# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/35660/text
# Catalogue record: 35660 — Serierum summa per differentiarum momenta
# Incipit: (1) 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 (2) 1/2 1/6 1/12 1/20 1
# Date: 1674-10
# Akademie-Ausgabe: AA VII,3 N. 040
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=35660&katnr=Cc2+776
# AA VII,3: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-3
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,3, p. 22 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/VII3C.pdf#page=22
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068196
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 13, 1
# Folios: Bl. 223–224 (from the shelfmark LH 35, 13, 1 Bl. 223-224): 4 pages, canvases 441–444, page ids 00068196:0441 to 00068196:0444
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068196&page=441
# Lines: 382 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.82
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 223r — 00068196:0441
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 224v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000441.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 97 lines, status machine
le
(3)e ne 
160135) 
4 gal. 9. 16  
2Y () 3.5  td 9 14 1
Xp 1
jam 6) X dato (3)
36 144 400 1900
Dutis (3Xer(CX (4) sit 6 in distantias a vectice fiet
+ 19 48 100 150 qued
Si 7 multiplicctuo in distantias a ventices
fiet 3, quod significat summa vio
summarum hujus series, aequari see
summae serici et
Eodem tuedtsit)
mallisices ductas teu per
pancs et 2a sunott;  uebem t eadem hiien
(ex sola seue aplim manrilia eu habetu
9
Vergo exsola ser
8 15 24 35
6 10 15 21
24 30 40 105
350 40 25 2 10 40
Hac methodo saepissime invenimus
 summafigurau quae datae seriet
qe
summas contineati sit equivalens
Hinc Sequitur, quoties cunque serie, in numeros
en temmm hal ps i
au rata tumma haberi) pessit. Ino ttem
Differentiae curglibet figurae
ductae in mmeros naturales
seu inter valle a a vertice,
aequantur figraae complemento
Iso parallelo subtrahatur, vsiduum erit summa figurae
ductae quadcari possunt, etiam figura quadrari potest
Hnc cum figurae sentia. 1.  6 25 36 et
differentiae sit.
14 E    etc
coptentur diametro. quidam applicari per numeros
Arga figure erit: 1. 2. ~ et
sed si intervalla nerligas
et applicatu ponas ad 1. 7. 3
4, 5i non ad 
area figurae erit 1. i git
porro differentiae in distantias
ive.  erc ductae
ueris summa reperta,  etiam summa
 haberi potest. Uet antem
summa posterioris quaratur, auteratur inde
2 i 36 30, fiet:
  en Quae summa haberi
potest, ergo ad summam omnium 1. F. terc
habendam, opus est hac summa quae supra notala
num et, scilicet.
18 40 n
qu qua rursus multiplicata per : 1. 2. 3. 4. etc
etiam summu
 2 Hic
seu quadrita trangularium haberi pouit
ejus habetur momentum ex vertice
Quadrata numerorum naturatium ducta in differentias
vaut  momentum figurae a vertice,  com–
plementi figura datae. ergo ita:
4 36 124 400, ducta in 1 4 9 16. 25
Si senies quaedam in Numer Ad habendum momentum
seriei a vertice haetur, ducende sunt ejus termini in
  quare momentum eju a vertice
in tegrae progressiomis haberinon potest.  Idem
momentum a vertice aliter haberi potest, ducantur differentirae
figurae in numerosum naturalium quadrata, habetur etiam
figurae, quare si dimidium ejus ab altitudinis a prsmate
momento figurae reperto habetur et summa istarum producto
Momentum figurae ex ax, habetur unica tantum via, per
negnontitis basi quoque in partes aequales. secta certisque hacessio
= AV. Ergo  a v A X
sed vereor ut hoc in numeis serviat
porro quoniam ad summam quadralor
omnium fractionum habendam, suttieie
haberi momentum, fractionum Tian
gularium, patet centrum gravitatis
Triangulatium desiderari. Quocutocentio
gravitatis habetur ava figurae, modo est detur mo–
ideoque dienta si proposita quadam serie n
numeros naturales ducta productum quadrari potest
habetur mma et summa illa a Parallelograrmm
erit summa summarum figirae datae
quadat quae ex datae componitur summis, seu residuum
Hinc porro si datae figuae differentiae in  intervalla
eof150 numeros naturales.
