# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/33160/text
# Catalogue record: 33160 — César Caze für Leibniz. Abhandlung über die Binärrechnung. Beilage zu N. 219
# Incipit: L'application que j'ay donnée à l'Arithmetique Binaire, n'a esté que d
# Date: 1704-10-14
# Sender: Caze — Addressee: Leibniz
# Akademie-Ausgabe: AA III,9 N. 220
# Other printings: Zacher: Die Hauptschriften zur Dyadik von G.W.Leibniz. Frankfurt/M. 1973, S. 311-334
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=33160&katnr=39216
# AA III,9: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-iii-9
# In the Akademie-Ausgabe: AA III,9 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdIII9.pdf#nameddest=220
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068257
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 7
# Folios: Bl. 2–7 (from the shelfmark LH 35, 3 B 7 Bl. 2-7): 12 pages, canvases 3–14, page ids 00068257:0003 to 00068257:0014
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068257&page=3
# Lines: 632 recognised on 12 of 12 pages, mean confidence 0.93
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 2r — 00068257:0003
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 45 lines, status machine
aplication que jay donnee. à larithmetique Binaire na
este que depuis 1699. Certaines methodes du S. Parragon rupportées dans
Le dournal des Sçavants du 5. Decenb. 1689. en surent loccasion; car ayart sait
texamen de sa troisième methode à multiplier; de ayant trouve le mozen de la
rendre generale, je mapliquay à voir comment elle reussiroit à une autre.
maniere de comptes, ce qui me conduisit a la consideration des deux caracteres
qu’il falloit pour l’arithmetique Dinaire, da
Mais quoy qu’en operant a la plume. je ne me servisse, dans le commencem
que de Lenite et du Lero, geus bien rost reconnu que pour enfiner la numeration
dune maniere commode, il se faloit servix des lettres de l’alphabet.
La grande faulise des operations de cette sorte darithmetique mobligea
ensuute (dans un tres grand loisix dont je jouissoit alors, estant en prison) de
rechercher comment on la pourroit apliquer a lentraction des Racines quarrées.
Cubiques; quarve quarrées; Sursolides, dc.
Comme il nestoit point enore venu à ma connoissance, qu’aucun de nos
autheurs francois eut trauté de cette sorte darithmetique, il me sembla
qu’au moins ne devoit- elle pas estre échapée à Peper. Descrivis donc
à Sondres, asin qu’on menvoyat tout ce qu’il avoit fait à la res erve de
sed Logarithmes, mais je ne receus qu’un petit traitte de sa Rabdologie.
Pendant que jestois dans cette recherche, un amime communiqua
les deux Tomes mathematiques de Caramuel, ou je trouvay qu’apres
l’impremion de son livre, il avoit mis quil que chose au commencement.
en forme de Proeme, touchant les arithmetiques Dinaires, sernaires,
Ouartenaires. dc a
Ce qu’il dit de la Sinaire ne donne pas a connoitre qu’il sy.
soit beaucoup aplique, puis qu’on le peut comprendre sous quatre
remargues.
La premicre. Ouc si cette arithmetique paroit lente dans les premicres
quantites, il n’en est pas de mesme des qu’on est a la quatriesme progression
En quoy il n’a pas pris garole, qu’un effect la quantité des C’aracteres de
cette sorte d’arithmetique, triple, et au dela ceux qu’il faut pour la
nostre, ce qui est pourtant peu considerable, eu egard à du grande
facicité des operations, qui ne requierent qu’une tres foible et medioere
attention en ceur qui operent; de cert particulierement de ce peu
dattention dont ou auroit besoin pour proportionner larithmilique
à toutes sortes de Gendes. Mais il y auroit pour le moins autant dobitacles
à la pouvoir introduire presentement parmi nour, qu’il y en auroit parmi
Les Chinois, de faire abolis les caracteres hierogliphiques dout ils
Se servent, pour leur faire prendre les alphabetiques.. Il’est vraya
pourtant qu’on se peut seroin. de certe arithmelique Binvire, comme
la fort bien remarque Monsieur Seibnits pour faire de nouvelles
decouvertor.
La seconde remarque et, quencore que Caramuel donne le Caractores
de la leutre a pour lunite, et quil garde le Zero, il n’a par pense ila grande
utilité quon trouve pour la numetation de se seroir des leures de Calphabet.

## Folio 2v — 00068257:0004
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 48 lines, status machine
La Froisiesme est, que les differences de la progression Geometrique double.
produisoient les nombres de la mesme progression, ce qui vient de sa nature.
Et la Quatriesme, que dans cette progression, on trouvoit la proportion des
Octaves de la musique, de mesme que les doubles et triples octaves . Et que
comme le grand raport qu’a larith. aux tons de la musique ne sçauroit estre
plus evident, ces deux sciences semblent ne se devoir servir que de las
mesme maniere de comptor leurs intorvalles et leurs repetitions. C’est tout
ce que jay trouve de considerable dans Caramuel sur lurith. Binaire.
