# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/33763/text
# Catalogue record: 33763 — [De locis ad superficiem]
# Incipit: Mirum est Analystas recentiores non egisse de Locis ad superficiem,
# Date: 1703
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=33763&katnr=39689
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068195
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 12, 2
# Folios: Bl. 176–177 (from the shelfmark LH 35, 12, 2 Bl. 176-177): 4 pages, canvases 351–354, page ids 00068195:0351 to 00068195:0354
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068195&page=351
# Lines: 217 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 176r — 00068195:0351
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 177v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000351.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 72 lines, status machine
recentiores
Situm est Analyctas non egisse de Locis
ad superficiem, seu trinmo Dariantium quantitatum
bi
bina sunt variante
sed tantum de Locis hinearibus, cum tamen veteres Mathe-
ocos ad superficiem affigerint.
rectae AB
1
es
das aspec   ditee coangulare
plano le elta rndu es
an
neds recta co
os  B C+ tubuscom
plano punctum E atque rnde blnis respecdiod superficiebris, AB et AC I
eduratur angulo ad hoc phanum recto B communis binis respective superficillu
Jam in spatio sumatur punctum E
A
BC ipsa depia
et inde em tria plana agantur tres rectae normales EF, EG, EH. Quod si duta sit
harum inter se relatio dabit superficiem locum ad
habemus superficiem; quae sit lacus ommum punctorum E
talem relationem exhibentium. Quodsi ex quovis puncto ticujulois trium
planorum F, GH, ducantur rectae normales ad rectas quas planum
empe
eomm
habet cum reliquis duobus planis commanes,  nempe FL, FM; C parallepipedum rectangum
item GL, GN, itdenius HM, HN, et com habebimus  Rectangulum selidum M(ET, vel
sut
planiss
MLN comprehensum rectangulis M+ vel GH, L TF vel H EN
TGvel EM, TH vel EL. Hlabemus ergo tres binorum rectangulorum aequalitates
aequales habemus et ter 1, es ternarum rectarum aequalitates, EF - T N 2G = MH
qua ternarm
EF L MH et EG et EG = TM = LF NH, et denique EH - TL = MF = NG
tres autem EF, EG, EH, sel aptissi Et tres qaevi rectae ex
Et inter has rectas tres quaevis in eodem puncto concurrentes
normaliter concurrentes commode haberi possuint pro coordinatis
loci ad superficiem, sed commodissime adhibebuntur concurrentes
ad punctum E, nempe EF, EG, EH; vel concurrentes ad punctum. F
nempe TN, TM, Titca
t non incangriie
ordinatam ex puncto C ductam ad unum planum AB, et ex F duc
puncto plani AB, ducere rectam ad aliquam alterutram plani angularem FIS  velit ad TB
et denique e L puncto rectae angularis TB, progredi in hac. recta ad punctum per LT ad punctum
conngulare coangulare T. Ita  gedi incipitur ab E, et finitur in
puncto  loci seu puncto in sublimi, et finitur in puncto coangulari
sola autem puncta locale et Coangulare in s unica sunt
aeteris punctis  angularibus parallepipedi, respondent oppositau
Lsi L. H, M et G, N et F; ribi L M, N se habent ad T, ut H, G, F se habent ad E
possunt etiam coordinatae augeri vel minui pro arbitrio
per constantes vel quod idem est pro uno ex tribus planis directrilibus
ad quod ex puncto locali ducitur coordinata, assumi potest
aliud planum ipsi coordinatium parallelum, ad quod coordinata
intelligetur termipari posseta etiam loco planorum affumtorum
u
laliu
ali alicujus plani apsamti assumicaliquod ipsi obliquum, et ad hoc
duei normalis. Passent etiam coordinatae ex punctis localibus ductae
esse per parallele quidem inter se, sed alio ad planum directri dirigens
angulo quam recto, nec necesse est ut idem sit angulus contdinatae.
