# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/35367/text
# Catalogue record: 35367 — De Methodo Tangentium inversa exemplum
# Incipit: Sit fig.1. curva B(B) ejus naturae, ut si ad quandam directricem refer
# Date: 1674-12-01
# Akademie-Ausgabe: AA VII,5 N. 015
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=35367&katnr=41634
# AA VII,5: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-5
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,5, p. 159 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII5A.pdf#page=159
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068020
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 5, 2
# Folios: Bl. 1 (from the shelfmark LH 35, 5, 2 Bl. 1): 2 pages, canvases 1–2, page ids 00068020:0001 to 00068020:0002
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068020&page=1
# Lines: 253 recognised on 2 of 2 pages, mean confidence 0.84
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068020:0001
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068020/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 136 lines, status machine
X6I. 1674.  de Methodo congentium inversa exomplum.
fig. 1
confer quae dixi Xb. 1674. DeDiasimate de calculo Elustico
et schedrasmate de progressionibus et Geometria arcana et
nethodo clangentum inversa
sit scurva B(B) ejus natune, ut si ad rectm quandam irectricem referatur A() C(C) ordinatis AB, AIB)
l
et perpendiculares ped a
vam ducantur ipsia
lipe AB, (A (B BC (1) (C) sint issi
Ecipro ae, proporto
na
ntelligatur alia haberi figura, unius ordinatae sint
quaeritur modus hanc curvam describendi.
AC, vel contra: eam fimam manifestum est
n
tus habens aequalia
ectus
H(H) rectum tini
bolam sit enim in figo 2. Hypertota cujus centrum D. vertex E. asymploti dF, DG. puncta
(4). H s nde asu t  ordmatae in duas asymptotos, HL vel (H1) (L) in DF; et Hin vel
() (M) in DG. itant H L (vet ( () sil aequetur ipsi M D ((M)D) et HM (vel (M).)
ipsi aequetur ipsi LD ((1) D.) ordinatae ad unam asymptoton abscissis: constat ex
natura Hyperbolae, ipsas H M, e (H) (M) (: sive L D, () d.) esse in ipsarum
.Itaque si ipse AM
D M D(M) (vel H L, (11)(2).) ratione reciproca
aequentur ipsis AB, ipsas DM aequales fore ipsis AC. vel contra.
Sed haec quanquam vera sint nondum video tamen quid ad Hypertolam
figurae propositae descriptionem faciat Hyperbola. Ne tamen nihil
dicamus, comministamur figuram quandam, etsi nec ipsam  satis
exploratam cujus ope describi possit  proposita forte enim
ejus natura erit tractabilior
1B (1)∞
Cn)
pous at fig. 5. unvo HE super
no H. H) () volvi perpetuo
contactu, et curva puncto B
consturite vescripta in esse
adi
intemi, ut perpendientares (B)), et BA
sunt ipsis a interteptis (s) rovet
HA reci progi proportionales
Junc puncta B,jerunt incurva
quae sita cujus
bitur descriptios
mon HE tatis no
muto certo in
ipsa distante B. ab
Sis proinde habe
s sed quaritui in
naturae ut sumto
E, vel ab
eo semper puncto
ductae perpendiculares ad tangentes sint
milliceptis in tangentibus inter punctum
verurrentis perpendicularm et contactus curvae
reciproce proportionales. Sed hoc hyperbola non praestat
ut jam palebit.
