# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/34886/text
# Catalogue record: 34886 — Mathematicae collectionis plagulae ג
# Incipit: [Fig.] Esto EC. tangens in puncto C. circuli AB. quaeritur intervallum
# Date: 1673
# Akademie-Ausgabe: AA VII,4 N. 012
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=34886&katnr=39091
# AA VII,4: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-4
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,4, p. 205 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII4A.pdf#page=205
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00067993
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 2, 1
# Folios: Bl. 285–290 (from the shelfmark LH 35, 2, 1 Bl. 285-290 (=39090)): 12 pages, canvases 571–582, page ids 00067993:0571 to 00067993:0582
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00067993&page=571
# Lines: 1,027 recognised on 12 of 12 pages, mean confidence 0.89
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 285r — 00067993:0571
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 286v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000571.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 102 lines, status machine
1b. ac
cd
E
44
in punctoC
Esto stangens  BC circuli AB. quaeritur
intervallum ejus tangentis a puncto B seu
recta BE.
AB radius esto (a) BC. chorda auu dati
esto BC = (b) et BE quae quaentur
esto =X.
Erit EC = ( - X.) AE - a + b = +, Rq
Ent AF = a = x ejus H a = X = 2aX.
addatur ad HBF vel EC = habeb b- X.
productum a +X - 2aX + b - X = a
Ergo 2aX + b = 0. Ergo b= 2ax.
Ergo
6a
2a
=. X. Ergo Meorca:
Rectangulum sub diametro et interallo tangentis
cuitu aitosae quale est quadrato chordae arcus intercepti
inter punctum contactus et assumtum.
Sed videamus an ipsum X exprimi possit aliter et simplicio
b. scilicet resoluto in per aequationes ejus. Manifestum est
CG esse RARu + a = b. Hanc ductam in BC. = b. dare Triangulum
1a
BCG. = R +ab - b = 24 DC = a DC. Ergo De = R9 4 ab2 b 2
a
Hini intelligi quoque ut obiter dicam potest quomodo it
sinus rectus ad intervallus tangentis, sclicet ratio eolumerit Aq
seu R4 -.. vel inverso modo Ra
4a= b
Aa= G2
b
vel  4a
6
2a264
Co tantum discrimine quod summasimum ax. B. Cd. exusg . vel Rg Rg +a - 1. Sed haoc ratio continue mutatur quia
ersorum dividitur per radium fit ex summa quada quad ratorum sianum idest rectingub Hom astomi linus
manente  sempe mulatur b. Quod si progressi rationis liceret
ratio cinari, summae intervalloriam, seu areae segmenti, et ratio
ad summam sinuum rectorum seu arcam deti cujusdam quadrati
haberi posset, et per consequens non quadratura tantum, sed et sectio
angulorum universalis. Sed pergamus. habito DC. habebitur jam
ii
et DB. idque  ob modis, quoun utrumque sequamur singulos, ut excori
comparatione aliquid cesus ancamgahauriamus: primum auferatur
quadr. DC. a D. BC. pd residui R4 erit DB. ergo DB = B 4ab -6+
ergo BDB = b. AC
4a
44
+ b seu b- b + 62
+a
4a
seu 64 4a
4a
Ergo DB = b. Intervallum ergo At supra ostensum est
2a
 esse intervallum tangentis a puncto dato. Ergo demonstratum
habema, intervallum puncti in circumferentia assumti, ab a langente
20
alterius puncti in eadem circumferentia sumti esse sinum versum
arcus inter utrumque punctum intercepti
omni
Et hinc jam confectum
habemus. duplum summenfime versi simuum versorum, seu duplum
figurt ineae sinuum verforum aequari segmento arcus, maximi sipuum versorum
toru
mpi calu
Et hanc summam sinuum versorim ducram in latus polugoni, aequari
his lo segmento polygoni eandem cum, arud supia dictobasm habenti. Hnc
cum sinus verti iam calculati habesntur, facile poterimus quodeunque
ircum
no jam extat Tibula segmentum polygoni netiri, auu diusavius in 100000 partes Et
Sinuam versorum
epud poginum
ita facilline netiri possumus omnia circulque segmenta quam i volumue
approximatione Facile autem habenti suius versit sunt enim chordarum
et id est dupeorum si imnum versorum arcuum sequentium quadrata per
diametrum divita
patet hunc demonstrationem
esse universalem etiam
arcus sit einjor quadrante
un rectangula nea sent
finnum versorum et rectorum
pascaliana sunt sinum
rum, at simum rector
sed inverso modo seu simu
eoron
 sim versorum 
eota metiri possum enta
circuli, seu potius polycom
circuleris summa sinuatu
versorum ducta in latu
polygoni. idem a caesris
curbisproportioe quadam
no
Hinc eorrum tartum sumgae e
reperiligam poternn, si ab dia
quoque parte incipiatur
Rectangula ista sunto.

## Folio 285v — 00067993:0572
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 286r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000572.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 81 lines, status machine
recitorum
Hinc res emergit onservatiuo digna. Summa omnium finum versoruut esst
Radi quadratum. Summa quadratorum, duplorum simum rectorum, divisa per
radium hab dabit aream quadiantis. Sunto V Enuntremus sic potous:
segment
hamma omnium cauum rectorum semicicali esst duplum esuadiatum radii, vel
duplum dimidium quadhratum diametri. Summas omnnum sinuum versorum semicirculi
s
duplicata est aequalis semicirculo, seu summa omnium frauum
versorum semicirculi est aequalis quadcanti. Ergo
summa omnium punum versorum totius circulidu semi
circuli siu duplicata quadmplicata aequalis est
circulo. Ejus quartam Et pronde cuilibet sectori dqualis
est portio ejus pro ratione sectoris ad circulum.
Hinc differentia inter ceertam portionem summae
Sed summa quadratorum sinnum rector non po haberi
simuum versorum foluus semiciiculi, et finu sumce
sinuum versorum, arcus sectoris, est aequalis hu-
iri si c cum senqu mempo Gsengiant
versoum tonus oeniculi aequetotu quadicnt
vadranti ergo differen
e et semicirculi aequentur sestuentu
tia anter utra aequabitr Vimidio quadn
figura, altitudo radius. Eadem ealdemplicata spulo) est suma radii eu riangulo quadrantis, hnc exhi–
alsolute ea enimi aequalis cylindrob cdius basis est
quadiatorum chordauu
ne siris peo gindigni datfiberi pt summa quaedam sinuum versorum,u
am areudupl. Haec divise per radium
a
e
osedurtucatam, quae videlu
sin ad fic ex summis chori aen per radum
mmae cuidam sinuum rectorum.
prorro cum constet ex chordis ut BC. fieri sinus versos,
istae hordae sint sinus recti, aut potius sinuum rectorum dupli, qu nam cum
comporeidosum sisest et quoque haberi et s quan raboram
a
et haber
eci chortar
b:
nec
fummam quad ater
haberemus summam ei spanm versorum, et proinde quadraturam prculi.
