# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/34592/text
# Catalogue record: 34592 — Mathematicae collectionis plagulae א
# Incipit: Centrum gravitatis res est non mechanica, sed geometrica, potest enim
# Date: 1673
# Akademie-Ausgabe: AA VII,4 N. 009
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=34592&katnr=Cc2+564
# AA VII,4: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-4
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,4, p. 124 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII4A.pdf#page=124
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 201–204 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 201-204): 8 pages, canvases 403–410, page ids 00067993:0403 to 00067993:0410
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=403
# Lines: 591 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.90
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 201r — 00067993:0403
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 202v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000403.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 76 lines, status machine
Cylindii exento cono ejusderi basis et altitudinis, ac pronde figura Circuli centu
bargea est s Hemisphaerio naequalis. Porro eam bisecari omni plano per centra cinulo
 pupetudaa ari per manifestum est.
superficies omnis
iga Centrobargiae est Cylindrica truncata. Cujus imvili clindri batis figura data.
ad figurarum parum descuptionem imagmari nobis possumus,  rectam ferri per
pericheriam alicuus figuiae, sed inter circumferendum continue clesceret aut decrescere
ea qe qua radii figure. A figura (entrobargea abscndi pt cylindier
ousi figura altitudine radii minim. residuum retinebit easdem leges, ut
a plano quolibet centrobargeo bisecetur.
Ominis lenea figuram datam bisegans, n partes similes et aequales etiam ejus
Centrobargeam ita basecabit, seu dransit per centrum gravitatis, ut sector
Circuli anulo bisecto
Omns figurae quae binis modis secari pt in partes
similes et aequoles, btur Centrum grajitoatis ut ciralli qui itasecari t modis
cillipsis, et. Hini jam B. etsi rectae per centrum Ellipseos
transeuntes eam indu semper bisecent, bisec plana tamen earum rectarum
infinitis
Centrobargeam Elloppos bisecabunt.
Hinc jam innumerabilium segmentoriuo
dissimilium aequalitas haberi po; et per consequens recta plainiu rectilinea solida
plurimis curvilineis aequalia. Non puto rem in Ellipsi posse usin esse quia in ea
omnes vctae per centrum transeuntes etiam Ellipsin bisecant. Sed in parabola
forte ad reperiendam rectam curvae parabolicae aequalem Item in curva cyclocidatio
cujus centrum gravitatis dedit nolis postldrenii dimensionem, pascalius.
NB. pun lineas non est necesse erigi parallelatolineae directionis, cum
lineae alicujus centria gravitatis quaeritque sunto modo paralletae intr se et
hovizonti, et res eode redibit.
Centrobargea ergo  circumferentaae es ise Erculus et Aerigheria Elerplum i
Ellipsis. Imo et faltum est. es cyluider cylindrica figior a cuius basiscuentus l
altitudo radius est centrobaruca cincunfedlebaigi ergo debent alioqui se
confundent. Ellipsis Ellipticae  circumferentia est ircuaferentia centroba uea
Ellipseos. Porro sumerufeentra superficies Centrobargca fit ex aliuo
ductu basis ad est superi peipheriae datae tigurae in altitudinem seu maxium
ala mi dibisum pro ut progressio radhorum contrano decrescentium docet, si modo ea
proqresse coinet invenori  seu aequmi po
Adde propositionem Hugenii memorabile. feratu recta perpendicularis c
super peripheria figurae planae, abs quem planum cuius basis recta figura
fingens, inclinatum ad figuat angulo semi recto, secet, absendet Cuneum
aequale figuae solido ex figura in distantiam centu ejus gravitatus
a puncto contactus ducta. Ubi in puscal.
Regul prop. 1. Hugenus de Centro oscillations.
ponderbus quollibet ad eande partem plam
existentibus, si a singularum centris gravitats
agantu  planum illud perpendiculares, haet
singula in sua pondera ductae tantundem simue
efficient, ac perpendicularis a centro gravitatis
omnia AB = a. AC vel Ad vel AE
intervallum a tangente b Jam AF= _. minium seu
arcus a centro vntro irculi
lam abscissa est  _ (1. vel 2
applicata est A9 a a (1. vel 2)
a(. vel 4) et series absegrati
. 2a. 34. 44. seids
alsi applicatam Rga a = a
A9 a2a- 4a.
Rga3a- 9a
Ergo fatio primae ad primam appescato
Ratio 2dae ad ndam erit Ra -4=
puntuom FC = AA a - a  a = R9 aa - a. _ FCD - 4a- a (1. vel )
num b= a (ocl d)a - (. vel a e) a et (ivel aua) a.
ergo b= aE (1 vel 2. vel 3 et) a. Ergo intervalla langentum
Rq. 