Mais comme plus de sin ans avant que je songeasse à cette sorte d’arith. je mestois
aussi aplique, (pendant le merme loisix) à la construction dune machine, pour les a
Operations de la nostre vulgaire (qui ma sort heureusement reussi, de que je metrai
bien tost au jour) d cela estant desja connu de diverses personnes, le Chevulier Coltirel
petit fils du Grand maitre des ceremonies d’angletorre, me communiqua il y a
environ quatre ans, une autre machine de Linvention de son Grand Pere; de j
trouvay la Rabdoloque de neper. bien plus heureusement apliquee, que je ne lavois
point encore veue, ni dans Reper menne, ni dans ceux qui ont voulu se scroir de
Sa methode. ajant donne part de cela au meme ani qui mavoit communique
les deux tomes de Caramuel, il me communiqua encore une traduction slamende
de quelques traittez de neper qu’il avoit recouverts; de parmi lesquels ontre lu
Rabdologie, je trouvay un trante tout entier. de l’arithmetique Domaire
Ccute traduction se trouve faite par lrechiel Deker, de a este imprimie in 4. a
Goude en 1626 par Rammaseyn, lequel est le mesme qui a imprime, en
1628, les grands Logarithmes de Reper. jurques a 100000. de à l’impression
desquels on ertoit pour lors occupe
Par l’examen que je sis pour lors de cette traduction, je trouvay.
l. Duc neper sertoit aussi scroi des lettres de Lalphabet pour exprimer les quantitez,
ce qui est si naturel qu’il ne semble pas qu’on sinpuisse passer: Et quoy que Monsieur
Scibnits ne donne point à connoitre, sil sen sert ou non, jene doute pourtant pas que
cela ne soit
2. Ouc pour laddition ce pour la sourtraction, ma methode est pareille a la sienne.
3. Duc pourla Multiplication, et pour la Division, il se sert dun Echequier ou Damide
ajant 24. Cases de chaque coté. Sa methode est assurement sort ingenicuse;
mais elle me paroit plus embarassante que celle que jay inventée avant davoir
veu la Sienne
1. Duil se sert aussi du mesme Damier pour lentraction de la Raune quarree
non, aussi, sans quelque embaras, aje crois que ma methode est a preserex.
5. Qu’il ne donne point de methode pour lentraction de la Racine Cubigue.
ni pour les autres Quissances. a les gard des Cubiques jay trouve deux
methodes difforontos, lune desquelles nen a ouvert une toute nouvelle a parti-
culiere qui s’aplique sort haureusemrent a nostre arith. vulgaire.
Quoy que toutes ces circonstances soient peu importantes, de que je ne doute par que
Monsieur Scibuits nayt toutes les oeuvres mathematiques de neper et de Caramuel.
jay pourtant eru que je ne serois pas mal de lui donner à connoitre tout ce que jay
decouvert des autheurs qui ont donne quelque attentron à larith. binaire d
en mesme tomps, ce que jy ax fait.
Mais pour en venir presentement au memoire que monsiur Seibnits abien
voula qui me sut communique, d’avoueray que le petit malentondu qui seit rencontre
entre sa pensée de la mienne, est procedes dece que je nay pas pris garde, qu’il

## Folio 3r — 00068257:0005
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000005.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 50 lines, status machine
avoit eû plus en veui dintorpretor les caracteres de So-hi; que de saire voir qu’ils
convenoient parsaitement à une arith. binaire. Et je crois aussi que monsieur
Seibnits, suivant en cla sapremdere pensée, n’a pas pris guode, que ma disivete
rouloit moins sur L’intorpretation des Caracteres de Pohi, que sur le desaut que je
trouvois, de les apliquer tous, dune maniere convenable à cette sorte d’arithmelique
de dis, tous. Car pour la moitré je ny trouvois auune disiculte.
Outre ala comme il se trouve dans la premiere leure de M. Seibnits deux
anulogies bien difercuntos, pour servir de cles à lenplication de ces caracteres. Sune
qui donne a connoitre comment on se pourroit servir de lunite  du zero, pour
former tous les nombres de l’arith. binaire jusques à linfini; ce qui est la menme
methode dont je me sers. Et lautre qui tend’à faire connoitre comment les carae
cteres de Sohi, peuvent estre apliquez à cette sorte d’arithmelique, jay eu plus
en veue la premiere, que non pas la Seconde.
Duc si ce memoire ne devoit estre veu que de monsieur Scibnits, il ne seroit pas
hesom den dire davantage. Mais comme il passera auparavant sous les zeux
de Monsieur le Dourquemaitre Witsen, et qu’il Scra sans doute bien aise devoir
ces deun sortes danalogies, je me suis dant ant plus porté à les mettre dans un
scuillet à part, que cela luy sera parsaitement convoitre la beauté de la singularite
de la decouverte de Monsieur Seibnits.
