota quod hanc
quarta novam operatione praecessit idque
multiplicatur per quotientem saltu omissum g
denique compositum ex his duobus multiplicatur per
Ceminus Coefficiens ipsius a. formari
potest eodem modo. sed idem etium formatu
ex m coefficienti ipsius b. omissis terminis
bi quibus non habetur l e umutando in 1.
et in his qui refinentur (. mutando in I.
im

## Folio 9r — 00068236:0017
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000017.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
si jam trea coeffic sint  paria coefficientiam sintres residni
+) a - d b
= E a + n b
+ B a - A b.
fiet B aequ + Y + E(2(1) et
et ((Y) aequ Y + ( (1) 
vel 1x d + Y a - d b
AE 
In Cn DB + Epct) . - n (e(t)
aequ +d + n (2(1)
vel generalius (2 (1) aequ _(2. 2 (Y) + (2- 1(1)
vel  (2(8) aequ (Z. (B) - 8 (2. (8). (2(1)
et endem indi (Z (A) aequ (Z.  () - (3.t (A)
Videndum nunc an apsorum l. quotientium seriem talem comminisci
liceat, ut fiat  habeatur ea aliqua communis relatio inter Ye()
itemque ine inter- quae sit inter Y et (Y) uti est inter (Y) et ((Y)
pro _ Y (1) (YD sumamus a. b . prdotar
continuis quansLa propimi
ut a. b. c. pro tribus quitnslibet contranis intelligantur.
ad +  eo - _ vab aqu. bb
et debet similiter esse: bb - vb C aequi cc. substituatur
sit aequalio:
Ca - l b in locum C. fiet: bb - v Ha + vlb equ aa - 2d ab + Ibb
et oidinando: aa + vab x i aequ +1, 7 bb
l
quae collata percedenti dabit l aequ. v. itaque quolientes sunt B in nifinitum. Ergo  ag, v+ 
1
21
aequationi 1.
sit aa - vab aequ W bb fiatque a lb aequ scribaturque
similiter bb - vbC aequ W CC, et quia C aequ. a - lb substibiendo
fier: bb - vba + vt bb aequ Waa - 2 Wt ab + W Hbb. sed
inde statim video debere W esse aequ. 1. (. prima aequalia fuisset:
Waa = vab aequ Wbb. res succederet, sed tunc fieret laqu-
tunc enim hnm siplus conmonis mlliplicator lo W
quod sane succedit si  est integer; sed si fractus res ita mnisio, hllipoles
simpliciter non procedit.
vrcic
h aequ
_ 1. r

