# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/3004/text
# Catalogue record: 3004 — Leibniz an Jacob Bernoulli
# Incipit: Vereor ne apud Te laboraverit existimatio mea,
# Date: 1690-10-04 (90-09-24)
# Sender: Leibniz — Addressee: Bernoulli, Jac.
# Akademie-Ausgabe: AA III,4 N. 279
# Other printings: -Gerhardt: Math.Schr III, S. 13-20. -Bernoulli, Jacob: Der Briefwechsel, hrsg. von A.Weil, C.Truesdell u. Fritz Nagel. Basel/Boston/Berlin 1993. S.59-67.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=3004&katnr=33904
# AA III,4: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-958800
# Title: LBr. 56 · Bernoulli, Jac.
# Folios: Bl. 5–8 (from the shelfmark LBr 56 Bl. 5-8): 8 pages, canvases 9–16, page ids DE-611-HS-958800:0009 to DE-611-HS-958800:0016
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-958800&page=9
# Lines: 325 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.95
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 5r — DE-611-HS-958800:0009
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 144, 2026-09-10T03:13:18Z — 39 lines, status machine
Nobilisame et (eleberrime Vor
or ne apad se laboraverit existinatio mea responto ad lileras tuas
hamanitalis et doctrinie plenissimas Basilet 23. decembr. 1657. datas
nullo seculo; sed allata sunt illae paulo postquant ego iter ingressus eran
longingutir ex quo hât deman aestate ineunte feliciler(Deo juvante)
san reversus, venère autem in manus hominis qui seposuit inter sche
das suas, et poster ex memorii dimisit, nuper autem forte reperit red-
diditque. Sed multum interest interat literas quie nova scientiis
continet
garum aeternum objectum est, et quae de nebus humanis atque eadu-
cis tractant; hae mox veterascunt, illis etiam ex longa intervallo
manet gratia novitatis, itaque serum non esset ad duas responsum
nean si salisfaceret quaesitis. Ego vero ut in quibusdam aliquid
ad rem fortasse contulero, ita in plerisque ad opem potius tuam con-
fagio, ut collatis viribus expugnemus hanc naturce arcem. Omni
no enim nondum mihi satisfacio evica Elasticas leges, Et quod
olim in Actis Lipsiensibus posui, entensiones esse, ul veres ten-
dentes, non ausin ultra hypothesia porrigere, Lude quo usqu
satisfaciat, Experimentis definiendum est, qualia instiluere
coepitti: Equidem pro causa tensionis explicanda tale quod
concntus olim eram. Fingamus corpora ex partibus constare
ut , A, B, quae vel tangant sese ubique et exacte, vel varias
inter se sinvositates relinquant aperturasque seu hialus, modo
aperturae (ut C.) tam sint exiguae, ut ambieali fluido crassiori
introitam non permittant. Suppono porro talem esse statum vel
motum anbientis, ut eo magis proportione tuibetur adeoque resistat,
quo majus est spatium vacuum quod divellendo relingurtur inter
A, B, D, E, seu quo majus est spatium, quod ipsii ambienti entrorsum
adinitur; Hiis posilis utique sequitur ubique aequalem fieri tensionem
seu disjunctionem inter particalas, seu tracto E à pondere F
et spatium vacuum in tantum augeri debere inter E et D, quan-
tam inter  et B. Patet etiam aequaliter spatium vacuum augeri
distantia particularum equaliter aucla, sive exacte se teligerint
sive eam sinvositatibus. Patet denique etiam pondera seu vires
extendentes fore ut extentiones. Sed si ponerenus figuran
A B DE A esse in vase aere pleno vel aliquo fluido compri-
nibili analogo, et fing: divulsionem non esse tantam, ul anbien
ti pateat aditus, vel  crassis et sensibilibus, adhiberi cyliadros
e

## Folio 5v — DE-611-HS-958800:0010
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 6r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 144, 2026-09-10T03:13:18Z — 39 lines, status machine
sibi infertos bene tornatos vel clansor sut in antliis, tunc ob-
servo non om nino viies impedendas fore ut entensiones, sed rem ita
se habere, sit Hyperbala L, (L) cujus centrum G est Asynplotos
Gk (R), erit aliguod Hyperb olae puncium  ex quo ducatur
in dictun asymploton recta A parallela alteri Asymploto hic non
ducta, et ex eodem puncto d ducatur recta JM (M, parallela
iisi Asymploto dutae GR (k) denique per paneta L in Hyperbo,
ordinati KM
la samta dacantur recta AM. occurrentes ipsi Gtih in L
ipsi M in M, ajo si vires tendentes sint ut dM, eatensiones