La colonne A. du scuillet, contient donc les nombres de larith bmaire, de le
maniere qu’ils setrouvent dans la premiere leure de M. Seybnits, en ne se servant
que du Zero, et de lunité. a coté, il a joint les nombres naturels de nostre
arith. qui forment la colonne B. Comme Monsieur Scibnits na porté
les nombres que jusques a 16. je les ay continues jusques a 65.
La Colonne C. du mesme seuillet, contient laplication que jay faite de la premiere
analoque de M. Seibnits, en ne se servant que de la ligne interrompue pour
designex le Zero; de de la ligne entiere . pour marquer. En. La continue
sation de cette colonne est de lautre coté du mesme seuillet.
Les Colonnes D. F.. F. 6. H. font connoitre les diverses combinaisons qui se
forment, lors que la ligne interrompue - de la liqne entrore se trouvent
une a une; ou jointos deux a deux; ou trois atrois; ou 4. à 1. On 5. a5.
Et enfin la Colonne. L. donne les 64. Caracteres ou sigures de Fahi, arranges
dans lordre qu’ils doivent estre suivant la seconde anvlagie de M Seibnits, pour
marquer la suitte naturelle des nombres, depuis 0. jusques et compris 63. Mais
parec que depuis 3l. Les sigures de cette Colonne  se raportent parfaitement
au rerte de ceux de la Colonne C. je nay pas eru necessaire de les repetir.
On conclud donc de cette scconde analoqie, qu’il faudroit sept lignes pour
alter jurques à 127. Et 8 pour aller jusques a 235. dc. On sorte que sion
vouloit exprimer. 20000. de nostre arith en la Binaire, il y saudroit emplojde
suivant la premiere analogie, quinze rangs de lignes; ce qui seroit inevitable
depuis 16384. qui senprimeroient ainsi,
pour connoitre la valeur de la ligne entiere, qui est à gauche, il sant bien
sçavoir combien elle preude de lignes interrompues, ou de Zeros.
Mais lors qu’il ne sagit que de marquer la premiere unile, jecrois quon
peut demander, pourquoy faut il que la ligne entiere se trouve precedée de
CMIIIIIIIMMI
14. ligues interrompues en cette sorte iini? Ce scroit la menne chose
que si Monsieur Scibnits, en formant sa premiere analoque, ent fait preceder
la premiere unité de 14. Zeros, comme uy. 000000000000001 cequise
peut simplement marquer par un simplas seul trait comme il a fait

## Folio 3v — 00068257:0006
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000006.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
On voit donc que tous ces Zeros, nétant preudes daucune unité, doivent estre
reputez sans aucune valeur, de sans en donner aucune; d ils se trouveroient
la absolument inutiles, sion ne trouvoit pas quelque raison qui en puisse pertifier
losage; d Sicela ne setrouvoit pas, il semible qu’on ne pourroit pas apliquer les
Caracteres de Fo hi à larith binaire, puis que la moittre ny convient pase
parfaitiment, comme jay eu dessem de le donner a entondre dans mon premir.
Memoire
L’on peut aussi demandex. pourquoy Sohi, pretendant designer une nouvelle
Porte darith. (car je suppose que la decuple ertoit conmue) seit arrete
a 63. ou mesme, pourquoi il est allé jusques la? Nauroit il par suffi des
oreuieres quantites pour exprimex sa ponsće, sur tout en sabstonant de
metre toulos ces lignes interrompues qui sont mutiles; de se confurmant a
lanalogie de Monseur Seibnits qui jay suivie dans la Colonne C.
Cela sembleroit dautant mieux exclure lidée dune arith nouvelle, qu’il
est tres evident que les 64 sigures ou Caracteres diserents de So-hi, ne sont en
esfect qu’une parfaite combinaison de deux liques dissemblables, assembléés
de sin en six, de toutos les manieres qu’elles le peuvent estre sans quil en
puisse manguer une sculle, ni quil puisse y enavoir deux égales.
Ainsi ne pourroit on point croire, que le mistere et le scerit de la chose
ne consiste simplement que davoir trouve le moyen dexprimer tous les caractores
ou toutos les figures qui se trouvent par la combinaison. Et quoy que ce soit
aujourdhuy tres peu de chose qu’une recherche de cette nature onjuye
pourtant bien qu’en cetemps là il nen ertoit pas de mesme, de qu’il faloit
avoir une quande sagaite desprit pour en vinir à bout. On peut mesme
formex aujourdhuy un jeu de ces sigures, qui sans doute paroitroit de
quelque capacité, à ceux qui nent ont pas la cles, de qui consirteroit a scavoir
deviner la place que chaquune des 64. figures occupe dans l’arrangement
ou elles se trouvent dans le S. Martini.
Jescuy bien que le parfait arrangement de ces sigures, aprez quon a
corrige celles qui doivent representor 17. 19. 26. 28 de peut estre 31.
lesquelles sont diffetueuses de donnent des nombres deya emplozez.
de Scay, dis je bien, que ce parfait arrangement, donne un puissant
prejuge pour la pensce de Monsieur Seibnits, aut en du le singulicr raport
qu’ont ces 64. Sigures pour exprimer tous les nombres depuis 0. Jurgues à
63. Ensorte quils sentre suivent dune maniere si admirable, qu’il
Sanbleroit presque qu’on pourroit affirmer, que Sohi a cu dessem
non simplement de donner une combinais on complette, mais en effet
de donner des nombres, ou bien une valeur à chaque sigur ou Caracere.
