# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/27777/text
# Catalogue record: 27777 — Elementa calculi novi pro differentiis et summis, tangentibus et quadraturis, maximis et minimis, dimensionibus linearum
# Incipit: Sit linea CC cujus
# Date: 1684
# Akademie-Ausgabe: AA VII (assigned, not yet published)
# Other printings: -vgl.: Bodemann, Hs 294. -Gerhardt, Hist. et origo 1846, 32-38. -Gerhardt, Entdeckg. 1855, 149-155. -Heß, Vorgeschichte, 1986, S. 97-102 -Übers.: Child 136-144. " -Leibniz: Variaciones sobre la ciencia general. Textos, Hrsg. B. Orio de Miguel, Madrid 2021, S. 540-547 (span., teilw.)
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=27777&katnr=55592
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068043
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 25
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 5, 25 Bl. 1-2): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068043:0001 to 00068043:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068043&page=1
# Lines: 367 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.90
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068043:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 102 lines, status machine
lementa calculi novi pro publevatis
algebiam nanser lifferentiis et summis, tangentibus
et quadraturis, maximis et minimis. Dimensionibus
linearum
eranscendentio
Sit cu linea CC cujus axis AB, ordinatae ad axem normales
Bsy abscissa ex axe AB., quae vocentur V. abscissae ex axe AB
quae vocentur X Differentiae abscissarum D, vocentur dx
quales sunt cC1d, 2C2d, 13C3d, etc. paritus Differentiae ordina
tarum vocentur dunt. At vero rectae id2C, 2d3C, SA 4C
vocentur (differentiae scilicet ordinatarum BD) vocentur  dy
Si jam pouuntur ipsae istae da et du infinite parvae, seu
quando puncta curve distantiam, habere intelliguntur infinite
par s quavis data minorem tunc patet rectam tXC
duo illa puncta jegentem, q ut r 2C1C, (quae est elementum
curvae,  productam cogitatione seu latus polus quin infinitanguli
quod pro curva habemus) productam doncc axi occurrat in , T. fore
ipsam curvae tangentem, et erit  1T1B (intervallum inter ordinatam
et jangentem in axe. sumtum) ad 1B.C ordinatam, ut 1C, D ad 1D2C
seu si 1T1B, vel 2T2B, es gentraliter vocetur +
erit +: y : 1:  dy Et  itaque invenire differentias
serierum est invenire tangentes.F Porro differentiae sunt
reciprocae summis. Ita recta B4 d est summa seu ordinatae futir.) x abscissa ex a sumitola
sunt suarum differentiarum summae, sic 4B4B, est summa
omnium differentiarm, ut 3DAC, YDSC, etc. i usque ad A. etiamsi
numero essent infinitae, itaque (dy est y. quod
ita designo (dy aequ. y. oream autem figurae,
designo per ductum summam rectangulorum ex ordinatis in
differentias abscissarum, ut 1B.d + 2B2D 4 3F3D. et.
Nam exinna triangula 1C1d2C, 2C2D3C, et c. cum sint infinite
parva respectu dictorum rectaagulorum, amitti possunt impune
itaque aream figurae calculo meo ita desiguo Cydx.
abi
seu sumam ex rectangulis
ponantu
si inbe dem vepur smetendusimmtii laraleri iertem
responden
 Inbeniamus figuram ejus summatricem siae quadratircem
cujus a scilice ordinatae sunt ad ordinatas figurae datae
ut summae ad differentias, exempli causa
ex sit figurae quadrandae datae
curva EE. ejusque ordinatae ED, sint differtuliis orbi datarum datarum
ns vi
quos vocabimus e. sint differenbiis ordinatarum BC, seu ipsis dy.
proportionales, quaeritur figura BC seu sit 1B1E: 2B2E:: 182C: 2D3C,
et ita porro, vel sit ut AB a A,B, 1B, C _ sive 1C+ D, 1D2C
5 ut A1B ad 1BiC, sive C, d ad 1D2C, sive dx ad dus, ita constans recta a ad
 1B1E  sive e ad constantem  seu semper permanensem recta a
rectam a dd fier. dx du: ad 1B1E sive e.
fiet: X dx: dy:: a: e seu  edx aequ. a dy
Ergo se dx aequ sadyue. Est vero se dx idem quod summa
orium  rectangulorum ex e in dx, verbi gratia ed X
idem quod C in dx s respondentem, ut rectanus. SB4E, quod fit ex 3B35 in 3B4B
ergo sedx erit summa talium rectangulorum, 3B4E, + 2B3E+ IB2E, etc.