Na
AA
f 3. Estoltypetola EAG velex 2, Hr centrum D. usgum totus DG. ad quam ordrnata A M ex puncto Hyperbotae A. Tangens Natt
occupens osymetoto DG in N. erit MN e MD. ex natura Hyperbolae. ergo et AN p AD. et Trangulum DAN isosceles et Anguli
ADM  DNA Re item SAIM M NAM. Jungatur EA. quae panducta occurrat duabus asymplotis _DF in Q
3 dG in P erit per 8. sec. Apoll. ZE p AD. Ex Tangente AN erigatur perpendicularis XR quae ipsi AM vidinati
productae occurnt in R. erit angulus ARN anguli ADG duplus. quonim anguli RAN et R N A ego ale inter se sume
aaequantur angulo D AN. ergo angulus Akit duobus reliquis Ad N et AXd inerse aequalibus. Sed haec abiter. Quemadmodo
et si tange, AN. uui nsimploto DF occurrat in s, fore AN AS. Ego AS AD. Tiangulum ergo ADS iosceles
Jum ingulus DAt p angulus ARNV. non Ungs. DAs est angulo D AN qui ei deiinceps est coelemento ad tuos
rectos at cidem anguto DANi in Vlo DAN etiam duo anguli, ADN et DNA su gpte simul sunti, id
est angulus ARN. coplento ad duos rectos. Ergo ang. AkN p argulo DAP. erg Anguli A5d et AD nco D AA
et angu AsD vel vel ADS argulo D AM vel NAM aut angulo RAN arit RNA Triangula
ergo AD) et RAN similes. citque ut D5 ad DA vel AN ita AN ad AR aideoque BA
medium proportivnalis inter D
(per prop. Theorem. 8. lib. 1. Witti)
et AR C
4 V
recta AN sumto puncto pedio W. jurgatur
WNA
sit Tangens verticis Asgmptatis utrinque ocudirens erit
A IS ad SD ut sAt ad AX NV ad VD.
qu
RW. ob angulum RV  RW  WRA aequalem angulo
 seu sumtis diversis in curva punctis A. eruus RW in reriproca
ratione ipsorum ANV. vel contra. Eodem modonem AX ad 5X vel ad Xd, sumto puncto X medius in recta R Sd seu
et juncta Ax, quae perpendicularis ad sd. et parallata asymptotu AX. unde mamifestum dudio X d et Ax eeram ese
aliis alio sunto puncto A, recipioce proportionale. Sed quod unum volebam non evenit ut scilicet ducta en 1
perpendiculari in longentem SA, nerpe DY sint ipse D Y ipsis AY reciproce proportionales. et calcular
sac
facile pot est vator ipsius DY panteo ac ipsius AY. non DE DYC NACDN  AM MN, AM, D
ergo  DYH ACn X et YN AM Md seu DY, YN . DY Am. Jam Yp p, NY- AN
 AY = AD B AY - AiN +
Aropon- Samtri
An
anclyticum: PM X. AM
) DX. Ego D5, 24
AY SANL
Am Jaco
Ergo AVeAM
Ergo AY  MMCDY + AM +.
DY
DY
AM
 AM Nama
DY
SN psat
VN 1
erg DY
cun
AYCNon = sAH 1
Ergo AX AmDY + SAmC
d+
nr
ar erg
sam
+ samt +i.
sed sutuirem reducere ad calculi
habero potest absolute superficies uvae Hyperbolicae ava quamlibet Asemptilon volutae.
P
Esto enim punctum quollibet Ect A. Tinngulum choncteripicum BY A, erit   a . Ergo
D
E SNN BY A DN AB. A(3. sive om Omn. Y sa + XTC Omn. sA ABC p  jum oma As X
est pro altra  sumptoto 2aX
porro sf A B. sioc DY  DN 2 D)
quadrale, sius et ad AD YD eat
SN
4
X4, a
17 2t2
 H Sa
 Jam AD  Ac + P S a
und esctt fet D d AYa X+ X rao
t dveud ad A B, at rai ad Y a CC1 a   est don suit ergo se datie neciprocu
at +X4
5
)
B)

## Folio 1v — 00068020:0002
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068020/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 73, 2026-08-27T15:28:38Z — 117 lines, status machine
sed ne ope foci, aut etiam vetticis pur Vyperbibe datae, uut altri luusdam, vel Na similis quaerere longo
necesse sit, videamus un generaiter, an possibile sit punctum quoddam fixum invenire quod salis faciat pta ut inde
deruisse) ad tangentes Hyperbolae peipendicularides, sed sunt m obscissis inter parct occusus tegentium et haum demissarum
et inter puncta curvae in quibus fit contactus reciproce proportivnales Esto punctum illud Z, fixum cuus distantia
ab asumploto, nempe 7  sit
ae
et AM py  et Ds 
251 7Z.
