# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/19853/text
# Catalogue record: 19853 — Leibniz für Johann Bernoulli: Marginalien von Leibniz und Joh. Bernoulli zu den Lösungen des Brachistochronenproblems. Beilage zu N. 101 sowie N. 106
# Date: 1697-06-01
# Akademie-Ausgabe: AA III,7 N. 102
# Other printings: -Acta Erud. 1697 Mai, p.211-217 Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 3 S.407-413
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=19853&katnr=30297
# AA III,7: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-7
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,7, p. 503 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/III7A.pdf#page=503
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958803
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 187–189 (from the shelfmark LBr 57, 1 Bl. 187-189 LH 35, 6, 21 Bl. 2 LBr 57, 1 Bl. 190-192): 6 pages, canvases 375–380, page ids DE-611-HS-958803:0375 to DE-611-HS-958803:0380
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=375
# Lines: 256 recognised on 6 of 6 pages, mean confidence 0.86
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 187r — DE-611-HS-958803:0375
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000375.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
are
MKNSIS MAMI A. MDC. XCNI
profecto resmagna molis Fuisset Geometris; ex altera autem tacie,
qua descensum grarium respicit consideratum, ita Facillime construo:
Sit C geloidis ABK circulus genitor OI. K, ejusque diameter GKE: ab-
Scindatur arcus CL aequalis mediae proportionali inter decerminatam
allumcam AP, ec diametrum GKE, dico ductam L B, parallelam horizon-
cali AC, Secare C reloidem ABK in puncto B. Si quis methodum suam
in aliis exercere velit, quaerat lincam, qua ordinatim politione datas
curras (non quidem Algebraicas, quod haud arduum Foret, (cd) trans-
Ecendentes, ex. er. Logarichmicas supercommuni e axc, e peridem
punctum ductas, ad angulosrectoslecat.
7
TAC. B. SOTUTIO PROBLENATUM ERATERNORUM, PE
culiari Programmate C al. Tan. 1697 Groningae, nec non Actorum Lips.
mense Fun. (5 Dec. 1696, 65 Febr. 1697 propositorum:
una cum Propositione reciproca
aliorum.
Fometrae mechodum de Maximis ec Minimis ad illa duntaxaLPFO-
blemata hucusque adhibuerune, in quibus ex infinitis parcibus seu
Functionibus unius dacae Curra aliqua maxima minimare requiritur
neque cositarunt de ejus applicatione ad talia, ubi ex ipsis infinitis
Curris non datisuna desideratur, cui maximum aliquod minimumre
competat, licet hac e subcilitate inventionis de utilitatis praeltantia
eaceris minime sinc interiora. Inhorum numero eA, quod Fraterm.
Junio primum propotuit, cujusque solutioni terminum elaxhannifi
nem Aatuis Problema de invenienda Curra Oligochrona, per quam de
Scendendo grare a dato puncto, brevissimorempare perrenint ad ali-
ud dacum punctum. Duanquam autem hrac Fratris prorocationeme
non teneri existimabam, nihilominus cum superaccossisset humanis-
sima Cel. D. Leibnitii inritario, laborem Colutionis amplius subtertu
sere non potui. Postquam enim hic Virlitoris d. B Septembr. ad mo
dacissigniticaslet, se Polvisse Problema, juxtaque desiderare, ut d a il
centarent: ad ejus lollicicationem agorellus sum, quod alias intactum
reliquislem, idque optato protinus succeltu; Colutionem enim sexto
Octobris jam habui, ec ab illo tempore amicis octondi. Cux autem
non citius ad acta communicarim, causa est, quod cum terminum
+
sc

## Folio 187v — DE-611-HS-958803:0376
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000376.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
ACTA FRI
F
12
Tolutionis in exeerorum graciam ad Paschâ ulque praelentis anni pro-
eogacum intelligerem; cgo interea Execulationem ad alia quoque diffi-
ciliora Problemata nunc una proponenda promorere Ratuislem. Pxi-
usquam rero ad solutionem pralontis Problematis accedam. seguens
praemitto Lemma:
St Curra AC EDB calis sic; qu’a requiritur, h. c. per quam de
Scendendo graro brerissimo tempore ex A ad B perreniac, acquein
illa allumantur duo puncta quantumlibet propinqua C ec D: Dico,
porcionem Currae CFD omnium aliarum punctis C dD torminata
rum Currarum illam esse, quam grare post laplum ex A brevistimo
quoque tempore emeciatur. Si dicasenim, brerioritempore emetiri
aliaim CFD, breriOTI EFGO CMCTIOIMEACFDB, quam AC FDB, contra
trpoch:
Esto igierir in plano necunque ad horizontem incliato (néc
enim verticale su, necesse est) Curra delideraca ACB, per quam de
Scendens grare ex Abreriori cempore perreniae ad B, quam per aliam
quamcunquo in eodem plano politam; et sint in illa sumta ubivis duo
puncta C e D intinice propinqua, ductaeque incelligantur recta hori-
Zonealis AFF, ejusque perpendicularis CFT; de huienorinatis DF, bise-
etaque CF in E; compleatur parallelogrammum DE ducta recta FI
giaeritur in hac princtum G, i. C. inclinatio partieutarum Curvae CO, GD
ad seinricerii, quae Faciae, ie tempus descentus per CO F cemp. deles
per CD (quod sicdenoio +CO + FOD, intellige semper post lapluin
Ex A) heminimum Adhocindisanidum, incelligatur in recta L. L aliud
punctum L, sic nc OI. sit incomparabiliter minor ip(a FC; ductisque
CL, DE; Super C d D de Scripta, concipiantur arcuum clEMENEA L M,
CN, eric ex natura minimi +CL F+LD = +CG L 1GD, adeoquo
FC6. tCL = +LD +OD, quo posico siC argUO:
CF. CC :: tCF, +CG.
