# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/26207/text
# Catalogue record: 26207 — [Demonstratio,quod columnae serierum exhibentium potestates ab arithmeticis aut numeros ex his conflatos,sint periodicae
# Incipit: Omnis series numerorum rationalium, qvi sint Arithmeticorum potestates
# Date: 1701-11
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Other printings: -Gerhardt: Mathematische Schriften, Bd. 1-7, 1849-1863, 7 S.235-238. -Couturat, Opuscules, 1903, S.575 & 580.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=26207&katnr=39135
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068318
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 4
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 35, 3 B 4 Bl. 1): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068318:0001 to 00068318:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068318&page=1
# Lines: 195 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.80
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068318:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068318/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 122 lines, status machine
2
vi
herolini Novemitus. 1701
Haec du Aagicorit demonstravi
omnis series numerorum rationaliam, qui suArithmeticorum potestate
aeusdem gradus (Ex. gr. series omnium X. nosito x esse progressicuis Misme
ica Num eros) continuatis quantum opus diperlatiationibus da intorra
a or aquat seremla ratiarali exprimitur
nentiam constante
ncettis cxrtegradus
omnes pllentiomum emedem quad
arit h meticorum potestates
omnis sere numerorum Fatignalium quae sunt pote eae naturatium cotentiae
damgranis;  en diealli continuatis si punc diterentiationibus.
differente
 1atic ancem  ultina differentia naturalium est E quad mtoam 2, cuborum B, quadque
suldesolidorum s id est 1, 1.83 1.2. 35 1. L. 3. 47 ldid. s integrum
tara
idem est si series expremi possit per formulam analyticamex potesta
u
 ea
conquadrutro 2a
 det
modo termini sent nam
tibus conflatam, vg. 4X +6X - 7x + 11
idem est, etsi ne formula habeat numeros in denominatore
integri
blto.
ek a ZX 4 I, syu gXX 476. Nam multipsicata per Demoninatorem
X
etcorum eroe
non multiplitata, identit aeciuat taenditeeglia non mutat
ut
Hinc etiam omnes series Figuratorum continuatis diferentiabionibus
abut Seriem Aritemeficorum
integrorum
Et geperaliter omnis serrerum Numerotum qua Analytie
onatonem
pressa per formulam incognita non cadit nec in fractione
um
 fillin progressione Harmonica), nec in Exponentem ut in Geomelia
efferentiando continuatis si opus differentiationibus dat
potra
ferentis essis imat sing s contiana se hit isumationbus constam
senem Arithmetico rumino
set
er
a
D
e
s
sit per summationem
id
sive buadicam pur Binariam) ceties sise
Hine sam pergoa
greplicat
proportiones Geopetricas
Bruanas Abedetadicam.
omnem
dicadicis ea jan perto ad duadicas fostendamque ad amfessa
eel aliam quamtunque
eu exet quia omnes series Aisthmeticorum  debent
aerimquaein
et mistorum yadiae expresee habent columnas periodicas,  sequetur omnium
alisus similibus
omnes serien potestatum, figuratorum, et alistum supndictorum
Numeaoum+
qao gressio incimn
haberentuum diadice expressus habere columnas periodicas ubi
ostensum fuerit, omnem serie add summatrcem periodicae esse
periodicam Nam ita sum et summaliiv. Commaticis peciodica
o ex hc sequit Arithmetram esse pebddvum cum sit summurio
patioa estesse periodicam, optemendum
arie
serie
i
itium numatriceei periodicae
qua
lt ostendatur. No
eniu  tanquam ipsa sola esset summanda; dico esset sola
p considereun separao
serrs una cuseriis summanda periodica esset unique columnae,
seriem summatricem habituram esse columnas periodicas.