## Folio 9v — 00068236:0018
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000018.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 124 lines, status machine
Repetamus, remque paulo aliter instituamus: aa - vab aequ. 11 bb
faciamus: C aequ.  a = bl et pro a. substituendo: CAlb
fiet. c loco aequ 1. fiet: cc + eet il cb + lbb - veb - vt bb reqo W bb
seu gebl + W bb 40 - il b6 aqu. cc. sit: b aequ mC + d
+ vI
 in aequo
+ v..
debet esse fat + W Cc - 2M cd aequ dd et pro dsultibueud b mc
Mm. + v 0.
+ vM.  +
diu post observatum fer +W cc ( 2m) Cb)  2m C aequ. bb (= 2m CD (mn) cC
si continnatione calculi
bb - oberq c
im + v
- vn)
et odinando + bb 2mm VC aequ + W CC fiet: mec
ex aequ aa- vab aeque vbb
non prodiisset
m,
11
bb = vbc mmoWvce
a - V bCatim.. Ergo jam foret paratio epd b. quaeb. ad c
sin in aequ.a pro b substituamus F inc +d ex aequ. 5. Idem est ac
ief
(9) L
sod talis: bb. obece oces in locum ipsius a, substituissemus: C+ Imc e + d et prodb. inc +d
tunc patet ut a exprimitur
per vern, ita b exprim.
per lio et fro. unde
tiam habebiter periodus.
a equ la
et 
serit b aequ
hc
et l. aequ 
1+m Lcd +dd
+1CC D. Bm CC = vcd vImmcc -vLm cd mcd vd
Unim
=usum
aequ Womncc + rWom cd + udd
CC - 1y cd aequtrus dd
= pl
=vio
tum
+u..
videamus acuconferri possit
asc aequ. 1n cumaesd F.
et tunc opus est esse tantum ita ut easit relatiae
quae aequatio etiam habetur, si in equ. 4. prob substatuas metd.
nam fiei: +. W mncc +. 2m cd, ∞ 2 dd -. 2l m cc - 2 l cd aequ. cc
= 11 . . . . - 11
+. vI
+vl
a
+vL
(+. V. .. +. V..
ha nl+ L se + W mm cc +m cd aequ - W dd
et  aequ l. +
Et fier:
+2Im..
+Px..
rum
vm
vim
+ I
aequ l +.
ha l+ - U um..
+on
eu quotientei erunt:
quod si loco longius remoto
prodit similis Miori
aequatio honus Et aequalio
etiam differetur periodus.
ponamus constare esse
ht  vi um..
- 2lm..
+ Vm..
- U..
+ vl..
- 2l..
+ v.
quodsi haec aequatiio, vel
alia quaelibet in progressum
ht ers inventa alicui sequentium vel anteredentium conferri possit
+
l. hl. 1. hl. CsC. in
infinitum
epeib
seo solum discrimine, ut proprioribus Residnis substitim quiant respondentem
posteriores habebitur progressio quotreatum in infinitum, seu quasio
periodus.
euta
ha= sa +t
 h b + s + t
aequ. Ce
sitque  caqu. a- lb
seul quotiens a per d.
et m quotiens b per 1.
his positis utique necesse est rationem a eodem modo componi ex quotiente t.
cum datis S. t. quo B ratio ex quotiente n cum iisdem datis. Tantum
iam F  4 aego + vergo explicetur c. multiplicetur per crucem cujus vallor a - 1b. multiplicetur
fiet
b aequ a +3)
erit b aequ +l4 3 un esper cpicem  et ut habeatur aequatio; in ea postea l. et in
aequalio pro datur.
ut (F quartus ex tertio et
evieri quintus ex quarto, et
ita explicentur, ut l sit quotiens printus m secundus. et habebitur
series quotientium hujus modi aequationis. Nam habitis valoribuset m
quotientium et m; habentur duo primi quolientes pro ratione 
L,_ nempe l. et m. habetur et primus quotiens pro ratione . sed
formari-
secundus quotiens pro ratione b ita debet ex primo ejus quotiente in
hinc sic in infinitum
duca mg1 et aequ. 1 +
seu q Potientes erput
nempe ipse
e uti primus quatiens ut secundus quotiens proratione aformatur
l.. 5+ l. 3+1 3+ in insinitum
seytur scheda ita
ex primo ejus quotiente l. (quia generaliter. formatur ex m
ut a ex 1.) Est autem secundus quotiens ipsius. Ergo secndus quohens
cuo i e is euer p si aner plimo Esiatier
ex secundo istus _. ut secundus ipsius e ex primo. similiter F

## Folio 10r — 00068236:0019
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000019.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 109 lines, status machine
quolientibus replicalis scheda
disdem ergo positis sit seu aequatione.
sit caego a a - lb et fiet: haa, sa et
seu ph aa CC
tis ab..
+nt bb..
-It bb..
h1b + s L et
lsbC aequ Ih b
amh aa ae
fier: +ms ab
+ n + bb..
= 1C. bb..
had + sa + t
in seu
_ +lm t - 13 + + ls - lh aequ. 0.
seu posito haequ imt- 1+ +) fieri
hbb + s + t
aequ cc
haacet sabcet tlbC aequ
hb + sbc + t bbcc
Et ponendo pro C substituendo: a - lb
aequationem productam fieri cubicam destnitur enim
itaque si jam vel contingat, vel ob arbitrarias effici  assumtas
efficiatur, ut ut s duo primi quolientes sint l. et m. iidemque
eadem opera explicentur habebitur se series quotientium. 
Compendii causa ponatur F aequ. 0. t; et tunc si volumus
tillere b fit Saequ. h. adeoque evanescit tam squam h.
et fieret:
maa ec a maacc - lbc aequ lb2
sive meaat a = miaal 2t ab + maa Hbb = LV a (+ lb 1b aequlIb
seudoniue
lntae + mab-2m abb +  aequ + lN b3 F Ebna
-Ellm... +m... 
ergo a aequ. vel
-em  - (3m
lma = 2lm a bb aego _ + l b3 - m a b
+ l3m. . .
possumus et sae problemqe formare;
 F u b
d ab c: + Ubb = 15b a + Isb equ It b. 4
et omnibus ordinatis: + mh a + ms aeb + nt aabb
ubi nota: posito 
- 2 l inh
- (2m ... + eum ...
invenire quantitatem b. quae a quantitate a sublata quoties
fieri potest relinquat quantitalem C, sitque a + sab ad t b
ut a4s b + sbe ad cc. Unde videamus an sequatur b et a
eandem habere inter se relationem quam b et c. seu eodem modo unum ex altero
formart sit a aequ 1b +c seu caequ a - lb. et H aequ ac alabrbb
substitur atur Vulor ipsius cc in ejus locum in analogia. aa + sab: bb. : bb + seo: CC pallpabene in
a et: a - 2l ab + Uaa bb + sU a b + argo 64
 - s1b
+ 5a3 b - Elsaa bb sY
si vero in analogia aa +sab: bb:: bb +s bc: cc. substituamus lone in locum
fiet aa aqu 1bb +2l9bc + cc ergo puilliplicando fieF: est veu
sed inde
Ubb CC +21bC3 + C4 + slbbcc + sbc3 aequ _ b2+ (b3C
video hanc aequatione priori inter ata inter b et .
priori inter a et b. conferri non posse, et sane alioqui quoticus conegetion.
potiber. foret ader hri re te 
=2lnt ab
npi
tis iiti
a quod estrectum contiper
et a. t Retatio siailisilli quae intor bit. N
Hus cum sit apb. erit bp. c. ergo in aequ
a. aequ. 1b Ac erit a diidendus b. divisor
quotiens C. resictuus Ut ergo
divi soo, ale divident
quotieas. nam
pMC. et et a 1pb p a 1be
sem ol.. qua
ut (nam apibre et bpb
pia a    sinaib. 
itu ita cpk-M C
Ha consa, entia sit
 probatae; ponatur hader
relatio aequalio ra lation
inter b et a. et
1. b. 1. hujus ope inveniatur
tum valor ipsius  tum valor
ipsius a - 1b. et notetur differento
iite hos valores. similiter ee relationis
inter b. c. m. inteniatur vulor ipsiu C
m resu et ipsius b - lc. qui dec
valores utiue eodem modo formati
erunt ex  b. c. m. uti priores
ex a. b. 1. Ergo et si prioresdio
se vatur ipsius un et respondebit
valor. b ratori C. et valor
a - lb balori b - me. ergo
ilor b. major valore a - 1C
etiam valor c erit major
valore a  b - me
 nam eodem modo
um sint exprassae
Eaedif
t au pa seu
b + b0 a b a + D a. b. Er
 B hinc
 braba nopa
cofficuiua, eritne
 affirmatva
ad eoque en B a Hlo bua 3
eme css
iode
ula
 

