# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/27753/text
# Catalogue record: 27753 — De Angulio contactus et curvedine, et de natura qvantitatis
# Incipit: Ut appareat qvam parum perspecta sit ipsa natura qvantitatis in univer
# Date: 1683-06
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=27753&katnr=41011
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067981
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 1, 19
# Folios: Bl. 7–8 (from the shelfmark LH 35, 1, 19 Bl. 7-8): 4 pages, canvases 13–16, page ids 00067981:0013 to 00067981:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067981&page=13
# Lines: 350 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.93
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 7r — 00067981:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 60 lines, status machine
De Angulo contactus et curredine, et de natum quantitatis
Ut appareat quam parum perspecta  sit ipsa natura quantitatis in universum
coptroversiam (rem inter Geometra raram) ex ejus ignoratione profectam consideremus
de Angulum curvarum linearum disceptatum saepe est inter Geometras occasionem
praebente Euclide, qui dixit anguln cotactus, quem circulus facit cum recta tangente
(recta AB circulum CDE tangente in puncto C) angulum contactus (BCE vel
ACD) quem circulus facit cum recta tangente esse quovis rectilineo  minorem
id est si al ad idem punctum am rectae eidem AB occurrant circulus
cdE rectam tangens, cet alia recta CF fore angulum ACD minorem angulo
contactos. ACd, minorem rectilineo ACF, quia recta necessario circulum secat in D
et ita arcus cd cadit  inter duas rectas. Idem Euclides notavit,
angulum  q quem recta Gd per centrum circpli transiens, facit
cum arcu circuli cD, esse quovis angulo acuto GCF majorem. eandem ob ca
quia scilicet GCd semper cadit recta  cadit inter arcum DC, et rectam GC
Inde jam quaeri coeptum est an angulus contactus sit quantitas, et quomodo
possit mensurari, aliaque multa quae in scriptis contrariis jacobi telletarii et
Christophori clavii, nt legi possunt.
Sed mirum non est
haec illorum temporibus fuisse obscuriora, cum ne nunc quidem, ubi generales
linearum proprietates magis innotuemnt, fatis in clara luce posita sint.
de itplhi Cum vero res magni sit momenti ad ipsam curvedinis
naturam intelligendam; operae pretium visum est eam rimari puofundius.
Primum ergo definiam, non tam quod sitangulas, (saffeit enm scire
quod duae he linie rangulum facere dicantutrum scilicet sit inclinatio
an quantitus puncti; quam quando duae lineae angulum facere
dicantur, scilicet quandu sibi occurrunt, nec itamen coincidunt. Et dicam
angulum angulo majorem intelligi quando exempli gratia angulum ACF
quem recta recta e facit ad rectam
angulo AC quem arcus HC facit adrectam AC,  quando sumtis punctis, es
angulo. ACH, quando sumta rect
L in recta FC et K in arcu HC utcunque seu indefinite propinquis puncto
concursus C. semper reperietur portio LKC cadere ntr inter AC et LC
jam cum quaeritur an angulus contactus  quem curva facit cum
recta tangente sit quantitas, prius explicandum est, quid squantitas
esse dicatur Et quidem prius sciendum esset quid Et quidem si quantitas,
illud esse dicitur, quod aliquo  sensu dici potest esse alio minus, vel majus
utique erit quantitas, secundum definitionem, quam nattulimus, quam negare esset
ita punctum etiam exit quantitus respectu lineae
est enim utique in linea, Cum veroi non soleamus punctum dicere quantitatem
ideo sciendum est. Quam et eodem modo quo angulam contactus diximus
litigare de voce.
minus linea; unde etiam solet
Et sicomne quod alio minus est,
linea rectilineo minorem, poterit dici
quantitas est, etiam punctum quantitas derit.  potest etiam dici duo punsta
ariderum. Sateris cum 
punctum dici in extensione minimum.
alio sensu arctiore negetur punctum esse quantitatem iduunde fiat videamus,
Recte: An ergo angulus contactus
esse aequalia inter se congruunt enim.
 habet partes E Videamus. Nminm duo circuli tangant rectam ABinC
nimirum quia punctum caret partibus. d
unus minor CEH, alter major CMG. Videtur dici posse angulum contactus
BCE componi ex duabus aliis partibus, angulo contactus BCM (rect aecum
circulo majore) et angulo contactus Me Ccirculorum inter se). Largiamur
haec sane, sed videamus etiam an non reperiatur strictior ad huc notio
quantitatis, qua negata solet negari quantitas. Dico ergo ut dicatur aliqua
res esse quantitas, seu habere quantitatem, non sufficere ut habeat parte
sed eo quo diximus modo, sed etiam ut possit habere partem dimidiam
portem tertiam, ett seu it puoes intent mntionem aliquam e0 cotum

## Folio 7v — 00067981:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 62 lines, status machine
Quaero ergo quam rationem intert se habeant, duo anguli contactus circulirum
cum recta, nempe BCM et BCE, et quonam ex principio p possint
quodsi 
ne Zam
recta
ergo dicemus etiam nec angulum contactus Esse i hoc infhoc quidem
tunc
sensu) esse quantitatem.
