# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/29063/text
# Catalogue record: 29063 — De aequationum radicibus, et cur impossibiles hae aequationes:
# Incipit: Jam olim à me ostensum est, omnium aequationum unius in cognitae extra
# Date: 1678-05-06 (78-04-26)
# Other printings: Knobloch, Kombinatorik 1976, S. 115-123
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=29063&katnr=56113
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 35–36 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 35-36): 4 pages, canvases 69–72, page ids 00068201:0069 to 00068201:0072
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=69
# Lines: 307 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.83
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 35r — 00068201:0069
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 36v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000069.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 82 lines, status machine
46 April. 1678
de aequationum radicibus, et cur a
impossibiles hae tres aequationes: B. X
i le
posito rae radicem aequationis 24 t34 quaesitae esse nt ytZ
Jam olim a me ostensum est, omnium aequationem unius incognitae
extractionem radicum redire ad resolutionem harum, aequationum
a + b aequ. p. ab aequ. 9.
a+ b euc equ. x
aquad vel: a + b + C aequ. p. et ab + ac + bc aequ. 9. et abc aequ. Y
+ abd
sindesolid vel a + b + et aegu p et ab +ac. t ad + bc + bd + Cd aequ. g. et abet acd tbed aequ. Y
et abcd, aequ. 5+
quod si datur: a + b aequ p. et a b aequ. 9. s inveniri possunt a
inde fiat
et b. Eodem modo si essent aequationes datae: a F bZ F
aequ. pr. et ab + aC + bC aequ... et a bE aequ. r etiam
4
44
inveniri posset a a + b +c. Et ita in caeteris. sunt enim
ut nosum est radices istae omnes aquationum ita ut praecedens
quaelibet aequatio exhibeat modum inveniendi radicest radicibus
suis omnibus additis exhibeat unam raduem equationis sequentis
Quomodo ergo
Ergo q’aequ.
sc
44
ab + ac + bc aequ. g. attollemus ad ab + ac + bE aequ..
in
Ll
+2Hl. et quq  Kl aequ. a a bc seu 
1n2
Km
em
kl qu a seu qu aequ R +, r2X
M
a bC abCX
ab c2 seu pX
an sic: ab c
a + b + C aequ. A. ab aequ. g. ab c aequ
 aqu. 4. ab7oqu. 9t - 2Y)x a b oqu. 45-
tequationes.
Ec
abc aqu. 73.
a3C.
b7C3
4
a +b+ C aequ. X.  a + b  aeg p
9. r. p. cognitae. X incognita
tantem opus t aequationes 5. 6. 7. fiunt ex
aequ. 1.primam quachando cubundo
etc. et compendii causa r. pt. X. substituem.
loco valorum.
Quoniam autem quaerimus tantum, ut praeter
aequationes. 2 et 4. habeatur et equ. in
qua a+b
4
64c3
aequetur cuidam cognitae, ideo tantum opus
erit in aequatione 7. folli X et X incognitas, quod fiet si aliaq a
ad huc paremus in quibreperiantur iidem termini X et X; ab nec quicquam praeterea
incognitum. Sa satis arbitrariarum ad duos terminos c x. X. tollendtos
Hoc lita fier. fraiar + a ab aqui g Xt  quaerendo aliquae s oqvationes
ab   aequ.  ab fobe qu. 4 Et a
bc
Et ab nab aequ.  et 
5
d qu. qX - 2r X 4 G
aequ fX 3rq+ e
Nimirum aequatio facta
Quaerenda scilpcet aliquot nove na batines in quiba
est ex ab aequ. q. quodvat seu in se ducta gytice. Diat alia ex aequ. 5. in se ducta
quadrate, he nempe auis  aqu. G- 2p X Ft
u
a2b2 aequ. 4 - 3YX4 +
dic Ego
ibt aequ. 97- 24X
(6)
ab4
e
b2c3
aequ. 4. 444+4 e+

## Folio 35v — 00068201:0070
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 36r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000070.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 73 lines, status machine
a +b4c. a + XCF) aequ
Xagu. 4 Xapa + ab. Naequ a 13 abX + babe. X ae quorq ab X - 8abCX +
b
oc
Ergo si qt aequ. abtact bc. et abc aequ + 3. fiet:
ac
bc
- 2a
q aqu. ac fier t aqu ab + X X agego ab. A1GX 16r6. Et 9 aqu. rC
bc
aetue
M
ac
b
in se ducta dabit:
res
at4
et
2462
At
4tt
+
bit (trroX=gr aqu. q- 2rq x(
nC
Unde idem poditt quod ante nihil ergo sic novi
X= 29
apx (47 qu
si bis reperiri posset vator ipsius a b4 per X Z. X. 9. p.