A9 3a
jam
ft lu sunt b =  aabocl. 2 ek) erunt X ( vel a etc) se a vertice absussae dimudiatae
Jum FC. dinidatur per  pei vel R4a fiet eq a =1. Jam Ad ACdDE et. duci nitelli
a
dgutur in _. producto dipidiato fi totubis fiet totus simicirculus. Nota si lenu chordae
ducantur i
u parte a vertiae abstissas prodicto quadri partilo chabetur sernicircul
atis art fo ta avi emlantis tae
atit
distantia centrigravitatis eju
ad prima adsustam a.
a et ratio tertuae ad tertion

## Folio 201v — 00067993:0404
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 202r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000404.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 70 lines, status machine
ram constat um non radem est rato partum ad paertes, nec lotorum rarem mur
posse Illud verd hactenus non repertum est, rationibus non usdem manentibus
sed partium non iisdem maneulibus, sed cato modo crescentibus, inire raves summar
Uit si sint. 1 a b. c d e ad a b. c. d c
hrc vero tanto aminus indenti Fb, quando ipsis a. b. c. d. c. ratio non constat
quorlibet ex centro gravitatis illorum circulus quilibet descorbatur et ab
ed et illud est pulchierrimum thcorema Hugeni
omnibus punctis datis, ducantur linea rectae ad punctum aliquod in circuli
lem circumferentia sumtum, erit summa quadralorum ab omribus semper aequalis
eidem plano,
ei circur ferntit.
abicunque plano, sent eadem, ubicunque assumentur illud practi
si puncra forent infinita, semper solidum pro ducentidem
Ho, ita applicare plocet Ellipseos centri a. quo describat circulus
ab allipsi circuscriptus sumattur in ejus circumferentia praeter b aliud
et ab omnibus circumferentiae Ellipercae punctis ducanti
ehud
recta versus b. deinde ab omnibus ciuamferentiae Eleipta punctio
punctum
dicanti rectae versus C. quod ut sit distinctu. ab latre bde. ducant
versus C. et loco eam quae ex latre bfe ducende essenti versus
c. ne prioribus confundanti ducanti ex bde versus g. summa
C
summae quadra
erro dundiu
xbfed in bxrs 5. quitur
lorum omnium rectam ex bde in c. et exse insus
Itori omnium liresta
uujus aequatr dimidio alhius seu oes ex bde in b. aequantur omnibus ex bd in c
Eror () Cylindricum
Ex puma Hugenii regula colligi pt propositio olis: i
et 9.
quodcunque secetur per planum quodcunque truncus abscissus aequabitur  cu indioco sub
tusi et recta ab ejus cent ab ejus centro gravitatis ad planum abseindens perpendeulari
se besectione cujus basis sectio allitudo recta a sub centro sectionnis ad planum basin
etnici trunci absristi s Eodem modo superficies tunci, absciqi aequabitur superficiei
sectionis cylindrci alterius, cujus basis peripheria sectionis, altitudo recta sub centro sectione
ad bactiu trunci abscissi. Hinc dari potest. Cylinder Elliphicus,  aequalis alii cylindum
cujus basis segmentum circuli. Imo deest aliud truncus in cylundii cujus basis.
segmentum circuli aequabitur Cylmino Elliateo at quid si suagant duo trunci, aequa–
buntur cylindio Elliptico  ergo totus Cylinder cuius basis segmenta circuli aequari
poterid, Cylindiico Ellipereo, ergo ex circulari, eergo seguenti ratio dabitur ad siculum
si vera tactenus diximus. Iud deest semp aliquid necesse est enim sectionem
ut sit Ellipsis integra non incipere a recta  basin terminante; se Forte tamen
posset id fieri si enim inciperet ab ea fiere seuisegmentum Ellipseos. Quid
ecsi posset fori allipseos haberi hocmodo alsissione ista seniEllipsis, etsi segnantu
sit v. g. segmentum quadeantis rusus triumpharenu:
alit aliud segmentum Ellipseosubscindi posset, quam
Iuo detegeretur aliquid s
est segmentur circuli quod erglindi
basis. An vero necesse est semper segmentu  sectionis esse simile segmento
ibasis.? quod si est feret ruhsus treoremae potabile, verum non tantum in circulo sed
generaliter in omnibus, sectionibus Cylinoricorum, Porse hinc patet ratio exhi-
bendi rationem circumferentae Ellipticae ad circularem
notis inter se duobus
An Et ita omnis sedione data exhiberi semper exhiberi
 ratio sectionis ad basm culiadrici, si datur centrum gravitatis sectionis, et ratio periphe
superficierum truncis
sectionis ad perpheriam basis, si datur peripheriae sectionis centrum. Vicissum datis
rationibus figurarum et peripheriarum, basis et sectionis, dabitur centrum gravitatis e
hac methodu sectionis. Imo jam Argusferri ultra pt speculatio socetur scilicet
lam ali
viaericaus sectio erit quaedam superficie
curvae secantis portio sed terminata singulario quoda modo, hac sifeeri intelliguti qculris
Cylindricum pe curvam ut per superficiem
vel Ellipticus cylinder, facili sectioni illius cenerum gravitatis inveniemus
data ratione peri–
pheriae Ellipticae ad earcularem, videt invenoq posse peripereria ratio superfice; sphaervendis
ad supifirem hemsphrari, at hactonocula halictur quadratura oriculi et hy pertolae
Erra.

