# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/32497/text
# Catalogue record: 32497 — [Math. Unters.]
# Incipit: x = l - b = m - c = n - d = p - e etc.
# Date: 1702
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=32497&katnr=45331
# Work: https://leibnizlegible.com/work/DE-611-HS-3653099
# Title: LBr. 57, 2 · Bernoulli, Joh.
# Folios: Bl. 78–79r (from the shelfmark LBr 57, 2 Bl. 78-79r°/v° (=45330)): 3 pages, canvases 155–157, page ids DE-611-HS-3653099:0155 to DE-611-HS-3653099:0157
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=DE-611-HS-3653099&page=155
# Lines: 283 recognised on 3 of 3 pages, mean confidence 0.81
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 78r — DE-611-HS-3653099:0155
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 79v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000155.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
Gratias ago quod literas Varignonianas mecum communicasti, quas statim recur.
o quyphasius  a lace 
Velem etsi nullas demonstrationes communica verit Academiae Regiae
e sufeeiet habere propositiones atqe peomissa, queae se vellem saltem discere pripositiones quas se invensse
dixut. Unam invenies in Novis Reipublucae lierariae a Bernardo editis, cuius (ubi et de vitro ejus
austico in hallia venocto mentio est)c quae mibi ad id quod nuper scripsi redire videbatu
Barometri portatilis gratia follem elausum ro embole ideo ex adhibui, quia mblis
potius quam
embulotum frictione continua mox corium vel simile aliqu quod ejus loco est atteritur, et ita vel aer
ne inter abitur, vel genovari clausara debet, quae ita ut variet difficults resistentia motusque _ facilitas,
Etgonec tandem tandem aer plane intertabatur.  Et cum reperatur clausura, (Quod in antliis artifices
vocant Lirogale (quam reparationem in antliis artifices vocant Lindeae rnus) initio semper
Follemi autem vellem adhiberi metallicum
p tcu in quo plicae a chalubeis lamonis suppeditentur ita cessabt quae metuis. Interim prima
major est digicultas, quae diminuitur temporis tractu.
tentamenta fieri possent in follibus cortaceis velnembumestrea Mercut gr Gratam sut quae commul:
eicasgratum est quod  dno Varignoniole communicata et nih etiam ad me servenre
jam pateris. An unquamiquificaxi mini motestas esse has communicationes Nam siialiquando
si veniam aliquando petvi, quod noc pro dignitate nonsatis ampliis excu aro nogsit non satis
 vel otio vel etiam animi promitudine pi alacritate distitutus, non sut facile novas medita–
tiones pro sipitae Titisalissarere non potui un ideo, aul vacare pro dignitate novis meditationibus
A sequitur ea
e
à me perni ant hon libenter
enus
Coguo sei inermsi paeim puto me posse resolvere plerieque Tur problematia, et non
Vipposse satasfacere
an ideo  seri spero
paula ad huc generalioribus. Primum secundum tertiam in potestate haber. Quartum non satis
in teligo quid cilicet vores maximum terminum.  puto in ipso et in quiato compendia eta
quaedam egt Tibi sucurrise, nam ves ipssa habetiitali quaidus illis robis exprenta  olim
lagnata puto inter se et uti e tabula quada
osiisi quam odini
a+b+Cc = x est eae xx et abiq ac 1b. etc. = y et abc + abd + acd tbdqus
Z sii et ita porro sit aa = XX = 2y et a = X 3Xy + 3Z, et ita porro; ubi multa
uso por Bes
ninus met
recamplia annas
non parvi
sextum prblema
3=1
qualia magnus facere solet, etiam
non tantum habeo, sed etiam ita habeo, ut jam.
