# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/25454/text
# Catalogue record: 25454 — Aufzeichnung zum "theorema pulcherimum"
# Incipit: Ut videamus an eodem modo
# Date: 1682-06
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=25454&katnr=56708
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-867509
# Title: LBr. 943 · Tschirnhaus
# Folios: Bl. 66–67 (from the shelfmark LBr 943 Bl. 66-67): 4 pages, canvases 133–136, page ids DE-611-HS-867509:0133 to DE-611-HS-867509:0136
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-867509&page=133
# Lines: 250 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.88
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 66r — DE-611-HS-867509:0133
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-867509/jpgs/default/00000133.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 79, 2026-09-07T03:33:42Z — 77 lines, status machine
si it Et semper constans
seu 2C2H. cum sit
1B2B: 2C24 seu dx:: Z. E,
Eut 181B ay 42, seu 13
du ago deas de
Hino ope currae BB haberi
potero summi ysa Apero
 per e seu L Cper CA
hiBag et
ao ex
ne jam
quaesit
nim dat
detur A.CM
tione facile
+L
atao quancitati nempe, rve. A. Habemus ergo nungmethodum novam pro probenmalibus diopliicis et
enietur punctum
tate ut et
Mt X.
1A. Caeq ventum
uto pepicis
19.
DE, e. AE +EB seu AB  Z.) AA, a
 faGy EG, du HE d
Anguli 1B. A2 A, et 2B, A~, tC.
C Angulus C2 aqual. a d. CC+B
An
vel ang. 1C 2C1A equal. anus. 1M241L
aliquos
Ponancus dari frelus gonum 1C2C3C4C et. sumtoque ejus latere, C3C demittantur inde in basin
ihione
ML per pendiculares eaL, et 3C2L. quarum detur minor 3C2L, quae sit y. et differentia 2C1 G, quae sit dus
item Mah quae sit X, et Mit quae erit X = dx. seu it 2L, ve 1G3C erit dx: similiter
1C0G aequ ay - adq, et ot it aequ da 4 ddx jam radius iL 2C incidens angulo
1L2CM es lectatur versus: A eodem angulo er C A erunt anguli sequales 1A2CC, et oL1CrC ( seu   L 2C1M)
Recta 2C. A pro ducatur dum ani M occurrat in N
Ob anguloqu a2. C2C, et .A2C. C aequales seu triangilum 1C2C cnpilata isosceles nacesse
est perpendiculares in duo crura, C1H, et 2905 esse aequales Ergo et 0GiC erit aequ. . H2C. seu
erit du aequ. de jam. A. A. B - = A2B,  seu dZ.  est aequ .A 2 C - 2 A3C
sed
+ 2C, B = 3C2B est autem 2A3C aequ. A2 (seu A 2H) + (2H3 Cseu) 1G pC = (A2A (eu) dZ
Ergo fiet: dZ aequ 1A2C = 1A2C - du + dZ + 2C1B- 3C2B et destructis destruendis
fiet du seu 1L 2C - 223C fiet aequ 2CfB - 3C2C ergo 1A2C aequ. b2C Quod
erat demonstrandum. Ergo AB seu curra sag 1AA g. aqu 1A+ C+ 2C.L
Hinc etiam si curva AA continuetur donec qui occurrat in 2 filumque in a affixum intelli
gatur, idque plicetur circa curvam 2 AA ust eam tangat, et a puncto contactus ppro ducatur
ad curvam c, f tunc fili huius ingrementa, quippe 2H3C, et. aequari rectae LC deciemen
ex Ergo seu 1G2C. Ergo si curva Cproducatur usque in P. et ducatur PR. paralletu 
ML
ex puncto R demiblatur ordinata AC tunc totum incrementum ipsius 2 1A2C saper A p. fore
e
Auo 2R2 C. seu si 2A2C detrahas seu 2C2S detrahas ab M2C  residuum fili nempet
41
Videamus jam an dutro
LA aequo ip quim imo semper
curva s 1A cum recta pb A stabe equater ipsi A2 A
C hinc semper indenore possimus puuctum A
MP + B s aequ.  AZ undes detratatur LC, ut 1L 2 C ab M+E aego iL 2C+ 2C, A + 1A A
ab Mpa P  detrahatur1 L C data habebitur recta datu aequ. . A+ 1A2C sed nihil hinc
porro 1A2C: 1A.B :: 2C+ seu 3C1C send porro si anguli A C 2C, A3C, 3C2A4C
semper intelligantur aequales tunc ipsae eH .C seu  G3C constanter repraesentabunt
rectas A,C et ex seu summa omnium G3C. repraesentabit summas omnium Ar C, non
quidem ad basin, sed constanti applicatas. Quanquam hinc pate etiam ad basiu applicala
semper haberi quia sin casu anguli aequalis, applicantur sabi ipsi et summa omniam eA2C
applicalarum ad iL. sabit quasi summa XX. imo no dubilu quia nulla hic veato
est ad differentiam constanti quam non puto posse omitti. sufficiqs ergo summam haberi
