# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/253/text
# Catalogue record: 253 — De Convergentibus sub finem vide de conversione aequationis transcendentis in aliam transcendentem contrariam
# Incipit: Vera Methodus Analytica perveniendi ad mensuram curvilineorum
# Date: 1677-12 (77-12)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=253&katnr=59221
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068248
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 A 35
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 3 A 35 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068248:0001 to 00068248:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068248&page=1
# Lines: 364 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068248:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068248/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
de convergentibus
ed
landerm n
Xb. 167
2
taussae
sbfinem vide de conversione aequationis
taliam transcende
expon
alem.
centro C. descripitus sit
Vera Methodus Analytica perveniendi ad invenion mensuram curvilineorum, et alias quantitates
ubi infinitis atque indivisibilibus opus est consistit hand dabie in inventione relationum
in polygonis, a  vol aliis accessionibus, quae sint tam generales ut a numero laterum
abstrohant polygoni, vel termino seriei abstrahant; nam si ea involvunt quantitatem
quandam constantem. hinc statim inveniri potest terminatio seriei seu quadra
tura. ut si sit polygonum aliquod a. sint polygona quodlibet.
a. b. c. d. erc usque ad ultimum y. quod infinitorum laterum esse supponitur
patet et constet nobis modus quo radius vel latus rectum figurae circuli, vel para
meter figurae posi vel alia quantitas constans possit inveniri ex datis
tribus magnitudidibus a.. b. c, de quibus hoc unum tantum constet esse tria
polygona se ordine consequentia, ita in indefinit per laterum duplicationem
continuam; non vero indefinite, ut scilicet non exprimatur, numerus laterum,
vel aliud quiddam specialibus casibus conveniens; hoc inquam problema
si solvi potest datur illius figurae quadratura. Exempli eausa esto quantita
illa constans seu parameter p. et sit relatio hac aequatione expressa:
P 1. cb + 2ab+ Saebe tunc manifestum est, si pomitur a t p
jam posita cognita, et ipse a. b. c. aequalibus inter se it ipsi y.
ponatur
nempe ultimo polygono haberi aequationem cuius opedatur valor ipsius y.
In circulo autem et omnibus figuris in quibus non datur quadratura absoluta cujuslibet
portronisu procerto habendum id fieri non si non vem Verum in circulo
non potest inveniri radius ex data trium se consequentium vel etiam silurium
uscunque sumtorum polygonorum magnitudine. Idem est in Hyper bole et Ellipsi.
Et inter culculandum destruitur radius vel parameter, ac remanet relatio
inter ipsa tantum polygona, ut si poneretur hoc loco. p p. aequ. 0. ita
enim ne radio quidem dato ex datis tri duobus polygonis dertium consequens
inveniri potest.
Quod si jam ponamus ergo ex duobus polygonis a. b.
Vb2 + ab. Et talia adhuc plura ex
inrestigari verbi gratia quartum stum, esc ajo si calculo aliqua
dari tertium, v. g. id esse
aquatio in definita ex his efformari potest ex. g. si ex tribus duobus priori
bus polygonis in se ductis idem provente apparet quod ex duobus posterioribus
idem enim proveniet etiam
in se ductis; etiam dari inventionem ultimi
ex duobus ex primo in secundum et ex secundo in tertium. Ergo eoda
jure etiam ex seundo in tertium quod ex tertro in quartum, quia eadem
relatio inter secundum tertrum et quartum, quae inter primum serundum et
tertium. Et ita in infinitum perpetua concatatione, Ergo ex pmo etiam
ex duobus ullimis fiet quod ex duobus primis. Duo ullima autem aequalia seu
differentiae data minoris. Ergo aequatio habetur qua invenitur ultemum
quod in exemplus
sit enim y aequ. ab. seu yb  y aequ. sab.

## Folio 1v — 00068248:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068248/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 59 lines, status machine
rustra autem speratur id in circulo, Ellipsi, Hyperbola effici ullis artibus posse
Et licet matintur polysgonorum modus mera et punctum ad quod ex tangentim
concursu ducantur rectae sit arbitrurium quodlibet, Tamen res semper eodem
redibit. Nam alioqui datetur infun indefinita anguli et rationis sectio per
aeqrationem gradus definiti, ut alibi demonstravi. Noc potent invenri ulla
relatio in qu polygonorum in qua supersit quantitas
si addas diversa segmenta ex et ex illis unum co vel diversos sectoes et ex
illis unum componas Etiam nit hoc modo lucrabere simpliater: ut C
a- b a. b. c. d exY progressio u polygonorum in uno seginento
m. n. P qeaeque po gressio in altero. Etunt summae
+ atm. b+n. C+ p. erc. Quod si ergo ritatio ipsius C ex a. b.