## Folio 10v — 00068236:0020
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 11r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000020.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
itaque prior methodus medior melivi, nemeste
k
bb
bb +
D aego cc cvel quod eodem
n
edit. si dicatur:
aa +Sab aequ bb + sbc et mulliplicando
L bb
n CC
aa +sab cec percupe ciucem, et pro C substituendo  a - 1B
Lbb habebitur aequatio inter a. b.  nempe:
mat  -2m lab + mllMabb F msa b- 2mlaabb = infllab
aego II62 + slba - 5IIb. +
2
jam opus esset hic abesse m, et scribi aequationem alia
lin qua pro pro l. a. b. substitveretium m. b. c. et demde
explicaudo C, in posteriore deberet ea coincidere priori
verum difficile videtur tollere m. nisi forte altentro ut l.
vel m. sit data, itaque si in sit data, substituatur ejus valor
vel non consideretur  ut litera (. et ita habebitur aequalio
secundum l. a. b. sulstituatur jum in alia secantum b. c. seliminito
s ob habitum etu valorem per jam scribatur similis secundum n. b. c.
quae explicato c. Consperenda erit priori. Verum dubito re recte
itaque sic potius si relatio Relatio a. b. f.
expensa.
S.. Si relatio a bL. a. b. l. eadem relationi B. C. M.
An ergo relatio a. b. l. m. eadem relationi b. c. M. l. C.
nova
alia exprimens Relationem inter b. c. m. efficiamus aequationem B
hanc
relatione a. b. 1
similis
alic faciendo ut m ingrediatur aequationem factam ex dum
inton
loco b non quidem semper, tamen alicubi substituitur vator ex aequit.
relationem exprimens inter a. b. l. m.
laloo
aequalio.
similiter in  2. eodem loco ipsius C (quo aute b.) fiat explicatio
Eclatione
prine habebitur relatione
sed ita non habetur l. quia c non est in aequ. 1. itaque ita
non licet Eliam e quationem facere pro ab. b. c. m. I. qualis
Itaque hoc jam faciendum est; multplicetur
est ista per a. b. l. m.
explicetur aqu (1H, ipsa a per Ctb; necessario C minor est
esse debet quam b seu  si adhuc semel b subtohatur seu situisset a aequ c + lb + b
tunc fuisset C minor  seu radio vera mulata in falsam. Rarsus explicando
b per nc+ d. fieri debet etiam d minor c. seu si poneretur baeq  et C,)
geleret esse d minor uni nihilo hoc modo habebitur vator ipsorum l et in talis
et tum demum debebur conferri aequationes una secunda sed debent ad huc conferri
duae aequationes una ex a. b dallera ex b. c. n modo non oriatur impossibitilis
quid si sic procedamus: bb + sbc aequ
cexsed
audd
et faciendo cogo a - 1b et dag. b -me. inde fet aequatio secundum a. b.
Cc
sabtem per aequ. d ago b - me possum,s tollere vel peb vel d
An sic. sit aequatio: a bB-s ab aequ b. assumitur
alia: b-5bC aqu . et faciendo caequ a - lb fiei.
b asb a + slb3 aequ a3d ab + 3HI ab = (213 et ordinando;
11
a 8. 31 a b + 3ll a bb. aequ _y
s
+5...
respondendum
negando.
Hoc detigiuum, na
sic evitamus quotientes
m incognt aequatione
ab initiongreduetes
contra quam debedant