summam
Esto in fius 2 arcus quadrantis divisque ABC. divisus in partes aequales quolcunque
in punctis  chordae erunt rectae CD. sinus recti erunt rectae ed. sinus versi reclae
Ce. Aio dimidias Chordarum non posse coincidere ajo si chordae Dc.
dimidiatae applicentur df apulicento
radio, ca. eas non foresimus rectos
quadrantis ponatur enim puncta f. incidere in rectam Ca. ibius exprimi
ei
terihabum
licatio
puncta dd patet arcum sed fore dimidium
arcum primum, fore dimidiu arcum cdd arcus autem ac. ita constituu
punctis f. et dincidere in
ut eorum media puncti O. incidant semper in C. extrema autem d vel C
in puncta dd. manifestum est arcus  vel dd- dd esse aequales inter se, et dimi
lios lingulos singulorum artuum d- d. Ideo totum arcum cdd esse dimidium
totus cb, et rectam ce. dividi a punctis in sinus versos et chordarum
cd dimidias esse sinus rectos arcus dimidii, et cincidere alternis in luususos
sumbus rectus avus praecedentis atque ideo SmCo summam chordam
tum esse ut summa sinuum rectorum arcus
um
dimidii ad summam arutum rectorum arcus dati Nimma inquam dimidieta
ad summam finuum vi
unc enim summae dimidii quidem arequs, sed ejus divisi in partes aequales dimi-
uteum
has partum dia aequalium arcus dati. Cumque simmma sinuum rectorum vel
versorum emper intelligenda sit ducta. in Laliquam partium arcus aequalium
vecesse est summum illic et Ergo si in dinidia, arcus partes sunt in gave
dupla etiam summae sinuum erunt in ratione dupla. Ergo si quaeriuu
eurd summas chordarum sufficit sumere summam si uuum rectorum arcus dimi-
dii dimidiatam. A. Ergo ipsa summa Clordarum erit sempeienni eadem
est summa pimum, ulcunque dividatur radius, i areue in partes minores assignabili
modo quia semper tatum ea summa fit ex radio in finuum versum maximi arci
ducto radium abscisso sinu verso arcus supplementi (2) ducto (uid pascal) qui
semper idem ulcunque dividatur arcus. Ergo summae erunt ut partes arcus. Cum
autem summasemidhordarum sit dimidiata simuum duus dimidiati erit sum
ma cordarum aqua totius arcus aequalis summa  sinnum rectorum arci
diurdii. Quod non debet mirum videri, quia etsi quaibet

## Folio 286r — 00067993:0573
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 285v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000573.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
pota os figurae planae quae bis secadi possint in duas partes similes et aequale
ab omnibus rectis per centrum fravitallus transemntibus ita secabuntur et omnes
solidae quae tec planis
horda major at quolibet sum
eltplincumminus quolibet dato, cujus dasis arus
ut db. latra duae chindae dc. et bc. arcum copotandentes (etsi artus este intelligati
quia chorda est reapse triangulum
quolibet assignato minor) Trrangulum autem istud non vel fili Trilncum aut
istud vel si eu loco substituatur tingens, sigangutum non fittucta busi tangent e
un latu sed naltitudinem, quae longe minor. At haec mihin siunt suspicionem pura
in praepatibus apparet enim summam chordarum aequari sipsiRectius
ita, ut chordae summentur, necesse est eas interse esse parallelas necesse est
etiam eas ductas intelligi, qin id quod solum deferminatum et inaequales partes
logiem
sectum est id est in arcum tunc autem sibi longe propius accedent,, ut dunc, ubi ad semvicem
et in spatuum eximum coibunt Breviter idem est ac si
 extendatur fratus parallelam ipsi Ca. manente puncto b.
argulum faciunt,
et et punctis chordae ed affixae maneant punctis d. satum perpendicula
res reddan
tur rectae cg b9. Manifestum est idem fore productum, si dimidiae ejus fd
curva bc. in auu
cur arcui cad c-dd (duplo arcus ed. bc) in rectam dd-h. deflx extenso applicem
tur, adem porsus productum fore sed in haec duo producta fore in quadmpla producte
divi
in do3 fore producti in b. b9 subquandruplum tum quia dimidiae tantum chordae
applicatae sunt, tum quia dimidio tantum asteni) Hunc si chorda integrae applicatae
insellinantur arcui dd: c. erit adhuc duplum dimiddam summae chordarum.
qu Concludo en si quis
applicelarum scilicet arcm cujus est Morda vux ima.
dubilat sumat re duas rectas in quoetunque partes ego utramque dividat
em partum aequalium. retrique epplpe eodem modor alias rectus
ita ut primam rectam uni parti unims Ilem uni parti altriue applicet
patet rectangul producta fore rectangula. tot quot sunt partes aequalis
qualem expa esta
vel rectae et singula rectangula (eaundem rectarum applicalarum) ad singula
imati
N ut sunt duc rectae datae seu axes ad aptes ajoes ergo et producta
patcunqus
is ra recta. Idem ergo hoc quoque loco intelligendum opdudo ergo et tcreorema
correctum ita enuntio. Summa chordarum arcus est ut summa sinuum
+
rectorum arius dimidii quadruplicata. Imo duplicata tantum. Quia summa
finuum rectorum arcus. dimidii non assum simus, ut summam sinuum dectorum
auu dati, sed arcus dimidio minoresoce ideo ut de pronunciemus de
arcubus summis sinuum rectorum arcus dimidii simpliciter, ut est ita divisi
ut aut datus dicendum est summam shocdatum arcus dati esse summam
Hineparadexum olez ectum
sinuum rectorum arcus dimidi; duplicatam
on est sumna applica brevitr
facile coanessit est eam u Imo sic vendum
remichordae sunt applicalae sarcus dimidii in partes dimidio minores secti. Ergo summa earum
est summa harum applicatarum. Hoc summa applicatarum pimum du ut compiretur sumuace
erundem applicatarum chordarum arcus dato in parces duplo majores divito applicata
rum piquadruplicanda est, primum quia erent dmichordae tantum, deinde quo appli
natae dimidio tantum. Verum haec summa applicalarum non nisi dimidia est
sa minae applicatarum arcus dimidii in partes in quas debet eori Ergo summe
eandem esse summam applintaum arcus alicuju in partes infinitas onajo res minoresu
la
sm chordarum dupla fulprum
divisi sie in partes semel ea partes sint datae, sive alibi, partes sint dimidiae
vel tepfiae vel quartae priorum. Nam imminuto numero si partes sunt duplo
majores, sunt etiam duplo pariciores, ergo et applicataae duplo pauciores, omittanti
enim alternis, seu totidem hintermediae, quor retinentur, omista autem qu’aelibet a
retenta qualibet differt differentia minore qualibet data. Ergo hober potestqe
pro eadem, ergo etsi applicatae quaelibet duxantur in portionem duplo majorem
prio re sunt tamen ac tamen id compensatur alia applicata ipsi aequali, omissa
est, idem est eedem est demonstratio licet certia pars vel quarta, vel duae
uao ese. vel partis datae assumantir. Idem est etsi partes sint inaquales
etc
modo infinitae, et quae libet earum duplicetur; vel mplicetur, vel ejus
sdem brevitu de aqualibus sic conficitur, quia summa earum est sinuum
semper est ductaa rectangulur ex radio in. sinum versum C. producto ducto in portionem
auus ad sed iste ductus est nullius momenti, neque enim facit e plano lolidum cum porctio
assumantur
ideo negligetur ex aquo sive duplicata, sive simpla sive dimidi
ile sit infinite parda intelli hatur.
