# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/27752/text
# Catalogue record: 27752 — De Angulis Curvarum
# Incipit: Omnis linea intelligi potest generata motu duplici rectilineo,
# Date: 1683-06
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=27752&katnr=41010
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067981
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 19
# Folios: Bl. 3–6 (from the shelfmark LH 35, 1, 19 Bl. 3-6): 8 pages, canvases 5–12, page ids 00067981:0005 to 00067981:0012
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067981&page=5
# Lines: 577 recognised on 7 of 8 pages, mean confidence 0.90
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 3r — 00067981:0005
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 81 lines, status machine
De Angulis Curvarum
Omnis linea intelligi potest generata nueta exicierec
motu duplici rectilineo, sescilicet recta per alum recta vestaseseis prellela
ferature, et intella punctum aliquod feratur in recta mto, et recta ipsa interim deferens
feratur per aliam rectam AB, vesi eodem semper ad eam angulo ABC: Et
quidem si velocitas puncti et rectae, eadem proportione crescant linea cc
descripta erit recta, rempe si sit 1B2Bradi ZB3B ut + 2
ad 2d3d. sin
icgo minus curva. Et quidem si ratio ae qua crescit velolitas puncti, sit
major quam ratio qua crescit velocitas rectae punctum deferentis suna x
tc (seu sit su sit ratio idod ad 2d3d, major quam 1B2B ad ZB3B) tc
sunc curva et axi AB ex eta axi (AB ob vertet concavitatem; sin
minus convexitatem
Si vero causa quae velocitatem mutat cessaret
Terenta quam recta deferens
in axe retinerent in velocitatem quam, habent, seu s nec per vim externam
vel sulpenderetur, ita ut tam punctum in n
et
luc
eam mutare cogerentur, perernt in recta quae curvemvaset ende
tunc punctum curvam de scribens pergeret in recta,, eaque curvam tangente
Unde quae causa est cur omne punctum  in linea curva motum conetur
procedere per ejus tangentem, si sibi relinquatur, seu libertatem nanciscatur.
Nempe si sit 1B2B aequ. 2133B et 1D2D aequ = B +d3d procedet punctum c.
in recta , C2C3C curvam. AC tangente in puncto C.
He
Hc eadem censetur esse directio vel inclinatio sive declivitas curvae,
aepuncto  quae rectae it tangentis DC. seu eadem est directio cur va
ergon
FF in puncto C, qua rectae tangentis TC. vel curvae CE qua rectae HC.
et si duae curvae FF et EC. Hinc si recta curvam secet intelligetar angulus
rectae ad curram is esse qui est rectae ad curvae tangentem in puncto occursus:
seu angulus ecae PC ad  FF, qui PC ad TC. et recta porpendicularis
ad fangentem currae in loco occursus, ipsam curvam ad angulos rectos secare censetur
Et si duae curvae se secent, angulum eundem facere censentur, quem earum
Erga sed si recta curvam tangat, an tunc nullum omnigo, ad eam angulum
tangentes, ut angulus FCC idem qui TCG.
ucetit est  isselar ele facere censetur, quia angulus alterius recte
ad ipsam idem censetur qui ax ad ips curvam. Et proinde cum angulus rectae GC ad
Dearvam fC idem intelligatur, qui angulus GC ad rectam TC seu si TCG angulus TCG
aequivalere censetur angulo FCG utique gnecesse est angulum contactus F CF haberi pro
nullo, sine nullam rationem assiguabilem, Vabere ad angulum rectiliacum cG Quod eadem
methodo demonstrari potest dequavis curva qua Euclides in circulo, semper im portio
curvae quantum satis est parva FC cadet inter LC et TC rectas, unde angulus LCF rectilineu
inlibet parvus, semper tamen angulo contactus major erit. Quae
causa proinde est, cur tangentium anguli pro angulis curvarum habeantur, Et
hoc sensu duae curvae se tangentes rnullum omnino angulum facere censentur.