## Folio 11r — 00068236:0021
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000021.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 68 lines, status machine
ut supra diximus
sed hoc modo  non procedit, neque enim alis aequatio latim
Vad periodum redire potest. idenim est planarum
Nota res do revit, ut videamus generaliter in qua
equatione cubrea procedat periodus, sit:
sa, tab + vab + u aequ. 0. et faciendo:
a equ he +RY, et baqu le + mf substituendo
debet niri aeqo ex aequ. 1. oriri haec:
se + t cf + vet+ CW f aequ. 0
Euit enim.
Sa aego + ShC + skK C f + 35hk ef +sKf3
ab. +tl C2 + Ftim ef + Etitim ef LHKm  3
vab
Wa
aequ
t +hF 1. ... + tK I ...
vhlB+Vk et +evlmk es +M Kf
+vimh.. + vih..
W l’3 +3Wm et tolm ef L WM 5
Se+ t ef +v et +Wf.
uium vodeo hoc esse impossibile
nam si duae sint aequationes
una sa +tab erc aequ. o
altera (b + +b c erc aequ. 0.
fieri potest expriore.
et + t.
ex pasteriore
62 + t _ er aequ. 0.
Ergo iu priore est quantitas a in posterior
quantitas. sed hiria demonstratur
has duas quantitates esse easdem
ergo eadem est ratio a ad b.
quae b. ad C.  sed eo casu problema
planum est; taque frustia haec tentantur
in altioribus.
Egitur ut in dividendo finire possimus, sive progressionem
quotientium invenores videttur eousque continuandum bonec
aequatio oriatur similis priori, id est quolaeutem exhibens eodem
modo  formatos ex literis hujus quoq lateris priores
ex literis prioris. Imo videtur hoc abu sufficere, possunt enim
liberae plane diversa postea esse, et tandem diversos exhibere quotientes
sed sic potius, quando oritur aequatios in qua ex aliquo quoliente
suo eodem modo componuntur lterae novae, vel ebrum ratio
ut i un primaratio ex sur. ut si prius fuisset aliqua
(2)
ratio: sl +hb aego ka et postea haberetur ib aeqo m + acC ponendo hcce ebb
aa
tob
itique haberetur progressio quotientium, ut in hoc ipso exemplo
fit prior aequatio. 1 ab +hb aequ’a, et ponendo: Caequ a - 1b
fieret poserior aequatio: Xb aequm + haa - 2hl ab + h lbb
51
(+)
a - 1b
bx b6
Et fiet: +k b3 aquam mabb, + ha - 3 hlab + 3h I abb (h P3 b3
+th..
Sd nabb
C) +h(.. quae aequ. 5. Coincidere debet aequationi 3.
quod eu nlocet non fiat, tamen methodus patet forte
enim in tertra id fieri posset ut si fiat  vel etiam aliter
1+ formari poluisset l+ n ab - 9hb aqu a. et b lequ in +
f aa tebb
Nota h. et 9. posse certis casibus fieri etium quantitate, negativas
(quaeculica est
hbc - gCb
fbb + e cc
Cer hoi bb