Ergo post toc venti ea srnces ita

## Folio 286v — 00067993:0574
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 285r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000574.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 91 lines, status machine
sintum  simis, dupl, suama tlox croroam quadrupea
sinnum ugimid
quadrupcam
concludendum est. Summam chordarum esse quartam partem summnae sinum
rectorum arcus dimidii, B si inventa sit summa ita quadratorum chorda
Aorum differentia eorum erit summa
DEC fig. 7
quadratorum sinuum versorum. Ergo summa quadralorum sinnum versorum
iffelentia: summarim quadralorum sinuum rectorum arcus dati a et quadratorum
arcusdimidii quadratorum sinum rectorum, arcus dimidii, quaadmplicata, subtra
cumrector
ctorum. erit aequabitur summae quadcattrum simum versorum Jam sumima
quadratorum est cylinduiquidam portio, ergo differentia, inter illas duas
portiones cylindricas, quae aliquando haberi pt ertit summaquadcalorum
hnnum rectortum. Cae anter erunt ut differentiae ipsorum segmentorium multi–
er radium. Cintellige quadmplicationem. Cumlam habeamus
ota singo super basin semisegmenti non minus invenori potest summa quam
plicatae
innum super arem, c ut an fig. pascali. 22 ex recta OP. erigantur
perpendiculares ipsi FOP. sunt ea sinnum ex CD. in BA portiones
aquibus et a summa sinuu omnium arcus Cd. anferatir (umma
una ad sinuum onunum arcus cd auferatur rectangulum O A resionum erit
summa estorum simuum maxem in basca serin segmenti. Hinc (ex hypothes
lurae recte arcui semiscymenti aequalis) centrum gravitatis
omnis semicir arcus circuli haberi pe distantia scilicet tam a basi
quan uxo. Lmo sufficir ab uno haberi cadit enim id punctum necessa–
in recta ex centro arcumm visecantem. Et hinc patet, data unasumma
simuumaltram quoque dari. Hinc generaliter si sit arcus cuculi, et
quotodocunque ex eo parallitae ed aliquam rectam demittantur seps
haberi poteri eorum summa. ex partibus punctis accum infinitis alcum
in partes aequale selantibus; semper haberi poterit eorum summa uet si auc
b
sit datus ab. et recta quaelibet be. in quam ex punctis d. dd. arcum aequaliter
secantibus dimittantur finus, semper summaliorum sinuum habebitur. Nota
P. Fabri cognovit tantum dearcu quadiantae in rectum deflexo, non, gmor
Nota datur nobis
norad alias portiones; etc. videndum tanen.
maquadratorum sinuum versorum, datur e summa sinuum
versorum (quadralo utraque ex est summa quadiatorum sinuum
actorum per radium divisa, huce apparet summam simuum versorum, et qua
datorum sinuum versolumesse symbolas seu cognosci eorum rarem inter se
ut . g. sunt colrnder et speara) circulzet sphaera) quod usum fortasse haber
Sb ad summias indagandas altiorum poestatum; aliave. summa sinnum versoni
est quidam circulus vel seum sector sul segmentum circuli, ut duperciter demonstrare
istum, partim quid ex generali methodo, de intervallo tangentium, partim etiam
via est summa quadraltiam chordarum seu cylinder aliquis scujus basis circulus
it pascatius de fin. propi. imma sinuum versorum arcus aequatur differen
cud segmentum
tice inter arcum etbasm seu eam ad quam sunt ordinetum appli demissi sim
recti, seu distantiam sinnuu extremorum; per radem multiplicatio
quod vereor ut verum sit, daeret entm quadraturam
formo summa sinuum rectorum fummenversorum condituit quadratur
portioni cuculari (duoplatra recta habenti) circum scriplum
rectangulo dactam illorum latrum rectorum. mo id falsum
si potius summa sinnum rectorum dudorum in basior quadrantis (sive arius
ade
sit iteger auus quodrantis sive ejus portio inde a temino sumta) et sinutum
versorum ductorumn eandem, aequatur parti alli basis in quam factus est
ductus ductae in radium. Hinc summa sinuum o ductorum
aud carcum aequatur summae sinuum rectorum panter et versorum euctorio
iappercalorum ad accum radium seu quadrato radii. Satis apparet ex
paratis nosis et pascalians dimensionibus nhil delegi novum sector circuli est ad
rectangla sub radio et distantia sincum extremor quid fiu pascat. 16) ut sugerfieres cylio
distantia dimitus circus ad illam distantiam. possum et invenue
summam rectangulorum omnum versorum et rctorum. H abeo erum summam quadralorum compositarum ex tinubus
diica sub paren et ratio
rimorum quadcatum radii ductum in distantian simum recto extremorum. Habeo
simuum versorum Haeduae postremae summaesi anferant a summa qua
dratorum compositorum, seu radiisum residuum eut summa rectangulorm duplicata. Nam si a quadrato lotius
ractis et versis quae semper est sinus totus
sinnum rectorum
mna rectangulori
suntieato. Nota cum sumna simc
hordam in sex sinum rectorum ergo horum dita
restabit. sid
et summam Quadralorum
ata partium
antermod ondeat a
ummaqua 
eito
rectorum certo modo rua divisa,
divisus perradium Hfinc sista vera sunt, et verum est quod
Ego almd Theo rema
quo qoseu
cm
sum
trian-
segmentorum
subi afempisiluo donesemiesrant.
eo
applicatorum

## Folio 287r — 00067993:0575
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 288v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000575.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 79 lines, status machine
tuna res detexit, ut simtus rectosrum summa fit rect habet lavem ad quadratum
diametri ita simmum vesorum ad _tum ipsius arcus crculi circumferentiae circuli
Ut illa dat Trinrigulum circulare, ita haec signientum circulare. Tegmenta
circuli sunt puorae proles linea cuvae, ut T angula, lineae rectae; sectores et
ipse circulus sunt proles utriusque. Area segmentorum fit ex arcu in seipsum
ex toto vel parte ducto; Triangulorii ex recta. Segmentumm haberi potest
non niso date o solo arcu; Triangulum cognita solo recta rnu quadam
Magni est usus vuorema meum quod ab a bld e a (altum ast
recta
ac fbd f cc idlut ea, si partessunt infinitae, ed cba
ipsi a+b+ 8+ d pec. aequatur.