utcunque para quan
de
Verum licet Angulus contactus sit ad angulum  rectilinemus, ut linea
ad superficieni, utamen ut linee inter se, ita et anguli contactas inter se conferri
possunt, et eateaus censobuntur habere quantitatem. Itaque si curva curvani fecet, nulle
quidem censebitur esse quantitas, anguli quem faciunt, si ea conferatur cum
angulo linearum se se cantium; sed si duo anguli contactus conferantur definim
potest, ater sit major. veiIdque usum habet ad definiendum
utra curva intra alteram cadat. verbi gratea si sint recta Y Y, curvae FF et EE
ut si FF sit circulus descriptus centro D. radio PC EEautem
sit alia curva verbi gratia parabola, quaeri potest an circulus cadat extra parabolem, seu
vel quaeritur utrius
le se tangentes in C)
an angulus contactus TCF sit major angulo contactus TCE
cujus a curvae directione discrimen est explicanidum puncto C
Quemadmodum Ergo inclinatio seu declivitas seu directio curvae 
curvae major sit curnede
eadem esse intelligitur quae rectae tangentis LCM. quid est quae hordae seu
unneevaerere rectam quae curvam in puncto
qu
em
dato secat tangat, est problema id quo quaeritur in recta circulum
uro
Un
rectae in duobus  punctis
se curvam secans in duobus  punctis, tantum modo determinatum ad duas
indefinite parnum diffita.
radices aequales, seu ita et A et B tandem coincidant . Ita curvedo curvae
verum curvedo currae a tangente ejus mensurari non potest, rectae enim curvedo
nulla est. Et curvedo requirit duarum inclinationum seu declivitatum AB et BC
collationem inter se, sine qua etiam judicari non potest, utrum curva sit concava
vel convexa ab aliquo latere proposito Hinc vttellige pteste ad curvedinem tria
curvul puncta
bcol inttonteo in finite paros disita) referuntur requoimentur

## Folio 3v — 00067981:0006
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 4r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 74 lines, status machine
Itaque ut prius rectam ad hibnimus ad directionem designandam, quia rect
semper dari potest recta secans curvam in duobus punctis, ita simplicissimum est ad curve–
dinem ad designandam adhiberi, alteram linearum uniformium, nempe circulum
quia semper circulus reperiri potest transiens per tria data puncta, quoties ea
non cadunt in unam rectam. Invenire ergo ms curvedinem, est invenire circulum
qui curvam propositam se cet in tribus punctis, ea tamen lege ut tria
puncta coincidant, seu ut problema habeat tres radices aequales?
sirculorum eandem
ut
i
curredonem frbetium.
oleresit
Et proinde
esciticurvedo der circum ferentia
intecligantur clarius circulorum prius curvedi, et anguli contactus sunt
proce
quae ut
elut rade
via, eresceule
explicandi. Et quidem censetg masis ciculme alcedre ad rectum s  seu
eorem ah abere arguedinem quo let major. Sell adeo ut
recta haberis possit pro circulo cujus centr est in radius est infinitus. Sed ut
sciatur qua proporcione decrescant curvodines, crescentibus radiis considerandum
esst immedines considerari posseorunt seu flex, oncs intelligi posse non tantum
in sigulis, sed ettin polygonis regularibus. Sint ergoe duo pulyquua regularia
similia
et quidem quia circuli sunt similes
inter se, et quivis circulus uniformit et
seu partem parti simitem habet
commode defentri potest cutredo circuli
a pauditate radii ut
Quoniam curvedo circulorum in parte utcum
parva reperitur, consideremus prius partes assigna
patet purtem intercep arcum circuli minoris
quam arcum circulimajonis cadit enim hic
intrad illum, et quo cuvidre est circulus
majore existente curvedine majorem etiam
esse sircum porro arcus BC est ad arcum
ec BFC in vatione composita angulorum A
ad E, et fradiorum AB ad EB. nam sumto angula An
aequ angulo BEC est angulus BAC ad aris AM, ut
au BDC  ut constat. (unde semper ratio radiorum
Quae ut intelligantur clarius prius circulorum et curredines et conguli contactus
erunt explicandi. Et quidem cum circuli suit similes inter se, et quilibet circulus
sit uniformis, seu arcus habeat etiam similes inter se; optimum erit constet
autem arcum e esse  rectae similiorem, seu minus flexionis habere
qui est portio circuli majoris; et curvedo considerari possit tanguam portio
biles centro C Ladio AC describeturarcus BdC
et centro E sradie majore EB, describatur
arcus BFC secans priorem in punctis B et C
inter puncta A. (inter ceptum
pajor quam augulorum)
circuli indefinite parva, quae in portione sindefinite parva, seu ocu arcu
arcubus crescentibus curvedines decrescant, poterimus assumere curvedines esse
recipioce ut arcus eorundem angulorum seu recipioce, ut radios circulorum.