productum erit dupliumomenti a vertice, complementi
quadrata scilicet terminirum:
endum est an ox figura proposita alia fieri possit
ubqus e diminutionibus quod statim ostendit aequatio.
isoparallelo anferatur, restabit momentum figurae, et contra
invento centro gravitatis

## Folio 223v — 00068196:0442
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 224r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000442.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 100 lines, status machine
Dala summaqquadratorum fractionum natila
lium, datur Y hiangularium et contra
a V. pendet ex quadintura Hyperbola, demonstrari
a +  potest, ex cjus Chanceri quadratrie per
regressum. Nam est Z  3 - 5 + 3 - y en
B = b + b6 - b0
Al Hyparbola numens quadrtar e ende d = 4 +  - 
et Hypebolae nunerus quadrata ep:  - L + + - +
patest ergo duplicatam esse Hyperbolum figune propositae.
Attamen vid fatendum esst ope collationis numeroum
quad vel sererum quadraticium, non nisi
totorum, ut non et sportionum respondentim
collationes institui: indicio sunt tamen At
Geometria ostendit etiam  = 67 + b6 - bd
e
b - 62
+ 5- 
Et hinc jam lux habetur praeclara, stabiliendis per
inductionem regulis de colatione totorum  inter se
ex variante in infinitum, sed regula certa partium
 perdet ex quadulum hyperbotae. fiat.
n unde ari sui 12fl p- Xy
sine le =xV. sive l a
Unde a X y.  unde 2Xly  X y
ergo - il g X. seu X lp X
si fecipsemus -xy  ifly idem
e A 9. At gg, sum omnum Hg
At summa omnium Yg aequatur figurae
summa vero omnium lu, ae quatur in
Ty- B. nostro exemplo, vid fig. C
aequatur inquam summae omnium
at summa omnium
XW ae quatur figurae complamento
et figum omniu in aluis frgurco
complemento. Ergo summa omnium Xt
aquatur figurae dimidiae. Sed haec 
ita explicanda sunt. Sumatur portio
quaedam curvae, EL. unde rectae demit
dictum est patet summam omnium lW, seu (B (en X)
aequari summae omnium y, seu spatio LHDEL.
at conta constat omnium XW summam aequari spatio
LMGEL. Ergo omnium XN summa aequabitur dimidio
spatio L MGEL., at eadem aequatur spatio LHDEL,
ergo spatium LMGEL, est duplum patii. LHDEL
proprium, et id quod utrique commune est; punctoque intersectionis
rectarum DE, et LM, appellato N, commune erit utrique satui
L NEL  quod vocabimus Ea, s et spatio
LM GEL proprium erit rectangulum NG, et spatio LHDEL
proprium erit rectangulum DL. Rata autem DH appellata)
et DE appriata e. erit rect angulam DL ,1ZVZ
Z ZC, et rectangulum NGp  e -y, + x- Z
ergo spatium LMGEL  Za F c- y, a. Z, et LHDEt,, ar Z.
Ergo. Ea, + e-y, 2X - Z , 2Ea + 2Zy, sive fa + ex - eZ - yX +7Z
H2Xa + 2ZY, sive ex = eZ VX  Ea + Zy. Et 
Et Ea B ex - ez - yX - yZ Sive rectangilum DG, demen rectanguloq
ipsam F D appellemus appellem sd
et ert Z H X - co, fietque: ex = ex + Cco - yX - yx +yco za
EGEd D et LH, LM. aio
HM, et DM summa.
e pnamus a sier: a  ad aEa addatur HM Y VX
cd itemque NGr eco- yco fier. spatium
LHFGEL. A Leco = yX. et pro es ponchdo a pro eponendo
, fier: 2a = a anferatur inde FE, seu eco, seu a
fier: - a aequais spatio LHDEL. Quod si ad va addatu B
unde si aequata fupser
fer: 28C0= 2yX, sive 24 2a  
roco esi quatu nm
sive 9+.