## Folio 11v — 00068236:0022
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 10r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000022.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 87 lines, status machine
in suo gradu
possumus maxime Compositam facere
sic. 14 4 aa +5 ab + 6bb
7 aa + B ab + 9 bb
aequatin
et m+ 4bb 45bc + 6cc
3bb +8bC+9B
red numeri autem 4. 5. 6. 7. 8.9 significant literas. Reducen
fractionem et q divisionem in aequationem fiet:
et in 7bbC + m8 bcc + mu E qF aequ. y b3). l7 1ab + l8 abb. 4 lab aego
+ 4 +5.
+4... + 5.
(7 8.. -9.. +6..
explicando jam aequ. 4. et pro C substituendo faciendo c
 sit jam C aequa - 1b hanc se qual et hunc valorem
substituendo in aequ. 4. fiet aequ. 6. constans solis a. et b. quae
si coincidit aequationi 3. coincidere debet, atque ita explicandae sunt
literae t.  quantitates crbitrariae: l. m. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
hoc uno servato ut nominat quomodocunque explicentur 4. 3. 6.78. g
tamen fractioni nomi ratore numeralor fractionis in aequ. ivel
maneat minor nominatore. sec vero positio assumi
potest generalior, si volumus efficere, ut statim secundus quoerens
componatur ex formetur ex primo, ut tertius exsecundus ex primo
Nam etsi in aequ. 1. sumsissemus (+ C +) aequ faciendo
e esse fractionem similem ipsi Ovel etiam minoris gradus
vel etiam loco  sumendo tunc reducendo omnia assurrexissemus
ad aequationem altiorem cubo; nam quod forte in eventu
aliquid potuisset destiii d velubine gulare hic non considerand
puto. Quod si ambae fractiones  et B et  fuissent nf
duae fractiones D et e assum taefuissent umbae inferioris gradus
quam est C) ut + a + 3b, 8a + 9b ambae simul minores
6 a + 7b 10 a + 11 b
unitate, tamen reducendo has fractione, in unam prodiisset inde
fractio B. illud adhuc dubitari posset an in aequi
B licuisset supra vel infin ipsis aa. ab. bb. cidiicere simplice
a. d. etam quantitatibus arbitrariis affectos Verum cum a et
b. ponantur esse res. et caelera numeri, reliquae quantitates numen
res autem debeant esse homogeneae huc interim methodo insistent
dum puto.
pono modo comparatio aequationum 3. et 6. succedat
ufficit, necamplius ampli explicandae sunt t. et m. quaerendum est
efficiamus l. et m. esse quolientes (vel sallem l. non de m per
e sequeretur ob similem compositionem) sed hoc  jam sit ex
ipsus prima formatione aequationum I. vel E Modo litero
numeri c. 5. 6. 7. G. sumantur ut oportet; possunt autem sumi vel
sic ut nulla opus sit explicatione, vel sic, ut apparet difficilius
quidem agnoscatur an non O sit minor unitate Atan
discipossit, si pro a substituas l, b minorem justo, valorem vel
1b +b majorem justo  valorem, si enim utroque modo factio est
est minor unitate, haud dubie erit minor unitar
modo inveniri possit forma aequationis (ubicae ua suam
pergodum statim habet re ut statim secundus quollens formetur
 ut secundus exprimo. sed pro si jam pergendum formandaque
ex srmma
aequationes in quibus congius est intervallum, quod fieri potest satmendo in
aequ. 2. non b. c. sed cde vel alios resinos remotiores Unde ponendo
areto 1b +C et b aego  mC+ D. ec pro C. substituende et D. substitaedo valores inaequa
iatro coirciden ipsi _ qu. 3 tu pinso quaitum d inses
dex oria cegrs
Haec egr egio
vel quod eodem
redit (aequ
hoc rntporiuationedifficultas, non
quitum st C sit quantitas affirmativa
cam respondentem in aequ
sivant grec s d pa. enc
inter se, quam. Bc. m
b. l. eandem hadent relatio he
s pat unose
ad hoc obiter: Ratiocinalio prone
iem ex 1. ut B.  ex
Et Prria vel apb. quodsi erpo tant
el bpe. vel 47 m. (quae omnia exd
ficuros a sequaentur
Caiumergo cfiieu
H imo jam video si modo
succedat comparatio, jam
per se effectum haberi ut sint
1. 5. 8. . 8. 9. quales oportet. Nam quia
aequlltC.
let bhon inter bctc. 1a
t bpe. E quo  est fractio uns
sisuod inidqu
onius dita
Rubi ratio quorema
ingredientiam
sequitur si leca