## Folio 202r — 00067993:0405
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 201v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000405.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 86 lines, status machine
Jam non Coliudico dat data fignaa plana
fignra aliqua aut plana est, aut non plana, si plana, tunc altrri plano
ilcuaque producto unt parallelo est ejus planum, aut perpendiculare, aut inclinatum.
Si parallelum est, tunc aes per se manifesta nullo ende lucro, cylindircum enim
factum exfigura et ejus recta ex ejius centro gravitatis ducta ad frgura perpendiculari
si utique aglindia aequale eidem rectae in eotam figura ductae, quia plano ubius aequi-
distans. Sin figura sit plano perpendicularis, semenda est recta in illo plano
quam scolicet rectae fig in figura producto secant, seu quae in planum figurae
productum incidit. ad erectam ducanti per cuglibet puncti figurae distantiae
ab eo recta super ipso puncto figurae erigantur perpendiculares ad figurae planum.
solidum inde ortum pel frgura inde orba aequalis erit distantue centri gravitatis ab
 illa recta infigura ductae. Cmus porro investigandum per aequationes quae
sit inde inveniatur quae sit sectio qua
ille truaque ii eylindio ejusdem figurae abscindi inteteras pt futura aliquando
st talis figurae sic erectae terminao,
Curva plaramque non plonum; alquando ta et planum ut si sit semorecta.
signia tongat ellam rectam quo casu incidemus in exempluri scujus spleies
stantum quod consideravit Hugenius de, cuneo abscisto. Es autem cuncus abscssu
non santine quabitur ut observatum Hugenio ducta basi in altitudinems in basius
gravitatis basis ad planum sectionis, sed et ducta sectione in pe
rectam ex ejus centro gravitatis in basin perpendicularem.
recta ex centr
esto basis a. sectio b. recta ex centro basis X aecta ex centro sectionis Z
Euo a- b sam si basis sit cinculus, secti t Elli senicrculus
soddius set femiellipsis, (el alitusegmientum suntes dabitur ratio 4. Ergo dubitur et ratio duar
Erit aX = 6Z. Ergo 4 = 2
illarum centra gravitatios determinantium Hic videndum an per Analysun acodentibus
aliis theoremalis jam invenori possit quaenam illae esse debeant, cusi aliis quibus libet
 est C aequalis distantus
puncto contactus recto supra
assumtis ratio illa non pt obsemeri debent enim e
perpendiculantu incidunt
puroum otosendu  pheorema, cuu opevidetu investrgeri posse cludato centi
pravitatis ami rculi centin gravitalis semillipsos, quod sua praesenti principro est indepen
deat pta veniemus ad determinationem simileter superficienne trucu o videtur necesse
esse in casu Hugeniano, ut cunei abscissi, quando basis est circulus et sectio plani
Ellipsis, et figura vata sembasis rectam ex qua ponderat fangit, ut scilicet Ellipsis
secans, sit circulo basi aequalis vid fig. prost. Z. Hug. ubi apparet demissam ex centro
F. et contra erecto, perpendicu
lanter ex Basim in F. incidere in M. Ergo cum Z= X. erit a = b. Quod est
sectionis H in busii cui perpendiculom est incidere in
impossibile, cum Ellipeo shameter maxima sit A424. et ejus diameter nnium ipsa osa
 Elliphos sectionis est diam basis. Error in eo quod ducto posutra
duci in figuram, obliquis  rectis. Quod falsum. Ideo pr sic dicendum: si eaeder rectae
lotum aequa
quae cuneum faciut exsectione productae potius intelligantus perpendiculanter
 ducta illae f linerae oblique vel perpen–
temper eni diameter maximo
diculanter, sunt ut bates, seu figurae. Sed su cadunt ilea quae de comparaione penpheriae Eurpluae
cocleris dici poterant, aliaque id genus Uleud notendumm videtis. semper erectam excentoo
mium sectio–
bitur sectioni illi in Z= X ductae, ergo
gravitais baseos, tperpendica ariter, tronsire per cantru gravitulis
illarum sectionum.
baseos dabit oium
dabitr et Eclipsium paraibolicar. Potes jungere dua porabolos intylindias
Nota Figura Controbacyca aequiponderat figurae sis generaliter uppello
n dato centro gravitalis
futero, sive id punctium sive recta sive planum in figuram
qipondecat figunaae ex futero
b.