non involvit radium; nec ratio P ex m. n. etiam ratio c+ p. ex
a+m. et b +n. non indolvet radium, potest enim ex simplicibus illis
fabricari. Et non nisi una datur unius quantitatis ex duabus ipsam det suffi-
cienter determinantibus, valor seu relatio seu valor core et si ex a. b.
an valore ipsius C per a. b. ilemque ex mn. aval  p. per m. n. non potest
componi formula constans, nec ex compositis credo poterit,
Quod si
porro quaeratur constans relatio ex m ex a. n ex b. t et per c
erc. vel saleom in + n. ex a. b. et n + p ex b. c. vel alia
e quaevis indefinita. Dabitur han dubie, et ulti terminationum e adter
minationes relatio. Quod si illa relatio jam constet aliunde habebitur
aequatio, quae si non sit identica, dabit terminationes quaesitas. Non
erit auta vig. Z+
 y. et Z ( m+ Mny sed sic opus est
valorem secundum alias intrare literas. Si datur evalor relatio inter
a et m. per aequationem et inter y et Z. similis aequatio datur
et intercurrit quantitas quaedam constans in illa semper simili
aequatione, tunc datur relatio inter V. et 3 Quod sijam aliunde alia
detur, invenretur tam y quam Z. Necesse est autem ut quantitas illa
constans non sit radius seu aliquid generale, sed aliquid speciale exprimens casum
sectores vel segmenta de quibus agitur, alio qui colum orea daretur ex
Solo adio quod utrque absurdum. Quod si non possit inveriri haec relatio nisil
per intercursum transcendentium aqquantitatum, etiam sic utile foret
to. g. absolute et pure exhiberi circuli aream per transcendentem quamlitatem
vin. Circulus aequ. X 4. positoradio 1.
Nimelium siradius 1. erit tis quad. insripl. 2. et quadratur crcum scriptum 4
seu quad inscript. erit 254. seu radius quadrata circum scripti, ex sive extraehi–
tur inde radix cujus denominator est 2. Sed quid se inde extrahendus esset
radius cujus denominator minor quam 2. atique quantitas proveniens foret
major. At illa quantilas non potest esse rationalis adeoque foret et circulus
 nisi circulum ponamus ordinaria ratione quadrabilem conveniens ergo erit esse
mediam proportionatem esse inter 1. et 2. ita non fridem circulus foret
proportione medius inter quadratum inscriptum et circum scriptum, sed ejus exponen
inter eorum exponentes. Nam posito, radio 1. erit qua
Ccrculus
quadi circumsc.
Quadr. inscript
1oeo lt
0
602060
si proexponente ponatur
posito Cnguarithums ipsius 4. Tabulari, nempe nomp (. sed 602060eq orit logarithmus 2 non 2. sed  eu e
a
d
1
60206052
100e eoui v
logarithmus uisq non d2. e 1acyperc seu 4097

## Folio 2r — 00068248:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068248/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 138 lines, status machine
Estautem Y2 aequ.
t
dabit
1414213. Ergo 602060
1009000
1000000, S2
 602060 qui erit hoc modo Logarithmus circuli
1414213
quad quadiusla rationis quadrati in scripti ad
Tabularis, si bene conjecimus
Cfui9
ponendo circulum radiis 1. esse
Hanc fractionem convertamus in denariam, fiet:
Ratia Acunterentis ad diametrum est
425729,8
10000000
circu suspti ad circutum chrtatique quadrati circuse circulus est factum ex tircuro ferentia
circunt atvid.
Diam  eirc
ediam 
semicirum ferentia in semidium etrum
seu  sit circulus aequ. c: diameter aequ. d. peripheria aegr. e
erit c. aequ. 2  in  4. seu c aequ.  d.-
at
a
ht radius 100vo0vvete. et Diameter 2000000 Cx.
0ovour
et quadi diametri 400000000OVe et peripheria
314
214 1r qe
10000voods
10000 et circulus 31(415926200000000
1000
seu gra
1000000
100000
700000000
q aqu 2111592
200000
et peripbreria:
6283184
1000000
et Circulus 6283184 20000
1000V
606Y
Cogarisimus 000000
100000
seu circulus 3141592 posito
1000000
radio 1
314 logarit hmus 249692.96
100
a
209000.00
1969296
n
1960206
100100100
497068
Ergo veri characteres sunt saltem
49. deberent autem esse 42 Quia supra peosulous logarithinum
Circuli Tabularer fruximus esse 425 qui tamen une reperitur 49 ec
1000000
aequal
602060 et 1000ete
497136 en
seu
602060 erc
auq
10000 et
e et erit circuli arta:
atb
quaeritur qualis 2.
a + 6  a -b
b
dabit:
6026650060000000000007425720)
6383.