CF. CL
FF. OD :: TFF. 1GD, ExnaL.
:: TCFsFCF. nec nonjp
CF. L. D
E: TEF. IL D, delC. GraV
ExgOCB. CO CL (NO):: FCB. +CO = TCL.. EF LD-OD(LW):: IHF.
+LD - 1GD
(ObSM. ANGL, CPG) MO. GL :: FG. CG, . -. (Sim. A LNO,
CVI. L.G:: GI. GD.
arOCB. OL:: EO I FC P. CO INFCO ICL.. FF (CF) OFr: OTin
sFF. GD in sL. D 161
e
R
L
L16. IV
eis. IV.
dig. 
1d60

## Folio 188r — DE-611-HS-958803:0377
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000377.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 39 lines, status machine
MENSIS MASI A. MDCZCVII.
idcoque EG InFCF. CGINFCC +CL::OTIRFEF. OD in +VD-1C
et permutando, E Gin +CF. GT in sE F:: CG in +CO =FC L. CD in
ALD- +GD:: CexnaL. minimi, nC dictum) CC. GD.
ScdEOincCE, SLINEEF:: FO: VHO. OI: VHIE, exnat. delc. praY
quarCEO: VHIC. OL: VHIE, :: C6. GD.
Ubi intransitu considerandum proponimus Clmo D. Nieuiventiit
ulum differentio. differencialium (quae ip se immerito explodic) in co,
quod alsumere coactifuimus parriculam CL. ipsIS F.C, Cl infinite par -
vis infinities adhuc minorem, absque quo non rideo, quomodo ad nos absqe
Tolutionem Problematis via patuisler. Sunt enim FC, OI elementa hoc solv
abscissarum AFI; quemadmodum CG, CD elementa ipsius Cuera, de nu
FIC, HIE ipCae ejus applicata, carumque elementa CB, FF; adeo utPro-
blema ad puram Geometriam redactum huc redeat, ut inveniatue
Curra, quae elementa lua habeat compolita ex elementis abscistarum
directo, ee radicibus applicatarum inverse: qua quidem proptictate
Isocbronam illam Fugenianam, nunc e olgocbronam Futuram, eritam
nempenotamque Geometris Crcloidem saudere deprehendo; quod
inAg. VI, ubi ACP semiC reloidem; CM, CN duas ejus tangentes;
R AP semi circulum genitorem retert, ita porro demonstro:
OD. OI:: ONT. CX:: (Cx NaL. C yCl.)VP. VL:: VR. RX:: VRP. VeZ(VI
CI. FC
CI. FO.
EG. CG:: CS. CML: s (Ox nat. Cy cl.) OS. DP:: RS. RO:: VRS
(VEIC) vee.
ErgOOD. CC i:C LinVRP in VHIC. BOin VHIEinYRP:: OIin VIIC.
EO in VHIB:: OI: VHEs FO. VIIC. O. B. D.
Ouod sinenc decerminanda sic Cyclois; qua eranteae per data
puncta Ae B, describendta est super bale horizontali AFI quoris cix-
culo genitore Crelois AT; quae ductam rectam AB; de productam, 
scopuS; Secet in I; quomadmodum enim recta AP est ad rectam AB,
sic diamerer circuli genitoris C vel. AT est ad diometrum genitoris
quaelica AB. Alcorius generis nec minus elegans Problema Foret, (i
Jam porro quaereretur, quaenam ex infinitis Creloidibus (aut Caltem
Circulis, Parabolis aliisre Curris) per Acranseuntibus, ac supce cadent
bah AHIconstituris, illa sc, per quam descendens grareminimotem
Pore ox Aad dacum perpendiculum ZB appellat. Qui speculationem
TAB. IV.