ex a. aequi ponderat figurae figurae fexec ex
libere suspensa
ergo erdem segnca excenlio
gravitatis suspensae de an sia potius ut c. Quidem
cb
ac
filut sut, t
 dc
ut cu figura b si data fixa
in c. futera rescendere vult
recta
non possit,
elevet e. qu
ceptoci
ub
huc
nn cylindrici
ut in parabola
cat facto, ex cistantus a
5
ductis, aeqi
fixa
ua
a
equi ponde ab

## Folio 202v — 00067993:0406
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 201r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000406.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 64 lines, status machine
sentrum gravitatis resest non Mechania, sed Geometrica, id est 
potest entm exprimi definitione in qua nihil mechanicum contineatur. Mechanica definitio
est: centrum gravitatis est punctum per quod transeuntes rectae, figurae pondera biseca
sed quia non bisecant iptam figuram, semper. Ideo alia opus est definitione. Quia
nimirum pondera velut novam superaddit dimensionem, ideo est enim quasi tinea nova
in omnia puncta ducta, continue crescens instar trianguli, inde a perodo Centro gravi
puncto suspensionis ideo Lineae per pondea ascendent ad superficies, superficies
ad solida solida ad quartam dimensionem. Unde quanta di intelligi ptes dimensives
illas altiores esse reales; etsi cumi non figuris, quantitatibus tamen continus exprimi posse.
iisque minime imaginariis. Nunc figuas superficies easque planas, per exemplum
consideremus. A supponatur figurae datae Centrum Gravitatis velut in
ventum et in quolibet circumferentiae puncto erigatur recta plano figurae perpen-
dicularis (qud si figua sit superficies curta plia tum aes est ) sed facile explicanda
perpendicularis erit plano sublendenti supeficiem curvam, vel potius semper engetur per
pendicularis hordi onti, quicunque sit situs figura, resenim redibit eodem, etsi alio utque
alio sita, alia si proditura figura centrobargea.) Sed rationis ditae
cujusdam a. ad diametium, seu distantiam ejus puncti a-f circumferentiae a Centro Ggravitatis
ita scilicet ut semper parpendiculari erectae ad ametrum suam ratio sit eadem
Et faciloris operationis ca sa assumamus erectam semper radio iddistantiae a centri
aequalem. Inde ungantur ex tremisates ereclarum puncto per diagonales
quodcunque horiz onti phine seu lineae directonis gravium parallelum, eam
jungantur. Hujus figurae
ea
biscret ad est per Centiuu transcens eam bisecet. Et quia ideam sempe in figuris
monet centin
Grantalis ut quocunque sent ad horisontem situs erit generalise
ed ut ablegemus horzonlis et nomen. ita erit legusae
(quia temper idem manet centium gravitatis quomodocunque inclinetur figulam
Erit generaliter
positis scilicet, lines directionis inter se parallelis) t omnes linere oret
funto inter se parallilae, et si figuae sit inclinata non considerenda planum sit
ad planum cu erecto. in sistunt inclinatur  distantio a centro  proportionale
erunt erectae, sed ad distantiam a li perpendiculari per plimum e super quo
erectio est et centrum transeunte Ergo a centro fet riangulum excrescer, in
ratione distantimum ab ea linea.  Breviter Tufficit rectam quan-
vam transide utcunque per centrum figuae, sufficit omnes erectas ex punctis figurae
erecto
Quodlibet punctum valet lineam, valores punctorum
sunt ut distantiae a linea quadam certa, pro artitrio, assumta per centrum
omnibus esse
figurae transennte lineae erecto omuto perpendiculavita ad figuram seu dangente
Eigurae; Lineae erectae sunto paralletae lineae illi assumtae, Planum secans, quod
ac per consequens etiam intr se. lineae erectae sunto inter se im confusae, ac
proinde figura plana inclinam, quidem potest in situm pla erigi per
ulare seu ut lin aliqua in ipsa figurae la rectae directionis
sassumtae paralletum tiat, erigi non , curva a. superficies v
Hoc facto figura
to
end
centrobarus ce posita intelligi pt, fulta hypomo-
la rectionis perpendiculari per lentrum gravilatus
Alio seu recta ad rentrum
trpusen ute sive ea incidat infiguram, sive eam non nisim puncto
sece) (quanqua, uius si figum plana est regularius). Cumque lina netesse sit
tiam linea rectae Erectae, nisis
nisum aequalem esse  ab utraque figura,
exprimentes ueritque aequalis erunt sumunt, seu plarum quodcunque per lines