 quae hypothesis nec opus quidem habet probationes, potest
enim fieri pro arbitrio, modo mepsusa semel sumta constanter servetur, in nostra
enim potestate est dicere, quid per curvedinem circulorum intelligere velimus.
Anguli contactus circulurum ut intelli si circuli cirea AB, AC, Ad, AS descipti
sint dia punctis A. B c ds cadentibus in unam rectas
seu sese tangant omnes in puucto A minore cadente intra
quantunlibet exiguo, comprehenso duabus fectis A BC coincidentibus, poterit
angubi diversorum duorum circulorum, cumque duo anguli arcus sint ut radii
imilium
majorem et sint diametrr AB AC. Ad. AS co
eit si circulorum ALB, ACM, AN d, ATS ino major minorem
comprehendat et tangat, sintque diametri AB, AC, Ad scontinue
tionales nam sive
Ais nimirum
eandem cum
curva propo
sita curvedim
habere cense
bitur

## Folio 4r — 00067981:0007
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 106 lines, status machine
si duae curvae se f tangant; dicemus argulum contactus, eurdem esse qui duorum circulorum eandem cum curvis propositis curvedinem habentium
decrescit curvedo et quidem
cum uniformiter crescant
circuli circumferentia
rescant curvedines, crcumferentis reperiantur,
et a
maneant similia, assumi
potest curvedines decescere
in ea ratione, in qua circum
ferentiae seu diametri, sive
radii crescunt. assumi
inquam potest, tanquam
hypothesis arbitraria quidem
sed apta ita ut inqota
tunquam definito curvedinis
nonsoulis, ut sciatur quod
a notas per quantitatem
crescentium radi circum–
ferentiarum; Sequiturtas
assumi.
neque paiiu pro duplicatic aut
ejus intelligatur, eam scilicet
triplicate ration 
causa argumentum esse
potest et ratio quan
assig cum mecese
Nota planet circulas ejusdem
curvedinis vocari osculantes
et angulus duarum curvarum
ejusdem flexionis seu curvedinis
dicetur non tantum angulus
conlactus, sed angulus osculi
N. revera sunt quatuor
radices aequales in puncto
osculi, ponemus enim circulum
tangere curvam, etdum
aequamque currarum differen
tiales. Et quia aequatione
idquene dispu necesse
inde resultatetem tursus
ad duas radices aequales
determinamus, eo ipso
facimus eum bis tangere
curvam, puncta autem
est cunvedines crescere in ratione radiorum decrescentium
vel simplice, vel duplicata aut subduplicatau.
triplicata aut subtriplicata, quadruplicata aut
subsec subquadruplicata. Id est vel curvedines
vel eorum quadrata aut cubos, aut quadrato=
quadrata etc, esse radiis aut eorum quadratis,
aut cubis, aut quadrato quad ratis proportionales
Affumal pont jam adistadi corvedines verbi
gratia crescere verbi gratia, ut quadrata decrescentium
radiorum. Quid velabit me tunc vetabit mne
curvedinem, quod tu vocas curvedinis
id quod est in d me vocare curvedinem, id quod
vosateq
tu vocares curvedinis (numeris ex pressa) quadatum;
neque enim hactenus illud nomen determinatiam aliam habet
significationem, quan quod secundum ipsam intelligimus
auvam ipsam ples minusne accedere plus minusque recedere
dis disferre a reta et cr in circulo aquidem eam, ubique
eandem esse, uit radiis crescentibus decrescere, uniformiter
decrescentibus etiam uniformitam derhesceren. tuque radii
apte pro curvedluis mensura sumi possunt.