Ex. gr. columna seriei summandae constantis ex colunina A, series summa-
tix constet ex columnis LM, N etE dico quia A est periodica, etiam L, M, N esse
eol
not
D in columus summatrico  jomnia in endem columna redenet ut ante. idam Id pro
tset proet
perioditas. Nempe ubi everit ut periodu (simpler vel replica
 procolumt fit in loco D, duplicata columnae. A periodus quae es integran
sa quot pariodus simplex
columnis L et M fit t loco C)
bi tino
seriodunita:  praevideri autem quad e
1a
ostis
at 100i  in nima et sectnda
columnae A, incidat O in summat
noumna summuliice;  4 dat 1000, id est so in tertiae columua summatrice ete si periodus simplex
summandae A habeat unitates vii 
habusset multates 3, 
  ture faisset 1.3 = p, e 2. 3= 10 et 3. 3-1
eist u sumae umottis
riodus est dupla commande, selandae quadrapta
oa amplacte
nX
X es
vert. gr
X
E)
63
eest
dradicis estem
s
256.
62
24 saleat
290
d
sum
A, seu bit

## Folio 1v — 00068318:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068318/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
tertiae octupla ets. Idque Hegeladter
conlingit, quoties summa
ita
periodi ipsius sA est numerus impar
Assamo jam aliud Lemma: duae columnae periodicae in unum additae
ut addatur terminus termino respondenti dant seriem periodicam. Nrm semper addetur
aut 0eto, aut ad D et 1, aut 1 et 1. primo caso prodit seuseire secundo 1,
tertro 6, seu 10. i  pri  cone, franslato 1 in Grumnam
sequentem, nec prodeunt commuae nisi binae; et utraque sequitur periodum
columna longissima periodo praeditae. Nam semper pedenat pliora. suppono
Anim, ut semper in instris dgadicis retedum majorem esse um continle
du ut suasperiodgsset terminorum 3 altaca
coret terminonu Hinc sequitur rarsus etiam tres vel plare alias tolumnas in unum Eoditas
du
at termini terino respondentes in unum addantur, dare serpem periodicam
unc consideremus Seriem summandam posse constare
ne
ex pluribus columnis A, B, C; e et quanlibet suns habere summatrices
tA ipsas L, M, N etc. B ipsas _, n; V;etc. et C ipsas h, Y, 3 et
s
C
ex
ipsam autem solumnam seriem summaliocem habere columnas Xqt 
dico X fore L, sed Y fieri ex M ANs et Zex H h, M, N., et
vel ut clavius res exprimatur ipsius Columnae A, summatrices columnae L, M, N,
habeant terminos designatos per circellos; sum ipsius B, summatrices A, M, V,
habeant designatos per triangula; et ipsius C summatrice habeant dsgnasos per
quatta
ex meris circellis,
ex meris circellis.
columnae S,
p
en
nempe B, D, 2 habeant designatos
Y ex cirvllis et rangulis seu ex  patet X constan
g
Columnae L, Y conflari ex circollis commnae M, et ciru
Q conflari ex circallis columnae N, tridgulis commuae (, et quadratis
paima
vel si verbis enuptries. m
summatrire
coluurna seriei summatricis onstat ex printa summatrice solumina
secunda columna serici summatricis consta
columnae h. Et ita porsst.
ve nsecunda columna summatrice primae commuae summandaed etes
t
summatcice primae
su
prigae columnae summandae A
prina columna sumatrice, secundae columnae summant
colymna seriei summatricis exteoon tenimatrice se ia secundae colmnnae
conflatur
vero
conflatu ex tern 
summandae B) et ex b prima columna summatrice 3tiae commua
Columpa summanda dia Coomna
cum autem singula columuae conflantes sint periodicae,
ca per fum demonstrationem praece.
oias icet Anter conflandum rursos aliquid rejiciatur 
et ita porre
im columnas Manifestum tamen est id ipsum quode esse periodi-
a dnimas 
aese su
etiam conflat
dalem jetegocits,
 caeteris pereodicis, fa eonsture
plumnas tandem periodicas constibula
a
e
cum adeoque s
al
g. E.id
potindus oramuu