# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/21098/text
# Catalogue record: 21098 — Joh. Bernoulli für L und die Acta eruditorum: Modus genuinus Arcus Parabilicos inter se comparandi. Demonstratio Isochronismi descensuum in Cycloide etc. Beil. zu N.164
# Incipit: Cum ante aliquot dies ad me pervenirent ea, quae Nob. D. T. proximo Se
# Date: 1698
# Sender: Bernoulli, Joh. — Addressee: Leibniz; Acta Eruditorum
# Akademie-Ausgabe: AA III,7 N. 165
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=21098&katnr=45298
# AA III,7: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-7
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,7, p. 140 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/III7B.pdf#page=140
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958803
# Title: LBr. 57, 1 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 315–317 (from the shelfmark LBr 57, 1 Bl. 315-317): 6 pages, canvases 631–636, page ids DE-611-HS-958803:0631 to DE-611-HS-958803:0636
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958803&page=631
# Lines: 218 recognised on 6 of 6 pages, mean confidence 0.93
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 315r — DE-611-HS-958803:0631
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 316v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000631.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 40 lines, status machine
ann: Dernoullii Modus venminus
Soreus Parabolicos inter se comparandi.
Ddemonstratio Psochronismi descensuum
in Cycloide etc:
jum ante aliquol dies ad me pervenirent ea, quae Nob: DC.
erorimo Septem: edidit; lecta miti ansam dedere rumi,
Onancli, quodt dudum de praesenti materia exeooitaveram.
Nunguam equidem, satis lauclanous erit vir iste incomparabi
lis, qui cum judlicii acumine conjunctam possidet raramalio,
quin invenuitatem, quâ suam in Atet: 1695 M. SPor: portiones
curra parabolicae inter se conferendi rationem, festinantem
forsan expositam revocare, eamque difficaltatibus hauct exionis
laborantem fateri non haesitet meritissime aonoscens tantum
in cento parliculari casu sucoecere, in eo nimirum solo, quan–
do portio currae abscindenda ad eam quae exponitur rationem
habere jubetur aequalitatis. Vbi notandum nec tunc aliquid
novi praestari, coincidit enim assionancta cum assionata. Unde
non diversa sed eadem cum eactem comparatur.
Interim cum inveniosissimus Atuthor reprobata a se
ipso hac sua ohethoclo ierata nobis spem faciat centionis
et universalis adt partes omnes non ejusdem currae duntarat.
sed quarumvis diretsarum inter se currarum inter se comparan,
das rovandus est impensé haec suo tempore in memoriam revo,
caresuius promissi recordari dionetur. Qrod Num fiet, con-
sultum duri, meam publico communicare, qua universalissime
quemris arcum parabolicum in data quaris ratione vel dividere
vel multipticare licet, monere lamen convenit, eam parabola
sinoutarem esse atque ad ipsam eruendam muttum laboris et
calculi ut et nonnihil artis requiri; id quod ipsum me per,
suasum reddit, oeneralem pro omnibus curris vix repertum iri,
imo non mavis quam ipsam rectificationem. En autem Metho,
dum. C
Fio: a. Esto parabola BANV cujus Atris AG, et in
qua sercus expositus BC oporteat autem alium assionare
OnNV, qui sit ad BC in ratione u act 2 ductis applicatis
BD, CE, iisque parallela AQ, ut et parabolae normalibus BF,
CG, sit subnormalis DF vel C9 seu femiparameter x a
BD+ BF∞ b C∞ + C9∞ c, haec enim omnia dantur.
Droclucto, jam axe sumatur AL xlis ipsi x seu Ractici hujus
Sequationis (quam cum guacrata tantum sit, quivis facile