Fis, V2

## Folio 188v — DE-611-HS-958803:0378
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000378.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 44 lines, status machine
r
1
de Maximis de Minimis promorere rolet, cencabit. Nlobis sufticiat
propoluisse. ergo non
Atque ita Curra haec, quae tot Mathematicorum ingeniis exer-
cita Fuie, ut nihil in illa cruendum restare rideretur, nora proprietate
conspicuam se se nobis lictie, quam velut pertectionum suarum colo-
phonem, quahi nihil Fucuris seculis debitura, sub finem acthuc prae-
seneis adipilci roluit, poltquam initio ejusdem natales, ac medio di-
mensiones omnes cum aliis praeclaris affectionibus accepisset.
Caeterum monendum eAt, quod iisdem insistendo restigiis, pari
Facilitate reperiri possic Curra, quam mobile per medium inaequalis
densitatis rel raritatis latum minimo tempore percurrat, quae quidem
conrenienter principio Leibniciano m. Jun. 1682 demonstrato, eadem
reperiatur necesse est cum Curva Refractionis, quam Fugenius in Tra-
ctatu de Lumine p. 44 contemplatur, e cujus identitatem cum illa,
quam primo considerarit Celeb. D. Feibnitius m. Sepremb. 1692 p28.
446, nOSque m. Jun. 1693, P, 254. conttruximus, conseio Fratre jam
olim deprehendi.
Sed perhas speculationes ad alia quoque difficiliora Problema-
ta patet accessus, qualia Cunt, qua de Figuris Hoperimetris Formari
PollunE. Ouaeritur ex. or. quaenam exiis omnium sit capacissima (vul-
30 creditur esse Circulus, ex recte, sed sine demonstratione.) Oux
nam centrum graricatis area ee peripheria sux habeat a bale FCIMOTIS-
aldimum, quam Fracer obserrarie esle Funiculariam, le d ex diverlo
TAB. IV.
L13. V2
Fundamento _c. Hlaec itaque ex talia per methodum maximorum ei
elolrenda proponimus. Pralertim vero, Pricem reddereroletus se
quons generale centabit: Duaeritur ex omnibus Iloperimerris super
communibase BP consticuris illa BFN, (Fig. VII) qua non ipla qui-
dem maximum comprehendat spatium, led Faciat, ut aliud curra
BTN comprehensum sucmaximum, cujus applicata PZ ponitur esse in
ratione quaris mulciplicata vel submulciplicata rectae PF vel arcus BF,
hoc est, quae sic quotacunque proportionalis ad datam A ec rectam PF,
curramre BF. Fluic, ne detrectare possit, adjunsimus alcerum, quod
de infinitis Creloidibus supramotum Fuit, majoremque cum suo af-
finicarem habet. Fe cum iniguum sic, ut quis ex labore in alterius pra-
tiam ex cum proprii temporis dispendio rerumque luarum damno
suscepto nihil emolumentipercipiat, proditnOnREmO, PrO quo Ca
veor
enditat
curoeere
bract

## Folio 189r — DE-611-HS-958803:0379
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000379.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 47 lines, status machine
MENSIS MASI A. M DCZC
l.
reo, qui solucuro Frarri ultra laudes promeritas honorarium soim-
perialium decrerit, hac tamen lege, ut inera tertium ab hujus publi-intrax
catione mensem se luscexturum promittat, iplasque solutiones fini-tum
to anno, utcunque licet per quadraturas exhibeat. Hloc enim elaplo
s nemo dederit, measextribebo. solur, ut pa
sunt 50.
Hac icaque occasione Problematis Phrlico. Machematici a
Fratre ms furio primum propositihac vice dicta sufticiant. Ouae ibi-
dem de Complanarione superficiorum conoidicarum actisie, cum me
propius spectarent, jam m. Octobri pertractari. NVob. Tschirnhausium
aterque eodem mense junio nocarimus. Unicum ipitur in Schedia-
Emate Fraterno Fuperest, quiod, ne quid IntaCtUI PEXFEFCAMUS, CnU
eleandum reltat, methodus rid. quam celarit, inreniendi Curram
ex Tola data relatione iplorummet Curra punctorum ad se invicem.