quae summa est ipsa area figurae AAB4EA positis ipsis dx,
seu oadinatarum e, sive BE, intervallis infinite parvis,
Porro Radue est summa rectanus. ex dus ut 3D4C, in
e constantem ay et summa horum rectangulorum, nempe
Padye erit sive 3DaC in a, + 2D3C in a, 4 1D2C in a etc.
idem est quod 3D4C+ 2D3C +1D2 C ea etc. in a
hoc est idem quod 4B4C in a. ergo adque aequaes a(dy seu ay
hobemus ergo sedx aequ ay. hoc est s area AAB+C A
aequabit  rectangulo sub ipsa +B+C, et constante a.
et s aneraliter area ABEA aequ. BC in a. Tantum ergo
ad quadraturas opus est data linea EE invenire lineam CC
nia lucem, et quidem semper calento inveniri potest, an talis linea
3C et
=id est si istae od C s n
considerentur ut
acrementa e
BC momentanea
inter descen
dendum per A
continue cre
scentis
linea BC
=Ex. gr. quaeritur
tangens Hyperbolae
cum
7 aequ. aa. sposita
et a latere potentiae seu
erit du aequ- aa ax
ut mox palebit ex cum
modum calculandi ostem
demus, ergo dyax
dx: dy seu t. y
erit:: a N: XX:4
X 6a ::-X: y.
Ergo X taequ X.
Hoc est in Hyperboa
Itius
in fig. 2
eut B Taequ
assingentes AB. sed
ob signum = X. in
contravas partes
ida non
versus A. (id
in contrarias partes
sumenda.
LH35
vol. 6, 25

## Folio 1v — 00068043:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 74 lines, status machine
t haberi possit communi Geometria, am vero sit Transcems
quae calculo Algebraico exprimi non potest. In sed de quo
alibi. Ex his autem jam infinita pulchra theoremata
partum altaliis inventa partim non inventa duci possent
et quidem solo calculo,  nullo imag pro
pemodum imngina fionis labore, nullis Et quidem
autem ad lincam
tiangulum quale est B 1C+D2C, voco chara.
otissima
linga,
ua quiaqu ejus ope junumera inveniri
irlineam
afigutrae
remata
possunteigdimensio, superficies, oltiaaque rotatione genita,
rabilia, ut
 ad summa Ad inveniendam
Curvae dimensionem seu summam omnium 1C2 C,
eux quia 1C2C aequ at d dx + dy
Vdx. dx + dy. dy. Hinc statim habetur modus inveniendi
curvae dimensionem ope alicujus quadraturae, ex. gr. in paraboli
est  si sit y aequ Xx. erit du aequ Xdx. Unde
1C2C erit dx Vaa + XY
est ergo 1C1C ad dx ut
ordinataHyperbolae daa+xx ad constantem a.
recta aequalis curvae parnbolae
inventa N Angeniivallisi tsHae in liners oleganter enuntiari possunt per
fiy:: dx: dy. Ergo erit +dus aequ. y dx. Ergo
fte aequatio in lineis enuntiata
frregoriis aliis demonstratim
du aequ
dat puldium theoremali Geometiis
at nempe sit FF AF perpe nomnulis angulus BAF hectus
et sint AF aequales ipsis BC, et FG parallelae ipsi AB, et
aequales ipsis BF, nempe 1F1G, ipsi 1B, T, erit (tdu
seu _ summa rectangulorum ex + sive ,  verb. g.
aF4G( seu 4B47, in _ duseu 3F+F, (en 3D4C) hoc
hoc est rectanus 4F3G + BF2G + 2F, G etr. seu.
area figurae A4F4G A, aequalis ipsi Cydx
sn summa rectanguloram areae figurae A4B4CA.
et puoraliter AFGA aequ. AF G ABCA.