fore ut ML, ut facile ipse colliges ex supposita aeris vel fluidi
aeguabili comprimibilitate, seu resistentia spatiis contentis
reciproca, licet ea (si bene memini), in tuo de ethere
fractata observacti rigorose vera fortasse non sil. Jam diu antem
in his hypothesibus aegualiter ubique continuatur extensio
donec partium divalsarum distantia adilum fluidi aubi-
entis admintat, ubi seguitur ruptura. Terum dubit vii potest
in chardis quibus utimur an non admixta sit extentioni alia
compressio. Luenadmodum si fingeremus cylindrum haberi ex
corio inflato per aerem imissum, et huic cylindio helicaliter
circumligari filum, ipsum autem filum pondere adjecto en-
tendi, patet concurrere fili entensionem et aeris in clasi con-
sorestionem, Et nulta alia supponi possunt, en quibus quid
sit optimum experimenta definire debent. Saelerum qlud
ex hypothesi ambicalis comprimibilis et linea hyperboli–
ce  (in locum rectae prioris hypotheseos) adhibitae
in illa ratiocinatione quam Altis Lipsiensibus alia
interui consequatur variationis, facile supplebis confeus
tuis experimentis. Sane quantum primo obtutu judicari
potest magis iis respondet haec hypothesis, sit enin ip
reprosentans duas libres et p q ordinata hyperbolae
respondeat noven partibus sedecimis pollicis quas ponis in
fua Epistola, sit deinde JM repraesentans libras quatuore
Secet
et reclam sM see Hyperbola secet quidem in L perta
vero 12 producta in R; patet extensionem faciendam per
4. libras secundum priorem quidem hypothesin fore ut rectam
Mk particularum 1B. Sed secundum posteriorem exho fore ut
ML paulo minorem et ita porro sem per magis nagisque daficere.

## Folio 6r — DE-611-HS-958800:0011
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 39 lines, status machine
Observo tamen in Tabula tua aliquid, quod si constanter
reperiretur verun aut vero propinquum continualis experi-
mentis, alia frabicanda esset hypothesis, nempe invenio ex-
cessus hypotheseos prinae super experimenta procedere ut
numeros quadratos. Tabula tua, haec est:
Chorda à pon, (2) entensa fuit (9) eatendenda jurta (9
dere librarun q partibus: 1T hypothesin par. 18
27
tibus
27
36
Ubi Encessus hypotheseos sunt 0, 1, 4, 9, Et differentiae
numerorum experimento repertorum inter se qua sunt
5, 6, 4, ( 17-9 23 - 17, 27- 23) sant progressionis
Arithmeticae. ogitur si hypothesis com parandi Entensiones
cum viribus extendentibus mutanda esset, mutari etiam
deberet proportio vviium à latere abrumpentina traben.
ad vires can diiecté evellentes, Non tanen hinc sequitur
mutandam esse proportionem inter resistentias transversas
seu laterales diversarum bassum seu (fig. 5. ad Actorum
Lipsrensium Mens. ul. 1684.) proportionem resistentiae
badeos AAB ad resistention baseos FG. Nan si ponanus
trilinea BAEB, FGAF reprietentare resistentias ba-
sium AB, FG, paret tiilineum 3AEB esse ad trilineum
FG. TF ut ouadratum AB, ad quadratum FG, non tantum
quando linea carva tiilinei ett parabola Conica, quo casu
trilineum est tertia pars quadrati circumseripti, sed et
quando linea carva est parabola altior seu paraboloe
ides Cabica, vel quadrato quadrafica eto. ubi trilineam
est quadrati circuntcripti pars quarta vel quinta et
Semper enim Arilineum habet AB unum 3AEB habet
eandem rationem ad suum quadratum circumscriptum
quam alterum FGHlF ad suum. ad eoque trilinea naneat
ut quadrata ABFG. Imo etsi ordinata trilinei utcanque
composita esset additione vel suberactione ex oudinatis
paraboloeidum quorcunque verbi gratia si trilineum BAEB
vel FGAF eguaretur aggregato tritinei aeque alti et lati
parabolici, quadralici sseu Conici) et cubici sinul, idem ma-
nebit verua; et in universum similes figurae sunt in duplicata

## Folio 6v — DE-611-HS-958800:0012
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 5r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 37 lines, status machine
homologorum
ratione Gomalochorum laberum; cum jam omnis curvae
ordinata exprimi potest por ad ditas invicem aut subtratas
oudinatas parabo loerdum saltem ape seriei infinitae, ad eoque
ex aggregatis aut residuis horum thilineorum et eurvae trilincum
componetur. Itague nanente proportione resistentia rum eadem
quae quadratorum, sabsistent nortiae de figuris aeque resistentitas
dem onstrationes.