cordinata ex eodem puncto plar loci ad diversa plana directri dirigentia ductarum
sed nos interm planis condirigentibus inter  se rectis, et coordinatis
ad sruo planum dirigens rectis, plerumque intemur et indagabimus suo
lits se erecta substituantur
ressea
matici
neque enim necesse
est 3 ut plana
dirgentia habe
angulos rectos inter

## Folio 176v — 00068195:0352
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 177r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000352.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 63 lines, status machine
cincari
plano
Quemamodum autem in loco lneari contingit, ut aliqua
ordinata sit constans licet coordinata vagiet ita
cuord cdlata loce superficiali contingere potest. sic io
sit, si locus linearis C(C) sit e parallela alteri condirectricium
ineluti ipso AB ipsa BC erit constans etsi variet AB, ita
si AB ocetur AL X; et BC vocetur y Bet
sta
ya Ct distantia, rectae C(C) a recta AB, con comstans;
vocetur a,  tunc quasiscunque sit X, erit y = a vel
it y = aX a(X. a). possumus tamen efficere ut
etiam X ingrediatur calculum, si fiat y= a (X. .
sed tunc logarithmus vel exporens rationis x:b, evanescit
Ponamus illu rectam C c. Idem locum habet quoad
y= a. si linea C(() esset portio selicis cylindrilae,
et AB esset cylindri axis. vel alterius lineae cujus curque
in superficie Eyliadri ductae, et AB esset cylindri axlis.
Si vero recto locus linearis planiq in plano sit recta C Ce
ipsam C(C)
obliqua ad rectam AB, ponamus, occurrere ipsi AB in A
seu y = xb. Y X4. Y sed si   recta localis C(C)
sit directrici AB parallea, erit AB, quantitas infinita, adeoque
erit Y indfini infinita parva, e fiet  Ergo X: Y n
sient so
ratao infinisid ad infinita parram poteril per compersationem haberi
pro ratione aequlis ad aequli ordiniri, tanquam ( 1: 0. ad 0
poterit per compensationem haberi pro ratione ordinaria, imo
pro ratione aequalitatis, seu pro ratione ead aie, seu pro
quae poterit haberi pro ratione aequalitatis, eritque X. Y=
et y = a
simili ratione possum Locus superficialis potest esse
planum parallelum uni ex planis din condingentibus
ex  exempli causa Credeundo ad figuram primam) planum EGH
paralletum plano AB Esto EF, Z; et FL, y; et LI, X, fiet
Za, qualescunque assumantur, y et X. posset etiam
possummas etiam ponere
ossums etiam facere Locum superficialem esse planum quod occuriat duabus
 duobus planis condirigentibus in recta Communi seu angular
veluti si planum sit E FS. N ETA, occurrens planis AB, AC in
recta communi AT. erunt EF et EH, in ratione constante,
 veluti bia, et fiet Z: X = b: a. seu Z = Xb: a,
qualiscunque sit y, vel vel etiam Z = X(b: a) (y. a).  Hoc autem planum
EGseu,
puncto communi condirectricium. EB Posito jam ABX
Y fiet X iufinitae et  posito a esse datam
simili ratione
AB. A
locale TA, erit quod secat duo plana diri condirigentia in
rectum
angulari communis est perpenrculare tertio plano condirigenti
BC, itenim secat in recta TC, quia EG est parallela
Nam EG est parallela ipsi AT, ergo EG est in plano AET por
itaque planum AEF secat platium BC in recta FG. Et EG recta
ex E, normalis ad planum BC, est occurrit  communi sectioni planorum
BC et AET, ergo panum AET est rectum ad planum BC. Itaque planuus
qu od sint tria plana condirigentia invicem recta, ide i tertiumus ipsic o
ms ro, idum  esse rectum uni condirmentia
ane
et secl dina re
mar  epneut Ettuae asu alt
, ila ut distantia lorum
sit constans a

## Folio 177r — 00068195:0353
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 176v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000353.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 69 lines, status machine
tertiumque planum us occurrens, id si secetebina quadm plana
cond quaedam ex condiri planis condirigentibus; fotit in angulari
communi, est tertio  rectum. Et per propositionem conventibilem emantiari. po
potest, si planum siit plana idem isti planum EA T esse plano BC
rectum, et secare bina  plana inter se et AB, AC, inter se et ipsi BC, recta
in angulari binis illis communi AT, transe ante per punctum coangulare
Nam si tria puncta Et haec angularis transibit per conqlare
punctum coangulare T. nam jeneraliter si tria plana se secent in
puncto aliquo communi T, id pct quod appello coangulare, id
punctum caderet debet in quanlibet duima punct binorum punctorum
angulare; cum eum punctum coangulare sit tribus planis commune
erit Et binis quibuscunque commane, ergo cadet in rectam ipsis communem
id est angularem.