et ipso DE D  sit c. e d M X
Z 2 Mp X +c
A5I B E AD AN AS + a
X+ a
P
Quaeritur determanatio puncti 5) seu mngniludo rectae Z5I Dentu  puncti Z
distantia a puncto DB D N +C daturet ajus distantia a puncto MM, seu seu o M piX + 2∞ + C2 B
7DH D L ⊓ C. ugo 5D, 2a - bx (Ds - DD p  2iMA - Z2)
AM
SZ pu 44. 4a br 1VX 
FVb 13M∞Z2 seu 2-2 + (2 M X +c ∞ 2 2 fier: a
fiet aC Y 2 = bx  2 p bx + bcX, sive X o2 p bX + bcX et erit
Za B
a - bx
ZDB V X+C, 2bx FC et EA p Z  + 2M p X +C eba + X ba + bx ran CbX)
ar- bx
sa
av bx
x2
ar-bx
aAB 514 H  H
lt habebitur valor pisius  c A per Z
a- bx
 telade
a -bx ubi vero nonnihil compendii haberi.
=+ cb +a
potest non fuei educendo. S+ CbX  a X, EX + a - 2 ab  + b  X  ( q- bx) A..
Jam persendcularis in tangentem sit AD. erit A
74
(a - bx) =x  + cb +a
in
va
r ego AC Z ost Ian AC +  uc 2  A  et ta
ergo ASp 2a - D), ad VA S = AC B 5_  porro DL AZ 2 = ED Y,  bx +bex , F ac
Y us
Bx + BCX
Jam 5Ed +  A in SAp, IX+ aV
ergo
Hinc habebitur aequatio novam
exhibens valorem ipsaum, ipsius cd A per solas a. b. c. Ae. B X. 7. conferatur cum priore itadem persolas iptasi et fiet
aequatio quae dabit valorem ipsius Z quaesitum quo reperto constrendo hos duos ipsius  A valores. Dato igitur puncto H
repertur est punctum Z per calculum, ita ut ad tangente A5I undes ducta perodendicatur
Z5Y Z5) siit valori
cognitiipe
es
A5) divisi sed ud eadem manent ae quatio eadem literae,  sed hoc non sufficit, necesse est enimm cgnal b. c. Da
ita explicari si licet, ut facta exilicatione omnes indeterminatae destrnantur. sed non possunt destini ex vatore ipsis es
sed nondum salis tres perispecta Credo enim si inunc, sic satis solutm problema quoniam enim ipsa quoque Z est deinde termtianmde
non video quid obstet quo minus manentibus iisdem b. c. e, a, variari possint X.
Alus der videndum ert a quin
b. a. e. c. in aibitrio an ita possint explicari Ium jam video puncta quaesita esse non quaesitas rectas esse b. c.
et valorem earum per duas in determinatas Z et X. his haberi: sed quaeritur determinatus seu semper idem. Igitur sic
sumta b  verbi gratia velut quoesita, caehae, V. c. a. c. ila pronbitrio explicandae sunt; ut facta explicioe
destruatur literae indeterminatae; sed non video quomodo hoc feri possit, ob Z. non elisam. Sed video erratum a me in inqui
rendi mndo: nimirum non est supponendum in Caeculo A A5I
et sed ex sumtis D 2, Z C2, D M, inv estrgandae
d Z5I, 5I A cum sint determinatae, inventisque earum L valoribus,  facienda est aequatio cum hac A5), C
qua aequatione reducta vel quode idem est ponatur valor vuuius aequalis valori quantitati est constanti, perr valorem alti
givisa, unde orietur aequatio) cuju ope quaeli poterit vel B vel c. ordinetur secundim bvet c altrutium, et quaeratur
2
duuor v.g. ipsius b. eoque siegvento duae reliquae arbitrariae,  c, e. a. ita explicentur, ut omnes evanescat ideter
minala quod variis modus tentanto, si possibile sit inveniermus.