uod casserui unam quamque portionem
trabis horizontalis gravitare super sectione comani cum
reliqua portione, et ab ejus sectionis firnitate suttineri
id quidea non tam hypothes in esse arbatror, quam Rorvuy
Erroiur, nec ulla ratione in dubium revocari posse
sdque temet pato agnoscere, si consideres. Certe pondus partis
CFG (dicta frg. 5.) ne agere quidem potest saper AB
nisi praecedente ac mediante actione saper FG, cujus firmitas
connexionem facit. Nec puto Artifucis vestri Observatio-
ren doc evertere. Certe prius flectitur trabs nonnihat
a pondere extremitali appenso, antequam aclio ad exthe
nitalen oppositam perveniat. Ego in ratiocinationibus
neis nolui considerare flexionem, totius trabis, vel pou
tius posur figuram a pondere per flexiones praecedentes
jam ad ean figuram quam ei dedimus esse redactam, post.
quam ultra flecli notabiliter, negat, vel omnino fleriones
consideratu dignas non esse. Flenionum autem consideratio
novae adhuc nec inelegantis operae foret; selerum mateu
rie qualitas non permillit, ut quae de figuris aque resistentibus
demonstrantur, perfecté satis per experimenta exhiberi
possint
inio ad postrenum caput literarum tuarum, ubi reue
notasti difficilius esse lineam A BC pro trabe aequaliter
resistente assignare quando conjunguntur pondus trabis
et pondus appentan vel inpositum ut p. et rationem
quoque difficultatii optime ani-
madvertisti. Nempe videtur
figura debete esse talis naturae
ut(retinendos

## Folio 7r — DE-611-HS-958800:0013
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 51 lines, status machine
509+35 aequaliter resislebat et alieno ponderi nempe
trilinei Oosc et propiio ex proprietate trilinei parabo,
lici demonstrata. jam pondus BF=p eodem nodo gravitat
ut trilineum Cosc cunm et pondere ei sit aequate, et eandem
sui Centri gravitalis diftantiam habeat ab FB (quocunque)
quam trilineum. Nam Centrum gravitatis ipsias V7 ZB
cadit in rectan normalem TP, et cum VF sit quarta pare
ipsius CV ea conseructione, patet centrum gravitalis tri-
Linei Cosc cadere in eanden, equivalent ergo hoc loco
qundo trats aligua prajerta pordas DZ2P et resecta trabis, portio CosC Itaque hujc
sastinere det et idem et sncerte quaesito alisque connexis ne pato satisfecisse sed ut figura
locis perribis diverse simil por detur quil desideratus ponestet, quocunque pondere setiam intea limites
da modo ponderum rato sit cetas) fieri non potest neq ta ques istr. quod depoast siti ve
uod sapesres
Bi verim persuadeas qurc
insins trilinei parabolici debite im per aadeasIr Clarissime nihil meni este gratuis, quam
acinti per ipsa suplerm. c tui similibus quibus curae est inquisitione veribat augetre
opes,
si toto longitndo trabis equalii hamani generis, placere et conjunetis operis aliquid con
deres aliquid lucis circa neam Analysin infinitorum, cujus
Actis
edi
in Aetis specimina ego profecio velim, quicquid in hoc genere
a me actum est vel ideo siti esse notum, ut perfici tua quoque
ope possit, sed distantia locorum, et collaquio nos enctudit
et liberis alia difficilius explicantiur, praesentim cum nunc diver,
sissimis distrahar cogitatis Historica polilicis quibus absolutis
plus libertatis spero; interim video ex Actis ubi Analytin
curvae
curo Bochronae exposuisti; intellerta esse sibi methodi nea
fundamentas pato, et evica curvan  catenariam ne sibi
salifacturum; hoilavi autem et alios in Actis ad hoc pro
tlana ta se propositum, ut experiar an et aliorum Methodi
eo perveniant, praesertim . Tschirhhusii nei qui de sua
nuper methodo praeclara pollicitus et, sed ut intelligo querituo
de calculi prolixitate; Unde judico non aliam esse ejus Me-
thodum, quam qua ego forte primus jam olim sum usus cuno
Parisis estenus; sclicet fingendo curvas generales, quas deinde
conparro eum quasilis, sed ea methodus praesertim quod et iptas
obstaculi
elicuio abstructi palitur alicabi Tabulis condendis suble-
vanda esset, alias nimis prolina; Et sunt alia magis di-
reclae facilesque, sed faleor nondum me quam opto perfectionem
in hoc genere essecutum. Inlerim saepe desiderata consequor
FE hoc seroire potes
ex num aliquid in entremo
in extremo sed alibi imo et inc
dera eademavet diversa sit ferea-
ita temperetun, ut gravitati
proinde habebitur et solutio
ter vel in aequalimr esset operm.