c
Sed jam pergamus ad casum paulo minus Ar
ponamusue planum lotale non quidem transire plr ullam rectat
fangularem condirigentium normalium.  sed tamen transire
per punctum Tomnibus tubus Condirigentibus commare, sui tirangulare
Esto Ergo punctum plani crangul localis E, Et hoci planum pa planiom
et BC, y, t et AB. BC, Bra fiet  y: X = B.Y s transeat per rectem punctum T, cum ergo non sit parallelum
plano AB, occurret ei achuc alio in puncto. Id punctum si esset F,
posito EF esse normalem ad AF planum AB. foret plarum locale ETF
rectum ad planum AB, quia EF recta ex E ad planum AB, est recta ad 1F
communem plano loeali et plana AB. Porri (N p cum sit parallela
 F cadit ipsi EF. (adit etiam in planum EFT. itaque  recidimus
in casum priorem, cum planam loca EFet transeat per angularem TC
B
Et proinde si recta planum locale, ransese per punctum eoangulare
o trum planorum et ese transtens per punctum tia eoangulare
trium planorum invicem rectorum, id em est  transire
sed si planam locile transiens per EF E et T, occurrat
et
ocale
 puxct: E,
non inantur puncta  et
untam Frcita ut
e
t
s
ita  planum occure
erit punctum Q in plano Elocali TEis quia (D et EB sunt in eadem
parallelae sunt in eodem plano, ergo in plano TpE.  Habebimus autem
punctum Q, si in recta GN sumamus GQ aequalem ipsi Mp. ita
congrua erunt triarqula A TMP et EGG. et cum amb oosint ia
ad ate in F M
pn eflarum locale ocursat plans
an pnd
cto E
ducatur ipsi FP parallela EZ occurrens plant BC in Z, quod fie
uis.
se
planis c parallelis mamolelis TF et EN, rectae P Y et EZ
Eodem moddo  in iis determinatae ductae et ad easdem partes parallelae erunt
Eodem modo per E ducatur ipsi EA TB, parallela ER occarrens plane AC in R
utique punctum B erit in plano sEP, quia TP et ER parallelae sunt in eodum plano
ergo in plano TEp. Habebimus autem punctum R; si ia producta si in recta GN
sumatur R, ita ut sit AH ad HE ut GZ ad GE seu ut Mp ad MF, adem
ob triangula dGE et EHRi simulia, in eode iplano N cadent E, L1k.
directum, cdeaque recta ER, inciders in ipsam EQ est paradela ipsi TP
oabemus ergo puncta P, Z)R quibus planum locale EFP oc cutrit
ulu planis tribus condirigentibus secatus adeo planum locale, plana condiregentia
4B BC, CA, in rectis TP, FG, TR Porro angulas plani locatis ad planum AC
abetur si ex puncto P, _ ad rectam agatur Mp recta ad planum AC
et ex M  alia recta NC nortmalis ad ipsam R Y. Eritque P5 mnida ex P perpendicularis
cuiset
ipsami RF, ratioque ipsarum pss ad MS continebit angulum determinabit
Angulum quam facit planum locale ad planum AC. idem foret si ex + in AC actaliormalis BN
es ex Nad RS normali, alia, farnt eni foret enom hac priex normalis ad posseriarem ut paulo aate
seu ni Ps ad MS. itaque ei ex e puncto le loci quocunque egamus ad in AC nermalem EI,

## Folio 177v — 00068195:0354
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 176r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068195/jpgs/default/00000354.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 13 lines, status machine
ININR= HV. VI
et Ey a _ A normalem HV, erit eH ad res ut Dot ad MS  Est
etiam Et pormatis ad ipsm RC. Iaqe Habemas jam ipsius EV H ratian
ad ipsam EH seu Z nempe constantem quae est AM ad M
quin recta T.C et TR, positione dantur ambae in plano AC) dant
positione dantur datur earum angulus; adeoque ob angulum TN R rectum
dabitur ratio TN ad NR adeoque ob triangula redangula si milia TNR
VNR, erit cum sit TN ad NR ut HV ad VR dabitur ratio HV ad VR
Datur autem ratio EHad HV, ergo datur ratio EH ad HR, comprosita
rationibus EH ad HV, et HV ad VR sed EH ad HR est ratio eadem
PM ad MT. Est autem M T parallola ipsi HR, et MS ipsi HV et
est in directum ipsi RV, ergo triangulum Z rectangulum 15M, est simile
gulo rectangulo RV H