idest quaecunque lea pro lppomodilio sumatur) lineae drrectionis Erectas
bisccabit. Optimum putem considerare
figuram centrobarycam
pel anas easque ita positas ut linea directionis ipsis sit perpendiculam
q pacto solius circuli figura Centrobargea est figura nota
jam et Geomenricae descriplibilis ctimo motus est enim residuum
cytindri

## Folio 203r — 00067993:0407
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 204v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000407.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 72 lines, status machine
Siffigura quade quadrabili ut parabola detur centro gravitatis curvae, dabitur
titor
recta curvra aequalis. Quod ita ostendo Esto vertex curvae a S figurae carvilinea qua
diabilis a. ejus summa seu area ab v distanta centri gravitatis curvae asver altitudine
seu axe, quam notam pono c. quantitas curvae esto X. Quaeramus i applicatarum
ea fiet ita est ad figura ipsam, ut curva ejus ad axem, erit ergo 6X. At eadem
linea applicatarum est XC. sed ita non perveniemus ad aequalionde au itrobique
possit deleri X. Ergo opendetur c= bErgo habebimus aliud theorema
distantiom ca centri quavitatis curvae Na vertice, aequari areae ejus per
axem divisae seu rectangatur sub axe et distantia centirgravitatis ejus ab uxe
aequam areae curvae. Hinc orem omnum curvarum, varum figurae quadrari
possunt reperiript centrum gravitatis. Et contia quar curvurum habetur centrum
gravitalis earum figurae quadrari possunt hinc rursus cycloeidis quadratura
sequitur. Porro hinc invenitipt quam ratioe habent distentiae centiorum
pavitatis divesam curvarum, quando tum axium, tum aream ratio habet
ergul cnim distentiae cnhiorum in rave composita, ut curum arcus semicirculi adarcu
sniellipseos. Hinc si accedant Guldiniana de via centri gravitatis dabiturtao
aidis superficiei sphaerceidis lati ad superficiem sphaeroeedis pressi, quo positi
si vera sunt Hugeniana demon de his superficiebus, data quadratura cireuli vel
Gllipseos datur quadraturatiusperbolae vit curvo parabolicae et vicissim. Hit en
Guldinus fieri ex curva invivi centu gravitalis ducta quudata distantia cum deto
ratio sphaeroerdriad heu sphaeras, dabi e rati vel circulorum ad ellipses dabitu
inibus Ergo erunt superficies sphaervendes
ad superficie hemisphaerii in coposita distantiam cenllor Grav et arcuu generantud
et rallo distantiam centroqe gravitarum a
jam areygenerantes saerae roeidem lata et compressam sunt aequales ergo eam super
ficies sunt ut distantiae a centiorum ab axe. quam ratio dati dabilu ergo et
ratio superficierum hemi sphaerverdis laci et compressi. Ex his jamdatis dabitur
ratio areus circuli ad curvam hparabolicam.  videndum jam an eade
applicari ita possint, ut ex dato centro gra vilatis figurae Totius, inveniri possit
drea, et vel contra et per consequens, ex tenotou, horam, area, centrum areae
centrum curvae, reliqua. Cetrum hinc illud quoque ntellia pt curvas ipsos
Cognitas, nihil in hoc quidem loco ad ignoscenda seu quamtum ex praesento hecremale
colligi pt ad caetra cognoscenda conferre, nisi ed eoru centra gravitatum cogno
seutr. Et vicssiu ex omnibus caetris non posse, ope hus quidem Theorematis colligi
centio et alia Guldinie forte aliquid conserunt
sium haec ora ex eopendent figula Applicatarum esse ad ipsam
figura ut curva ad verticeni, ut in linea sinuum. Hi posito restabunt
Huperbolicae
B tantum cnect ae qualis aequalis auii cElliplico rngo ad sibettur
cierverdum
ratio Eleialicae ad circulare et seu rectam. Ut adeo sola cuova Hypebo,
quodsi etium reperta quadratura cinstat rao
lica sit superfuliara sit.
quod si alia arte dato centro curvae recta
cum posita hyperbolae quadratura detur centro
curvae ejus, tunc etrecta ejus curvae aequalis habebet. Sed via haec ex
ei aequalis haberi pt
si hactenus ratioanata vera sunt habemus cenbin gravitatis superficier
busis peruendilueber cultne corsopet es ncsis remispehaei. Nam altitudo hemisphaeri est quadiens
hypothesi
area hemisphaerii prodibunt? radii. his ergo distat, entiam
Etiam quadrantis remisphaerii
destabit enim  parte  partibus radii (divisa scitiiet areas quadrantis hemm
dividatur
lgravitatis hemisphaerii superficiei hemi sphaeri
basi.