Ex quo apparet Audabatarum more
hic pugnasse, qui ne notionem quidem quantitatis  satis perspectam
habebant
cort inquies concedamus
Nimirum quaecunque iita quantitatem habere dicuntur, ut possunt
mensurari, ea debent esse homogenea inter se. Nomogenea autem dico
quae sunt similia, vel transformari possunt in similia. sed hic in novam
incidimus difficultatem, remo enim explicuit, quid sit duas quantitate
homogeneas esse interi Dico ergo Homogenea esse, quae vel
sunt similia, vel transformari possunt in similia. ita linea recta
et curva homogeneae sunt, et h mensurabiles, ac comparabiles quoad
m
mensuram, et proinde respectur inter se pu quantita, pa nam si recta
extendatur in cuvam rectam, facta est rectae similis et duae curvae in rectas
extensae, similes inter se fiunt. Sed nun quam mlinea et superficies poterunt
similes reddi. Nec angulus rectilineus transformari potest in angulum
contactus Hine jam quod componitur ex partibus, quae non sunt homo–
genea, inter se  exepli non est quantitas, exempli Y non dicitur
area
quantitas exempli gratiaco extensume G. HDCEH compositum ex plano
sphi G.ADCE et congitudim rectae GHop. seu si corpus aliquod fiu pomum
aliquod fingatur, un cujus pediculas  (MIOis Irisit linea, sive careat
omni crassiti latitudine et crassitie: tatis tale compositum ex stylo et Romo,
non poterit dici quantitas: Tale plane compositum esset angulus D HG
constans ex anguloe recto PHG et angulo contactus. DHP, qui omnino
inter se sunt haterogenei.
At linea. GiHEC est quantitas, nam
partes  recta GH, et arcus HEC Romogenea sunt.
Ex hisicto intelligi notest cur angulas rectilinens habeatur
pro quantitate et quomodo possit mensurari
Euclides aliam aetsulit notionem qua explicat an duae
quantitates sint homngeneae nimirum, quando minus a
majore tani saepeanfei potest auferendo quoties fieri potest,
et residuum rursus a minore, et residuum secundum a primo et
tertium a secundo, et ita porro, tandem velsi restat nihili vel
restat aliquid iant quovis minus,  (quando scilicet duae quantitates
habeat mensuram communem) vel devenitur, ad quantitatem data quavis
minorem, quae proinde nihilo aequiparari potest.
homogenea este, qui
potest
sec
Quod perinde est ac si dixisset
Led simplolius apparet simplicior est meus explicandi modus, duo
enim similia e, ut enim congruentia est principium aequalitatis eaequalia
enim sunt quae reddi possunt congrua) ita similitudo est principium homo geneitatis,
seu comparabilitatis, ut si comparabilia sint quae reddi possint similia. Similia
autem esse inter se homogenea tam per se manifestum esse, quam congrua
esse aequalia. Et ex hoc ipso ego rationem derivo, ut sit sit ex relatio
quae inter duas res similes dum enim duas res similes esse considero, vel fieri
a ad b. quam C ad d si
intelligo eandem enim rationem dicio, cum
tam interse
a et b sint homoginem itemque c et d, possitque ex a erb aliquid componi
simile alicui quod componi potest eX C et d.

## Folio 8r — 00067981:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 90 lines, status machine
Hinc patet jam angulos rectilineos posse haberi pro quantitalibus
sunt enim semper similes, et cum generentur, unformita
ut arcus circulorum, hinc arcus inter se sunt uti anguli, et angulgium
conganlitates metimur ratione arcuum ad anguli ABE quantitatem
metimurmimur ratione arcus AE ad quadrantem AEC quae eadem est
in magno aut parvo circulo
certo modo
Addo et angulos contactuum circulares posse haberi pro quan–
titatibus sint circuli CDH, CLE, CMF, CNG se tangentes in C
sdas. Intelligi potest angulum
contactas intelli potest duos, angulos contactus inaequales esse
similes inter se licet sint inequales, nempe sit cd ad CC ut
CE ad CG. erit angulus ACL similis angulo LCN, aeque enim
se
Eodem mod Et generalite
discerni possunt, nisi compraesentia
si sit circulus CHD et CZE se tangant,  et sut sit diametri CD, CE
unt anguli CL, et sp
ropritionalic
similes. Et proinde crescentibus proportionalibus etiam
proportionaliter crescent anguli, sive  describatur
mo si tres circuli circa Cd. CE. CF, descripti se tangaut
et tres alii circa PQ. PR. PY, sitque sintque cd. CE. C F
ipsis PG, PR, pI proportionales, dximas angulum
HCL dictum est angulos HCL, HCM, LCM,
respondentibus simille, ergosp, SPX, TP X.