## Folio 12r — 00068236:0023
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000023.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
em quod se
quae  ad  omnia eatem cum eobeil rademt, tautum efficieadum ut b sit p.. quod a possionum nondum sacis liquido efficitur
de Quotientibus replicatis scheda VI.
Sed prius undeamus an actu ipso efficere possimus effingere aequationem
cubinam, cuj pro ratione inter duas quantitates, explicemus
ergo aequ. 4. fiet
+m7 bba = m 7 1 bbb F m 8 baa - m Albab + m 8ab bb + m9 a omus 3la b = mus sllabt. nSt V  213
+ 4
- 8
-44
8
+ 5
=9
+ 9)
+ 6 -16
vel ordinando: quam ordinando, et conferendo cum aequ. 3.
+6
nempe fier ob a Eez  7 -7 aequ. m9 + 6. Et ob ab fiet + 1+4. dequ. m 8 +5-gC (.31 n16)
et ob a bb fier:  = + 18 +5 - 9 aequ. + m 7 +  4 - 8 = El m 8F 5- 9 + 3lI img to
et ob b fei: t F alg +6 aequ. - ,  ec 1 m9 +6
ubi praenotandum  nuspiam extare extra 7.   praeterquam
f +7
in aqu. 7. et 10. porro per aequ 8. habetur 9. sine ulla multiplicatione per
C. vel M. ideo fiet 9 aequ. Et quia noto nusgriam extare (im Nimpossibile
5 nisi in quantitate 5- 9. Itaque scribo compendii causa essent quantitate
5-9 aequ 11 similiter nuspiam extat, 4 nisi in
quantitate 4. - 8, itaque sirbo 4 - 8 aequ. 12
cequ. 1
ubi quotientes inve–
rentur in infinitum
decrescere
Ergo per aequ. 8. set: (et ) fiet 11 aequ + 17 + 1 12 = m8 + 3l7
(14)
et per aequ. 9. fit: 12 aequ = 18 +11 - m 7 + 2lm 8 F 2 lu 4 - 3117
vel quod idem est eu aequ. 8; et g
Ex quibus duabus aequationibus facile habetur 11. et 12.
uiti ex aequs. (7 et 8) facile habentur 7 et 6. Sed qua nam vel quod satius est 7. et
Sed quoniam his positis aequatio determinata est
qando l. et m. sunt determinatae, ideo videtur tabesse
9, ne vatorem 7 substimere
hic necesse sit in aequ. 13.
quem valorem substituendo
difficultas, nam hic licet l. et m. pro arbitiro sumerentur in aequ. 10. fer
Et determinarentur tamen at huc maneret aliquo
arbitrarium. Ideo jam video Ahuc novam
superesse aequationem, mimorum in aequ. 1. et G.2
ollatis debet esse O aequ.
ari
est enim C fractio
et a aqu 1+E. per 5
Hinc per aquada habetur aequatio inter a. et b. est autem
C aequ. al a- 1b. Ergo fit: ( aequ
tunc ex aequ. 13. f iet 11 12 aequ 4)7 - m 8 et ex aequ. 14 fier:
12 - 11 aequ. 8 - m 7 +28m + 2. 11 -β3. ) Ergo aequ (in 8) -(2)
20)
Ergo fiet H aequ. per 19 erit 11 aequ L, m7 = 8 - 8m Ergo per 20. 1t 171
erit 12 aequ (L, im7 - 8 dm  -(9. 7 + m8. aequ) - ( ) L8 +  8m
in aequ. autem 10 posito l aequ1. et + aequ + fit  +9+6 aequ.0
seu fit 6 Eequ - 9
et 7 q per aqu. 2. fit 7aequ -m9 + 9
et mp
velcalie nom 
+19 -7 4 - m9 aequally
ergo 9ugo. -2P +17
er
(16)
ponamus esse aqu. 1. et = aequ. e+
ergo debet esse  p9. et +7 vertu r 0 Ransus ob aequ. 20. fit. 211 + 8 aequ. m
agago. 12 4) n ego - 14) 1-8 
Fan. 168)
26. ) aequ. d
F si substiluatur
B ubique
et fiet 6 aequ. + -7- m9 4
Ergu brqu. f. 7l + +7m. 7147
seu rego. seu datur 6. datur
(18
et vatorem 12. substituendo
qu. 17. fit
11+ (4)7+8p 1174- me
Ergo p aequ. 1 aequ. 8- m8
ergo fieret 7. H0. quod
aleuadam esse non debet
inim in B, ita Z
 quo posnimus lr
ua procod