## Folio 7v — DE-611-HS-958800:0014
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 8r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 40 lines, status machine
uper Hugenius, Vir ut non ignoras in his Audiis eminea-
tissimus, duas lincas mihi quaerendas proposuit, quas inveni
feliciter; Saripsit ipse non parum se estinaturum analgtes
nece rationem, si eo pertingat.  Simirum hac notandi ratione
eandem opem Geometine iMi subliniiori vel atrchimedeae affero
quam Vieta et Cartesius Eucldeae et Apollonianae attutere, sed
praeter prter vulgares affectiones, quae suns potentiae et radeces, adhi-
beo novas, qual sunt differentiae et summae; quonodo hac ratione
Cycloidis equationem exhibuerim in Actis juni 1686 fortaste
vediti. Nec ulla mihi proponi potett ceclordes proprictas
pe
quam spe hujus aequationie non inde calculo demonstrem
sic nullo negotio inde duces tangentes, idemque est in aliis curvis.
Sinlentiam tuam nosse velim circa meum demonstrationea
contra Cartesianos de estimatione oirium à quantilate
notus diversa, i Actus respondi Dno Capino contradicenti, quod
mentem meam non percepistet. Cuae D. Fatio. Duillier dedis
contra D. Sschiruhusium mihi jam innosuerant ex princitio
satis diverso et latius patente, et quod de centro gravitatis
notavit, invene ram ratione plane diversa; aliaque Generaliora
Interim ego magni facio, ingenium viri et ab ipso quoque prae-
clara expecto. Est mihi in mente Analysis quaedam Geome
tria propria toto coelo ab Algebra diversa, quae non procedit
per aequationes. Et suos usus habebit insignes. Nam speciosa
hactenus usitata proprie magnitudinis est seu numeroeumo, non
setus seu figurarum; Esi Rlus oblorto collo ad eam revocetur,
ipsa
de  Algetra speciosa per artem combinatoriam perficienda
spero dare quiddam ejusque ope explicare radices aequationum
compinationi
Tbi ralioritus autem Algetrarcae expressiones mire contra
ipsa
luntur; Et omnino Algebra est scientia combinatoriae (nempe
scientiae  formulis in universum traclanti) subord inata
casum, quo
ejusque regulas applicat ad catus, quonodo per literas vel no-
tas numeri indefiniti significuntur; sed finio. dabam
Hansverae 2 sextermb. 1690
cultor studiosissimus
G. G. L

## Folio 8r — DE-611-HS-958800:0015
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000015.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 41 lines, status machine
chema
ut perinendo rgaram Eorotolae tua) quadrata drdinatarum FB sint.