ar
in
plo
Videamus semi causa. Quo
eciaremus
datoscilicet parabolae A eC puncto C quaeritur centrum circuli
cutorum
contactuum coincidere
ahiscurvis
parabola
commode; dici potent, curvedinem metiri poterimus magnitudine arcuum ejusdem exempli gratia sit parabola AC, quaritur quae sit curvedo ejus
in ipso vertice A sit AB axis parabeq seu recta ad eam in
vertice perpendicularis, manfostumes quemlibet circulum centro
cuius centrum sit in re axe cirumferentia vero transit per verticem
ibi parabolam tangere sed alii quidem circuli quorum vadii sunt
cadunt extra parulolagi et circulus CAd centro B, et FAG centro E
n centro H, quaeritur ergo ventrum ra
omniam intra cuvam cadentium maximi, quod utique reperiri debet alicube
majore
irabolam
inter H et E. id sit N, et centro N rudio NA descriptus circulus cadet
aliiccutra
intra curpam qui H PAQ, si vel minimum augeretur casurus esset extra
abo minores vero majorem
curvam, cumque aliiomnes majores minorem quam r
habereurvedinem intelligantur, ipse habebit aqualem, vel curvedini parabolae,
vel saltem ab ea inassignabiliter differentem, eodem modo quo angulus
rectae ad curvam ab angulo rectae ad line tangentem differt quantitate
proportionales, erunt anguli LAM, MAN, NAT enam continue propor. quae minor est quadi quovis rectiliueo assignabili, quae proinde habetur pronulla
uli notandum est porro cum circulus quivis extra parabolam cadens, centrum in axe
habens et verticem ductus necessario vertice curram secet ad huc in duobus punctis, R et
il aeq
probtem
pro rudius intansectionis punctum occursus invenitur, quatuor habeat radices
quas quodem iequales iin practo cuntadus, dans vero et duns pra terca pro punctis Red
cur dicatur dici possit eas
decressere in duplicater
triplicatave ratione
ita ut omnia semper lece nec ulla ratio reperiri queat
ete ratione arqe ullum
reciproce

## Folio 4v — 00067981:0008
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 3r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 100 lines, status machine
descriptibilium
oatet in circulo eAq intra curvam descriptorum maximo, qui haberi potest pro
 omnium extra curvam desc pro parte cadentium minimo; intervallum AR vel AS
fit infinite parvum, seu puncta R et s incidunt in punctum A. Quaeramue
ergo punctum R. quo circulus datas circulo E radio EA descriptus parabolaB
centri
a sec occurrat extra verticem; perinde ac si radius EA esset datus; sed p aequam
bille
ationem inventam accommodemus ad duas radices aequales, quia coincidere Ret A
odebent R et A, eoque ipso inveniemus pro minimo EA, radium NA de sideratum.
sit in axem perpendicularis RT. quam vocemus y, et AI
AE radius circuli quaesitus sit E,
semilatus
et
parabolae autem Latus rectum sit a
2C= XX Ex natura
Ex natura circuli erit yu  aequ.
parabolae
2ax aequ. yy.  Ergouper methodum tangentiam meam
erit. Oy:  C - x:: Py: a. 
seu e - x aequ.a. seu quia in
 nostro casu, ubi R incidit in A, etiam T incidit in A, seu AT sive X
evanescit, erit e aequia. si id est A N erit latus rectiem garaleohae
semilatus rectum parabolae. Quod etiam sine calculo praevideri potuisset, ex
x nota parabolae proprietate, quod VR exae axe educta in V, parabolatur
secante ad angulas rectos in R esit TV semper  dimidio latari recto aequalis
unde cum Blucidit in A, V incidet in _ X posito NA esse semilatus rectum
RT existente infinite purva, seu R etiammincidente in A. Generaliter sectionis
conicae curvedinem in vertice ita reperiemus: 2aX + a yy aequ yg. et
yy +  aequ 2X C- XX Prioris aequatio differentialis est adx  xax aequydyue
seu dx: dy :: y: a + ax posterions aequatio differentialis: ydy aequ edx -Xde
seu dx: dy:: y: C - x. Ergo fit a + = X aequ. C - x. Est autem Xaequ. 0.