Et quoy que certainement cela ne soit pas sans une qrande vraisemblance
Il y a ercore un doute à cclaireir, qui merite bien qu’ony donne quilque
altention. Cest que M. Seibnits sçait parsaitoment, que lors qu’il sagit de
faire des Combinaisons complutes, il uy a que deun methodes pour y puvvenit.
Saine de les tentos au hajard, lunes apres lautre, sans estre seur de les u
avoir toulos trouvées. Sautre de se saire un ordretol, qu’on puisse cstre
certain denen obmettre aucune. Or Si je navois veu les Caracteres de
Fo-hi, que dans le Confucins du S. Couplet, jaurois eu grande nelination
de croire qu’ils avoient erte toutez à lavanture, puro quon ny reconnoit aueur
ordre qui puisse saire conjecturer qu’on ayt sieu celui qu’il falloit observer
pour faire des Combinaisons complettos.

## Folio 4r — 00068257:0007
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000007.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
V
e
it
lest bien vray que le mesine P. Cduplet rapportant à la page lit de sa
Declaration preliminaire, les combinaisons des deux sortes de lignes, prises de
trois en trois, il les a passaitoment arrangées de la droitte a la gauche, comme
Si elles valoient 7. 6.5. 4.5. 2. 1. O. Mais lon voit sort clairement qu’il n’a du
tout point songé à larith. bimaire, puis qu’à la reserve du 1. qui est mis sout
cette sigure == Tous les autres chifres nont aucun raport aux sigures qui sont
dessus. Monsieur Saibnits seru peut ertre en état de veriscer Si le S. Couplet
les a copiez sidistement de quilque autheux Chinois, dans le menne ordre
auquil il les a mis. Surquoi il faut remarguer que lordre auquel le Pere
Martini a rapporse ces 8 Caracteres, et fort dissemblable. Mais quoi quil
en soit si ceux qui se trouvent dans le S. Couplet sont de son arrangement
propre. il faut bunerire qu’il na songe qu’a suivre lordre naturet des a
Combinuisons.
Mais il n’en est pas de merme des 64. Caracteres qui se trouvent dans Thistoire
du P. Martini de l’Edition de 1658. faito a auxbouru in 4. Et de celle de Bleau
faite in 8. a amstordam en 1659. puis quils sy trouvent arrangez parsaitom
dans le mesme ordre que je les ai mis dans la Colonne  du souillet a part
commenuant au coinbas à gauche, de suivant cordre naturet de gauche
a droit en remontant de ligne enligne. Duc si le dere Martini a
trouve ces Caracteres duni le merme ordre qu’il les a donnez, il ne scroit pas
impossible, que l’Inventeur nayt eu en veue l’arithmelique bnaire
ce que je fortisieray encore dans la suitte de quelques conjectures, qui, a mon
sens, pourront beaucoup ayder a eclaircir la matiere. Si je non parle
pas avec plus de certitude, cest ce qui me verte encore à dire, sur la
Scconde maniere detrouver les combinaisons dune certaine quantite
de choses, en y employant un ordre sine et certain
Car. Monnieur Scibnits, Scait parsaitoment sur cela, que des quil
Sagira de combinex deux sortos de caracteres, qu’on assemble de six
en sin detoutos les manieres possibles, lordre naturel des combinaisons
de quelque sacon qu’on sy veuille prendre.) les arrangera comme ils se
trouvent dans le S. Martini; dou lonpeut conclurre, que cet arrungem
Si bin suvvi, ne procede dautre chose, que de ce que ny ayant que deux
Portes de lignes a employer, il se saut necessairement servir pourlas
Combinuison de la progression double, qui estant la mesme qu’il fant
employer. dans Larithmelique Binaire, il ne se faut pas et onner que
le tout se raporte Si parsaitement.
Cela est si vray que si les Figures de So-hi, estoient composées detrois
Sortos de Lignes, comme celles ey . .. .. d qu’on en deut mevre
pareillement six. en chaque sigure, des que lordre de ces lignes aura erte
sire comme elles sont iey; Si on cherche en suitte toutos les Combinaisons
Selon la methode qu’il faut employer pour trois choses dissemblables, on
trouvera 729 sigures difforentes de sin lignes chacune; sans qu’il
paroisse daucune necessité que cela sepuisse raporter à aucun sorte
darithmelique. Et cependant si on se propose dupliquer larithin
ternaire à ces trois sortos de lignes, de que la premiere intorrompue
designe Le Zero. La suivante entiere . un. Et la troisenne crorsće
par le milieu . deux, Ontrouvera en descendant de haut enbas,
ou en remontant de bas en haut, que toute la suite des sigures, donnera exacem
toute la suitte des nombres depuis 0. Jusques et compris 728.