proportionalia aggregatis ex trilineo CFB duclo in L H et plaro
constanti repraesentante pondus p ducto in FC. distantian Centri Gra-
vitatis ipsius P. ab B3, Ego dam rem in gratiam sui aggredior
incido in difficultates, quae me admonuere debile accomodandos esse
quaesiti terminos, remques ita, ut fgura exhibit esse inpossibilem. Idqu
sipsum quod sine admonitione ista in nentem non vererat, non
facile animadvorti; primum enim nego fieri posse ut figura
in panctum  desinente appensaque trabi pondere p, in C, trabs
utique aequaliter resistat, quod sic ostendo: in figura desibe
solidum e pla desibe
rata si talis esset figura CDA BC debet esse planda  repraes en
tante pondus p. ducho in destentian CF una cum mamento
ipsins  trilinei CFBC ex FB, tanquam axe sum la; aequa le
Solito ex quadrato ipsius FB ducto in rectam conttantem; sed sub inilium
cum abscissa est incomperabiliter parva ut CE. adeoque et ord ina–
ta incomparabilolete porva La tunc momentum ipsius trilinei
CLa ex ane de est inconparabili er par oun ne sectu moment
ponderis p, seu respectu plani alicujus assignabilis ducti in
C2, Ergo evanescit in additione et proinde idem est sive
dicas momentum ponderis p. et non calum trilinei Ces
sinul sumta debere alicui rei aequari; sive potius dicas nonenq
tum ponderis p solum, eidem ipsi rei aequari. Postulatur
ergo Lunc ut solidum factum sub plano constante assigna-
bili ( pondus p repraesentante) ducto in CQ inconparati
liler parvan aequelur solido facto ex quadrato eA inconpa-
ar
rabiliter duito in rectan constantem assignabilem. sed hoc
est absundum, cum isud solidum sit hoc inconparabilitar, majus
nempe eA in CQ est inconparabiliter majus quam dae
quadrat in 13b posito a et b esse quant itates conpara.
hiles, sed C2 et LL esse ipsis in comparabiliter minores. Nis.
vicissim  eset in conpparabiliter major ipsa C2 cujus con-
trariam in paritota est vverum ubi sub inibium (sero pro
incompana bilis er parvis) C2 etsi ipsamet incomparabitleo
parva ese tanen adhuc inconparabiliter major ipsa  adem
nec in curva nostra desiderata (quippe quae postremo iminu
to conlinuo stondere p. sparabotam crancscit) contrarium
 seu nomentum ipsus
B ex FB

## Folio 8v — DE-611-HS-958800:0016
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 7r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-958800/jpgs/default/00000016.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 145, 2026-09-10T03:18:46Z — 39 lines, status machine
5.9
fieri potest, ut scilicet ea contra in comparabiliter major si
ipsa C2. Cum ergo res deSiderata prestari non possit sub ini-
tian poo partibus in conparabiliter parvis neo  porerit figura
hoc generaliter praestans exhiberi. Sin patemus figuram posse
reperiri quae praestet desideratum at quae non in apicem desinat
sdd sit quodamodo truncata ut SoDABS ex cujus extremo V5
suspendatur pordus p, aj ne sic quidem desideratum posse
prectari ob contrariam epusam. Nam finge pondus P
suspendi ex F intervalo VF, infinite vel inconptarabiliter
verum
parvo, idem est, ac si sespensum estet ex V, sedeo casu cum
pondus Passignabile agat in resistentiam seu fiumitatem
rectae D5 itidem assignabilem, sed ope veclis VF incomque
parabiliter parvi, nihil aget retistentias in D5 ipsius
respeclu erit infinita, adeoque non ubique ejusdem rationis, cum
inihio sit infinita, alibi non item Luod si pondus medio aligro
loco in trabe ex puncto suspendas, utique per se intelligitur
nallam esse in figura uniformitatem rationum resistent ire et momenti
. Uno tanea modo oblineri potest deside.
ratum, quem nunc exponam si scilicet pondus non suspendatur
trat
ab entremitate, sed ei certa quadam ratione debita ap.
plicetur, quorsum ne tandem ne coystantem quidem ipsa
danis Analysis, quanquam potuissem praevidere sine calculo
Ajo igitur figuram exhiteri posse ubique aequaluer resistentem
et propio ponderi et alieno ipsi affixo, nempi a trabe trius
linea parabolica CDABC revecetur trilinca aliquo portio
apic en continens CVsC. Deinde corpus Cylindricum (si
placet) V72, Cujus longitudo sit dimidia ipsius CV affiga.
tur trabi truncatae SD+B5, et ad ejus medio F suspendatur
pondus P Res autem ila tenperetur, ul corpas V72 unâ
cun pondere p appeuso equelur ponderi ipsius portionis à
sustinet posi mo do corpus V72
suan et ponderis P gravitatem fumiterque datus trabi affigatur
gatur sactinere possit, de religuo trabs trancata SuDABC
resistet
egnaliter eel ponderi proprio et alieno V7SP. Duod sic probo.
quando trilineun Cvsc non val resectum, tunc trabs