in nostro casu; ergo erit aa aequ. e. Seu in omni sectione Conica
ea est curvedo ad verticem quae est circuli cui
Sa circulus
sec
ema memata
spelit
Unde habemu
bile
diamete
est latur nectur
e
mytice a parte concava tangentium max
Si duarumsectio nt ComiarX AyC
et RAS, quarum haec illum intus tangat in vertice communi () ea 
eadet intra alteram cadet, cujus latus rectum est minus. necrefert
an sint ejusdem nomine specieii naturae et speciei an vero diversau et
rectum
nulla omniuo hic ratio habetur lateris transversi: quid fiat cum latusitrans versum
aequale est po duarum sectionum conicarum aequale est, postea dicemus.
In genaa
curvedinem cricunque puncti sectionis conica sic inveniemus. Duratur p perpediculis
ad curvam, sut in R et in ea sumto centro describatur circulus tangens curvam
in C, et ponterea secans in R, quaeritur punctumse. polle, cum vero in nostro
casu ( et R coincidant problema determinatum ad duas audices aequales, dabit
radium k.
or
lare
Rde ad axem ordinatae ducantur RT. CB. EF
sit AB, X.  et sectionis conicae catus rectum ra, latus
varemus
comp
n
transversum 2a, erit Bp aequal. a fx ut paulo aute ostensuu est
Rusus exnatura sectionis Cnicae rax F axx aequigy.
EF sit 
AF sit Z. EC sore. Ex natura circuli erit ggeryve quadratum
a CB + FE, cum quadrato ab FB, seu ab AF = AB C, seum aequale quadrato  EC
seu 7y 42yB+ vV. + ZZ - 2ZX - 2Za 4 2a x
+aa +2aax + aa xx aequ. ee.
44
fmaxa emra txxtraxtraxt
cujus differentialis aequatio est:
Ady 1 vig Z
ex
ydy + Pvdy -Z ax  Za dx +xdx + a dx + 2a X dx ffaa dx + aa xdx aequ. 0.
sC Ct Et quae B PF ad DE ut BB ad CB erit FEad PF seu v ad Z X ta + a X, ut
BC  ad BP seu y ad a = =X erit v aequ. Zy - XG
a +ax
x quo valore suubstituto in aequatione
differentiali praecedente t eaque mutata in analogiam fiet dxdy:: Zy- xy: 
la fax 2Z
+92Era
x f. x - a +22x + aa- aax. At supra dxidus:: y:  a + a x  compendii
p
causa a +a X quia data est, vocemus p. et ergo aequando duas analogias habebimus
:
 en ( 2) aequi (Z) + 2 Z(∞ - B + x =E p et destructis destruendis erit eq
Laequ X 4 a+4 p. Unde sequitur p theorema elegans generatissimur pro sectione
et
Conica fertione quacatiu, nempe erit Bt PF ad PB, seu EF ad BC ut latus transversum, ad lateris
recti et transversi summam et centro E ratio EC descriptus circulus metietur curvedinem. Ita
ut convexitate muius sectionis conicae concavitatem alterius tangente, hinc definiatur sive erit inscripti
imus tanset habet pruncto C tangentim maxinus hatetm metotu in alis tacit canruis loer
a
aqu
23(21F ZY
a 
u

## Folio 5r — 00067981:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 67 lines, status machine
ve quacum vero cuilibet puncto curvae
CC respondeat suum punctum, e nempe centrum maximi circuli curvam ineo
puncto intus tangentis, seu convedinem metientis, operae pretium erit
invesligare lineam centrorum, ED. Quod ex dictis non est difficile, exem
pli causa, fi in foctione conica, quin inverrimus esse,
7 aequ. X + p + 4p, seu Zaequ X +a + ax  q +X
unde compendii ausa +a +q vocendo b et 29 +a vocando R
fiet Zaequi LX + b. seu xaqu 29, bg
seu  xaqu. 4Z- Bq. b)
Et quia supra diximus esse vaequ Zy- xy -y.