esse similes ergo erunt erit HCL ad LCM, ut Sp7 ad TP X
unde et nihil jam rimpedit dici. seu si sint tresid.
radii unius serici, tribus Hinc si sint qualuor rectae
circulorum se tangenti continue proportionales Cd, CE, CF, CG erunt tues anguli
contactuum circuli cujusque cum proximo, etiam continue propertionales
nempe HCL Y LCM, MCN. et quiaque assumtis radiis, continue proportionalibus
poterunt erunt quatuor anguli continue proportionales et ita porn
possumus ergo radiorum incrementa assumere, no angulorum inensur
t
quidem ut unquam demonstretur angulum num esse alteri aequalem
non
sunt
tamen  in hac aestimatione imperfectiones quaedam, nam nunquam
vn an vel
eri
pertae ra determinatae rationis, ad angulum contactus duorum circulorum
prioribus inaequalium; nec unus angulus contactus alteri dissimilis, ita trans-
formani potest, ut fiat ei similis; aliaqui neque ulla hic locum habet
congruentia, sed solum similitudo inaequalium. Huic imperfectioni
occurremus deductione ad absurdum, ostendendo eadem methodo, qua utitur
Archimedes in transformatione curvilineorum, et quae ne sola adhiberi
potest, cumentrans demonstranda; licet enim in angulis, contactus nulla
realis locum habeat demonstratio transformatio epus tamenhabet, demonstratio
saltem ex hypothesi, quod detur angulo contactus circulari alius aequalis dissimilis.
eo
diff
opose 
a
u
se
tnet
itrudiorum
pgi posse aequalitatem, sequitur angulos duos duorum circulorum
sec
in
ques
daddem o
a
sui
radicore inter se
alnim ese squat 
quols tus li taciunt plicus ad secundum et recunus ad tertiu
uod sicc
rnulo
ntrasi sprogressione misue
jocate
eique ex hypothesicipossibile sit assumere
dica eescontes
alium aequalem cotinuum HCL sint ut radius CW ad radium CD ita radius Cd ad radium DE
ut ra
demonstra, sit angulus Wve H quantum libet parvus
cumque per supa demonstram sit i WCH ad radiumanus HZL, ut HCL, ad LCM, erunt erunt
ergo et hi aquales  pant jam radii inuameri configne proportionates cW. Cd. CE. CF etc
erunt anguli aequas proportionales (per supra demonstrata) WecH ACL, L es, et C. Ergo per
(ex hypothesi duorum primorum aequalium) aequales
si jam sint esunt (G, CZ, CB, propor
tionales punc continuando proprationtu plugressionem CW.cd. CF erc tot inscribentur
inter Gq, quot inter 7 et B. vel differentia ni nisi quod unus vel duo adeoque tam mult.
angulus NCy, ex tob componetur angulis aequalibus ex quot componitur angulus ycA
vel si patili plures in uno quam in altero, fferentia non esse potest major angulo WCH
semel aut bis sumto, ut consideranti patebit. Cumque angulius WC(H possit esse 
minor quovis dato, ergo
Nes et yca differentia assignari sotest, quo tm
3

## Folio 8v — 00067981:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067981/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 39, 2026-08-27T09:55:26Z — 138 lines, status machine
inde euim, phenen mirabile sequitur,aq si radi siit ut nunet angulos
quod si radi sunt progressionis Geometricae, angulos contactum fore progressionis
circulatium
Arithmeticae, et, si raditsint ut numeri, angulos contactuum fore ut loga
rithmos.