summa omnium adc tanquam inearum. Damo si et
summa omnium AB tanquam lineatum, quae est curna BB, quia quaelibet pris 1B32B 2B3B
omnium sed nobis num sufficit
ec praesentit lineam integram. St honc non venitur adsummum spatii Hinc et habeur
imna finearum LC. sed in adel) summ. spatii quia in cass angulorum aequalium c2L
(aelerum rim saltum patet data
figum quadrabit posse curvam sei homo netium ei inveniri, nimium figurae quadribuis
et yL 3L etc. non sunt constant est
oratria asit e C, et erit AA quaesita
oLp

## Folio 66v — DE-611-HS-867509:0134
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-867509/jpgs/default/00000134.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 79, 2026-09-07T03:33:42Z — 49 lines, status machine
punctu
punctum quo radius solaris a sphspeculo sphaerica
concavo reflexus Axi occurrit invenire. Ducatur semi
diameter ex centro speculi Atad punctum C quo radius drrectus
SC speculo occurrit. u hutus semidiametri puncto medio
K educta normalis) loccurret axi AE in puncto p quaesito
Demonstratio: Ex puncto P quaesito in semidiam etrum AC
demittatur perpendicularis Pk, producta si opus donec radio
directo SC occurrat in O. dico fore AK aequalem ipsi CK
similia sunt triangula rectangula AKp et CK, ob angulos
A et KC0 aequales iitem Triangula CXo et (ob angulos
A et KCO aequales) CKO  et (ob angulos Kco
ep
incidentiae et  reflexionis aequales) CKp. jam
triangula rectangula siilia AK P et CKp habent
inlioc latus homologum communeque ergo et aequalia sunt reliqua latera
 rd reliquis ac proinde AK ipsi Ck quod erat demonstrandum
esteriam sequitur hinc AP, nunquam esse minorem se
omirectus opsa AB qua dimidia parte semidiam etri AE. unde punctum B
mallilis occums haberi potest pro foco, si arcus CEF sit exigua satis sphaerae
ntu (portio seu siBP sit jatis exigna parva. Quod ut semper aestimari possit:
Ex puncto C in axem AE demittatur CR sinus anguli _ EAC
portionem sphaerae dimidiam comprehendentis, cum Triangula ARC
et AKP sint similia erit AP ad AK ut AC ad AR, itaque
AP distantia puncti P (quo radius reflexis axi occur actatia
centros
erit ad AK vel AB distantiam foci ab soluti a controe ut
radius AC ad sinum complementi AR. seu posita semidia
metro a, et sinu complementi X, erit, AP aequal aa
2X
us
linca sit E
perpendicutat
jus langentem
oclanens Axo in A
cul eni
peksim
i
les, et 
emint KOCC
Eu
qui
im XY
Et
acib) ingo
lum ex
ctione X set rectus
erit KA = kC
tk

## Folio 67r — DE-611-HS-867509:0135
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-867509/jpgs/default/00000135.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 79, 2026-09-07T03:33:42Z — 33 lines, status machine
solares LC
si quaeramus curvam quae radios a specula concavo
dato reflexos iterum reflectat in unum punctum datum
inveniatur curva AA AA. et sumto ex. g. radio
1C1A is producatur et ino sumatur
punctum 20 tale, ut fiat h, A + 1ACd aequ.
curvae AA, inde ab aliquo puncto ZiA.
et punctum co erit punctum curvae quaesilae
videndum tamen quid fiat si 3 sit sumtum
extra curvam AA
Caeterum res redibit ad hoc problema
frgonometricum data basem in triangulo
B, A data pasi h. A, et angulo d1AB et summa
laterum, ha. o A; invenire triangulum sane si Ellipsis
describeretur cujus distantia foc. sint h et. A,  axis autem
per hos focos transiens sit data summa ea secabit rectam
A_ in E sed idem praestati potet sine Ellipsi
videndum faltim accuratius an nostrum Theorema generale
locum habeat etiam cum rectae non sunt paralleli sed con-
um
satie
Currentes in uno puncto. Et luideo rem succedere in
casu proposito, ubi scilicet anguli incidentiae d et
delorsionis reflexionis aequales sive convergant radii
incidentes sint paralleli, sivesveniant  uno puncto.
sed cum punctum datum non incidit incurvam AA, tunc
bi curvo
hhoc nit refert  incipiendum sallem a puncto, 
AA et quae sita co coincidunt, et a summa ista deinde
agrua
sit acuorrunt
dectiahenda recta ab h usque ad punction concursus, residum aequabitur
cirvae inde a puncto ccursus.