a + ax
- q
erit
seu vaequ 27 4Z744b7
Yaequ. av fiet y aequ. va Faez p + a bv
1b - a-
 intor tatunc ut
a + 4Z
a
as
sed tevx
t2bC
et compendii causa pro a   b scribendo f et pro h- 4+ a scribendo g.
et pro  b -f scribendo 1. fint y aequ  ZV + f0. 97 + l
Et inventos valores literarum X et  substituendo in aequatione ad
Conicam: X rax +q X aequ gy. fint 2247 - 2agb, + 949 + 2a9 bZ + 49 bb aequ. . .
h hht
aeu aaque vo t 2at zun +5fiv,: 9977 4 2.q  I
1h
ht
ht
quae est aequalio ad curvam EG
si conicassestio esset parabola, fieret a aequ. 8. et baequ 4 g. et haequ. 29 et fag.
et faequ.q et aequ. 9 et et laequ. +:9
et ficret 2Z + a4 + _ f aqu aequ.
 aZ + a4 f a
yy
a Z + aq aequ. -aa ZZ vV  Z3
aqat E
44
Y: Z- x p.: y. p
ent vigu FCu 17 7
si curva sit par ACC sit pambola erit AF seu Z aequ x+ta seu xaequ Z a
erit _ PF ad BP seu ad _ a. ut 
In genere curvedinem cujuscunque sectimis Coniaem sis inveniemus Ducatur pen
seu gy tpo +ov, ZZ 2ZX - ZP exX + 2xp+ pp equ e. qui quia dp aequ. + a dx
fiat diferentialis aequatio 3 A7+ vause d Zdx +Z ax p X AX f a xAX Aa Xx + adx + xrq eadxaqo
q  B  1
ydy + vdu q dx +22 tx 1 ad axx par f a p dx aeguro et quia veram repy
fiet x. du  2 ∞3: 
11a
tiet Z.x aequ Z.x p + Z xap g. seu ap + p +x aequZ
seu gy 129V+ ro + ZZ 2ZX + XX aequ. el. seu cujus differentialis yy + vdqus 
 ydy tVdy  1Zlx + xdx aeq e ( Cyes se axel y rrez X : 3 g. p.
Et quia ob Triangula PFE, PBC similia FE ad pF seu vadze X.p. ut BC ad pF seu ut y ad p
fiet pV aequ Zy = xy - py. seu y tv+ y:: ZX.. p. Et pro p ponendor valorem
a + ax firt. a0 43xv ay +GYV aequ. Ly x cujus aequationis aequalio
differentialis est + avem tadu fantus aequ Zdy- x 4- ydy. seu Ret
a dx: du in Y 247  y a 1 ap: x f 2 B At supra Lx dy 1. y: a + ax
tiet za ya vaa  aa v + a Z  + a xu faa x - aa vx aequ xy t a ry
q9
seu p B+y aequ y. Z. X. et Es autem p aequ a + ax et dp aequ = a ax fiet
deidys.
:
P dy + a dx vty aego Z. X dy  ydx at  dx aerio Zp Ergo firt: 
YY P + G q vry aequ Z. X = 978. ab Ergo paulo ante Y +y aego Y q. X.
Ego per p + 3 v27

## Folio 5v — 00067981:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 76 lines, status machine
In genere quomodo curvido curvedo puncti dati inveniri possit exemplo
docebimus sit parabola AC quaeritur curvedo puncti dati C. id est E centrum
circuli omnium, qui parabolam intus in puncto C tangere possunt, maximi.
ponatur circulus  curvum tangens in ille curvam non tantum tangere
in C, sed et secare in R. quaeraturque punctum intersectionis R. quod
cum incidat in C, in casu nostro, ideo problemate determinato ad
Ex antura
duas redices aequales habebitur punctum E.