3+ 15. 
ergo habetur summa, umpe y+ st
  194
nde (97 3 2y -1
y-+, F y - y, 6
Horum erus. ductum
 habebimus eodem
idem aliter resolvi potest, in
Si facias ab initio
sie quod rursus in
dio resolvi potest:
vel in  - -
v. 2y41, 7 3= 2745, 3
quare si Uniue ex partibus 8 et q haberi potest
summa, etiam altrius haberi poterit
37. Y I
areorg
((+ 1)2f3 (8. vra (9.
fer  V4 Hgne
qsummabilis, dissolvatur
Sri, srgro sats ori) s 
s 2  
(19) 29 - 1
v 29+2,2541
5 N + 2y -1
m  () 13 , inde
quae quantitus dissoloi potest in hy duas:
ompsi e
Hinc patet ubi ut obiter dicam quantitatem hanc
N3 + y + y +1 vel y - y +7 = 1. duos habere
divisores pore  prist enim fit ex 3=  +,, C9 AI
posterior fit: ex 9 - 1,  g- 1

## Folio 224r — 00068196:0443
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 223v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000443.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 96 lines, status machine
1av
lende y +ay
y + a  y +b 27 +C 1 D. Unde
 summetur
Hinc si series pupopinis hadmenim quoteunque frlactiomum
nominatorem numeralorem constantem habentium incunda
sit: ofiat aequatio fingenia est cujus, termmnus uta
incogniti, seu redices fingantur ipsi nominatores in summa
eorum erit terminus secundus: Summa rectamgiterum sub
ipsis terminus tertius: summa ex omnibus terminus ultimus
Sed ut cum alis terminis nihil sitrgobis negotii, fingenta
est aequatio, quae non habeat nisi teriinossu
qui lor est dimensionum quor sunte, secundam
qui est summa nominatirum, tertium, qui ignoratur
sed qui velut cognitus consideratur, qui est tummque fractionum
et altimum qui est per ultinum divisum et
ultimum qui est factus ex denominatoribus. Sed ipa aequatio
Caleor intractabilis est: Interim synthetica meModo serviunt
ista ad inveniendas summas; v.9. si sit:
Hoc modo summa omnium fractionum quarum mminatores
sunt radices, numerator unitas ert 100 pel 1000
sad et secundus terminus omilti potest. 100,000
ddatur aliqun radici, Aat seu pro y ponatur Z+ 1.
et habebitur omnum aliacum binavm nemse et solidori
ex omnitus radilite pte.ma
propessio:  - = +
tantur perpendiculares in oppositas duectricus. Sit jam
YCF v + ay + ab d rabe. r
a + bI. ab s. Y c F
Y 10n
L - = +  - 9 +  - p.
Ergo 2 + 3, + 2, la 4 2 + ∞ +  etc 171
e  ex Y) a 2
quia   - 2 + 1 -  +  =  etc I e 5 3 + 7, +, en
=0+ 3 - = + + - 9 + + et l2 +2 + Z ex
83 193
Eodem modo: 1-  + h 9+ 
+2 - 1   
endeam nuto  L - 1 + 1 ~. f. at f - L + b - L +  - 7, p
10 c 30
Sive eco - 2yX 4)Co Ea. p  ponamus , et pa. Ergo jungendo:   +  +  + Z0 + L0 + L + 6 etc t
Scet e + in + 8 4 ho +  4 n + L eteps 2.
quod verissimum: Eddem modo
_ e 841  + F - b + 3
2
= = + 3 -10 + 
Ergo 3 + 5 - + -  +  - ts el 2
23-  + 3 to  4t is exs
5F + 4d o 
b+2
Ergo.  + ha 10 168  + tg ete A 4
Quare denig. 5 1u 5 +
 ntn 
Superest ut quaeramus summam hujus Meriei,
 erg ul
PZ - = +  - 1 4
t2euc L
+75 35t 8 39 F 13- 2 + 2- = etc, 2b0, dento
Ex 1p - 3, 2 s gy 45) 5 5 4 5, 3 etC. Y)  16t  et -
Erggo
ste
a et n
lio 1 + 1, t L 4 16  4 1 et Y 9 + H 1 2. p  ut ante
Nota si 4  1 + L 4  +  etc. multiplicentur per 3
 fier: 2 +  -
+ = + = etc. seu = Y E, +  et
os quod iterum ad demonstrandam aliter tum quoque senei summ
Ponantur termini inter a et f. finitas
quantitates interjecti infiniti, con-
tinue decrescentes, sed incremento
tali, ut nunquam infra f
descendent, aquemadmodum cogitare
possumus fieri, osi a, ponatur
esse iccumferentia, et f cogiletur
esse quadcalum inscrilum, e
octogonum inscrrptum d. hexdeca
an differentiae
gonum en. Videndum est
l. K. I. etc ad Certamo
Senem vel progressionem revocari possint, quae
sit summabilis ejus enim seriei summa aequabitur
Idem est in polygonis  circum
ostensum est ab aliis
dati AB sit X,
accucupli si rationalis tangens areus dati. plonatur
Jam langens arcusdatus esse infnite parvus et tangens
ejus esse 21 β. tangens arcus dupli erit
et langens arcq quadiupli erit:
ordinatis curvarum dixi.