eus tam in simubus, quam appercatis seu ordinatis quadrantis usim habet. Hinc
summa rectangulorum allorio sen spatior de quibus pascal. tract. de sin prop. q
est aequalis qua summae qua diator simuum odem rectorum;idem est, si pro simul
ordinatae. Hinc summa omnium allipsium, rectangulis inserglorum, aequalis
vel crcumscriplorum aequalis summae omniium circulore quadratis in vel circunscrit
et si sint ordinatae, sumtia omnium illaum Ellipsium est aequalis remisphaerio
ejus iin quadrantis revolutioneque geneti, quia omnes circuli eorum quadalor
remisphaerium constituunt.
Videndim an data summa px Trangularium, it pospamidatrium, rabulioque latres
reri possit summa simplex. Quonam data summa simplici, et Triangularum
et postamidatium b uno labge, gatur et suangularium ac postanu datium
ab altgo labe. Si hoc posset haberetur quadratura circuli. possumpenim
exhibere figuias rectilineas, quae sint aequales summis ruangularibus et
pyramidalibus etc. quantitatum, quarundam, quarum summa sit circulus, vel
seu quantutatis
quadrans circuli. Quod magni momenti esse nemo negabit di ia tiangulare constituentus
propretatem ad adguvandam coterplationem, omnes istas quantitates
se
rectangula, quorum latera habeant seuper certiam proportionatem eandem tatem
radrum scilicat circuli ac proinde quadrata omnium aequari summae omnium
odinatarum (id est toti figurae) in radium ductae. quod si verum esset, ut uni
earum adjecta faciatdem nempe radium. Sunto ordinato quadrantis
a b c
.
e dec b a
Rectangula ac. bd. a db ea. quorum summa = a. b cd. e.
et summa quadratorum nempe a + b +C + d+e. cognita jam est
atiunde sunt ergo tres proportionales. a. C. X- a.
item b d x - b item. C C +X , C (∞C) etc.
Ergo aequalia sunt
Tan a bx b CX C dx- d ex E.
Addantur utrique aequationis pati i 2C
a + b + C + d + et ficule patir:  ax
a
2d
bx
+
25
26 20
ex  dx ex
c
+ d + c , X.
Ergo summa ordinatarum d est ipsa figura, nempe Q Vadians ciiculi ducta in X.
radumue aequabitur summae quadralorum ordinatarum, duplicatae, id est
Unde sequereturi quadrantem aequari X 2X2. seu 4X. six X sit
radius et circuly foret 16X circulus autem fit ex radio etscuncircum ferentia
ergo 16X. foret semicicumferentia radio posito x. quod est absundum.
in eo ero enop quod assumtum est ordinatur applicatas reciproce sibi jungi
quod falsur est, nec fit nisi in sumbus arcuum aequaliter divisorum tac
ergo sequetue surmmam oudinatim applir sinuuum rectorum id est aco
radiam quadratum, ductam in rectam ductam in radium seu cabum radius,
aequari summae quadrulorum sintium retorum duplicatae seu cylindio cuju
busis quadram altitudo radius, quod rusus est absurdum. Error in eo est,
quod summam  sinuum, in radium ducendorum assumsi quasi jam
duoram in arcum imo recte id quidem. alius ergo error, falsa scilicet
proprietas, quod d e X. a mediae proportionales, nimirum a. non attingit
ad est lautum redia desidium, nom tocus dametu sic ergo Nta e X a
Error non de
rbent esse orde
nato sed sinus
eoque casu
cessarttemi.
n
in
sideratio
rijus
X4a
=4

## Folio 287v — 00067993:0576
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 288r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000576.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 71 lines, status machine
Erit ergo sit
L X2a
Ergo = s2C
VX
d
1
X~b
24
X
X= C
20
26
aequales (velinsim
Hinc theorema memirabile, isi arcus dividatur in partes quotcunque, finitis
dupla summa quaeratom sinnum aequabitur; sum quadrato arcgs per numerum partium
in quas arcu divisus est, multiplicato
Ego si arcus dividatur
in partes infinitas, quod eodem recidit duo s. si utraque summa in
arcuii ducatur, applicetur, seu si quaevis multiplicetur per partemarcus
in quas divisus est, unam. Ergo si arcus dividatur in partes sinfinitas,
dupla summa quadratorum sinuum aequatur arcui scilicet applicatorum
aequatur summa quadratorum radiorum, in arcum ducto seu quod idem
adralu
secudum pascaligiant id equatus solido cujus basis figura; altitudo radius. Dividatur
est parallele pipedo cugasica
utrumque aequalium per radium, restabr illec figura, illic duplicata
seu semicirculus, illic factum ex radio et arcu, quae jam ex A rdimede
otat aequalia esse, et si ad nondum haberemus hic denuo demonstraretur.
pr: Quae est elegans methodis hum confinuad, contra eosqui erroribus expositam
falsu
cutant. et insprie confimatar Kabrema ticum, de quatibom toum li summae recta
In puoribus corrigenda est o applicatdo horum ad ordinatas,
vera tamen applicatio arum ad sinus rectos.
Summa quadratorum sinnum rectorum aequalis est summotriangulari
corundem simuum rectorume vid. fig. 16 pascal.. ibi spatia DIBA
vel eorum loco (nihil enim refert) rectangula Ds AI sunt summae
triangulares ipsorum ddII ita ut prima sits ipsum omnia dd iI dende
omnia danto minoruo DDOi, et ota porro, at ista rectangula
DSAI Omnia sumul aequantur quadratis omnibus omnium sinuum. Ergo
summae Triangulares summam sinuum, aequant summae quadcatorum
simumm. idem eodem modo demonstratur in simibus versis, it
Trilimeo DXB ductis summam Triangularem simum vesorum,
quod idem est summam segmentorum aequari summae quadcatorum
innum versorum. Porro si separatim summam sinuu versorum eodem
modo invenemus quo summam sinuum versorum inoenum partim per
intervalla langentium dum nimirum quodlibet segmentum cogitatur
super quolibet Triangulo illo cqmprehenso inter duas choritt tan
gente intervallum ejus puncti a tangenter erectum, seu in id Triangulu
ilsam methodum, qua summa sinuum rect quadra
lorum somum rectorum, detrahitur a summa quadrutorum sinuum, tolorum
ductum: partim per
BA. Xa. C in alcum ductorum residium eri summa quadralorum sminum versor
et etm summa Triangularium corundem. Ita qualibet summa, simulum
rectorum inventa, invenietur quaelibet summa similis sinuum versorum
modo inveniatur, quaelibet summa similis sinuum totorum. At quaelile
summa sinuum totorum scilicet marcum ductorum, invenietur
inventa quali bet summa sinuum totorum indistantiam simum extremom
semper ut arcus DB. ad illam recdam AO.