vicis im Alia quoque quae ex figurae inspectione statum patent,
ex calculo etiam facile ducuntur ex. gr. quod in
allia
hilineo ut ABCA summ omnium odinatutum pdaxem
un
abscissarum ad basia applicutarum aequ vnnbus
ordinatia ad axem applicla sen summa omnium 
rectang alorum et 4Bac in 3B4B aquatur sammo omnimm
figua ABCA, cum figum complementali AFCA
aequatur rectangulo ABCF
nam calculus ostendet
quod f sydx + sx dus aequ. Xy. si quis
raerit solidum rotutione circa axem factum, tantum
quaerere deb potes s y y dx; si pro rolido circa
basin sexXdus: pro momento ex vertice
Pyxdx, quae serviunt, ad invenienda centra
gravitatis figurarum. Si quis quorat centra
linearum et superficies earum totatione
seu   saydaat x pendet ex quadratura Hyperbolae,
ut alis jam ab aliis inventum habetur. Et hinc pendet
generalia quaedam thioremata, sed hoc cuivis reliaquo
unum tanti eximpena ascribam supra dixi esse.
y dx.
et
midentur  admi-
in
maxine Anglis Batavisque
4 Et ita calculo exprimuntur
Hematii et Neila
 et ex primunt ungulam Gregorii
a s. Vincentio et quae deinde
Pascalius, WWallisius, Lalovera
alii crca haec invenere. Nam et

## Folio 2r — 00068043:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 97 lines, status machine
e
generatas ex. g. superficiem lineae AC. arca AB.
rolatae tantum quaerere debel (y Sakax + datdu seu summan omnimm pr. ad
quam statim reducet ad quadraturam figurae alicujus planae,
ad axem applucatarum in
si pro y et dy. substiluat valorem ex patr natura ordinatarum
et tangentium curvae. ita pro parabola y aqu. da
sit y aequ trax. erit du aequadx ut mox palebit
Ergo erit prodibit (y ax ax + aa axdx
exquadratura parabolae, ide quae cum habeatur ex
iminus
s
itaqueres
communi Geometria, habebitur et planum circulus superficier
Conveidis parabolici aequalis, quae prolixe diduere non est hujus loci
Hoc autem, quae magnat viteri possunt, sunt tantum facillima
calculi hujus corollaria. Musta eum majora htnc sequantur
nec ullum fere probbema sfacile problema sive in
Geometria pura sive ad Mechanicen applicata occurret, quod
eu ejus vim effugiat. Elementa
e
centratun, seu Sdx Syy+aa seu Sax s rartaa quo padet quod pendet
jam ipsiu calculi exponamus.
Fundamentumu
sit y aequ exn Ly aqu e
sit H aequ XX et x vel X Sdx aequx
et vicessim x aequ Xy
e subtactio (Vaequ X + Y erit d aeju dx + d dysen summa ex differen
Multiplicatio sit B ago p erit d aqu X dy + y dx
Adu
tiis pradium, est
unde vici Alditio et subtrectio d X+y aequ dx + dy
vel dx- y aqu dx - du contra dx + dus aequ X +y vel (dxu dus aego X.y
se i
na moramur. et generaliter
dici potest summam ex differentiis, esse differentiam summae seriei totalis
idem est et in pluribus literis, sererum partlatim
Multiplicatio simples a Xy aequ. X d + yd
unde contra suxA + et notandum idem esse an
Ad Xty an dx + dy. vel au seribas
f idem esse scibas Sdx + Aly (hoc est per supradicta X + yY quia sax aequX)
Scribas
an pax+sdy
Fundamentum Calculi: differentiae et summae sibi reciprocae
sunt, hoc est summa differentiarum seriei est seriei terminus, et
et differentia summarum seriei est ipse seriei terminus, quorum
illud ita enuntio: (ax aequ X. hoc ita: dsX aiq. X
0
1. 2 13 4
sit ses  6 rC
sitt seues differentiae
series ipsa: 0 1 3 6 10 15
0 1 4 10 20 35
dx
X
Sx
feriei summae
Hin jam Termini seriei sunt summae differentiarum isem. X aequ Sdx
ita 3 aequ 1+2, et 6 aequ 1+ 2+3 etc. Contra differentia
summarum seriei, scint ipsi seriei termini, seu d Sx aequ X.
et 6 et 1 et 4 et 6 inter 4 et 10.
ita 3 est differentia interiperentius, sin sna vel spmmas iperentia.
Additio et subtractio. Differentia vel summa seriei cujus
ter in suntu d siuma vel dif conflatus per additionem
vel subtractionem terminorum aliarum serierum, eodem
ves
le
ferentiss
en ANHHFH
Vd X 1 y v aequ. dx adus = dv
vel contra X + y = v aequ. dx + du - du
X + y - v aequ (x4 sy = s0 Experientia fa
red nater in spileuti siquis tres sentes ejesque tor eammus estsque et cujusque summus
punctis responder
tibus B, ita Y
2P2 C applicabi
tur hormaliter
ad B, unde
fit figura cum
arca est illi
ipsa summa
(est enim
inium traxrac
seu PC locus ad parabistam
posito semsumma
AC esse pambolam
AB ejus axem
seguro non resio
Nlice tum deberet,
um immulam
et cunque quae
cocavibatem obverter)
differentia summa
d a aeg. 0. posito
a esse quantitatem
constantem, quia
d- a est 6.