## Folio 4v — 00068257:0008
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000008.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 25 lines, status machine
Il nest done pas faule a mon sens de detorminer certainement, si les 64
Caracteres de Fo-hi, doivent estre regardez comme une simple Combinaison, ou
comme une arith. binaire complette, puis qu’il y a un si parfait raport entre ces deux
choses; Surtout si lon considere le deffaut qui se trouve dans les 32 premieres
figures, à cause du Zero qui precede: Mais qui plus est le desant de touto la preud
sigure, ou lonmet Sin Zeros, ce qui non seulemrent peut estre regardé commes
inusite; mais encore pour troy subtil en un tomps si erlogne, ou lon nen sçavoit
pas asses pour distinguer lunité arbitraire, qui venferme quilque espau ou
quelque distance, de lunito simplement numeriques, qui pouvant estre regardee
comme indivisible, na point besoin destre preidee par un zero.
Javoue, neantmoins, que jay eu une si grande passion d’apliquer ces caractires
à la pensée de Monsceur Seibnits, que cela ma donne lieu de former quilques
conjectures qui me semrblent y pouvoir donner quilque poids. Jl se donnera
done la peyne, sil luy plait, de les enaminer.
Mais avant que den faire l’enposition je supposeray qu’on sirt servi de
Larithmetique digitale ou dixenaire, avant que de songer a larith omaire.
2 Que la petite machine, ou Subleur à compter, dont la sigure est ioy
representée, et de laquelle se servent les Chinois daujourthuy, est dune tres
representation les 64. figures altroules a 5d-hy. S. Que dans les preucidrs
temps cette machine à comptor a pû avoir une forme plus ancionne de
aujourdhus, de maniere qu’au lieu des 8 filets quelle a, on nen mettoit
alors que six, qui alloint jusques à Du mellion, et qui ertoient aussi
partagées par une traverte de bois, comme elle est augourthuy. Etasin de
grande ancienneté, de a este inventre avant qu’on savisat de mettre en
plus rurtique ou imparsaite que celle que les Chinors luy donnent

## Folio 5r — 00068257:0009
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000009.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 52 lines, status machine
mieux representor. les deux mains on mevoit cing boutons a chaque demy ligne, à peupres
comme sont les moscovitos, qui mettent dix grains tout en une ligne, dont les deux du
milieu sont difforents. En sorte qu’il y avoit 60 boutons en tout .. 4. Quon la tonoit
en haulour pour se conforimer à la maniere décrire de la naton, dans la forme uy a
corté au bas de la page. 5. Quon mettoit les pesits nombves en bas, et les dixuines
centanes de au dessus. 6. que les boutons ne donnoient valeur que lors quils
estoient amenez contre la tringle du milieu. 7. Dien suite on se contenta de meure.
un grain sculement aux rangs a droit pour representor touteune main, comme oule
voit aux abaques Romains raportes dans marcus Velserus. Et Si depuis les Chivois
ont mis deux grains, on doit croire que ce na esté que pour eviter les tropsrequentes
redudions. 8. On doit suposer finalement quen suivant la maniere décrire des
Chinois, les 64. Sigures qui se trouvent dans le P. Martini, ont deub se trouver au
commencement écritos de haut en bas, en suivant lordre naturel des noubres ou
des Combinaisons, ainsi qu’on le comprend aisement.
Tout cela une fois posé, on peut conjecturer avec grande agarence, que Sohi, ou
quelqu’autre sçavant, de cette antiquite reculée, ayant devant luy une de ces machines,
ce songeant a la proportion double, la pouvoit sort bien representor jusques à
8. Occupant ansi quatre rangs. Mais saute de grains au 5.  6 il auroit
fatu en demeurer là si on ne sestoit avisé de penser, que comme en la machine
ordinaire, chaque bouton dun rang plus elivé en valoit 10. de l’instrieur, on se
pouvoir contontos de supposer iy qu’il en valoit deux
apres ces supositions on apereoit facilement. 1. Ouc la machine sans
aucuns boutons representoit naturellement six Zevos; de cest en effect lestat ou
setrouvent aujourdhuy toulos les machines arith comme celle de M d’ascal
Celles de Grillet, la mienne, de toutos les autres qui suivront lanaloque de
rc
nostre arith. de aunquelles on sesait aucune peyne dy voir lunité pruedée de
pluneurs Zeros. 2 Duil n’auroit sallu qu’un seul bouton pour chaque ligne
en suivant lidée. de la proportion double, mais quil estoit pourtant plus.
commode den laisser deux. S. Ouajoutant unite a unité, on a pursailoment
formé les nombres jusques a 63. 4. Due sion nest pas alté au dela
de 63, cest que ny ayant que six rangs, il nestoit pas possible de pousser
la numeration plus loin; de cela ertant plus que suffisant pour donner une
idée de ce quon avoit pensé touchant cette maniere de comptos. S. Que
pour ensuitte graver ou representor cela sur quilque maliere que ce soit
à la place de la ligne ou lon devoit mettre un bouton, on seit contonté de la
tirer toutte entiere sans intorruption. Et eufin que ces sigures ayant esté.