phaerii per basui, quadrantem senneirculi) Hinc contrum gravitatis hemisahaerii et
duotum quadvnlam hemisphaerii sunt in eadem recta. In Hinc videntr et dari possi
centra gravitatis omnium sermen superficierum segmentorum, quae scilicet qui distabunt
pertia parte sinus versi. Et qu semisegmentorum distabunt enuim a
la sum, qua parte
stent ab altitudine seu
si tertia parce. singa retemmari ut distare ab ae a basi Z altitudins
pimirum abuna
 et ideoque absolute habetur At superficiei sermicom, non habet, etsi enim detur oistantia ejus
hasi co semicom, quia datir ratro semiconi ad semicirculum, non do tamen distat a datur
fine 
distantia ab altitudine coni seu Triangulo, nisi po supposita rave areae  coni adtrianguli
sreiars, quae ded rato ut copuissi no potes, asi sunt Aquaddetua cuali hablam
um verso
60

## Folio 203v — 00067993:0408
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 204r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000408.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 61 lines, status machine
Error
Cum detur quatiatura parabolae, dabitur, quoque rcentrum gravitatis curvae
parabolicae nimirum distabit, a basis 2 axis. Hn Jam datur superficici converdis
aequalis cinulus per inventa Hugenii. Ex Et per inventa Guldini supeficies conveidis fit ex
parabolici fit ex ductu superficiei pa curdae parabolicae generantis in viam sui centri
gravitatis seu ex rectangulo sub arm circuli curcumferentia seu cujus radius est distantia centri
ab axe) et curva parabolica. Ponatur cnculi anam ferentia esse _ curva parabolica
esse X. erit superficies conveidis ZX. At vero cum eadem est aequalis ciculo cum
Oram radius datur ergo ejus circum ferentio ratio dabitur, ad Z. Et raius ca ratio
esto β3. lorgo ZX = Za ergo X = a curvae ergo parabolicae dabiti
ratio ad rectam siscilicet  emicuro ex epraedictis ejus centrum grantalis detu.
Nimirum non tantum centrum gravitatis datur curvae parabolicae, sed et cuvae semipara–
bolicae.Hinc jam habemus X quadraturam hyperbolae existis scilicet positis.
habebimus etiam superficiei fusi parabolia aequalem circulums. posita ja
Hyperbolae quadratura facile cum Auegenio inveniemus superficiei Conveidis Hyperbo
lici aequalem circulum. Hinc jam porro habebimus Curvae Hyperbolicie aequalem
rectam, quia data Hyperbolae quadratura habemus ejus d Curvae centrum gravitatis
ergo et siam centri gravetatis curvae rotatae, ergo rectangulum sub circumferentia
ciculi, et curva hyperbolica, aequale rectangulo sub circumferentia circuli et
recta quadam cognita, ergo curvae hperbolicae rectam cognitam aequalem.
Hinc etiam facile invenientur superficies conveidis coclocidatis et converdis
figurae sinuum. illa quidem supposita, haec ne supposita quidemm quadratura. umo
contra, fusi simum haberi ntrobiuse eam supponi necesse est Hinc jam videt
sequi quamm figurarum daut cuvae, eas figuias quadrari posse, qua fignro
quadiar possunt, quarumque per consequens vatur centium gravitatis curvarum, in is
dan curvis aequales rectas supposita circuli quadratura. Nam superficies invae fit
ex inna curva harm ircull pr consequens posita quadratura, ex linea curva grecta
cognita, Jam videtur area superficie curva contentia produci posse ex superfare curva
et ruplicata. dubito tamen, imo ad errolium Credo id ergo omittendum est
abe: adaxem ab.
si sit figura quaevis, in qua applicatae suit paralle perpe cd. be en
sunt perpendiculares eaedemque applicate terminationem carum aC
be ducantur producetur fignra quam vocare licet lineam applica–
cm
tammi, quae erit ad datam abe ut ac ad ab. Hujus exeuplum
est linea sinuum a aieo considerata. Hinc si omnes illae cd. be.
ita colcumagi intelligantus, ut ex obliquis ad ac. fiant perpendiculares, manifestum
est productum majus quam ante fore. Unde sequitue ex eodem fieri marus modo
minus sed ratio hucus rei est quia ips nunquam figura dividetur in lineas semper
in Franet da tantum; hape ia autem ista intelligantu minora quolibet dato
quo facto patet Trapetimo Cd fg. gi recta cf. et linea dg. intelligantur
mineres quib, libet recta datis a rectangulo CfdG. non differre nisi puncto
et si omnia ita puncta in tota figura negliu aut non nisi lineam negligi,
ergo censeatur Trapezium c Idq aequale rectangulo Cdf. vel cFg. vel
potius uerique seu cd f9. censeanto aequales quantum ad hum rectanguli productionem
ergo utangum Euposium esdus ad rectangulum et ductae in fg ad rectangulum
du ductae in fg. est ut c+ ad dg Hiuc si semper eadem esset ratio chordae
al altitudinem seu et ad d9. demonstrata esset propositio, sed ut huic quoque
defectui moderi lentem, ita procedendum est: ac. etiamsi curva sit de flexa
in dectam et applicatae priorisgantea obliquae ipsi nunc ipsi quoque rectae.
intelligantur. dividatur Ejus lineae applicatarum altitudo seu ac. recta pel
in recta extensa in quolcunque partes aequales, ab in totidem. eaeque partes intelligatus
esse minores qualibe assi uabili, prant rectangula singula ad singula in
composita  alsitudinum et basium. sunt autem altitudinessemper eaedem, et quide
ut figurae, ut basium rad continide variat. Ergo nondum sufficieris remedio malum.