 sint ord perpendiculares ad axem AB, nempe RT, CB, EF
et AT vel AB vocemus X, TZ vel BC, y. AFZ. EFV. EC, ∞
parabolae latus rectum sit 2a. erit si ergo circulus centro
E descriptus parabolam tangit, juncta EC secabi EC fs
secabit axem in P, ita ut fiat BP aequ. a. ut constat.
jam parabulae aequalio est rax aequgu. Aequatio
ad circulum e db circulum, quia quadra BC+EF cum quadrato
ub AF AB, aequadu quadinto ab EF EC. erit:
uergu +q2 12∞1 X0 aequ. ee. 6b In angula
similia PBC, PFE erit EF seu V ad PF seu X  Z - x -a, ut
_BC seu y ad Ap seu a. seu va aequ Z Et X est aequ. v7 ex
natum parabolae. Erit ergo va aequ Zy- i- ya quam aequationem
determinundo adidnas radices aequales erit Zaequogy+ a seu Zequ 2xta
seu AF aequatur tibus dimidiis ipsius AB Ergo PF aequatur  dimidiae AB
facilis tantum enim vel AT, si quidem T et B seu R et C coincidunt + Ergo cum sit
 erit v: 1R: y: 4 seu vaequ 2Z. A Contra X aequ3 Z a
a
2a
 Logoqu uc substitutur hi valores in aequatione
ad parabdlamL 2aX aequgue  pro Z- a sumatur Y. Valires
erit X aequ Z Y et y aequ hav substituendo in aqua hos
valores in aequatione ad parabolam rax aequigus ut tollantur
X X et y fiet 2aY aequ 9 aavo seu 2V aqu 7 avV
Eupr cant posito AN esse a curva NE quae sita
ean habetit et pro 27 a sumendo b erit van brv
quae est aequa tio A praboloendem Tubicem sub quadraticam seu
ubi ordinatae NB sive _ (posito AN esse a) sunt inte se
se ut radices quadrati cuborum: ab abscissis NF (posito
At N essea) rndices quadratia et latus rectam hujus parabolvidis
erit e a1
facto ptium e patet consideranti rectam CE per–
perdicutarem ad civem AC esse tangentae in linea centrorum
Cum ertime supia dictum sit circulum centro 1E desciptum transsire detere
per tria curnae puncta inassignabiliter distantia 1C. 2C. 3C. ideo
tantum opus est ut ex rectarum IC2. C,  3 et 2CZC punctis mediis
educantur perpendiculares, quae concurrent in puncto E, eodem ando
eodem modo invenietur punctum 2E, et 3C et qE. Et c ob assi
distantas inassignabiles, cerunt 1C2C, et 2C3C, et 3CgC etc.
tangentes curvae Cc.  similiter ad quas perpendiculares sunt. M, E
2M AE, 3M3E, etc. et 1E2E 2E3, 3C4E tangentes curvae EC
continuatae sunt ipsissimae 2MEE 3MBE etc. Ergo tangente
perpendiculares curvae CC junt tangentes curvae EE. Et proinde
linea centrorum curvedinis, est illa ipsa cujus evolutione describitur
curva: ita si filum NAE rectum ab A ad N, inde flexum circa
 parabolocidem vd rigidam EE, in eodem semper plano manens
evolvatur, sive continue tensum moveatur ab ANE ad EC CG erit
curva s puncto A descripta erit parabola, et differentia rectarum CE
et Aae ae quabitur cu pambolodidis lubico- subquadraticae NE
AEt habetur onstructio
in producta AP sumendo
pF dimidiam ipsius
perpendicularem FE
occurreutem ipsi cP
datae in E, centro
E radio EC descriptus
circulus erit maximus
tangentium in puncti C
parabolae inscriptibilium
seu curvedinem ejus
metietur Inventis
m quaeritur jam linea seu
locus omnium centrorum
curvedinis, seu punctorum
Eu nempe curvare
Nempe
AB et ex F educno et y aequ 2aV
EE
 supradictam

## Folio 6r — 00067981:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 73 lines, status machine
Caeterum ad hoc ut duae curvae linea eaudem habeant curved
Caeterum quemadmodum circulus descripbus centro N in axericitur
descriptus
idem habereumedinem
quam parabola CAC in vertice habet, licet hae duae curvae
non eo circulus et parabola futcunque longo tractu fe co quem
ex su praecedenti de finitione pro mensura (arvedinis parabolae
in vertice, sumsimus licet longo tractu parabolam osculari videatur
longe majore scilicet, quam ullus alius circulus illic tangens, revera
tamen eam non contringit nisi in uno puncto, neque enim ulla pars
parabolae ulli arcui circulari congruere potest. Et quemadmodum
directio curvae eadem censetur quae recta tangentis i eundemque angul
C
CAO
eundem facere angulum censetur quem recta
E
eau
curra et curva aliam, secanse
tangentes, ita corvedo, curvae eadem censetur quae circuli maximi intus tangenti
o
se
quia angulus nempe angulum TAD, angulo cdntingentiae, tanquam infinite.