representées, de sertant transmises de Srecle on sieble, leur veritable intreligence
sert bun tost pordue, decependant, suivant le genie de lesprit humain, ceux qui les
ont veues simaginant quelles devoient rensermex de grands mistores, de sevoir de cles
aux plus hautrs sciences, ont debite toutes les reverres qui se trouvent dans les
anciens autheurs Chinois, et dans les modernes qui les ont commentes. Et sans
doute que cette erreur auroit pû se porpetuer encore plusieurs siecles, si Monsceur
Seibnits ne sertoit heureusement rencontre en celuy cy. pour expliquer cet Enigme
en faire connoitre le peu d’importance.
Je sont les conjectures que jay puformer sur la pensée de monsieur Scibnits, que jes
soumets absolument à son bon cramen, de ne prelondant point du tout lavoir prevenu en
quoy que ce soit. Carpuis quil dit dans son memoire, quil scitimagne luy merme des
usages de ces caracteres de plus dune sasson, de ne doute point quil naxi songe au raport
Singulier qui se rencontre entre larith binaire,  lordre des combinaisons de deux
sortes de lignes, assemblees de Sin en six
Quant.

## Folio 5v — 00068257:0010
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000010.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
Quant a ce que dit Monsieur Seibnits, des nouveues decouvertos qu’il a faites
par le moyen de larithmetique Binaire, le Dublicy lui doit estre oblige quil
ayt voulu sy apliquer; ours que personne ne peut mieux que luy décaurrir
tous les riches tresors qui sy doivent trouver. Car comme cette arithn? est
par son étendue beaucoup plus simple que la nostre, aussi est-elle beaucoux
plus propre a saire convoitre la nature des nombres, leurs proprictes de
leurs divers raports. De sorte qu’à proportion des lumieres plus ou moins
grandes que chucun y apporte, il ne faut pas douter qu’on ne fasse des
decouvertos plus ou moins importantos. Sur ce pied la on peut assez juger
que M. Scibnits entirera tout ce qui sen peut tiver. Mais pour ce qui me
vegarde, ne mestant altache aux mathematiques que par occasion, sans en
avoir sait une étude toute particuliere, je nay jamais aspire datteindre
à ce quelles ont de plus sublime, de nu suis contente de glaner aproyles
autres, une bien petite partie de ce quils ont voula laisser en arriere.
après cette declaration je ne siray pas difficuete de meutre ivy le peu que
Lac
jay remarque de Larith. Binaire, et de nostre, qui me paroit avoir
quelque raport à ce que dit monsieur Seibnits dans son petit memoire.
Je trouve donc que la suitte naturele de la numeration binaire, mise
en leues alphabetiques. a. b. c. d. deu donne de deux en deux leures des
nombres quarre: Des Cubes de trois entrois: Des quarrequarves de
quatre en quatre: Des sursolides de ciny en cing: d ainsi des autres
Puissances, dont les Racines setrouvent facilement par plus dune methode
si lesquelles sont asses connues de m Scibnits.
Pay aussi deconvert dans nostre arith. Vulgaire, une methode pour
la generation des Suissances, dont les Racines montent suivant tolle
suitte de nombres regles qu’on voudra choisir, de ce par le moyene
des difforences égales qui donnent à connoitre leur nombre generatier.
Cela est aisé.
Je ne scuy sice que je vay dire, de a quoi jay pris qur de depuis long tomps.
entrera dans ce que demande M. Seibnite touchant la Loy des Colonnes
dans la progression Geometrique. Cest que dans les Progressions Geomet.
doubles, la revolution des chisfres de la premiere colonne, de nortre
arith. vulgaire, revenant de A. en A. chiffres, ceur de la sconde
revicnnent les mesmes de 20. en 20. qui est 5. foir 4. Ceur de la Trois et
reviennent de 100. en 100. qui est 5 fois 20. Ceua de la Guatriesme
de 500. en 500. qui est 5. sois 100. amsi des autres. Et ctte mesme
Loy a lieu, non sculement dans la progression double, par quelque
nombre qu’on la commence, mais encore dans lu Triple, et dans
loctuple et sans doute dans quilques autres. Sl faut pourtant
remarquer que dans la proportion Octuple, commenuant pur 5. On
Trouvera dubord des Zeros pour la preniere Colonne; mais comme
dans la Scconde les mesmes chisfres reviement de quatre en quatre
ceux de la troisierme revieunent de 20. en 20. de
a
Dans la Proportion Quatruple, je trouve que les chiffres de la praniere
Colonme, revenant les mesmes de deux en deux; ceux de lu sceonde
reviciment de 10. en 10. de ceux de la troisiesme de 50. e 50. de
Pour la Proportion Guntuple, par quelque chisfre qu’on commence
ou trouve un 5. ou un 0. dans la premiere Colonne. Jluy a parcillement
qu’un mesme chisfre dans la scconde colonne sçavoir un 2. un7 ou un 0.