Scentiae infiniti meo analiseosque adeo summatoriae pottruaret vasis. Nempe
quadrabulatum Ratio naliumi utsae appellare soleo, eaque ut verbo dicam com
Aut in invettiore divisortors
calo rationaliam formulae cujusque rationalis unicam indeterminatam continentis
qua ratone omnisque adeo fractio rationalis nominatoris compositi, resolvi potest in fcio
resloi ex ali quot fractiones rationate nominatorum simpliciorum
Atque ita
otest componi
Exeg.   Omnem formulam
+ rationatem inbgram, r.g. X+ Ognis fractionis rationalis nminator reduri potest ad formulum talem,
si multipliatus si opus peeegeitam vet divisus per cognitam dat reducitum ad formulamm  qualis
vel 
X34. XXF. XF.
vel XF. XL. XXFXF.
unt lm; vel limn; vel lm n, P et ita porro. His possitis reper posito l- x+b
et F ne etc. finitam v.. Esto fractio XXF. X+.
Im = XAC, n = XHC p = X+ E eK. otc. ubi nihil refert cognitae  determinatae nostra b, c, d, epete
sint rationales an irrationales. Nam analysis enim nostra superior inferiorem resilationem fermularum quae
Fin divisores, quae eadem est cum resolutione aequationum in dions suppoiit. His positis hanc reperi
e ma radite
Imn= c-b, d. b. l b-c, d. c, M bad, ca d, n
e Imnp cab, dub, en b, L bnc, dic, e cM  bud, cud. end. n bae, cres d. e, p
4 regulam: im = c. b. l b. c, m 
eta
Et ita porro
Sed quando Fractiones autem quarum nmiNumerator non est unitas, sed at
Ealiqua for formula pot rationalis ex potentiis  ipsius X conflata veluli
a ZC
resolvi potent in tot fractiones quod membra habett numera tost mn
rursus resolvi potest in fractiones simplicis denominator  hoc modohX
oumps.
LXX
= d -
bretd, bens
vel constans, sed
et X = pg. npq. mapa.
∞a +x +x
imup
et harum quaelibet
eminpq
saopgimnes pactionesin valoribus
fractionum rationalimm reductiones ad has: Xtb X. ard etc b sed quia interdum radices formulam
bicadre + berbdred tHtcctd bbeba o +CL b
upi mup. 
E imaginariae,  seu peri se ompossibolis unc lace divisoris assimi potest factum ex ipsis reale, vig. s  si inter
Ermnpai diumeraeis habeam
 divisores simplices sint duo as et ,per iere ab adiberi potest factum ex ipsis  Gocoloco 1 x Ext
Habemus ergo, omnium
itaque liet verb et  non possib eda cam divisor est  eti non
ao ic e u t ue  dit rasu
et si adesserparas1  s, adhiberi potest igxfi
du, Joh. Bernvullincue 43 Jutrii 1702
Ce leberrime Fautor Honoratissine
non potur, innovissim pariior, tate
 sic 1 + 3 + 3 + g etc noque a
coesi e ubi posito
et XX =

## Folio 78v — DE-611-HS-3653099:0156
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 79r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000156.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 98 lines, status machine
quod dubilo instab pullicare sit cosse
ut olim efium inveri in
et in tubica s
sed latet in his arcanum, ad hac mis quoniam in analysi etiam aequatoribus ut
ptculo singula
am oum noini  imaginario non nout cum virtuaem tantia et
ECostructi  inaginariae non minus quam reales in analus
et nyter adaibentur
ad
unaratione
d logarithmos vel veros vel imaginarios; ipsamque adeo Circuli quadraturam 
e oc aliusque prationales omnes . Eaque ratione  Tra Expressiones transcendentes summatorias
s axing est eperfectio Analyeos
E.   seu quadatorias transfero ad expenentiales
non possunt
transcendentis. Nam in calculo semmatorio cum incognitae exhibentur in
 ex eo ex tolli cubi  sunt plures, nlicet enim incognitam erminet curvarm
du erum transcendentum vel bransenvertis et ordinarisum 
arenm Ex
ai
gr. sit
Vsuopita heteriant analyfice descendi potest in valere pecias coiitarum
faa +rx dx = ax ys et  et Si aatgu dy = a et sab+
 a X)
r
ic non licet Tollere valores incignitas = (NaZiZZ dZ + ab et (tab + ZZaZ =4x _
5 patet nullam incognitatum posse tolli.  A licet enim X = L(Tab+ZZd: a posset
 substituit in Saatx et in ax tamen non potest substitui in in ax, id enum succedit
etantum cum loca se tangunt non vero cum se secant. At analysis exponentialis, cum
rem eo reduat, ut possimus tollere incognitas ut in algebra
Lice et licet logarithmi vel exponentes fiant imaginari: id tamen pro cabulo
nos liberet os liberet ab ipsis dx
 communi.