## Folio 67v — DE-611-HS-867509:0136
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-867509/jpgs/default/00000136.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 79, 2026-09-07T03:33:42Z — 91 lines, status machine
Habemus ergo treorema puldhem
prmumtale: Fiat CY ad Ct
ut simis reflex anguli reflexion
vel refractionis ad sinum angul
incidentiae, eritque AC+ CY
aequal. Curvae 9, A. Nec re
idem etiam locum habebit
an
opinor, quando rectae LC
sint
non funst parallelae sed ad
unum punctum convergente
et
vel divergentes. Nrca sigo
sinveniat datis radiis currum eos reflecte
parallelosiis etiam data curva AA
poterit invenire curgam CC. Nam data
est
dantur radi. quod esset data AA tuvenoe
etiam ejus exterisionem in rectam. suppo
ESi radii paralleli LC incdant in speculum concanum PCZ. atque inde tent
erabe
reflexi curvam s2 AG tangant, dico fore summum recta integrum cun
radium ex directo a basi MQ (radiis normuli) et ex LC, (qui sumitur ex basi AB
ML Q radiis normali) et ex reflexo CA compositum, fore aequalem curA po
AC+ CY
uod ita demo finiisitatis agantur
arcri
semonstratio ex 2C. 3C. etc. demttantur ad rectas 1C1L, 2C2L, et c. perpendiculares
ita
parti curvae
1G2C, 2G3C, ete Et similiter ex punctis 1C, 2C,  ad rectas.A2C, 2A3C, et C.
perpendiculares. C1H 2C+ H. A polygoni indefinitanguli latus C2C seu portio Tangentis
producatur in ultra EC inM. Cumque  latus huiuodi Anguli incidentiae 2L2CM, et
reflexionis 1C2C1A erunt aequales; est autem angulus, LiC 2C aequalis angula 2L2CM
ergo et angulus 1LC2C asqualis angulo 1C2C1A, seu triangulum T. C2C erit
i in angilis C 2C, isosceles itaque recta iC H, aequalis rectae hC,G ac proinde, et
erit rectae
eu A disfercatiam
1H irfiniptam ex natra  methodo infinite
2
ihilo differre ce senda est a chorda arcus centro 
recta qu e linea recta ne 1C. H
habent
radio, A, C descripti, qui rectam  secare censendus est in H nam nectorum 4. Cosenc
ergo H2C differentia rectarum 1AIC, et 1A2C.) seu IA2C = A. Ceoitaequ. H2C seutC
jam in recta 1C.L. Si opus porducta (quenqan post e ssebit non esse opus)
exsus
sumatur 1C,V. talissent et in recta 2C 2L sumatur +C2V. ita ut ACY sema
e sit aequalis curvae QA, nempe 1A, C + 1CNV aequi curvae Z. A. ostendum punctum V
incidere in L. Quoniam posuimus 1A, C + 1 C1H aequ. aurvae q. A, et similiter
2A2C + 2C2 H aequ. curvae A. A. erit 1A,C +. C, V - 2A2C - 2C1V, ideu quod aequ.
Cur V. Q1A - curv. Z2A. seu. aequ. 1A .A.. Ergo A = A aequ 1AI C - 2A2 C + 1C.1 22
hunc valea Est autem A, C 2 AEC. aequ. 2A2C aequ. Ai seu 1A1C, + 1H2C seu G1G, - 1A2 A.
a pae ergo fiet: A. A aequ. 1AIC - A1A, C - 1 C, G+ 1A2A B, C. Y ∞= C2Y.
ciculi sub et destructis destruendis fiet: 1C, G aequ. 3 C1 V 2 C2V. similiter
aequ. +2 C1Y∞3 CZV. et ita porro, sed eem
siont
sunt differentia ipsurum per petuae ipsarum CL, stam rC1G est 1 Cit - 2C2L.
sunt hifferentiae perpetuae ipsarum
it
c.
et 2C2G est 2C2L - 3C) L, eq et ita porro , sunt ettiam differentiae perpetuae
quemadmudum Demonstratu facile est; repondent
ipsarum CV. quod fieri non potest, nisi V et eL. perpetuo coincidant,
quemadmodum demonstratu facile est. Ergo AC + C CL aequ. currae QA
(demonstrari enim
quod erat demonstrandum.
Ut videamus an eodem modo res succedat
in dioptricis, tantum videndum erit, an res
succedat in Catopticis, ponendo angulos inci–
posset, si opus esset differentram
inter 1CiH sinum et dictam chordam
arcus cujus est hic sinus esse infinities
infinite parvam seu ipsarum  infi-
dentiae et reflexionis non esse aequales sed
mutari certa sinuum ratione. planum refle
pens 1C2CM. perpendicularis 2CEF. siau iacidentiae +∞) nite parvarum ut  C, H comparade
sinus reflexionis EK. posita 2CF et 2CK aequalibus R infinite parvam sive nullam)
Trianu. H(2CE simile rriangulo 2C1CIH namangulus illius adK aequalis angulo hujus ad 2C Ergo
kG ad ad H2C ut 2C1H ad 2C1C similiter frianu. BiF simile triangulo ABC1G nam
angulus illius ad n aequalis angulo h (d  adeoque angulo) hujus ad tC ergobi ad B2C
K2c
cCiG ad Er C. Ergo BF ad B2C seu ad KEC ut 1CG ad 1GC. ex quibus duasu
analogii aequitur esse 2C1H ad DCiG ut KE ad BF se in ratione sinuum qus
ratio differentiarum CY et et semper est consta Ergo et ipsarum et et CL, peu
seu ut ad KEl
eut cB ad et
5
sius A2C
licaento