se
pauvo neglecto contactus neglecto angulo contactus TAC tanquam infinite
parvo respectu anguli TAD. Ita curredo seu flexiocurvae AC A
 Nper A descripti intus
centro
in puncto A eadem censatur quae circuli maxim
tangentium maximi, et curvedo fexio curvae FA eadem quae circuli KA. et
arcus conta angulus contactus duarum curvarum, nempe CAF idem censetur, qui
censebitur, qui duorum circulorum, nempe  ang. HAK. Deglectis angulis
contactuum, quos curvae faciunt cum circulis eandem flexionem habentibus
tanquam infinite parvis. Nam angulus contactus luva CA, cum suo circulo
osculante HA est i respectu anguli contr infinite parvus respectu alteria
anguli contactus ordinarii, iquem curva cum alia linea  ut FA vel KA facit
ut CAAvelcAk
un quia est quoris minur quovis angulo confactus circulari, si enim
Circuli HA Circulus cnteunue parva intervallo augeatur accessione angeatur, circulus
AN
iradim
oscnli, seu.
statim cadet extra curvani CA. ITaque angulus (contactus CAH rectae
curvae cum circulo osculante sim enndem flexionem habente; est ad
angulum contactus communem duorum circulorum ut HAK, ut quemadmo
dumd angulus contactus rectae eandem cum curva directionem habentis
eti
seu tangentis, ase habet ad angulum rectii rectilineum.
Et, si duae curvae sese osculentur, sive eandem in puncto contactus flexione
habeant, ut HA et CA eundem habentes. circulum maximum teg
intus tangentem angulus osculi HAC etiam infinite parvus erit comparatione
angali contactus communis, ut CAF. Et quando hoc contragit, ut duae
curvae sese osculentur, tunc  lineae  earum generatrices, quarum
evolutione describuntur, sese tangunt ita ponamus curvas HA, et CA
 osculari seu eadem cum curvedine contingere in A, et CA generari
evolutione curvae p HA evolutione curvae HpC. et AP esse perpen
et PA esse radium circuli centro P dio descripti, eandem cum duabus
curpis curvedinem habentis, is utique erit perpendicularis ad curvas HA, et CA
et tangens ad curvas Cpa HPR ergo hae duae curvae sese etiam tangent
quod si lineae CpZ et Hpu non se se tantum tangerent, sed et oscularentur
tunc lineae HA et CA sese plusquam oscularentur, seu quaerere punctum
occursus esset problema ad huc plures quam ante habens radices aequales.
Et ita Anguli contactus varios habent gradus in infinitum, ita ut semper
sequens sit nassignabilis respectu praecedentis, et proinde negligene
A
Et pro
lolasvel
alia Conca, secans curvam propositam in quatuor an t pluribus punctis, quam in quibus circulus
eam secare posset. tandemque ponendo omnia puncta intersectionum coincidere
aut etim
haberetur quae sitae parabolae positio. E sed quia curvae illae
altiores non habent uniformem flexionem, ut circulus; nec opus est, ut his
nunc immorenum, sufficit enim aditum rei plane novae apernisse. Utra autem curvaum
ese osculantium cadat extra  edinibus  quoque meo habent, sacice detit minatur.

## Folio 6v — 00067981:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# No recognised text on this page (recognized).