et in de realibas magnaria valorem liiq edientes virtualiter
tus etiam inde duci possunt construnctiones  imaginaris carentes.
15. Superest aut perficea ad perficiendam Anatus sin quadraltriam, ut quad xturae
irrationales, e reducantur ad ritionales. Atque hoc anicum quod sane animadverti
(5 Aaliu
 omponntur
et ex quo neam ingeni quadrafuram attimeticam. Et hinc siati primo aspecta statim
rsi quid Tibi velles tum velis cum quaeris Xx talem, ut am + Xx, et an + xx sint quadreti
a deeu quadratum quod dous datis ducobus numeris additum, cum unoquoque faciat quadratum; ita
atuim haberetur deductio curvae Ellippos et Hyperbolae, similiumque problemum te sragoristicorum
 mihi ideresis
es
itu pan
eEF Carus HyperbioQ scripseram in Epistola quae edivitrdactisius et n ante arnis poslea in
d, quad atura e salter quund
sde praestari,
Ptia semper
olectr
6CFactis eluditorum cum  quadraturam cujusdam cur qualis est
tandem rem essem
sa t infallor
le cum
sed
ragressus e diffimitatem opinione majorem deprehendi, itaque
re convoandae sunt ropiae nostrae in unum ut quantum licet
ea an +xx sint quadrati habeo cur reda
non posse solvi multisque aliis tentatis, reductio qu curvarum c Ellipscos et Hyperbolae
F  cum jam idemf
 ad quadraturas rationales hactenus non surcessit, ne interventu, quidem imaginariam
. progretriamus.
itaque nondum constat an hoc semper sit possibile. Quod si e rea promoveris, aliquid
oAliquam ego promotionem  dedi, dum, at adhibui ondinatas
summandas ordinatas, quarmm partes sunt rationati ad rationales ms revocabiles
F insigne praestiteris
ita enim erit et
v. g. si sit _ y =l faa + M fy. = ab + CX + xx q Sal mx + xx
yy = ab +CX +XX + eq Nab + CX + XX, al + mX + XX,
g- 2aa ff ab raa ss  r 4 aaff XXYy + a aabb ( 2 a al 
= M X +XX
9 abal i  ab nx +  aas
quod si erm -o seu +a c m XX  2 a al
- quassyus XX. = 2aaff vy
praesertim cum ipse rem
minus
2affb y)
eqe s
fit
ss
et fit
piliter exprimidi
sublata enim irratio naletate, habetur x aequalis ae
unde habetur summatuo ipsarum X quia habetur summatio ipsarum ssensrret
Reperietiam  ab X (XX tab :, X+ dC) non possit commode nondum possit summari  rationateo
extab Nam qua seu summari posse, et a ax lxtac
ponendo X = ay fiet isadu utb Taliaque multa inveni, sed nondum mihi gedcaliter selyfeci. e gretur
 tamen eo reduci posse
nihi spondiote, ab ingenio Tuo, unums interim tibi consideranum compi
sit aequil eO a posterist DDB. apatae productum ectum aequari quadrequoc
Etoral + 22oram + 230 tan et D = 310 tal F g2o tam +30 van i . 4. b  +119 vln 423 sn n + 400a. Hoc
 ponras   i
+4a4
reduci ad quadraturaso
nes endidantibus expressi