## Folio 12v — 00068236:0024
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 13r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000024.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
cnvenietur aequatio quando
optimum est sumere duas aequationes: unam: _ inter a. b. c.
alteram inter b. c. d., quod eodem redit, ac si sumsissemus duas ex a. b. l.
et b. c. m. utr ostenditur praecedentis shedae V. pl pagina ultima
2bi duo BB. sed omitti l. n magis determinatum. Nota tantum utsi
non videri necesse ut omnes aeque alte assurgane
invicer
o
Rae vare dimensione
duabus literis homogenis a. b. sqvia possunt duae in
rebet i teduae aguatione,
hunsmodi, alioqui enim substituendo alioqui substimendo allius assurgitur
quod cavendum, quia in quolibet gradu separatim tentare volumus.  sint
ne s
jam duae aequationes, inter a. b. c. et inter b. c. d.  con
est autem apb. et bp c. ex hypothesi substitationum. an ergo c p. d. id videtur
sic demonstrari. Ex aequ. a a. b. c tollatur C ope aequ. d aego lb+C
er las aequatimes
b. c. d tollatur d. ope aequ. b aeqo me + d. Ide erit relatio f
m. jam ex tribus his aequatium  ap b. et bpc seu
C. ut  a
simplices. Ergo l. est verus quotiens.
 ex m.
quoniamantem format quotienlis ex
ipsi
aequetur
primus quotiens ipsius
m. Habemus ergoduos quotientes is
ipsius
B. Inserenda hic novaque
conscribenda scheda.
pro explicatione
hic novissime scriptari
habetur quantelas eodem
Modo formata
duobus
ibus libe
dnibus
ex equ
vel trivu etc. q
inde enim additis aeque
res simplicibus residuorum per
quotientes habebitur modus
tumteat ad
l. ita
mu quotins
ape l. m.
ipsius 
nempe m. formatur ex l. ita et secum
inveniendi aequationem huigun
adeoque habebilum aequano us
a
F procedendum et ad aequationes.
pro quatuor primis residuis. Imo
auto si horfiat, non erit opus
teptare plriodos priori modo per
Saltus s
seu lerus ipsius a)formabitur ex
 seu ex m. Ergo ut snsmndus cit
ua ipsius a ex primo ipsius a ita lentius exsecundo, et
aundies
ta
rem
qua
Et
primus in cubo tentabitur cum in
a. b. c. et d. c. + vel etiam 20 latio erit inter b. c. d. quae inter d. ef
inter bc d.
done apparea.
vel alter. Unde periodus nonnihil dilata erit, quae percurrenda ut 
apla, po srme pesi tum altanits t isti ee dita quit aerpnie
generalem etium produdbus
vel tribus quibuslibet residuis
ea
des
primo ipsius Y
jum ut  secundus quotiens ipsius
quartus extertios Et sic in infinitum. Haec ergomethodus 
rim
iudem
tio inte
sta rel
d inter
abbit et gro prati
deinde relatio inter arb. c. eadem quae

## Folio 13r — 00068236:0025
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000025.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 87 lines, status machine
d aequ
4+ tic
2+ L
3+ 1
calculemus. fiet:
quia aaequ. 1
t aeque 1. 4+ = aequ (8 1. 2 + 1 aequ 2
1 aequ. 1.
1+ 1  a +. 1. 3
1. 3. +1
t  E + a  equ. Z
prioris
ago a. 2. 3 + a + P. 3
ex hoc habebitur sequens, si loco h. sumatur 2 (e 3t seu 2. 4 +1
faer enim: a. 2. 3. 4 + a.2. + a. I. + . 3. 4 +1. aequ 44
2. 3.4 +2 _+ 4
a = aequ.  1 1 +  aego 2+  aequ 2 3. 4,2
374
3.4+1 13 3+1
d + L, aequ a +
4
2+-
3+L
le progressio 1.
34. +1
3. 4+1  F 4F. HL
3 44C+3.4+1 aequ.
2
2.3.4+2+4
a. 2. 34 +a 2. + a. 9+4
2. 3, 4. +2 + 4
11 = seu 2)( 5. )24 3 seu 2)1
3+ q seu )2+ = seu 2+  aequ 90 14 L 1 1+ 4 4qv. 4
isa
3
2+
3+
4. 17. 30 431  Est serdes mimbilis in qua differentiae
a
non verminorum sed unius sequentis a reciproco praecedentis
decrescunt ordine: 4. 13
30
13
qu
30
Terminorum seriei ordo sit R. X. ipsi termini sint y
fiet. Et eC~ (3)- aequ. a - x +1  posito a esse minimum 4.
Hint jam (7) - = aequ a - X  Ergo fier: (y) - 1  (y)) + L aequ. 1 seu
Cyt
deoq adeoque datur quanlitas ex tribus quibus libet terminis
continurs y. (y). (7) eodem modo formabilis
sic
4-
30 aequ. . - 1 + 4 + 13 - 28 aequ. 1.
unde - = + 13 + 12 43 aequ. 2.
30
c
- 4 + 15+3D - 43 aequ. 1.
30 137 30
seu - 1 + (3) + = - YD aqu. 2 quae vecoremata satis
Notabile etum si quotiunque
seu
notabilia sunt
horum terminoram in se invicem ducantur, er ut 4. 13. 30. 43
13 30
fiet tantum idem est ac si numeratores extremorum in se
invicem ducerentur  adeoque facile haberetur simma
Habemus aequationem: (7) - L aequ a- x Est autem:
loganthmorum
 Est autem y aego , et () aequ  Z est  in ultimo termino
seu si (y) sit altumuomnium est. X est x Z- v aequ. s Ergo  apqu. L-
seu in penoltimro D n sed nihil hinc novi quia in ultiuo etram a - X aequ. 1
(3) et (V) y (y) y y(y). y X H  (3) - . 1 aequ. 1. in ullimo
13
3I seu y () - y aequ. 1. in ultimo
jam (7) = etiam aequ. 1. in altimo Ergo quae aequationes reapse coincidun
quod si ergo seriem 4. 13 30, 43 cognoscere difficile est
ita ut dato numero terminorum reperir possit terminus u
multo difficilius euit cognoscere seriem. 1. 3. 10. 43
quae ex altimis priorum sererum terminis componitur, quoniam
ergo ex datu gune quolaentum dticile est cliere sele resondud
10
143
n 1
29 qui
34
aequ. ait