Sequeretur posse resteriri Xper 9. et r3. seu possibte t reperiri a + b+c per
ab + ac+ Bc et abc. quod non videtur possibile. nam sit
ab + ac + bc aequ. qr. et abc aequ r. fiei ab aqu. qac-bc aequ Y
Ergo a aequ. 4 c 5 aqu a aqu g bc. fir  et a aqu 
+
a aequ q - bc aequ . Ergo 9bc - b aequ Y3 b + rC. patet itaque
produabus bn b. c. inveniendis unam tantum esse aequationem
C
Ergo repertis a. b, tertiam c. sumi posse pro arbitrio, nec proinde ex
d + b +c esse determinatam ex abjac+ bc, et ex abc Hinc etiam
patet non posse inveniri valorem ipsius a+ 64 persola y. Z. Sine X. quia
 C9
alioqui bis eliam haberetur aliquando ha4 per X aliquando sine x per y et y
et ita haberetur rursus X per y et Z. Quod Et aliunde impossibile, quia possunt
y. etZ haberi per cognitas. Itaque absolute impossibite, ut posito
radicem aequationis esse  aequa +b + c. habeantur tres
aequation smi
a B cognito.
b7 4
4
4 (44
 aequ. cognito a b caequ cognito
4c4
quia 762c aequ.... cognito. et ab aequ. cognito, et ab  aequ. cognito
quia haetres
ac
bl ab + ac + bc aequ. cognito non potest
haberi ab + a 4=64 4 aequ. cogito, quia alioqui duo haberentur
jam habentur, si autem haebetur
valores ab ab + a cY
4
includit ipsam  X satis depressam, ergo ita haberetur ipsa X.
quod est abs per aequationem inferiorem suo gradio quod est
absurdum
au exitum
reperire licet, unica
sit X aequ. X  gX + YX 5. et rursus X aequ.  a + 4 ab + 646 + 12 abc
aequatio d
Et rursus vel X aequ. X q’ a +9ab +a +s+ Ergo fier: a + 4 ab +bae b H1rabe _ ∞ qu. gub. Fa- s  0
addatum
fiatque a+ b+ C + aquo. restabit: 4a b +6a b + 12a bc - 4a - 9 ab - r a- s4 aequ. v.
6
-+
fequatio T. muttiptiretur per forutam cajus itamt aobitiariam: imo melius ea ratione quae explica
bitur pagira sequenti.

## Folio 36r — 00068201:0071
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 35v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000071.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 86 lines, status machine
Sit aequati proposita X aquit qX + YX + . Quaritur radix ejus X. Ponamus
Xagu. a+ b+c.   Ponamus ab + ac 1bc aequ. M abc aequ n
et  aqu. a + b2+ c3 aequ.  
item
s ogu. ab +ac + bc. et X aequ. abc. et 3 aqu. a4 +b +c et
denique  aequ ab + aec + b5. fiet X 4 aequ. 45V X  - 8 7 X + 3
pommus
quemadmodum alibi ostensum est et facile per calculum probari potest 277
Ergo duos valores ipsius X4, ex aequationibus 1. et 7. inter se aequando habebimus
fq X +V X + si
addatur ..... .. 