## Folio 315v — DE-611-HS-958803:0632
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 316r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000632.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
resolvere et ductu Circini et reoula construere poterit)
2n q
cc -bb.
nCLM
+ na Z 2n - 2 b2n - 2
c
- b2n
a +V2n
cc- bb. Deinde
sumatur etiam AR aegralis cidem Radici sect aucta semi,
paramctro id est ut AR sit ∞ LA + D Z, junvatur LR
ejus (Facta LSx semiparametro, avatur parallela S R. Q0o
M
facto, fiat ut B ad c ita x seu Lead As x AD, cui inclirectum
adjiciatur PQ x semiparametro; ducta Je fiat parallela Vo
Ex puncto V grod distat a F semiparametro. Brisceanda jam
sunt Ak A A0 in punctis St et 1 ex quibus denique ductae
ari parallela s2, JN resecabunt arcum parabolicum opta,
tum MN, quem dieo habere ad arcum propositum BCrati,
onem datam u act A. Q. C. EF.
Hinc paret quomodo (ut fieri interdum posse comperi) da
dix est omavinaria; problema tunc fore impossibile: et re
vera demonstrari potest. quod si eo casu ulla alia Mlothodo
ad arcum BC posset assionari alius MN in ratione i ad
et ipsa rectificatio Arcus parabolica sequeretur, quae cum
pro desperata passim a Geometris haberetur, ejusqu’impossin
bilitas tantum non apodictice ostensa jam sit, aquam pro
fecto epumice postutabit qui tunc quoque problemati satissar
cere conaretur. Vnde collivendum est. hanc nostram para,
bolicas comparandi rationem et perfectissimani esse et oc,
neralissimam; perfectam nimirum, quia possibile solvat, im
possibile rero deteoit: generalem autem quonium sue cedit sive
ratio data nad  sit numeri ad numerum, sive non; sive usit
numerus inteoen sive fractus. Ostendlit et iam Arcui BCalium
agralem sect dissimilem sumi non posse, in casu enim rationis
agralitatis id est quando nx Streus quidem MN aequalis
eracit arcui BC sed cidem Aiam conoruit seu similis est,
unde nihil obtines. ast hoc ne mirere, quod ex dura quadam
necessitate ita fieri debuit et aliter non poruit; dares utinam
duos arcus parabolicos dissimiles et aequales, remunerarem eones
oium inventum rectificatione parabola vel si mavis quadratura
Olyperbola.
Caeferum isdem principus usus etiam hoc inveni Datis
duobus, tribus, pluribusre arcubus parabolicis disoreoatim,
assionare alium arcum continuum omnibus Mlis simul aqua
Tem, Quod heic latius explicarem, nisi et aliis quaerendi eam,
pum relinguendum censerem, qui funclamentum prioris probe
intellexerit, etiam in hoc haud difirulter penetrabit, licet
multo proliriori calculo sit opus.

## Folio 316r — DE-611-HS-958803:0633
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 315v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000633.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 43 lines, status machine
Sandem nec hoc (nemini observatum) praetereundum puto
quot utul omnis arous paraboliens rectificationem respuit,
possunt tamen exhiberi duo, quorum diferentia rectificabilis
erit; id est dato uno areu dari potest et Alter qui datum exce
det vel ab eodem deficiet data quantitate linea recta: hujus
praxim et demonstrationem cum ex fundamentis praecedenti
um facillime fluant huc omitto.
Quod attinet ea, quae acutissimus D. S. habet de divisione
spatii (licet quadraturam non admithentis) in quotris partes
datam habentes rationem, cujus specimen in quadrante (it.
culi exhibet, sinoulare aliquid in recenn continere videntur, quo
forsan (eleb: Seuthor subtilitatem potius MetEodi sua.
quam rei ipsius momentum commendare voluit: alias non vi
deo quid perspicacissimum verum permoverit ad inclavan,
dum pet aliena et remota, in interioribus latebris, quod in ipso
statim restibulo nulli non obrium est. Non enim ad eundem
difioultatis oractum referimus secare curvam rectificationis iono-
tae, et secare spatium Currilineum quactrahurae ionota in ratio
ne data; Mud difficillimum et abstrusissimum serutinii
ac forsan praeterquam in Parabola in paucissimis aliis possi,
Eife hoc facillimum et nullius indavinis atque in omnibus
promiscue aq et sempet possibile reputamus. Evis obsectonon
videt, ac diridendum spatium qualecunque in quacunque ratione
nihilo alio opus esse quam dividere omnes applicatas in Ma.
data ratione, quo ipso consequemut novam cuoram (aloebrai,
eam si proposita est Aloebraica, transcendentem si et illa
transcendens) qua optatum praestat. Ita Circulum et Mlipsim.
pet alias Mllipses, hyperbolas per alias hyperbolas sive
ullo alio adminiculo commodissime secabimus in partes pro
ratione imperata. Qrin et mille alii modi suppetunt,
quos intet adeo faciles sunt, ut rix tam Erucliti orbis con,
spectum mereantur. Si ex: gr: omnes rectae ex puncto quon
vis intra spatium dividendum ad (utram ductae secentut
in subcluplicata ratione ejus quae datut, factum Aterum
est quod quaritur, ubi simul paret curram hoc modo proi
venitam ipsi illi quae fiouram claudit, fore similem simili
Oeru positam.
E
Verum quanto facilius est spatium Currissimum satu
tiri pro lubitu ope Curvarum, tanto contra majoris est neootii
id exequi velle per lineas rectas et rem plerumque impossibilem
esse comperiet, qui ex: gr: seomentum Circuli per rectam non
per centrum transeuntem bisecare tentabit; desinet non