et vero summae illae simnum Triangulaus, pypramidales; lum lineo
ipsoum sinnum colorum seu radiorum, tum ipsorum quadcalorum luborum
applicatorum ad AO semper invenii possunt, in infinitum e coinendunt
cum linabus poami sinnum rectorum summis, quae proinde etm motnori
possunt in infinitum. Ergo nihilatiud opus est ad summassinuum versor
idagandas, qua summas estas simum rectorio mulliplcaare fertationes 
non ita de surmmu
vadratolum
e
abene
um
dacum. postam
num

## Folio 288r — 00067993:0577
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 287v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000577.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 78 lines, status machine
au DB. ad rectam AD. et a producto auferre simmum versirum summa
Hinc intelligo p summas simum rectorum in radium ductas
 figuris retilineas, f quanc quadrato dimmehievel radi simbolas, seu puondo euita
alouo
summas sinuum commensurabiles; summas sinnum rect totorum inradum arcum
ductas, gare figuras circulo, id est producto ex recto et curva aum conmensurabiles
summas simum versorum in radium, arcum ductas, dare figuras segmentis
commensurabiles, et quidem dare figuras productio ex arcu in seipsum
commensurabiles. Unde intelligi pt. Tirculos corumque sectores esse figuras
productis ex recta et arcu conmensurabiles, _Figuras rectilineas inscriptas
vel circum scriptas esse quantitates soli rectae, et productis ex ea recta
in seipsum duccta conmensurabiles; taandem segmenta hiculi, su esse
tiguras soli arcui, seu productis ex aum in scipsum ducto comensuribiles
Nemo enim dedit rationem segmenti
ad suam rectam. Ut admorari libeat consilium naturae, ii obstruendis
quod hactenus ostendit nemo.
omnibus aditibus ad Tetragonismum Si emim recta ponatur a. et curva
X. circulus erit ax rectilinea figura inscripta vel circum scripta commani
surabilis a segmentum mensurabile  Jam segmentum additum
figurae rectilineae facit circulum vel ejus sectorem vergo aequatio latis oritur
Nam Enclidis Elementa mobis ostendunt quomodo
nes trectilineae circulo inscripte, quarum bilicet datur cum scilicet
a + XVI = aX.
geometrice construi possunt, ut seu cum circulus in talem angulum geo
quaedam
angulus geometriae haberi potest sint radio, diametro quem dicamus a
ducto commensurabiles; Ardei anodes ostendit, quomodo quidam circulus ersectores
sectores quodum scilicet Iquorum scilicet geometriae habentur sint con
anensa rabiles arcui suo, (et quidem quoties arcus geometrice haberi pt
er in se
circumferentiae, quam pontimus dici X) sed ducto in radium. Ego vero
hoc loco ostendi, quomodo segmentum quod libet sit conmensurabile
videri poterat nisi demonstrationem
haberemus figuram scilicet mixtilineam ex solo sua curva produci
arcui suo, quod incredibile
posse (quemadmodum sunula producitur, ex sola quadam rectilinea)
ad
comelii
habetur
et quoeres dimelstis  cyrlometiaa
circum ferentiae
tentis quibusdam
Generatibus ad tria summa capita reduci; dimensionem rectilineoeum
circuli Euclideam; dimeper radium solumt; dimensionem. Acchimedeam uas ductunt
Hinc pat et omnia
seinvicem partesse unum altrius
ductos. ac denique dimensionem sgymentorum. per ircum solum
sectorum, per radcum et arcum isradi
in se partesque suas ductum. Sunt enim primariae figurae in
figurae circulares: sector, (quorum maximus est ipso circulus)
Triangulum sectoris (ex quorum peuribus fit polygonum inscriplum  pei
circulo circu
segmentum. Triangulorum dimensionem debemus
Enclidius sectorum, Aorimedi, segmentorum et dato radio et arcu Acchinedi,
sagmentorum ex dato solo arcu, ausim vendicare mihi. Cum a + X = aC
aut megulare) ac deni
autem sector frat ex triangulo et segmeneo junctis hinc aequatio
illa a + X = ax. Sed illa aequatio dare non potest
rationem ipsius a. ad ipsum X. ut cuivis patet Hinc ad rationem
a. ad X inveniendam opus est adhiuc alia quadam aequatione, ut siat tec Ardimodes
quemadmodum nos reperimus segmentum componi ex solo arcum, alius
quisoriam inveniat modum producendi segmentom ex arcu et rectam
sectore ex areu es
vel sectorem ex arcu solo, vel triangulum exarcum solo, vel segnentum
ex recta sola, quod libet horum, 
at
rigo ad raturam Circuli
Jam cum st a + x = ax erit a ax
 Patet locum hujus
y = aX = a
aequationis esse parabolicum, nam si aequatio talis b= aX X est
por
radso,
parabolica, ut patet tam si ponatur b. non ideo minus aequatio parabolua
erit, seu cujus locms est parabola. Id ergo videmur oblinuisse, ut hoc
ossum luati devennit potlems solidum solubile, e ostini posrie, quenadmoda
problemata solida dia intu
 in se partes

## Folio 288v — 00067993:0578
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 287r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000578.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 60 lines, status machine
1Ergyro X- bX. b.
dici substiliui potest:
y = ax - b:
tunc solvi posset roblema ope parabolae, unc deberet
nnirum fieri aequatio talis posito y = X.
y = ax = b. vel X= aX- b haberemus solutionem
saltem per parabolam, seu aequationem soi locum solidum.
quare si quis exhibere posset segmentum circuli aequale cuidam sectori
demto quodamm quadrata cognito euius arcus est radix segmentu.