X +82X
.--
- +
aequ.
+274
s3X + m aequ
+(3X = m
(10) 13
et ponendo: 872X - l’X aequo seu 7 aequ
(1) E
et ponendo rursus - Z4 + m aequa  seu 3 aequ. m
Restabit ex aequ. 9. +q X + rX +s
tantum sequens
(12)
-4X + 1X +274 aequ. 0
m+
in qua arbitariae sunt l. et M. incognitae X. N. J. cognitaeq.r. 5.
Exp jam X a
sit aquatio proposita X aequ. J X + r X + st. Ponatur X aequ. a+btC
fiet X aequ. a + rab. et X aqu. a +  3a b + 6 abc.
Bc
=(5)
et X aequ. 44 +4 aeb +6 a b + 12 a bc
aC
a13
b3C
bc
abc
B
abc
(6
a
bc
At Ergo x aequ. 1. fiet  aequ. 2. 3. fiet:
X aequ. 44 +29 ab + 139 +s.
c
c
Hos ergo duos valores inter
se aequando habebimus:
Hosergo duos valores ipsius X. inter se aequando habebimus aequationem novam
in qua tollemus tum a+ + b+ et, tum etiam ab t abctabe + abc
b
est autem abetabe t able aequ. abc atb+Cc faciamus ergo abcuequ. b
4 adeoque 12 abc aequ. 1 g. Ponamus etiam a++ C aqu. m
1s
Ergo aequando duos valores ipsius X sumtos ex aequ. 1. et 5. et pro a + b4C
c
a
et 12, abc + ab c + abc substituendo valores m+ et l’a fiet aequatio nova:
6)
o
pro 13 compendii causa ponamus N aequ. 1- r. et + m s aqu. . et
fiet denique Caquatio comtrendiosissima:
13)
44b +6 ab - q a- q’ab + N a +  aequ. 0. ub 
Haec aequatio multiplicanda est per formulam arbitrariam ex a. b. c. compo–
sitam, ita conceptam, ut productum non assurgat ultra a b et caeterae
formae omnes iin producto ope indeterminatarum in forimula arbitraria
dassumtarum destrui possint. Sumenda autem omnes formae quae ex formula a b+
per formas in aequ. 13. divisa oriuntur. Caeterae enim inutiles quia nunquam
producunt aliquid id quod quaeritur, ideoque quicquid ex ipsis oritur rursus destruendum
l
aat ab et ab ab
ab
et ab dat ab et denique a b dat ab. Unde adhiberi poterunt
4
formule: ab a b. . at b2. a13 ab. ab. Paterea adhibende
imo et ex his videntur omitendae, a2b. ab. ab. ab. quia etsi cum inferioribus
quibusdam oormis aequationis 13. producant a6 tamen cum superioribus producunt aliqui
altius, cum quam atb4. Cum tamen nobis sit propositum ultra ab non ascendere, nec
admitter formas quae ascendant ad plus quam e dimensiones aut in quibus aliqua sitera
ascendat ultra gradum quartum. supersunt ergo tantum formae ab. ab quibus
adjiciendae inferiores: abc. a. ab. abc. a. ab. a. si velimus ponere A. aequ. 0.
er (2. equ. od spud congendi carsa pate eripoles somtipestent d e a pon jos
aequ. 0.

## Folio 36v — 00068201:0072
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 35r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000072.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 66 lines, status machine
habebimus arbitrarias numero 9.
