# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/23335/text
# Catalogue record: 23335 — Methodus pro differentialibus 10. Septemb.1690
# Incipit: Methodus pro differentialibus, ponendo z= dy[Bruchstrich]dx et
# Date: 1690-09-20 (90-09-10)
# Other printings: Grosholz, Zwei L.Manuskripte, S. 5-9 (+ engl. Übers.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=23335&katnr=57045
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 302 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 302): 2 pages, canvases 599–600, page ids 00068196:0599 to 00068196:0600
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=599
# Lines: 219 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 302r — 00068196:0599
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000599.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 131 lines, status machine
pembr. 1690
bora quad
Eo tifes talita
 pro tm differentialibus, ponento Z= dy: ax. et quaerendo dE.
d
melius s Z2 = XX + 9y 1Z dZ = X dx + y dy. rursus  Eryb aq- Xdxaydys,
posit
13. Saed2 ) ex + vys. Z. Ergo dq =  EXEex + ryplu eu 3ytZ. XZ - ner yy H dz 2
sit
cepht, seu d  2X+ 4 2y2dy  Ergo Z = 2Xdx + 29dy Ergo jam exaeque. 2 erut
dx. dZ + y dy Z. seu 2Z - X  + 2 xy dydy + yxdy: .
1bgol
2
qunde in ag.4
substituendo, aeque 5 et b. fi dq Exax + ryty. Xdx+ yay: Bx yy  X ax 4 2xy dxdu   r. _
valeris
jam ex 6 et 1 fit XK + gy = XX Ax + 2xy ax dy Fyydu: d2
2py 
t
Et ex aeg.   et Z fiet qe sint d2c0g0 fint
d
set
sit xy= V. et gco
ex 7 Et dEExax + rydus. Xdx  ydus od. H n de t exranly eru =2d2
videndum an per aeq7. 8 et 9 colli posset aliqua ad huc litera ut x
(4
sit Z- Xay ZX = y et 2dX + XAZ = dy. et Z = y: X fit 1q = dyX - ydx. Xx
tollamus, y ex aeq. 4 per 1. et Y ex eadem per 2. seu per X = Zdx + dy, :dZ, et fiet ex 07. 4
C
dz = dydzue : ZdX + ay = Z dx 4Z. Z dx + dy. fier - 7 d X dZ + dy dZ = dy dZ - Z. ( dZ
12
sit Z = Xy + a et lZ = x dy + yax et Z. y = X + a :y et dq B,y - dyr. ry = 4p - a y7
(3
quae est aequatio identica
ponamus Z = d y: dx, Ex aeq. 2. fict Aq: dx a XZ + y per aeg. 1, 4, 6 toutemus collere X et y
per aey.  est y =, dZadx - xZ substituatur in 1. fit Z = X dZ i dx - xZ. idem valor ye aeg. 7
substiluatur in 4 fit dq, d. da tq dqe d Z. ax AZ = dy Z = ax dZ. du, - 2 Z. 4x XZ + X  - adque
per aegg. est et a Tollatur X. exq est XX - 2 Z: dX X +  ZdZ . dx = 2 1747. du - 1
sou  s 1E: d 2X ax ~ fZZ -  + Zaqu et ex aeg. 9 explicata X, sib
AZ. dq. dx - 13 Z SyA- du: 2a ∞ + Za q. id a - du Z -  Ax 12 a. d  2  B 7 2,
Tet de L aq. a  L. a2 .s   4 1 12
= dX (2) dz: dx = Z. 2dx sZZ +- dp + Zd
(12)
seu in effectum
tollatur 
ita habetur aequatio, in qua solum extant dx, dyo Z et dZ
praeter literam A Z extabunt dy. dx et B dZ. dx
dx dy: dx  quia = Z. Ergo restabit solum,  dx cujus valor habetur per dZ et Z
itaque hoc posito res est reducto ad quadraturas. Nsisi scilicet quode
unum verect explicando dyidx per. Olam dz evanescat. Sed hnic
sed in partibs
inalo fortasse mederilicebit, non pentus tollendo du
ubi impedit summabilitatem, ut si esset adue + b dx = dZ x L   dque 6. 32
ubi licuisset facere aZ + b = dZ Z. :dx seu dx = dZ Z: a r Z aZ1b.