 intelligi etiam hinc potest, etsi curvedines
Haec jam usum habent ad curvedinis naturam intelligendam
u sunt enim circulorum curvedines reciproce ut radii
ad angulum contactus vel ut diametri. Sed quid de aliarum circulorum et anguli conta–
duorum circulorum, ctuum cognatam habeant, naturam, tamen aliam esse rationem
angulorum, quam curvedinum; sunt enim curvedines circulorum
recipioce ut radii vel diametri, seu curvedo circuli CHDead
curvedinem circuli cDsrumcrntotum E ad CD. Cum enim similis
alia comparatio curvediniaque esse
per omnia sit generatio, utique
non potest. Quo
orro quoniam Circulorum curvedo
ubique est uniformis; ea optime poterimus
linearum
metiri curvedines aliarum curvarum
fit curva linea quaecunque
ACB, quam in
puncto C tangat
recta DeEDE cui
sit intra curvam perpen
icularis Cp ducta pC
ad angulos rectos occurrat
in puncto C. Manifestum
est si puncto quocunque
sumto describatur radio vero PC
describatur o circulus eum tangere
curvam ACB in C. Unde circuli infi
tangere possunt, quaeritur ergo quisnan
anvedinem habere intelligi possit, seu
eorum, qui intra curvam describi
possunt ultimum seu maximum,
vel minimum angeato
ei cum recta
haberi possit
pro circulo diameti
infinitae, erit
angulus contactus
rectae et circuli
ut logarithimu
numeri infiniti
qui ipse infinitus
est certo
tamen modo,
nempe ut
+ 1 + l + hC)
ad logarichmum
numeri fin
quod antem radt
diometris sint
existentibus progressionis
Geomenicoe, si
ut angulis existentibus
propressioliis arithmetica
ostendo: sitit anguli fue aequales trestres
Het LCM. WCH, HCC, LCt, LCtM
erunt quatuor radii CW, CD, CE, CF
pro proportionis gedmeticae continue
per demonstrata continuetur progesio
ut cunque, ut sint radii CW, cd, CE, CFCG, (ZCB et
G c. quotcunque, eruut etiam anguli
WoCH, HCL LCM, MCN NCy, YCA ete.
aequales, cumue idem etiam verum sit
quotcunque ut exiguus essumtus sit angulus
WCH, manifestum est omnes alios ex eotanquam
dato. si quis autem neget hypothesin
nempe angulo confactus dato  WCH apponi
posse aequalem HCL. Erit esse ergo necassrio
vel necessario mujor, vel necessario micior,
compluni menen mensura conflatos intelligi
posse, errore existente minore, quam ipse
est  angulus IDCH, seu minore quovis
aequales sen totos angulos, additis prioribus
esse proporcioni crescere por portione Arichmetica
nam ob uniformitatem processionis, quia
radiis proportione gevacehica crescentibus,
etiam adi anguli proportione geometrica
non  procedunt necesse
est, radi vel radiis crescentibus radios
angulos semper crescere, et ita angulus
HCL necessa no foret major angulo Woet
vel radiis crescentibus angulos semper
decrescere etiica HCL necessario
vel drescunt, vel decrescunt
tanqquam centro in recta
exhris tandem, cum curva proposita
ad mensurandam ejus curvedinem
curvam, ut. HCK, neces est ergo
dari utricum aliquem eorum qui
intra curvam describi possint, ultim
niti eandem curvam in eodem puncto
serviat. Quod ut inveniamus consi-
derandum est, pront radius fit magnus
circulum tangentem aut cadere intra
curvam, ut FEC FCC, aut extra
potest dici curvedo illius esse minor
foret minor quamto; vel denique
posse esse aquales  si angulus quines
Wden est major quam Hct, sequitur
angulum WoCH esse infinituplum radii.
nam cum infiricu puncta passumi possint
inter D et E mamlofirit novi cangali indefiniti immer
confactus inser describi possunt in ter
WdCH et WCH quorum quilibet est
major ipso WocH ex hyporhesi, et aggregatum
omnium aequatur ipsi HCt ergoe Het.
majorem habebit ad WCH rationem
quavis rata contra si WdCH necesturio
major est quam Het sequetar roea
esse infinituptum asse rus tL. utrumque
gensabjurdum. Super est ergo nt
possit ass aquatis angulo aliqa
aequalis, une sequitur ris crescentibus
progessione Geometrica,  angulos piequales.
prioribus adeatus est uniformi prioridus apponi
quam curvae, uius vero major.
Necesse est ergodari unicum aliquem
imio cuju cum: curbedo
intelligi potest eadem quae curvas
ipsius, quias
vel certe massiguabiliter seu
minore differentia quam quavis data,
ab ea differet quod idem habe.
potest pro eodem laberi potest.
circula cumque. omnis dirculu curvam
quaerere qui curdam tangit, sit problema
dua) (miminum habens radices aequales,
ideo erit circulum, quaerere qui curra maximum
intra cuvami, erit probtemaries habens
radices aequales. Si autem dua curvaeese
angulus contactus eorum ittem intelli
cunsi angubos contu ccus duorum circulota
ande quam curvae, curvedinem
majorfit. Itaque vel eadem erit,