Hic notandim formulas quidem destruendas
fortasse f fore plures quam 9. attamen fier posse multas ex nnsi reduci
ad inferiores, 1y data abc. Exg. abc. ab ate AbE abc. a bc
ita ut in 8. graidu restent tantum tollendae ab. ab5. a ab. In gradu 
u
lallendae erum formae aB. ab. N b. ingrado sente a. dbi ab
a
in gradu 5to d3. ab. a inguadum qartus
in gradt tertio si M. et A omittum
nulla. Itaque tollendae erunt formae 14. Tum vero non suppetant arbitra
a procedere in ab. abb. ab in ab. ab at 63 denique in ab. at 
in ab. ah. abc. a3. ab. a. a. . Unde 7. arbitrariae et cum A. et M. novem
prodibunt formae tollendae: a. . ab. a b. a b. a. a b. a. ab. a numero novem
42  Unum adhuc notandum est  sane mirificum, quo adhuc amplius contrahi
potest numerus formarum. ducatur vig. a  in se ipsum. fiet ab+ 2a46E
seu ab + 2(3C a sed hoc nihil ec
12 et
Video arbi trariis adjici posse adhuc punam
con
scilicet 4 imo et haes Nam etsi ea aequalis cognitae tamen, id dissimusari
ut videtur egregium. Nem
alicubi potes  ut quando multiplicamus in a prodit a3.
Unde jam video intr
forumas arvitrarias sumu posse, etiam alias quae resolvi possunt per abc, ut
abc. et abc. quia variant calculum novasque secum aferunt literas arbi
trarias (ut ergo formulae multiplicanta: ab. ab2. a. ab. a. 
Multiclicantes. Cx ab. gab v ab.  a AD ab Eabe Sa Vab Ba  undecim
Sollendae
a. ab a. ab ab: ab. a. ab. a ab a undecim.
Hinc patet omitti posse (n2. et A3. o t si velis.
In quato gradu. X adu. a + b + c + d.- fit Erit X aequ. a5+ 5a b + 10 a6420 abc +30 ab
aequatio data: X+gu. g X + YX + S X + t. ponamus a aqu. 15. et abcd aequ.  item pro jam abcd
aequando duosvalores ipsius X. et pro X3. X. X. ponendo vitores. quia xaequ a +3aeb + 6 abc. et X aequ. a prab
fiet: 5a b + 10 ab +20 a bc +30 abC + -9a - 39 ab- 69 abe - ra- 2r ab -s a+ MS aequ0.
Nabenus at. aequ. m. et 2bE  aqu. = restat a et ab invenienda + 1t
=
ta
Aequatio 8 multiplicanda per forraiam artitrariam ex  a ab. ex. et omnes alias g
et decimi gradus et infraleundem, quae non nisi 4 sunt literarum  sunt numero 43. Eoliden
ergo habebimus arbitralias. Sed res immensi est slaboris nam 93 formas per alias 10 multiplicare
est form 1900 institaere oxerationes, ubi tribuendo singulis formris saltem termicios 10 cum tamen
ultra 1000 termini, in quorum si vel uno sit eror, cuncta
sum Iucipiaums
Ut ergo tentemus compendia.
multae habeant longe plures prodibunt
ab inferioribus, ut X egu a + b. aequalio X aequ X q aqu a +2ab Nulla hic difficultas.
sunt irrita. Ut laceam,etsi ophibeatur
X aequ. a+ 3ab F aeg. gX LY ponanus a aequ.. et ab aequo 12.  fiet
q 4 + i Longius progredi ad ad geneales aequationes cum rifectione non licef.
x aqu. a +b +c ab
sumemus trisectionen: X ugo ab set  aequ
ab a E + 3ab + a a +5. aequ. 0. a b aequ. 1.
a aqu m
prae sufficientes Nempe tantum 6, quia et formae multipheantes po aqu. Cub.
tantum erunt ab. ab.. a. ab. a. ab. Hinc tentandum an praeceden
tes reduni queant ad pauciores, ope a +b+ C aequ. (4. Quod videtur
ett) ita ut superfuturae sint tantum formae tollendae: a. ab. a b. ab. a b +
Penamus d A et n omitti sad scilicet imagnitas in incognitas ducantur)
Seimo plures ex prioribus per a +b aeg sublatis
V.1
Scilicet  relictis ab. aet. a. ab. Na. pr. ductisque in ab. ab
a
65
gb
X  si