Ergraliter et sic quidem procedati sumatur in ipsa figura applicatarum. Id
pro altitudine, deflexa pro basi, et aequisecetur radius seu altitudo. Tam in defe
applicatar quam in figura data. et sit bi= ac extensae manifestum est cum sint duo tri-
an
ea ejusdem basis fore ut altitudines nairit be ad ei pta f4 ad gk
dis sed esta vela forent, sa duae ileaefigurae essent tiangula. Dhespondeo

## Folio 204r — 00067993:0409
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 203v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000409.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 80 lines, status machine
Jam si sint
ases equate en
lia.
diuendambnita. Z + ZabtSub atbex.= Cum am x. Hoc X si adda detrahatur reclangulo sub
a AB et BGua bebitur residuum figura sinuum. Cum autem sit punctum,
ideo summa tinearum: I. g() 1. + 92) 9(3
(Ducla in b.) aequabitur differentiae inter 2 langulum ABG, et lineatm applicalarum
propositam.sa linea applicatarum eodem modo oposita intsi potest
ex iisder terminis, sed inverso modo, et quod in uno est altimum et per
maximum nunem multiplicandum in altuo sit primum et per unitalem mul
tipercatur ponatur divisio non esse nisi in a partes
pecting 191) 9()9
99
summa Rectam Tob. AB.GB
3
Porro Rectangulum istud serum aequatur arcui si recta curva data pon alui aucus qua
porrosi in ad vel dd. C. non ducater eg. sed totum eda+. idem utique pro-
drantis aequabitur circulo semicirculo
dibit, et erit recta, et erit d qu) rectanus ad degf rectant Et de ad 44
sunt antemde semper eaedem, ret fg. diminuuntur DE esto a. = AD. esto
a. fg esto X: eG vel DG esto 7. 1 erit acctanu
Rectangula. ita orescent in Trilineo dato:
mo Z et X sunt  seu maximu verobius n.
est basis, sed non larum progessiones
correspendentium Trilin.
Rationes ergo rectangulorum lita
crescunt: Ratio primi ad primum
X. ratio secundi ad ecundum X erc.
a4.
Li
a
20 a1e.
ayr ay
sv
az
inapcie a2 aZ az es
a7) et
radii. Quo posito haberi poterit clatium gravitatis anu arcus quadrantis, producta
ugune Ettarville traite des suu pros
scilicet ex quadrato radii per arcum quadrantis diviso.
ponatur radius esse a, em quadr.
a. arus quadiantis  _ erit X circumferenlia et erit +a= distantae centu gravitats
ab exe et dap.
Invenims linere Figurae simum versorum aequale semper seymentum circuli, cuio si quando oes tnus versus
summantur totum Hanicirculum. Unde sumena omnim sincum ogouun aequalis summae omnim doma
tarum. Su tumma sinum recta versorum est summa Triangularis partium in quas secatur
axis a simnbus ad axem. simmna simplex eam partium est ipse axis summa eaerum partum
pyhamidalis erit summa ipsorum segmentorum. Hinc dubitur aliae quoque summae coltiautu mota
tractatum pascalii de his suminis. Hinc allud tequitur elegantissemum, si primus simus versus supatur
temel raybis, u
et
EquiBC
si
reperiri posset punctum aequilitri
ers merpit) ductum in summa partium aequabii sumne
id est lmeae dlae sensinus non bc. dd. et. quods
lotorum seu tratisnen isen segmento. Han si de pasida secsto anguloram mmolis
bradem i
volatre seue triam
m
etsi non sint triangula, seu etsi ac et ai non sint rectae, sunt famen figurae nomo
geneae, id est ut est be ad ei ita est fu ad gk. Hoc probamdum A sic probans
Omnes appli calae utriusque figurae sunt sinue crescunt ergo uliobique ut sinus ergo
figurae sunt homogeneae, cumque sunt ejusdem basis, erunt ut altitudines
est methodo exactior et peane quincente.