imo vider si senel licet tollere X et y. rmanente d2, ut credo quia
59. 5. moderate usi sumus; atius postea, non pt tolli idque sublata dus, quia
alioqui dx restaret sola, adeoque evaneseret, et habebetur Z definite quod est absundum
4g. ax disfiatis ipsius, est Eax + xaZ = dis
J. X:: dy. de Det rursus  x= y. q cujus diffialis est x= 4 ay  Ya Z. 1E. semer et ex 5 et 2 fi E lud) Z -y 1q. du
Z+X. d dy: dq - Z ax: dZ et ex b est y = 4 ZaX: aq - d qu
t
Resuimumus exemulum superius: ZX = y
locysstad quos valores 7 et s substituendo in aeg. 1. fit. Zdy : dZ - ZZ ax: dq = Z dx: dZ - dz: dx
in
Ex aeq. 3. habemus X sine y, seu, x
et pro dyidex porento
ad fieit
(XZ du -Zd+ ;dque y = 2Edx + dyz. du
seu Zdydx = ZEdx = Z dx 7 aque, et divisis omnibus perc
Zy = Z- 4Z: 4u, seu dx = a7. 12
sit ex 1. 3. 5. dy -2 5x. 1 2 x + dy2
Verendum ne subsit error in calculo. Resumamus: n
Z= dia dx E differentralis ipsius aeq. 1. est ZaX. + X dx = du Ex aeq. fial X = y: Z des
et hujus  aq. 4 differentialis erit dx= di Z dy:
ZX = y
(61
dzy: dx Z2
qui sucaessus egregius
male calculpvi pro dy: Z
L. X. g. posita sit Z = yX. sit y = Z. X fit du =  dZ. X = aXZ  seu V XX dy L
yx = d: dx
LXX = fay. )
cigneratiter
Cm
quod
enim VZ9: ax 22= 0, quod significat locum esse ad rectam pl
ponendo du ex 5 et Z fit 1=
fit
et ideo dq0
videtur esse absurdum
((ZX - dZ
et az2 yax + Ndy ubi fiot dZ: dx  y + XZ posito Z agrau, et ob N -. posito  ay. ex
ubi Z necessario est constans,
= dz. X +  a2idu = = dqe . dy - 4ZZ. dy
seu X = 4d7: dy = dZZ: dy 4 +dZ: dy = cd
Ex aeq. 46 est sC l est
Ergo fit. XX = dZ. dx Z X = +Z. dx X, = X Z-
jam 5 - dz: dx - xZ Z: X
y +  AZ: dx Z2 seu X  2GC f1 + 4 dZ: dx Z + L dz: dxZ
et 12 necessario ascendemus aequando, priore prique st
= 42. dx = d Z Z. dx (+ = ZdZ. ax) = t Z Sit p  z. X Z (+ L Za7. du
(13
quos duos valores Xet, 
er
seu du idx. sit F
seu LdZ: de = d7Z: qu =
at
ita
2+ + de 2:d quoe est aequatio
tandem redeo desideratar artificiam
 didits su qa Ae  res plex exon. 1 Galata. va 3. let dalin aet  ig
sed alibi
si fore
pxdyit
onex pig. firi
perbolam
sit aegliluter:
Z1y: du.
quaeratur valor
iu K exae
oubit aeu (3) cum
bevitu en eju
ferentia  resine
ux
sollam alicibi substituatur Z Mulliplicato.
in qua aeg. pro dy: dx
cursu quae sit aeq. (5). in qua
ac
sine
us
ag6)

## Folio 302v — 00068196:0600
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000600.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 88 lines, status machine
si sit y: X = dy: dx s aequatio est ad B octam, sed si fint
y: X = = dy: dx aequatio est ad Hyperbolam nam sit Xdy + ydx = 0 adeoque ex xy = aa
Videamus ergo quomodo an Methodo ista adhanc nostra praesente huc veniri possit
x sit ay: Ax = Z et iet sit y. x dyidx  aequatio ad curvam quaesitam
differen
Et fiet ex 1ec 2, fiet y = - XZ. Ergo cly = - xdZ - Zd7, seu. al.dZ - Z dx: d2 ita habetur
valor ipsius X sine y. Rursus ex 3 fit L Cx X = -y: Z Fit Ax = - dyZ+ sZY, : Z2. seu
y= ZZdxidZue + dyZdZ. qui est valor ipsius y sine X. jam hos valores literarum x et y
in aequationibus 5 et 6 substituendo inventos, substicuendo in aeq. 3. fit denige
ZZ dx: dZ + dy Z: dz = Zd7: dZ + Z2dx: d2 quae est aequatio, identica unde
dispimus nihil. Itaque rem resumamus, et prius moderata substitutione ipsius Z in
locum sui valoris utamue, dy: dx = Z y: X = - dy: dX. Ergo per 1 et 2 fit y = = X Z
esdus  x  et dy - xd2 = Z ax quam aequationem dividamus per dx, et in vulorem
ipsius dy: dx substituamus Z per aeq. 1. fiet 2Z x dq. dx. Atque ita jam tum solulio habetur
etiamsi non con, fiet dy: dx  - xdz: dx - Z seu Z= - xdZ: dx - Z seu 27C C
seu 2Zdx = - x dZ seu a - sdx: X 2f(aZ: Z. Ergo datur relitio inter x et Z per qua
graturas adeoque et relatio inter X et = y: X per aq. 3. hoc est velatio inter ∞ et y.