VenfQuod si idem altrius quoque curvae oste
praestari possit; earum duarum curvarum dimensiones ad  se invicem reducentur cum productae figuro per unam
aut per altiam futurae sint invicem proportionales. Unde intelligi potest potest fore curvas in quibus hoc sit im
ad se
possibile fulum sequitur etiam novar ita atque admorandam sane haberi methodumcuoas diversus redotade punc
morcem. Sed et antequa hunc abeamus notandum ess Illud quoque considerandum: problemati de puncto
fixis nova esse nec quod sciam hactenus eresuca a proposita. Si quis po si quis porro curvam, quaerat in
fixo in ipsa curva datos ut vertice, centio, pito centro grantati
qua sine ullo culculo ex ipsa statum aliquo puncto
vertice altrius erjusdam curvae similis, centro circuli generatoris, etc. hoc eveniat;  simpliciorem, quandam
aescriptionem propositae curvae repererit. (gelgum sine punctis fixis si punctum non sit fixum, sed mutabie
potest tamen ope eijus describi crrva nostra, modo juim non ut hactenus recta a puncto contactus curvae desa
bentis ad punctum u ee spondens curvae descriptae; pro perpenidiculuri curvae descirsitae habeatur; sed recta
perpendicularis ad rectam duos puncti descirbentio sittus, seu duo curvae puncta proxima jungentertpe
ceptae
Tungenti curvae describentis peo regulae ta occarust; ut re rectas inter punctum contactis et onu supergendiatuis
s vidinatae punctum occursus perpendicularis (quod jam aliud a puncto cntoctu curvae describentis et perim in quo volvitur) et
punctum ordinatae ex curva descripta ad planum vel potius ad rectam pe in qua fit volutio sit ipsi ordinat
interceptae sint ordinatis ipsis reciproce proportionales. Hinc rmsus patet mobilitatem punctis B, (vide fig. 5)
tamvariis modis isele fingi, ut daplurimarum curarum ope eadem descriptio habeatur; et quod hinc
sequitur eae curvae reducantur ad se invicem Videndum itaque in primis in hoc exemplo: an ne idem praostari
possit ope curvarum: circularis, (descripta quadom quasi cus clocide) pumbolicae, (descripta quaso crochocide parabolia)
Hyb Elciperce. Hyperbolicae; ita enim sequeretur omnes illas curvas ad se luvicem reduci, et omnium currarum
conicarm dimentionem, et per consequens et Hypestolae quadraturam ex quadratura circuli pendere: mira
profecto inquisitionis rave.
inquisitiones.
Hinc apparet quantasu dent nonlurem novae ejusmoedi et intentatae
superest inquorendum an alia quoque problemata intractabilia seu methodi cangentium
iversae reduci possint ad curvas ciuvarum in rectum extensiones; hoc enim posito non itqus analytice
quidem at geometrice tamen habentur soluta. Sed de hoc preda peculiari. Caetem si quando ejusmodi
methodus inversa Tungentium qualis hic exemplum dedi plane succedat analitice, ut in eo exemplo, ubi
quae sivi rementa ordinatis reciproce proportionalia, (quod evenit in parabora) tunc etiam reduci potest
problema ad aliud simile altijus curvae volutionem. cujuscumae imo ad plurium diversaum; quarum omnim
proinde habebitur dimensio. Videndum an qualibet figum data alia haberi possit cujus votutione describatur ut
 volutio et evoeulio ta
data qualibet mlia analitica alia haberi potet dajus evolutione descubatur
differant ut invalutione censentur regu recta un vet pleanum immotum, et mova moveri, eat in evotutione contra
moa immola et planu mudveri; sunto utritum puncto Ergo (veletion dita radio mobilae) descdeente
Ggeneralis regulada
a puncto posi
n ex
edato
omnia per calculum inveneno
adhiberi pt qualis calcul
quosdolemus ex una
das
directrice carras invenit