semto quodam quadrato, a rad cum  est alia a cadius essi
sed potaeram osus suffiat prior illa aequalo: X = aX - 
Nam X = y, et et b-a suit autem X et . cognitae
est enim a. ratio arus qui radix est segmenti, ad cirumferentram circudi
Hinc sequtur, si ista quae dix inus vera sunt posse deseribi parabola
cujus aliqua applicatarum sit circumferentiae circuli aequalis. Tautoque
factiora sunt omnia, quia sratio y. ad X cognita esst. et ratio
a ad b. Ponamus jam diversa assumi segmenta ejusdem sirculi
habeb quorm ratio scilice in quibus ratio arcus ad eircumferentiam et
sius ad radium cognita sit, et unam esse quam dliximus
bx - b 1. alteram, X = bx - b Muagantur
inter se aequationes, emn XX
XbX 7b
a+sn B+E
vel sic cum X sit = ibX = b. erit X = bxS - bd
Ergo quia X - l. x + b  eit  bxse b Ad- bx - b
Ergo bx - bud
Ca
tc
a
Ea
= b. Ex bx br8- b- b
C
Ergo X = xd = b - b8. Ergo X =
Ea
a
 ca
h = b s 2ba - bsc
(-
Jam datur ipsius. Imo coror fanile tamen reparabilis
Ea
81457
una aequatione differt a bm altra, sed ratio tamen cognita
est, ea ponatur esse V. ergo ita slabat aequatio:
bVXS - bγS = bx - b eut bx - 1)a8 = b 7 BY 
EX
ca
sive erit X = b - b) d8 Cumque omines termini praeter X sint
2
a
18
Ea
cogniti, X abduno incognitus ab uno
tantum cogniti tantum ab altero,
habebitur X. ratio ad b. cum
ratio habeatur b ad diametium, habebitur, quoque ratio ipsius
X a X cn circumferentiae ad diametrum. Et haec qui
demvera sunt, modo verum sit rationem segmenti ad quadratum
sui arcus semper haberi posse. So aequatio latis fieri non potuisse
Eatis tamen duabus aequationibus, et ideo descriptis duabus patabolis,
applicata duarum istam parabolarum communis fuistet X.

## Folio 289r — 00067993:0579
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 290v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000579.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 68 lines, status machine
sunt quaedam de integro rcassumenda, inspice fig. 16.
mdd tumtam
DIB. A. DIBA, et C: eamque ostendit aequari arcui DB ∞to
Quadrato distantiae inter sinus postremos AO. toto multiplicato
per radium AB.
Ego ajo eandem summam  istorum
spatiorum aliter, et sic quidem, miri posse. si imettur
summa omnium Rectandulorum D 1AS. eique ac datur summa
omnium ictorum scisegmentor DBS. Jam summam omnium
falsu Rectangulorum DIAS aequatur summae omnium quadratorum
DI. posito scilicet de toto aru quadiante CBR non
Alia ndhuc melliodussuppetit de parte tantum OdBA esse quaectionem, et querenda
versorum, mmerum quada est methodus, an non et inveniri possit pro parte
Summandi quadrata sinuu
ta chordarum qua sun
sinitae shit 
rectorum (utt arque duplomi erunt Taf+b C + cd + dc + eb + sa
quadrato quadrata sinnum
noris, in partes duplo minores aequalia quadratis: a + b +C +d +e +
radii vit quadrata quadrata si partes sint tantum, tunc rursus poterit determinari summa
dirisi) divisa per quadrata
sinuum rectarum, ostendit
pascalius, esse cabe ordinatur
divisos per multip
per radium. Ergo quadratom
sinnum versorum, sunt cubi
modo pudedatur usque ad medium. ut ab + be + cd. = a+b+ Ct d
ideo si medius arcus quadrantis sumatur QB. summaspatioum
T4BA +D gTBA = DIBA etc. e poterit itidem
definiri. Sin aliber assumantur minime, nisi caliud quoddam
dudinatarum reorema quo natura seriei, a. b. c. de f. explicetur, accedat
ordinatarum multiplicalo
divisi pe totum
diviss per radium. vel quod
idem est, quad
quo
quale est hoc loco, quod semper unum latrum D5. est media
od quadiam proportionalis inter alterum latus Di radio AB auctum,
quadinem ordinatarum haber
et Bs seu radium AB eodem latere Di minutum.
esto radius X. et latra DS. Sunto A. b. c etc. latera
di sunto retro f. e. id eri.
Patet a’ esse mediam
proportionalem inter X+f. et X-f Ergo a = x - f
et a = x = f vel 5= X - a et f = X = a et X - a + f..
et X - a +f ergo af = x f af = ax- a = 2f. 7
aelaf= X = 
vv v0 pro
x substituatur ejus aequivalens a + f. habebimus et penitus elimina
tum, et prodibis talis quantitas: 2a+ +2f 4 + 4af
 Error haud dubre in aulo
Ergo 2a+ 2f2+ 4af = a
corrigendus: ut fiat af. in se ducenda sunt X - f2
vel substituendo proX ejus aequipollus a +f. fiet: a + f
A+ f - X = a f. nullo sane lucr.
v1 V0 veb
retinendum ergo X. fiet quod supra X + af _ = Xf -X a.
ergo X = Xf L a. seu X = 5- a. nullo luero. Sufficit
ergo pro af sumi ax - a pro be = BX - b tendemtelligi
potest non sufficere hanc proprietatem ad indagando habindam
partium aliarum, quam cum arcus quadrantis in medium sectus
est, summam.
sed pergamus. Dicrum, est praete
possunt) duota in figura
eri fndiui linoru e
producetr X
disseanlia inter
coniluum aatfa

## Folio 289v — 00067993:0580
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 290r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000580.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 93 lines, status machine
summam rectangutorum Det S A. opus esse summa semisegmentorum.
DBS. Horum summa vel investiganda est recta, methodo quam
post dicam per summam triangularem finuum versorum, vel ea
ensernenta rursus partiendo ductis enim rectis PB gB. DB ex
quodhibet semigegmentum dabit aliud segmentum, qualia sunt BB. EB. DB
segmenta et rectangutum, qualia sunt PBS QBS. DBS.
ista autem rectgua, dimidia sunt rectangusorum sub sinubus
duplira
rectus et versis. Summam autem rectangulorum spra inveni, huqus
ergo quarta pars est summa prangulorum istorum inveni autem
ita, ut futura sit ambola cu seu commensuraibilus sylindio sploena,
et per consequens circiloe radio, seu radio Rurcm junctis. resta
invenire summam liorum segmentorum PB. QB. DB. et
at ea nihil aluud est quam summa Triangularis si nuume. Atsumma trianguloris 
summam autem Triangularem; vinuum versorum
ut et pyamidatem, etc. invenimus duobus modis: inventa summa
versorum.