## Folio 6r — 00068257:0011
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000011.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 54 lines, status machine
ites
s
ver
de
er
Ceux de la Frois. revienment de deux en deux. Ceux de la quatre. de quutre en
quatre. Ceux de la einguierne de suut en huit, de ainsi en doublant toujours
pour chaque colonne plus avancée.
re
Dans la Proportion Sextreples, on ne trouve qu’un seut chisre dans la prem
Colonne; R ensuitte dans la seconde les mesmes chifres y reviennent de
5 en 5. De 25. en 25. dans la troisce. Et de 123. en Y25. dans la 
quatricime deca
Dans la Septuple, il y arrive une chose assez particuliere. c’ent a
quencore que dans la premiere colonne les mesmes chisres y revicnent
de quutre en quatre; ils reviennent parcielement de 4. en 1. dans la
Seconde, apres quoy les autres colonnes conservent le nunme ordre que
ex devant, sçavoir de 20. en 20. pour la troisie. de de 100, en 100. pour
la quatricime. dec Mais il sant remarquer que si on commence par S
la premiere colonne donnant tousjours 5. les periodes de lascende
revieunent de G. enA. Et ceux de la troisiesme parcinenent de
4. en A. aprey quoy ceux de la guntrienme reviennent de 20. n 20.
de ceux de la 5. ac 100. en 100. dee
2
Jay parté cy dessus de l’octuple, avec la double d la triple.
La proportion neufvenaire ne donne que deux chisfres difforents dans
la premiere Colonne: Dans la Scconde les mennes chisres y revieument
de din en din; a de 50. en 50. dans la Troisiernu de
La Proportion Oecuple est asses connue.
a
Pour la Proportion ougenaire, elle a quilque chose de dissemblable
dans ses revolutions, aux precedentes; c’an ne donnant que le mesme
chisre dans la premicre. Colonne, ceux de la seconde nererieunent
les mesmes, que de 10. en 10. accur de la troisresme de 50. en 50. d.
Tout a que jeviens de rapportor des Soin qui setrouvent aux repelitions.
ou revolutions des chisfres de toutos ces colonnes, donne attes à connoitre
qu’elles proudent de ce que nostre maniere de complor ertant par. 10 (qui
est deua fois 5) les perrodes doivent estre les mesmes que si on comptoit
par 5. Or comme en cette sorte darith par 5. Les mermer chisres
revionnent dans la premiere Colonne de 4. en A. Et de 20. en 20
dans la scconde, ainsi qu’on ea reu dant la repotition decuple
ouvoit sien evidemment, qu’il iy a qu’une suille cause pour ces
deux manieres de complor.
Mais si au lieu de complos par Din, on vouloit en suiore
une autre, de qu’on prit par exemple, celle de complor par 7. en
suivant tousjours la progression Geometrique double. Se
Con
les chisfres de la premiere Colonne reviendront de trois an trris
Ccua de la Scconoe de 21. en 21. Ceun de lu Trois. de fent quarente
Sept cu 147. de
2
Si on compte par Fluit les repetitions sont asses extraordinaires
Il Seru plus court den donner ivy quelques enemples que denpliquer
tour les cas particulions qui y arrivent.

## Folio 6v — 00068257:0012
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000012.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 151 lines, status machine
Oanon.
Proportion re doublee
roportion s
Le
Succte
703
suute suitte Suute
503 403
11
4
603
1203
10406.
21014.
12030.
104060.
210140
420300
1040600
2101400
A203000
10406000
21014000
42030000
20
22
25
23 27.
24. 30
53
62
263
031
165063 163
531 251 731
113 013 713 613
341 011 541 241
243 113 04. 3 743
751
451 151 651
x673 xG73 x473 X373
AC
1 161 661
623 523 423
27
771
053 75363.
201 701 401
En écrivant cecy, je n’avois dessen que de donner les trois
Exemples ey dessus de la proportion redoublée; Mais ayant
eu quilque place ruide, jay cherche la revolution de la
proportion triple commenceant par trois, et jay veu que
dans la preucire Colonne les chisfres y revanant les
mesmes de deun en deux. Ceux de la seconde revenoient
de 16. en 16.  qui est 8 soit deun; de pur consequent
ceux de la troiscesme reviennent de 128. en 128. qui est
8 foit 16. dec. 