:
ed opus
d
parcus
distantiae gravitatis, semca
tantes
ab axe ductae in arcum quadhantis
2. + 9)9) 3.  e
se)
n b. Fig. Apstra
es
erit haec dispositio
Resid
az eae
sit quo simnstr

## Folio 204v — 00067993:0410
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 203r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000410.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 44, 2026-08-27T14:25:39Z — 82 lines, status machine
Esto fulerum AB super quo aequiponderent arcus aequales et similes acb. adc
punctis ac arcus act. engs antur distantie eorum a fatero habebimm centro
bamcam arcus acb ex futen dato tostaticam sic enim appellare placet arue
abacb. scilicet superficiem cylindricam truncalam super eo erectam intelligati
anga cb defecti in rectam extensdi, eique applicari siuu ita ut basis
quadtantis sit Eadiu seu lineamedia sit radius
sinus digi applicata ars
manifetum est esse r simuum, de qua extat racraen Fabrus esse ipsam
arque onsostaticam. Haec jam itas ad figura sinum constituatur hodzenti
perpendicularis, et futero pta applicet (producto moginare) ati applicet
ait quo ab eo distet minimo, seu linea minore quavis data necesse est ea
equiponderare tunc, arcui adb. nec miretur quisquam  lineam aequipon
verare figurae, quia scilicet et distantia linea infinities major quam
figurae jam arcum adb. ponde rat velut ex centro suo gravitatis quod
ponatur esse K. ergo si ducatur arcus adb. in distantion centrisui gravitolus
a futero R. nempe nK. figr superficies producta quae erit curva
Cylindrica (cui circulus aequali dari potest) aequabitur figurae sinuum
jamfigura simum ago semicirculi aequabu ut ait P. Fablus quandrato
en
supposita quadiatura circuli
hulal
radii duplicato, hinc intelligi pr quod
Regula generalis: figura rsostatica aequatur data aequatur datae
demquodmomen in distantiam centri gravitatis a fulero ducto. Nam idem intelligi
func si figura quaedam secetur persuum centrum gravitatis ejus ducta
ab velum esse, etsi superficies non
una quaedam portio aequatus onstata suest in distan-
centr gravitatis cujus portionis a centro gravitatis totius ducta, aequato
P stotalicae, et per consequens asstatica centrubarca sed in circulum la
unaque assumta
defex ita factae ut periphe casis ejus in circulare aequale semiciculare
s
aequalem transformata, eique distantue illa punctorum a centro gravitatis
ita
superpositae inbelligant, el ne es quia ha non videtur opus centro
gravitatis portionis, aequiponderat, (non aequati tamen) radio
eju circuli si in ipsa fata ex altra parte in radium hujus circuli ducta.
selergatir. Gradius a, circuli nujus determinatu eo, quia necesse est deflecti
semicirculum, sed est in his aliquid cubilavis, coremm necesse est in semicit
imo recto puto, ideo ut determinari possit, qquantum
asminimo absit Et est semper eadem quantitas sperficiei curuae elindricae
vel quasi ulcunque eam flectas. Jam centris gravitatios utrinque repertis superfi
calum deflecti
cieri cylindricam
 altrius intergue cuu centn b. alterius truncataetum radi
figuua istae sidhuc aequiponderabunt, ca proinde
priore illo centro totius c.
ubraque dividatu per radium cd. probit illio figura
dstantia centrorum gravitatis novorut
sclicet applicatae sunt
arcus ille miho datus uuius sostatico, quae si vimus. ab altra parte iso patica per
radium divisa, et haec erunt ut duaisio distantiae a centro gravitatis dicto.
ferunt ut
sent gc ad cb. Ergo
Unversalissimae sunt luce propositiones et subtilissimae.
porro quod suprm dixi de Ginea simum pte
tansferri ad bes lineas appli
hhinc intelligi ptduto nobis
calem, ut sunt i applicatae quoque parabolae
ejus longitudinem vel igtra. Hinc
et ejusque curva aequalem
curvae parabolicee centro gravitalis datum in,
atitu aequalem figuram rectilincam
cum habeamus centium gravilatis curvae yclocidalis
al
aemonie rectangulum. Ergo rectangulum aequale  upplicatarum ejqus At linea
recctam; habebimus ejus superficiei cylindrica
figura apiliccilarum ajus est ad ipsam cgclocidatem, ut curva cyclocidatis rad altitudine
ejus. At haec ratu datur, igitur si quadrari p linea applicatarum cyclverdis, etiam
quadrata erit cycloeis, quadrata autem cocloerde quadratus erit circulus. Quare si ora
ista vera assent, maxime deud de rhoe ig applicatarum, ad figuram ipsam
exempl neu a consideraot linea applicatarm
et ubi eade videntus producere diversum allustrare pt quae Galilleus de rarefactive
habedinus quadratur ay.
Cum ostendit puncta sed t quod reapse conus est minor quolibet dato esse ingenti
eveunfereram cirulli, snfinitae ∞. aequale
eu samercivoladus potent quadrar
n
per dudimem diviso seudiundus aua quadia tis.)
1
 si
figura Gostalica,