quad triangulari quadratorum chordarum (per suummam triangularae
quadratorum sinnum rectorum arcus praecedentis), eaque divisa per
radium (vel diametrum, videndum in superioribus) ita enim habebitur
summa quadra triangularis sannum versorum; et sic quoque invento
summa Triangulari simum totorum eaque subtracta summa hiau
gulari sinuum rectorum, quia semper summae sinuum sinus versus
additus recto facit totam 1D + SB = AB sed pora
fieri potest, ut totae DI. non ulamur sed recta tantum ex
punctis Dproduct degussa in aliquam DS. tunc loco sinu
totius adhiberi potest sinus versus maximus, ut BZ si arcus sit
BD. Patet enim omnes sujus rectos arcus, seu rectas demissa
ex D in a nam e has appello sinus rectos) additis additis
simibus versis respondentibus constituere aequales recta ZB. suma
autem Trium horum. Sinnum, non datur quidem apud pascertium
eest ego ita invenio. Invensis methodo pascaliana
9 Di etc. arcui applicatis, (hoc seuper intelligitur
inveni ab ea subtrahatur rectangulum so eidem
gZ A T. eidem areui applicatum id est recta7 A
in arcum eundem ducta. Hinc intelligi potest aliquid
memorabile, nempe sunus summam sinuum Di truncatorum
per aliquam basi paralletam ut 27. Delictis tantum partibus
supra DZ. ex methodo pascaliana hac non esse commin
Jura bilem summae integrorum. Summa cuim integiorum est
figura rectilinea. aqua a qua detrahitur recta  A in
arcum EP. ducta seu superficies cylindrica seu circulus, tuto ervor, falsum est
est ergo Torumensurabilis residuum est segmentus circuli com
mensurabile, hinc sequitur sinus versos et rctos ita sumtos
esse conmmensurabiles segmentis, ut summa corum X D. et
istos d1. tuncatos esse conmensurabiles inter se, et circuli segnentis
et summa eorum ex recta B) arcui appeiata quae dat
superficiem cylindricam seu circulu, unde sequiretur ex ratio
quorundam sigmentorum ad circulum, seu circulum compori
posse exsegmentis quod durum crevitu. Daret enim Terago
nismum. Ob servo hoc loco q etsi in segmento PBS. demis
sorum ad basii, sea simium truncatorum, summa rectilineae
figurae conmensurabilis haberi non possit, haberi tamen potest
absolute summa sinnum ejus. D5 asus ad DZ; conversa enim intelligat
figua, ut AS fiat Basis CA allitudo, pate inde a CA omnes
5 quadrantis haberi item onnes D5 inde a CA (prima) usque
9Z est detracta una summa ab altra, cum utraque sit recti
linea differentia seu summa oium Dst QZ usque d B: haberi
om
cariek inferat 
py. sin. tot quae ilio
G. vid
irande
vel saltem ma
ximp sinus versi
argus datu in
arcum rerum ducti
quin semper sinyutus
Estre
circulus Xa. segmentum
X. An Bectilinea a
a +X = xa
a= Xa +E=C
= X
circulari a recticinta
duotracta, residuum
esse segmento commen
Tarabile Hoc tamen
certum est si sibi cun–
hantu segmenta, seu
chilinea circularia cocara
couexa et Trilinea cumlarm
geava summam (modo
sint conmensumbili un scgtex
aequari rectae, hoc loro
a ostenditur hac duo
Simul a quari circulo
videndum an hoc
lumen quod dam
afferat est enim
extraordinarium
non tamen certum est
id dare letragomiscam

## Folio 290r — 00067993:0581
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 289v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000581.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 102 lines, status machine
DI in D S. Chigsu s fimus rdus in
versum non cgitentem, praeter
etque esi = Ct 1A + CI AB. potro
adtum. (quod ta
vis invenissi
ures
6 a popendo puscal. Idem
pallodum sestali peicentri maniuilus Annotavi ni fallor supra sed quique non sali unemini repelam.
ave eo
ecta de Ci in AB habemus est enim sentum particulari sic haberi v. g. quaerenda est summa sinu
AV. AZ. As et (posito arcum CD= aruiB ductus malm
rsitum parellelepiscdum summa etorum ipsorum DF. quae est cylinder et qua ratum tadis
1 ent et 1, utaid ductum inarcum, quod est etiiau linder, (aut cndro conmensurabilis
oparallelepipeda i nam radius Tadii quadralum duli in arcum dem est quod radium
rectom
Dnei in arcum, quo facto fieri pt circuli aut cnculo omensurabile) et
et productum circulum in radium, quo falto, fit cylinder. residum
ergo quadralum scilicet sinuu rectoni a summa arcuum pib
tracta cid etiam cylinder, summa ergo quadratorum sinum
croperiu intenitur per versorum radii est cylunder eodem modo portionum qua
rumlibet, ut inter qU et pe summam quadralorum sinum
versorum invenieum. Erro Erravi hoc loco S A
sed definstra, quiap
10d e 1 si qua
simiquad. arc rad; -qudno sunt sinue verse, sed recti aequales di. Alia mihi supra
Summa sin. per rad. mectidus quadrata verorum simum, versorum inveniendi.
ant
sum. segment.
(cub. rad) sum. raum.) Ho loco aritem apparet, ne frastra id perse
deamur
temper quadrata extremorum sinuum versorum
jumta aequari quadreto radii ait ut OA + 1 O quod
cub rad + HarC. Do aequatuurs cuidam DS. eenullimae silicet si pl est secundr
sed ut ad priora redeauus. Nota summa simplex pigeamida
triangularis pyramidalis etc. Simuum ves rectorum, simum
circ. + circ= Rectiliatscam. Totorum sinuum versorum semper conspirant, hae enim punt
Ciret cite.sise = Rectilintseum differentiae duorum praecedentium. Hinc summa triangularis
va a
CMr. xa A + R = circ.
sumum versorum seu summa segmentorum certissime haberi
ad proca sa ad qua nanent enim seuper
differentiae summorum similium. At. Hinc dari pt cyli
der cujus basis seguentum commensurabilis segmentis omnibus
sibi super impositis, quod est mirabile daturque ratio hujs
coniforuus seu Turbinati corporis ad suam Hoparallelam.
ista in figura bene exprimenda, et addenda est in ipsa
figura aliquid quod exhibeat sequationem vel theoremata
intus demonstrata. Imo aliteb ea figura aequitur cylindio
req
communi quia summa trianguloris radiio sinuum totor
Triangularis est quaedam figura C
rectilinea; seu parcllecepi dedum, ergo eorur differentur.
est quidam cylinder,
est cylinder cum basis est seu mentum. Hinc sumurae omnum
Bomentorum onri potest cyluder aequalis, cujus basi esse potest
quod vis, segmentum, eorum quae Ggometrice habenti
quaerendum  quomodo ex su mina vt Quadiatorum simuum rectorum e
Caepi dicere.
imnum toturum haberi possit summa quadratorum simum vesorum
summae scilicet quadlatom in addenda demenda est eso sinus rectus
a. vesus b. rud totus 6. versus b- a. quad atum versi erit
b= a +b= 2ba. Hinc apporce dato aliunde quadrato
sinus versi uti ostendi datum esse, dari rctang summon
rectargulorum sub sim verso et radio sed haec summa rectar
gulorum subsum versio et radio datur aliunde, nan per
se est facossumira tantum simnum versorum in raduo
ducta: Hinc ecce, alium modu inveniendi summor quadra
torum sigum versorum (et per consequens finnia, rectengu
lorum simiri rector et verorum er si sinus versi pona
quadratu, ponatur notum C e et quadr. sinus recti
a. erit C) siny lotius a + C +, 2ac. s jan id datus alunde
ergo hunc dabitur 2ac. seu summa rectamplor hnc datur
et summa rectanglorum sub simi versoet rapio sed haorfaale
alunde datur. Veniamus ad cubum d.