Duaerenda sIE CX. GF. CUEVA AFC (Ag. VHII) calis, et projecta uccunque
ex dato puncto D recta DC, Secante curram in C _ P, rectangulum
CDE aequetur constanti spatio, puca unitati, quod primum cst exem-
plum Frarris. Ad datam positione rectam DC ordinatim applicentur
Fe, COin aneulo arbitrario, _ sicDE = X, LF = V, DC = Z_ CC =1
erit perhrp. CDE (euX 2 = 1, dC x - Z; dCin pFOPECE (I. ADEF Sc D
CO, FF Seu y = +X: Z =+Z. Fundamentum solutionis: Palissup- si
bonatur requatio seu relatio inter x dcy, ut substitutis iptarum valori-
bus modoinrentis, Cimilis vel eadem inter 2 de srelatio resultet, quae in-
cer x dcy; quodhicita Fc: POnOy = ax M. L. b erie Facta substicutio-
= M
AC+Z = aZ
e
_b2, AVC + = a2 n + 2 4 bZ n +
letuF Priori a XLBX, COMPATOAZ
quae ut astimi-
im +3
Cum B4, _bZ n F Z CUM
axm ac reperio utrobiqueb== a, nec non poteA. n= 2 m; ende con-
eludo, natutam currae quaelitae ecy = a +M L a x 2- m
vel, quodeo-
FTaud ab
similicer Tolruntur duo sequentia, quae habet, Problemata p25. 266,
quorum polterius in Programmate Tuo generaliter ita proponit, uE
loco utriusque seomenci lumatur quaecunque iplorum porestas, qua
M- 2 2MH
Sic m. Iluic Curra Patisfacie, quae exprimitur per V = X. d
Duae reroultimo subjunsic pa8. 267, Sed absque solutione; his cur-
VX
TAB. IV.
Fig. VIII.

## Folio 189v — DE-611-HS-958803:0380
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000380.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 37 lines, status machine
a
rae lacistaciunt mechanicae, quarum natura esty = X a X (A X: X lx peO
A9. 2; ec by cyy f 0y3. C.=asA x:x lx pro Ag. 3 (incellise
per lxlosarichmum ipsius x.) Ouanquam tacere nonpossum, altu
mi hic aliquid dubia ec suspecta reritatis, videl. portiones semper esse
unius ejusdemque numero Currae, qua eadem aequatione denotan-
cur. Dari enim pollunc exempla in contrarium, Calcem in C urrisme-
chanicis, ubihoc non continsit, eademque aequatio divertas numero
Curras delionat, quod vel ex his iplis exemplis liquet; quandoqui-
demlxe aequationes Y = x. 2 d x: x lx _c. non magis quadrane
prohypochesi xZZ =1, quam pro quaris alia x Z5, AUF X Z Y, auF
XZP = 1; quibus tamen hypochesibus omnibus unam candemque
Curram Catistacere implicac. Hoc itaque ulteriori Lectorum Ecrucinio
perpendendum relinquimus.
Pene haec absolveram, cum perferrentur ad nos Acta m. NoV.
in quibus Nobil. Auctor Nediracorum ceomerricorum, eodem mense
anni 1695 publicatorum, moris sibi scrupulis nonnullis latistacere dc
sua rindicare Patasit, eoque ardentius in nobis deliderium accendit,
videndi penitiusque incrospiciendi tam praeclara inventa. Dixi enim,
menullatenus dubitare, guin pro excellenti quo pollet acumine, quie.
quid pollicicus est, praestare poslic; atque optaretancum, uespecini-
numlocotalia promat, quae etiam us, quibus de ractissimo Viriinge-
nio aliunde non constat; perluadere queant, quo nomine ipsumile-
rata rice ec perhumanicer pullandum centemus. Nam quod proprie-
eatem spectat, quam focis currarum atcribuit, cum ea quibusris pun-
ctis, adcoque non focis qua focis competar, difficulter quis capiai,
quid haec adnacuram Focorum, auc currarum per focos coonolcen-
dam conducat. Ouemadmodum etiam intellectu haud facile existi
mo, quomocto quae fig. 1ec 3 de Ellip d Parabola oltendic, 2d 0-
mnes alias etiam dissimiles ex diversorum generum curvas applicari
Possinc, cum illa duncaxac ejusdem generis ex speciei curris quadrent,
ac pexesertim posterius illius cantum generalioris consectarium sit,
quodjam A. 1692 exlribui. Ec quod ulcimo docet de abscindendis ex
quaris curra portionibus in data ratione, hoc plane Fallere dixt in Pa-
fabola, quodeciam aenossere ridotur acutissimus ductor, auchi dubi
10
ACFA L