atque ita crescendo in infinitum
Donec ad certum perveniatu
terminum, qui sit v.g.
quadratum circum scriptur
angentem arcus dupli
ratio natem esse  tangente
Haec fere gemina illisquae alii etiam de exprimendis

## Folio 224v — 00068196:0444
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 223r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068196/jpgs/default/00000444.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 89 lines, status machine
= 200 r 7  H
 (9) + ot e Dd) seumalio. C
- +20B+ B (2) summabilis
y - 2yβ+ B ego
pungantur 1. et 2. ac primum addendo, fier:
+ W β+, 32yDest
y27 3+ 2 5 + β4 = 4y
sue 4B 2( (5) 5
  y ex ap. y 
Jungi possunt subtrahendo, et fiet.
ta se+Berve .
santureu
 =-  e (. (D):
Cujus serici datur urisus summa.
jungantur, Addendo, tei: (OV (C ) + By  ()) 2B est
singantur subtraherdo fiet: B +y + (3 + C3
Hujus ergo seriei + = +  etc. habetur summin,
Idem hujus:  +  +5 + o resi  1o i qua 
quae est series popramidalium, nimirum, omnes numeri cubi radicibus minuti
sunt senarii et divisi per 6. dant numeros pestamidatee
4- 1 9- 1 16-1
duae
15-,. et. A 4
ont A 3 b  g 6i b1
recuml fractionum
potestates exponentium
parium simul sumtae
aequantur tribus quartis.
16 L - = +  - 1 + 1
S
erit. diffecntia:
2 1
Si invicem addantur
Si invicem addantur:
a. ponendo y esse numerum imparem
.5,  seu
s eostaug. in
Aastars fiet: 1
a et a, fiet:  at. qua rubita
e yt inte d+ B +y q er
=+ y ex. Addendo ergo
summ fice 20 =ay Y 5 +  Y ex
quid si sir: S ra
aerrayayr HX, fiet:
ia-  m 25a. + 2avi. 4 5a MM.
qu H  29e, 2292
SyM-41 1r y 1 5
4 +2, 29, 2, + 1 4 - 1 maltiplicetur pereus  72 L. 323  
igiat17, 220- 2, 1x p 83+ ad dipit  2
i nalir qu B du
 2943, -1 V standam d
vertice aliquo, rabit.
4 Equadruplum summae, habetuo ex
ductu hoc differentiorum, cuu 4y aliunde
vi
etur aliquod duci ad summam seriei
3 is su 9s ham
Multiplicentur ista per 3 7. H 15. 19
esto y nuneus impar, erit 1 termines seriei quadratricis
hez: 2y+ 1 - 2y
3 + 1 3-L +  i ex l1s  30nc
40 +4y 1 2y + 27 cujus dinidium  1
Unde auferendo ad  restabit.
qy- 1
(172 ay3 +.
1694 4oyv. 2 16yt 4 - 2
vel ita:  29. 2
 Cay. 212
in6 erc. l. 1  t ipt   vi botaste cujus dimi idium: Qyr. q, addantur adatio ad Aa
Ergo 5 1 s +7 +
Z + f + L + 2 + 
ex 4 +  + 15 +  4 i + 2) B4, ut cdu serimus
Sed 1 - = + L-
1 3 3
fiet 2 f 40 +  F a3) sive   cuus duplum
erit , uet  Hyi. contra
Contra si cddantu slsi ultrum ab altro cnfratur,
cous quodgtum. y -9
1 35   + iont is is
v N 5+b
D a O. restabit.
ayCayd +ad
Cuju seriei habetur summa Addantur
F et 4, fier: y+
y3 - y N y1 257
contra si altra ab altra anferatur, fiet: y - 1
es . 9 i 2 2
n E F2 2o
in3 3 8+ 3+