105
ya
aupuat
Di senlyli
aliter, ducatur radius es
tsummtam sine
lauseali  si Cim B)
1I reliduum erit 1A inDI.
(D5+Cd 5 A) seut cubsa
seu sequibquadiare cubrad
nihul him duci
Fig. 16 poscal.
resio est summa ipsarum
aec dehracra
a circulo quodam seu
dieu 1BP in rectam SB.
habo productum cub
aequale segmento seu
sutnt simeum versor
PBA0 adarium = fi Fig. ronuim
.CPYA ad arcu  circ.
eBAO =oPV = Trilin. ConcaV.
Ergo circa seyment. = fig.
sectilin = Mn. ocav.
= tranbus inter PB s. unculus
PXBS. ad arcum = circ.
Ox ad arcum segmentum
Vid. pag. Bg.

## Folio 290v — 00067993:0582
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 289r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00067993/jpgs/default/00000582.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 124 lines, status machine
pac ie su pa cksb.
sire abu + circ. Bg. pascat cubus b - a est
∞ es PB. nuy dic.
na YSA +X SD-y 5A+5B. Hinc palet Tubum
XAB., D. + DX Z = y sa +5B posse eu simma
b vel 6 semper
detr, et quia ni
mis nullo negotio
b3 + 3ba = se = a
in a vel a summous duci quent, tunc si cubus quaerat
de a + c. seu
a  c4 2ac
C +hca +2ut a
ubi c est sinus versus patet ium notus sit cubus sunus versi, seu C. arum
item a aliunde et totum  c + 3C a +2aC + a sin
cubum sinus totius dari etiam differentiam iter cubum snus totus
et a a+ C seu summor 3Ca + 3aC. essi hinc
3ca separatim vel 3aC separatim summai non habeatus
ad nec ea opus habemus.
B. ut summa Triangulari arenum aen re in aequales partes divit
est dumidium quadratum. Hinc simma Triangularis sectoun
arenum aequalium est quadratum infnitoram in quoque divisus est
arcus datus est, dimidium quadratum alcus per radium multiplicatum
s
verorum, quos factenus duos exposui modos quibus ad  summam spatiorum
es aequari ilindas (BA+ POBA + QYBA + DIB A etc. pervenori potest, una per
prop. 19. pascalis tract. de fin. Silicet si quadmplicent quadratu-
areque CB + quadratur radii AC multiplcetur per radium, et
producti pars quarta sumatur. Altra inea per summom rectangutori
Tub sumbus vers rec
eD1S A et summo dimidiorum rectangulorio sub simibus rectis
versis D in VB+DZ in LB + DS in SB etc hac autem est
Coledrica quod ita ostendo sit a. sinus rectus. C. versus. ert a +C
cylinderi summa este indea
an
quaduta enllam simium versox apendi
sunt tolius quadrati
differenum quaedratorum smnum rectortm necipiore sumlorum erguaispeantia et
nun rector seu simium rectors
ter cum ergo
hac sit cylum
a +C iteu a-
colinder. At vero si a maneat sinus rectus b sit
sinus cocus ostensum est quadratur sinus versi esse b a esse b+ a-2ab.
der etiam rac ent
Aculinder at 2ab summa est cubus sparallet pipedum seu cubus. summa
Aliter sia radio inBA. invessinus
rectos Pd. ZF vel 1A. 2AC
anferant Cea ipsorum sinnam seut
eI in VA erc., resionum erit
cylader cujus usis residuum in
quadrato circulo exemto C
En ergo riesu differenlia
utqe B et lirc. = retiliae
duco snpr
b+ a 2ba
Crgi Hylinder sermntabs
aequabitur Alis sim
tamen supra opensum
cndo m 1B. acriut
 sed hoc modo supponti
sinus rectus + versus = totu
non ergo sunt rectanguti
hcst DV in VB sed
sed HB in P0 vel VA
ab haec rectanmen patet
equari quadralis sinuum
faute possunt oparari
VB in diam seu in SA + AB.
Ergo si i sinuu rector Ct
alionm quot
anferatus summia sinuum rectmniumd est
rtngulium sin. vecs. in seu
uau d B.
a on
paaleclepirediu. uns
tur enim Keffagonisinus pos haec, addenda seu dimidia
crcus entinder cus busis tarcus nti anferat, hoc
habiter cyluldio tegmenti cirgo jumoris b cylino
andris circuli recabunt cytindii segmentorum, ligr
tur cub parpllepipedem tar quim
arpllepipedum a
cylinda segmenton C
ergo segmentum
Deo id nondum credere
Cli neranus basis est quadcali areus, erum conmensurabile
rngorqudaam arcus circuli sen cireis fecenliae
et
aiscum
audeo At. superest tertius modus summ
Aerc. repenendi, ajo enim mierit aliuo esse quam summa trangulaem sannum rector
cuxoerolur
quadrotum rabli nis vasum seu distantion sin
Mi
simus recti et vlisiis prumbus aeu
rcun ephieu oneouo aug
Aet Triargularem. p
arcus, aergu in quadsante ert cubus tradii ert
eucito facib nisz bon
tandem aunoto
inren eoa , D est aequari undam papallelepistedo padiunlo seiticeb dipansiae sium
ducognu ouro
vartie (put  pa
rsndo eae
vens sis
quadrans
quartae parti cubi radit At ego ostendo eadem duplicat, ipsa nempe rectamtuta aeniari quadratis
iruoisve uerma orgnonu riouosnu, que omur amoa
smnum rectorumm seu cyliadio cum alliiudo radius, vitus ipta firum, seu quadrans ab haec aequa
impossbile. Ergo itta penitius diseutienda. Necesse est aut propositionem 2dam aut 6tam fnsta truct.
de sin esse falsam quia juncta utraque et addito principio meocerto, quod sinus recti recipiore in
invicem aecti aequantur summae quadmatotion sequitut impossibile vererum  oen quadon
camodo vcelem pateso o stee eie an extae. sadtiaer id
pascurems summa
V. Et =adem. jam quadratorum b seu simuo tolorum summa est cylinder, et summo a atide–
quadtalum, per ducta in b. quae ubrus eadem
prallelepiperum deractum a cycndlo venadi se
summa simul seu mento et circuli cylindio erit bumensurpbilis erio e
o colanguliu simuum rectorum et versorum
Tinguit cylindum segmentori, ergo
ergo circulus et Regmentum inter sed quod creditu durum sequi
et segmenti habet
ectangnemaddenda summa segmentor at hanc osten di esse commensu–
uut cgnmensurabilla unda uisus supta dictum sifubereti