## Folio 316v — DE-611-HS-958803:0634
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 315r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000634.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 41 lines, status machine
dubito, ab inan conatu, quando perspexerit id sc nungram fa
Aurum nisi simul circulum quacravenit.
Hhaec jam jam cimissurus accipio D L. HI. Tractatum otte
chanicum An: 1695 Parisiis impressum, quem aperiens
fontuito incidi in propositionem 120, ubi demonstrare
nititur Author Bochnonismum in (yeloide ab Huvenio
primo inventum: posteriora tantum hujus demonstrationis
verba levens vici eum concludere tempus descendrus.
per (yeloidem esse duplum temporis descensus per dia,
metrum venticalem Circuli venerationis; hoc autem cum abso,
lute falsum scirem (ipso quippe Huvenio jam demonstran
le tempus per Cycloicem sese habere ad tempus per Dia
metrum, in ratione semicircum ferentiae (irculi ad diame
trum) animum incessit explorare, un de oraris iste ennon ori,
oinem traxerit, quem quia publice extat, etiam publice indis
Ocanclum censur, ut sibi caveant ne apparenti specie dlevipian,
Tur iMli praesentim, quorum multi sunt, qui Atuthorem tat
hactenus seriptis clarum in concinnancis demonstrationi
bus veometricis, inqAliorum inventis ac solutionibus Atnaly,
tiois in syntheticas conventendis infallibilem fonté deprae
dieant et felicem nimium, quam ut in prima Elementa im
pinvere posset. Interim quam misere interdum caecutiant
etiam oculatissimi alias quando suscipiunt, quae sibi non
conveniunt, aut in gribus parum sunt versati, exemplum
Tuculentum habemus in Authore nostro, qui utut in
Veterum demonstrancti more per lonvos annos exercitatis,
simus, heic tamen manifestum acteo et tanto Viro inctionum
commisit paratorismum, ut vel à Tyrone paepari possit.
Quam itaque ut deteoerem demonstrationem memoratam (quam
alias quod de propositionis veritate persrasus essem, nec eam hoc
modo ediscere opus haberem, forsan nunquam leoissem) levere
coepi, sed ulterius prooredi non erat necesce in ipso statim
dimite deprehendi anovem in herba non labentem sect pa,
tentem. Concludit enim positis quatcunque et quibuscunque analo,
viis a .b: c. c mn. pqsr: tu) fore avoreoarum omnium plimarum
Dat m + act avoreoatum omnium secunctarum b+ n +5 ut avoreda.
tum omnium Tentiarum c+ p + 2 act avoreoatum omnium quadtatum
A +Y +u quod num verum sit, judicet qui in stum usque Enclicis
elementum penetrarunt, id captum nostrum excedit. Hoc saltem
divo, quod si id verum esset Circulus, hyperbola et nulla non
fionra quadrabilis, et nuta non curra rectificabilis; mirabile

## Folio 317r — DE-611-HS-958803:0635
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000635.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 9 lines, status machine
et
e T
n
s sei
Fav: i.
20 3
Pio: N. 1.
e
31

## Folio 317v — DE-611-HS-958803:0636
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958803/jpgs/default/00000636.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 36 lines, status machine
quoque compenclium nobis subministraret investivancti dicto
citius tempus descensus per quamcunq. curvam ad tempus
per altituclinem ejus venticalem ut ipsa curva ac ipsam
altitudinem.
Ex dictis liquet quanto consultius fecisset nndam ane,
vasse propositionem nobilissimi hujus inventi, et Lectorem
Temisisse ad demonstrationem Htuvenianam, quam suam nobis
obtrusisse sophistieam. Quod si vero Htuoeniana licet levitima
sect ob multarum propositionum farravinem et perplexitatem
non arrisit, rauclo propositum succinetiorem tractendi, modo
dradidios et oenuinam. Qua in re cum in scopo multum aberra
rerit; hic edo vices ejus supplebo demonstraturus brevissime
simul ac petspicue quod dn deloide cujus axis ad perpen.
diculum ereetus est, vertice deorsum spectante tempora.
descensus quibus mobile a quocunque in ea puncto dimissum
ad punctum imum vertiois perrenit, sunt inter: se aqualia
Oit scio: A. Cyclois FDC, enjus axis Atdd, Circulus
Generator ABD divo tempus per quamvis portionem GMD fore
aequale tempori per inteoram Semicycloidem SeD, Concipia
tur DG dirisa in partes indefinite parvas Mm ut et Dsi in
alias numero aequales Ee; unde erit partium curra in Dsi act
partium curram in DG, ut ipsa Dsi adt DG. Assumantur jam
ex illis partibus homolova Mm, Ce id est tales quae secant Ds;
D9 proportionaliter in E, M, ducanturque applicata es, M
item DB, DO. DL. Eroniam iortur per hypoth. Ds DC, et BG, D.M
sunt proportionales, Crodeiam eorum semisses qua por natu,
ram Cycloidis sunt A, DB et DL, DO, harumqu quadlvata sunt
proportionalia, id est DAg. DBg.  A, Ds):: D L9 ∞Oq. CDH
DN) dividendo Add, DG:: G1NDNV. ideoque ADq ANq (oeuper
naturam orarium descendentium velocitas in E ad velocitatem in MM)
: Sd Sq: D N:q. DB, BO: DC; OM: (per hyp.) Ec. Mm, quoniam
itaque relocitas in C est ad relocitatem in M, ut Cc act Mm, paret
quod tempus per ce sit aequale tempori per Mm ic quod de omni,
bus aliis portionibus homoloois demonstrabur, un de tempus per
Omnes Cc id est per D erit aequale tempori pet omnes Mm
id est pet DG; eroo descensus per Bs et D8 sunt Jsochroni. 2. 6. B.