## Folio 13v — 00068236:0026
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 12r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000026.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 106 lines, status machine
1L 2b
P+  aequ 1 -  + cx - C + C  sit caequ. 
sit    aequ  - C + CC
bc 1tc
_U _I
E er
sit jam C equ L fiet F( caequ. L- d 4 ddd 8.
m+d Itc
et cc aequ. B 
 b mmtrond+ dd
in nimi ns m+
laego
ME 3md +3mdd +d
Ergo CC aego 1 Emdrdd 2nd+ ds2 2md+dd eu
et C’ aego
mm ma
mum
m8
ind Bdddod Ergo cergo  2d -dd) dd d + d
Mc
nm m m2) m+ mS m
8d 12d = sit jam C rgo  aequ - - d + dd - d +
M.
mo
M+d
Ergo cc aequ L - 2d + 3dd - 4d +5 d’en.
um m3
ma ms me
et C aequ. 1 - 3d + 6d - 10d + 15d ex
Equi aego (
mt ms mo m
in um 3 m ms r
 + d - dd + d - d+ + d3 en
Um umm um unt un um
d’et
+ - - 4 - 2d +3 dd - +d3 5d - 6d en
Bum enum em Vns em Bm
+ 3d - 6dd - 1033 +1582 - 21 d3 et
(4m3 Jen + 1am 12m6 17) 1 mst
jam pro d similiter sulitatar atur  seu = - - + C - e er, et pro
bd ajo = - 2e 30 4 I.
13 at
n3 n4
et fier
Ic rgo  E) A = = + B. ex + 2 +3 -  + 2 - 6 e
13mm 12
+ Il    - 4 + 10 
Umn Onn lm B
(ume si
il e
Umin
( immune
umumpt
atmrnepu
ummanppo
d estca
unimn enim cnda Undam enima Paeaa
sit
Uiiaepsit
ummrnp qu  2 etc. H
nmpus  sumres veir
teC.
significat raliquum
valoris ipsu ipsius
scilicet per dvi instar
praecodentium
et c. D. eodem modo ded.
seu valore ipsius
ciibi
s
saquentia sub etc. comprehensa
Ai dividentur
etc. E. sius nisic at eodem modo
etc (2) E. reliquum valoris
quadrati ab E, seu ab 
(qui st totus st L -2  e ex
reliquam vero essubtatellectam
est 4C+ 5e et ita pono
quod omne quemadmodum
reliqua colmunque ivesam
tota columna
inellixitur habetur per
 ete(2G significat totum quadratum a
seu à
r idest ju 93  erc mult dnfifia narllatum per bbip per id quo to ta cotumuni, vare pe 1 nd . st
Vimma 
imma
2 ete
anse
lma
emminpq
(+3
ummr 
u E ep 516.
vinisa
138
ap
cinu
(3. L C H
2.
in
lit
vimaep
i
2e l. ()G
m n pirae

## Folio 14r — 00068236:0027
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000027.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 2 lines, status machine
nm
A23, (271 - 14

## Folio 14v — 00068236:0028
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 15r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000028.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 10 lines, status machine
5
i  . 
t.
5  2 si
2
e. ad
  a
s
F Esi A e
E

## Folio 15r — 00068236:0029
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000029.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
uta
.
e
d in
2 Ps S)
F
   s
 s Su L sa X
d
q
u
  
e
s
d
F.  X i
=5)
 B d E t p st A  L B 5E p 
+ A q 
+
11. 1) 1
1+. 6
a  3t R. 
11 1
11 +
dan
e 
5
 f
i
i
15+
t
a X1F
l 
5I
n
P 
si 
d
1
e
t
Li
e

## Folio 15v — 00068236:0030
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 14r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068236/jpgs/default/00000030.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 6 lines, status machine
eeeeeeeeeeeeeeee
eeea
ea
eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
FRIED WILHELM LEIBNIZ
NIEBEKSRCHBCHIELAIVOEobIB