jam log Z = Luy et gut log X log loo log jam per 3 est log y = log. X + logZ 4 log =
jam posito log 1== 0. (it log - 1. = 0 habemus ergo. l0gZ= log y = log X. jam ex ay. s
est a - log X = 2 log. Z. ergo ex 12 et 1 fit aC log X) = 2 log y - (3log X
ses
1a
y:x. Quod falsum itaque alicubi error in calculo
6
seu
yiX = - dy: dx Z = dy: dx Ergo per 1 et 2 fit y = - xZ. Cujus
Offerentialis eut dus edqu Zdy, quam dividendo per ex fit ais - XdZue - ZdX
unum dy: dx = y
quam dividendo per ax fit dyrdZ= = X dZ: dx - Z, seu  per 3 fit Z= = Xaz: dx - Z
seu fit 2Zdx= = XdZ. seu Zdx + X dZ + Zdx Y 0 se jam Z - ay per 3. unde
ex aeq. 9. fit Zax + XdZ + dy. = 0 seu XZ = - y. ut ante. Brobus igitur est calculus
usque ad Cde sq. 8. Ergo ex aeq. 8. fit 2)dx: x = a = saz. Z in eo ergo erratum est
 in prioris calculi aeq. 8 quod ibi litera E fuit praefixa numerus 2. fuit praefix, ipsi (d2.
jam ,  2 log X = a -. log. Z. jam log Z = log y = log X + log - 11. sed
loque - 1 =8 posito log. 1. 0. Ergde tit. log Z = log. y - log. x quo qualore substi-
tuto in eq. 11. fit 2log. X = a - log. y + log. X. Ergo log. X = a - log. y
quod signifient seu log. X + loq. y a Ergo XY = nunvero cujus b. posito
ipsius b logaritlmum esse unitatem
Et ita deprehensum est Hyperbolum sation
Itaque hac
satisfacere aequalioni propositae 2. quod est verissimum
Methodo discimus aliquid. Idem Et hactenus una tantum, differentiali usi sumu
redeundo ergo ad aeq. 5. aeteris  quae postea sun scripta sunt quasi non scriptis
jam quaeramus et modum tollendi g. inveniendi valorem ipsius _ sint X. nempe
X = - y. Z per 4. ergo dx = dy Z + 4ZY, : ZZ seu ZZ dx =, - ayq + dque y quam
dividendo per x fit ZZ (23) dy: ax Z + dZ y: dx seu per 3. Z2 = - Z2+ dZy: dx. seu
2Z d 2 2Z2dx = 5 dZu seu y ZZZdx: dZ jam per aqus qui est
sed ex aeq. 5 in qua nulla substituto factu
sabstilubiones podhatis valor inventus per substitutionem moderatam.
est habemus X= dge  - dy: dZ - Zdx: due quos duos veleres ex 26.27
psodese, quia postamo subsciluendo in aeg. 4  evanescit dZ, et fit  dy - Zaxy 2q ax
et fit (22Z ax= ay Z(4ZZ dx unde  prodit Z= dy: dx ut date itaque substitutio
non fuit At supra fuit, sufficit ergo uno modo
quam credebamus, moderalam
obtineri aliquid per substitutionem moderatam,is
sit _ Z= dy: dx. et Z yx dy: dx = yx. seu _ Z = yx fiet
 rurtus V= Z. X ex 3.
dy = y 1y + Zdy ay l2) ydx + X dy. seu dz: dx =  + X
Ret Xdy ~, +Z X = dx Z. seu XX = dZ. dus X +  A. ay L t az. di -Za X. dy
seu X (+ 7: dy - Zdx: dy +1 dZ: dy. Eso ex aeq. 5  y  z: dx - x7. et hos
valores substitendo fit ex 4 et ie substituendo in 3. sit Z ubi substituendo valorem
ipsius X7 sit y = Z. +  agitus dq. dx - Z... - 2 Z d: dy. et hos valores
Z= 4Z. dx sum. 4  dZ: dy ax - 1 d us 4 Zax. dy 4 A bi -
og. g. et 11. substiluendo in aeg. 9. fit
= dz. dy ....., toliendo dis fiet sun   fed ope Z Ciet s... 1 42: 77 - dx: dx
et sit Z 3 dZ: dx Y az. 72- du + = d3: Zdx C  t V - 1 dy. 22 x + 1
= dZ Y dq : 23, ax : Zax seu 222p= ZaZ  f... + 3 a Z L d2 + Z4x = aZZs..
pam gpendiicausa jam sit 23_ - Z2 = m ZZ et Z7- Z mZ et Z- 1 = m fiet AZZ Ax = iZ a2 f. .. + L M du
vel m = 0 seu Z- 1. sid hoc  pro f... seu pro 1= +Z: Z2  scribendo  1 4Z - 22+ X.  ex aeq. 19. fiet
2que s.. Unde quadra. di
22dx a3, et divisis omnibus
_ 2ZZ dx = (aZ 143- 22x + dy. vel ayn fet
(+q  (2)
fit 4Z x - 4 47Z sa d=
per Z2  fit 4Z dx  3 dZ. seu D eq dx = dz: Z  Si;
uent
sed quia vereor, ne subsit it por in calculo sequenti schedat usdem
gier repetemus. septermtritb 1690 repetemus
og. = 1
ac
rgo X
ergo -
fdx = 3
dy: dx f. 2y: -y. x
fit faa uris ne
epricendi hic non
plane tollendatu
tn= say: 7