Ad Ouc ne routant chercher que la
Revolution de la Troisieime Colonne; jay restte ce quela
361
7A1
643
551
CL+
00i
progression auroit donne duns les autres Colonnes à Gauche 223
leur loy estant assez connue. Il ne seroit peut eitre pas
fort difficitle, de trouver encore les soir dune Colonne
671
453
a Tautre. Si cela se pouvoit trouver de quilque utilite. 601
Cur
Iluy a qu’a judor les yuut les endroits margues en cetto 203
Porte X qui se trouvent a corte des nombres 777X675
x573 de a
Si on compte par 9. de quon suive la Proportion deuble
e
les mermes chesfres reviendront de sin en sin dans la prem
Colonne, d de 54. en 54. dans la scconde, de par consequent
de 186. en 186. dans la Troisienne de Ouc si aulieu
de la Proportion double, on prend la Triple (qui se trouve
une aliyuote de 9) le retour des mesues chifres reviendra
dune maniere aprochante à la proporsion double ey dissus,
comptans par 8. Mais Si on prend la Proportion quatraple
commenceant par un 3, sluy aura que des 3. dans la prenciire
Colonne. Pour la sconde Les chisres y reviendront de 9. en9
Et ceur de la troisienme de 81. en 81.
611
64
343
553
251
7
2)
12.
5
50
L
23
26
633
333 433
321 021 521
323
553
101
303
11
333
221
3 3
003
+51
600
1400
3000
6000
14000
30000
200
400
1000
2000
A000
10000
A13
5AZ
03
17
561
125
55
50
10.
33
121
463
651
315
4
5
d
6
023
253
O0i
003
011
O23
12
M

## Folio 7r — 00068257:0013
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000013.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 51 lines, status machine
tte
En comptant par Onze, de se tonant a la Proportion doubles, soit qu’on
commenie par 1. ou pax 3. les mesmes chisfres revienment de 10. en 20.
dans la premiere Colonne, de de 110. en n0 dans la scionde qui este
ouge sois dix.; de par consequent de 1210. en 1210. dans la troisiesme
iolonne, de ainsi des autres.
Enfin si on rouloit comptos par Guinge, et suivre la Proportion
ee
double, commenceant par L. On trouvera que les Chifres de la prem
Colonne reviennent les mesmes de 4 en A. Et que ceux de la
seconde reviennent aussi les mennes de 60. en 60. qui est qu’inze sois
quatre, de par consequent ceux de la troisienme de 900. en 900. de a
Je nuy pas porte mon examen plus avant, de je crois que cela doit
Sufire pour bien connoitre la veritable soy des Revolutions des mennes
chifres en chaque colonne de nostre arith. Vulquire, et des autres quon
voudroit adoptor, ne sachant (comme je nien suis desja expligué)
si cela pourra avoir quelque conformite a la pensée de Monsieur
Scibnits: Et il me semble que ce quil dit des Serres enprimées
Diatiquement, qui se peuvent ecrire à l’infini sans aucun calcul;
a quilque raport à ce que jas aet es devant de Cordre des Combi-
naisons. Surquoy il ni faut pas obmettre de remarquer, que
les mesmes Combinaisons, qui se peuvent ecrire en larithmelique
Ddinaire, et en la dernaire, et lesquelles donnent la suitre natureele
des nombres, sans qu’on ast aucune entontion de les trouver, se
trouoins, tout de menme dans nostre arrth vulgaire, en suivant
sculeurent les momes Regles qui sobservent dans les Combinaisons.
Il ne rerte plus qu’a dire un mot, dece qui peut regarder le retour
des mesmes caracteres, en se servant de Carith bnaire, ce qui est veut
estre une partie de ce que cherche Monneur Scibnits, et quil appelle.
la Loy des Colonnes dans la progression Geometrique. Detrouve donc
que la mesme Loy des autres sortos d’arith raxortées cy dessus alieu
dans la Binaire, dans laquelle la repetition des Coloinnes, ou lentour
des mesmes chissres se fait en doublant de luve a lautre. Mais
il y a trois rimurques a fiire. Sa premiere, que le Proportions par
nombres pairs, premnent la Loy de leurs rnpairs. La seconde quil
faut quilquesois sautor une Tdlonne aprez la premiere, lors qu’il ne
Sy trouve que des 0. ou des 1. Et la troiscenne, que toutos les Progression
qui suivent la double, comme 4. 8. 16. dec. nayant besoin que de
Laddition continuelle des Zeros qui leur sont necessaires, ne marguent
par consequent aucun ntour de nombre dans les colonnes, qui puiste
Quant à ce qui regarde la progression harmonique, il est hors de doute
que larith binaire Sy doit trouoer plus propre qu’aucune autre, puis
que, comme on la desja remarque. les difforences de la numeration
binaire estaut les mesmes nombres de la progression double, cest
proprement une proportion harmonique continuelle, mesme en ajoutant
ou otant un egat nombre dunitez à chuque nombre de la progression
de je ne doute pas qu’en sapliquant à chercher les divers raports qui se doivent
trouver entre les nombres qui forment cette progression comme. 2. 5. 6. 12. 24
dec. en uy puisse faire quelque progres, Surtout, si monsceur Scibnits, ses
donnoit la perue de donner un peu plus détendue a sapensée.
meritor quelque attention

## Folio 7v — 00068257:0014
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068257/jpgs/default/00000014.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 4 lines, status machine
7
Milli
ACHSISCHE LANDESB
:LH 35, 3B7, (14).