A+
(X
297068
497137
31415. habet logarithmum 497136
0000
Ergo Z1)
00∞000000+12110
1X66666
1602660606050F 121107
A9 366666
quaeritur alicujus logarnichini numorus sed
13883
uos cudit enter duot 656002 12656960
dimit
6C
1296E-
656481
656002
483
6291
opus inter num cater 45
Conarithmorum numero
ex quibus. quaesitus quotus sit
ex orome ubi locare tur entec
se E
imo
ompe
ferentia, nam sunsta se
b est tta
iste AT+ Cogarithins non est in labula quomodo agemus vig
quanitur n imnem locarithimi C5609
summi
dimid
sum
s
ABOcodicunter diiss
 horum sumum
6524+
Sirus
624
C
dimid
Ergo interpositis decem meduis proportionalitus
et
era 4029e dimidia summa
dim
14
124
saios 2
7+
0
613083
py2
ad 17
it
B9
2ut
dird91
8

## Folio 2v — 00068248:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068248/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 113 lines, status machine
125
fiat jum
b
ab H c, d se a B 4
ta erit Z, fiet yv
2+ (∞) F
vel y pe
ab
ee
a,
e, a posito
qua aequatione ubi inven
b (∞)
d
6
y, y21 a, b2
1 a, b seu y p
 vi
1
a
la
FX
a, 
2
Quaeritur modus per quem data aequatione
1 c. inveniatur Z
aditum reperio, uno, quod Z
c
nobus ex principiis huc
uio eror
A est aequatio ad logarithmicam
non minus ac illa f   8
Alterum principium est, quod quadraq
tura Hyperbolee seu inventio Loganthmi, ipsamet hoc modo ad inventionem
loganthm reduci seu in se ipsam reverti potest unde aequatio identica diversa
rum expressionum stietur
ab
ut aequ. a J: s. ergo a
I a Iv) per 7. at
Ergo L
aequationem communem fit ergo: a 17 47)
1
(12)
seu Z (2) b, ar seu  a, b
13
a, b2
 a b2 quod et verum est
atque inde calculus confirmatur Sed nihil inde novi.
+1
B _ ve a b vel y. 1 a b
et 1X C5)
YB a I0
b, a2 n (2+1
sed omissa aequ 7. utemno solum aquationibus 2. 5. 6. 1,
c
(10)
qV. Ecce transitum notabilem ex ab exponente ad
(11)
Hinc ob 5. 6. 11 aequ. ert
(2
C 42 Ergo E+1 (6) 
N C. d
b
(9) 211
a
(17) 2+1
seu y
e
5
per 4
40ed vero etiam dudum notum quia c, d B a, b Hoc ergo, tantum cilculuus
+
confirmat
quaeritur qualis curva ad quam aequatio Z
y+5
s a fier R y+B
-Z 5 a
si  sit cver si sit a, 1. et Y, 1. erit Z1 1. si sit y, 2 erit tamen Z r1 Unde
patet esse Z et y ordinatam vel abscissam parallelograumi.
x
N _ y. ZN1 eut yH1.
1. 4. 27. 64. 3123
3 23 37 2061
20 14 702+
est
4. 1810
2512. 3H 4  213. 3 27 121 4. 3764(715. yp 3r2s
+C
+C
r y + d. aequ Z+ B
Duus video modos quibus Z ex exponente
videtur detrahi posse. Unus ex speciali proprietate
Hpebolae videtur, quae indig lonarithmam seu expo
uentem dat, adeoque bis res redibit ad ex ponentem AII
3814 modus generalior, et ovae considerationis salicet aequatio data
a  d 1. vel  EY FB. etc. quaerntur hinc valor ipsio H Z.2
seu aequatio ZH m sa ita ut in ale componantur ex a. . ponatu
Hes remen n esse a. quaeratur valor ipsius Z ex a et  item ex C et s, et ita simpiter
nocen infinitis modis nacu non regula sufficiopro omnibus, fib siltuendo tantum literas.
 hac aequatione infinita extrahatur radio a
1a
d possibilium fieri intelligatur habebuntur
Titemus fict ex qualibet alia tarum infinitarum
valores ipsius a. qu sed libnerit, singuli
umetamer sinfinitam seritu. Sed phaeter plhas habebitur adhuc unus qator ejus modi ipsius
a, extrahendo ex aequatione ZY n (a) per regulam quad raturae infinitae hyperbolae
seulogmrithuerum. Jam ex superiorit aequationibus infnitis inumeris continue
mulliplicatis ac compositis formetur una comparabilis hinc novissimae, et
ita invemetur valor ipsius in et tunc circa quadraturas in universum factum erit
quicquid fieri potest. re ad unam aequationem transtendentem, reducta. A
bebitur enim Z aequalis cuidam. Hoo methodo videtur in transcendentibus atque
finitis praestari posse quicquid in transscendentibus et finitis
on en