quaepitur vot ab et votac
pt im =nt in = X+G n =  th

## Folio 79r — DE-611-HS-3653099:0157
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 78v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/DE-611-HS-3653099/jpgs/default/00000157.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 85 lines, status machine
r = 1 - b = m - c - n - d  = p - C etc
D
lma nin D imn
(= X +b n = p +C
(-m b -c
Im = Im
lun = mu
buc, bm d, b. d sed = buc, cad = ba c, ca d -
boc L bnc
L- P. =
b-e = mup
A = x+d p = X+ C, etc
seu im =  b. L
et b -c = L- - 1
cid + Cud = bnc
e etim  d ocibneot E b, Cd. M  d. E, dab, M
Seu tun c.b, dabil  B.C, d c, M b. d, C- d, n
Imnp emp
et b.d, cad, enb, n  iud, ad, ba eaM bud; cad, eud, ea b, H
Et ita habetur regula progressus in infinitum
bud, cad, e d, n2
Ao  U02 set bb
XP fiat X = l.b et tner = mnete imnete imnete
Zlmet l = B B + b -c et 1 - 2b = m - b -c, ergo fiet immpo
pevius  ex valore  invento habetur n
imnete
b-c, d - C, C- b, M 6. d end, 10, 1
e-c = b4c
e, d e, b. e, p sed b c duc, ea B, M duc, ec, ba e, M = ba c, d C, labs e C st
F d. C, e-C, b. C, M Cad, ea d, b- e, M d - b. +d
XX, X.
. b + exd - 1, d tra
ina  Imnp bue, imp e-b, lrin
ergo pro lun, et mup substituendo valores inventos fiet: Immp C.b, . b, e b3 l
tne imnp imn imnp
innpetet se mper
Imnaet
Imnpete
 np et
nodam urvu
Ergo tandem fiet
b. c, d-C, CC,
 L Xtb A n- nei n = Xt d. p- 2tC
 et it forro
1. B.b Cmmpetc
bre +, umpere
nete mneri erm ap missi
hoc a babee  un. imaji
nea mncu innen nu cum mus
te +Gbte x
humpete mimpate
C -
1terdm 2d brued + bb+bercea = H+be ACC, C = mop.
 p. np.
inn etiam consideranda esset resolutio formularum in dudivisres planos seu secundi gradus. Qraestio est an omnis
Etigo
X = X, Y
unp Emnegete
e = q.
pi
brerdre, berbo + cd + bb rcet dd
Pabbc+ bc C +
sccumo quadrature ad quodratur iiculi et Hyperbore. sit
Xx+ ac X∞ + aadX + aB = 0 et
resolvi possit
Uxx qalmX x aa mp
et ax = X + a et sprudit XX X X
er ejus
et fit
p. m pam seu pp- mm pem - p - m .
seu p = m + ppm - pmm =cpp -emm + 2epm = add, et pro m ponendo ab: p, fiet
l= ad:, p-m et l = aaod:, p m  = aptm -ac seu ami
 p - a: p + ab pp: p - aa ba p : pp - cpp - adC: pp + 2 adCp: p = add, et multiplicando per P
fecta ex Xx + lXtam
sed quaeramus prius m et p
+2aP sit 2m = cella + ad: l, et ( 2p = etll. a - ad. l, alque
fit pe + B - cp _, ab p - addp - aa bpp = aa lbep = a B =
adeo amp seu cc + rellia =(F: aa - aadd: I = 4a B, seu  (6 + ac l taaccll - a dd
 pr te ii sure s. un e. pes eb. srtir oper  tar 
m. + p =  +ll. a M = P = ad: l
P
ut l’etiam sit imaginarica
tuu De
 setum
alnter sistictis rela