## Folio 2v — 00068043:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068043/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 94 lines, status machine
seriei
lcum sclicet per feriem
terminum figura aliqua intetligtum
unaue unca terminata
lineae contintenere scentes vel
perminima crestentes vel decre
differentias exponat, et tali modo, respondentes respondentur
inter se jungat. Multiplicatio simplex Xy aequ. Xdx,y
seu Xy aeqo Sxdx + Sydy. si Est id ipsum quod supra dixemus
figuram cum suae  suo complementi aequari rectangulo circumscripto,
Excalculo ita demonstratur: A d xy idem est quod differen
tia duorum Xy sibi propinquorum quorum unum esto XV, alterum
X+ dx in y +dus fie hagX + dx in y+ dy = Xy seu
 + X dy + y dx +dx dy ly. Et destructis destinendis
et omissa quantigate dx dy, quae infinite parva est respectu
veliquorum, posito dx et dus esse infinite palvas prodibit Xdytydx
pigna tamen variantur, prout X et y simul crescunt, vel uno crescente
alterum decrescit, quod notandum. Divisio simplex  aqui
daqu
Ex his vicissim
Xd ydx
nam dZ aequx +
d= aequxe aa
soc gnd yx
X+de = X
XX + Xax
ubi pro XX + X dx scribendo XX quia omili potest X dx tanquam
infinite parvum respectu ipsius x fit: X
a ydrnadus
Xdy = ydX et quidem si esset y aequ aa. foret dus aq
xx unde fieret = dadx quo valore paulo ante pro
Tangente Hyperbolae usi sumus. X Hinc Ex siis jam facile posset
quivis calculo ducere potevit Multiplicationem divisionem
compositam, fiet enom ita d XyV. erit Xydvr XBdyty
ita d  =  erit: Xvay yv dZ- 72dv. quod demonstratu
ex proccdenti nam, y
non tantum
yy + dx
B
az.
vixX
ubis
bex d.  aequ. xdy ydx E pro X poncudlo ZV,
et pro dx seu dZu ponendo Xdv + Zdx per superiora,
habebitur quod diximus. Sequantur potentiae: dxaeqae
nam a pr et dx aego 3XX dx  Nam ponendo, 
pro X  y aequX, et V aequ. X. pro dXX poterit scribi
dxy. jam X hoc est (per superiora)  xdys + y dx, hc 
(Si X aequy et per consequens dxago dy) 2X dX. simi-
liter pro dx scribet dXYV, hoc est (per superiora) xydo
+ XVdy + yV dx seu X(y et v oponendo X et pro dy
et de ponendo dx) 3Xx dX. Q. E. D. Eodem
modo in genere d X, erit aequ. C. X dx. Quemadimo
dum ex dictis non difficulter demonstratur Hinc porro d) aequ
atqu
hax
x Namsi q aequ X erit 
h+1
exponentium in progressione geometrica intelligenti. Atqu
hoc pro fractis idem procedit pro irrationalibus seu Radicibus.
 x d VX
hst
equ d X
(per h: Y
intelligo h seu h divis. per Y) seu d X, (posito eego L)
seu c. r. dx per supra dicta et pro e rad seu (po
e reodendo h: Y _ et pro X e- 1, h-r : Y) s phat:Y
X
quod proinde erit aequ. d YX,
Inmhis virtute
omnium parabolocidum et Hyper boldeidum jangentes, qua
draturae continentur. Sed et alia omnia, Eex his ducuntur
et quadraturae eama sit erim Nam esiet
. X
e+1
et 1
et
N. dx, aequa
Se Ldx, aequ. - s
deu et Se x, et
F. V
har:p
C- 1.
(V X dx, aequ. 
Atque haec sunt alcoli differentia
lis vel summatorii Elementa secundum quem etiam
atr
formulae maxime compositae tractari possunt stantum pro fracta
vel irrationali Vest X
est 
scentes intelliguntur.
seu Xdy-ydx
Xx+xdx s
seu