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# Catalogue record: 35831 — [ ]
# Incipit: In diminutione motus arithmetica secundum loca
# Date: 1675-12
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# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 9, 11
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## Folio 1r — 00068135:0001
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DU FROTTEME NT.
Essais Geometriques en fait de Mechanique.
Les Mathematiciens nont pas encor donné des regles sur celle matiere, et ceux qui ont fait des traitez de
chechanique, n’en parlent qu’en passant, et pour la renvoyer à l’experience des ouvriers. Il est constant
toutes fois que souvent des projets, bien, conceus pont avorté  à cause de la perte de la force mouvante,
dont une grande partie avoit esté absorbée par le frollement des pieces de la machine. On sçait que les
bolantes, les peopes, les f, machines qui servent à lever de grands fardeaux ooes, les chariots et
autres voitures, et on a cherché et trouve, quelques inventions propres à eviter ou diminuer cette
dépuis peu
ut interessées
perte. Monsieur Perrault a publié dans son vitruue une espece de Machine à lever des fardeaux
ou Barulcum, ou il n’y a quasi point de froliement. On a presenté à l’Academie Royale, une pompe tres
Mercure meme servant de bouchor
ingenieuse, ou le principe de Torricelli est appliqué à la même fin Celusqui a eu la pensée de faire
La pensee le celuus quiafas fides chariots qui se fournissent eux mêmes des planches pour marcher la dessus  doucenent, n’a
pas mal reussi. Et je croy qu’on trouvera avec le temps de semblables remedes pour toute autre
corte de mouvements. Cependant l’estime de la perte faite par le frottement ne laisse pas
nis
d’estre et sans parler des vaisseaux qui marchent dans de l’eau avec quelque difficulté, il est
constant que les corps jettez sont retardés  notablement par la resistence de l’air. Et
utile
comme il y a de l’apparence que les hommes trouveront un jour des regles assez justes pour donner
dans un point proposé; il est aisé de juger que ce ne sera qu’après que le frottement sera reduit,
en regles, quoy cependunt n longusage des personnes qui l’y sont exeriee, de leur jennesse puisse luppller
à ce defaut
Le Frothement est la resistance du lieu par ou le mobile passe.
Cette Resistence se fait par la complication de deux causes, et c’est pourquoyelle est aussi de deux
especes, ab solue, et respective. Je veux traiter icy de la resistence absolue, et je me reserve
de parler de la respectiue dans un autre cahier, ou j’expliqueray la difference qu’il y a entre ces
deuxResistences, et leurs origines.
premiere section
de la Resistence absolué, qui se trouue dans le frollement
et qui est tousjours la même quelque vitesse que le motile puisse avoir
Accelerationon Relardation égale selon les lieux (temps) est une addition ou soubstraction contimelle
d’un même degrez de vitesse, à chaque point du lieu  à chaque moment du temps)
Celle qui est selon les temps a esté employée  par Galilei à l’explication de la descente des corps pesans
Mais celle qui se fait selon les lieux n’a pas encor esté reduite au calcul à ce que  jen ay pu
apprendre: Quoyque plusieurs l’ayent crû preferable à celle de Galilei, pour expliquer même la dite descente.
Je ne suis pas de leur opinion, et il me suffit de la pouvoir appliquer au froltement
Theoreme I.
 Un corps dont le mouvement est uniforme en soymême estant retardé égualement à chaque endroit
1 du lieu ou il passe; les vistesses residues sont entre elles, comme les espaces quirestent à parcourir
Dans la Y. fig. soit un mobile M qui parcoureroit la ligne EA. avec la vistesse uniforme representés
par EG, et par consequent avec un mouvement, qui seroit representé toutentier par EG appliquée
à tous les points B. (B), de la dite ligne E A, ou par le Rectangle GEA, si caque point B. (B) etc
ne diminuoit également l vitesse. Donc les vistesses decroissant également jusque au repos en A. celles
qui resteront n chaque point B. (B) etc. seront representées a les appliguées du Triangle, GEA.
sçavoirpar C B. (9) (B)s qur paralleles à la base EG. Or CB. (C) (B) sont comme AB. A(B)
espaces qui restent à parcourir. Pouc les vistesses residues sont comme les espaces qui restenpo
à parcourir.
Theoreme 1I
Les mêmes conditions estant posées, le temps employé croist à chaque endroit de l’espace.
en raison reciproque des espaces qui restent à parcourir
Car generalement les accroissemens du temps en chaque endroit du lieu, sont en raison reciproque des
vistesses que mobile y a, or icy ces vistesses sont en raison des espaces qui restent à parcourir, par
e uo tn te ara e iise e a a or pesureot at ar
+ par letemme suivant

## Folio 1v — 00068135:0002
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Lemme
Les accroissemens du temps en chaque endroit du lieu, sont en raison recipro que des vistesses, que
le mobile y a
soit le lieu ou l’espace EA divisé en parties égales entre elles, moindres qu’aucune digne donnée, EB. B(B)
(B) P. je dis que les parties du temps(qui seront aussi moindres qu’aucun temps donnee:) dans les quelles
ces parties de l’espace sont parcourues, seront entre elles en reciproque des vistesses avec les quelles le
mobile parcourt les dites parties de l’espace: parce que generalement les espaces estant égaux, comme
le sont icy les parties EB. B(B). (B) D. les temps sont en raison reciproque des vistesses. Or ces parties
du temps, sont ce que j’appelle les accroissemens du temps’en chaque endroit de l’espace.
Theoreme TTI
Les accroissemens du temps en chaque endroit du lieu qui retarde par tout également  un mouvement, uniforme;
en soy même, pourront estre representes par les appliquées EF, BD, (B) (D) etc. de l’Hyperbole  FD)9 n
menées sur  Est. espace dans lequel tout le mouvement se doit faire, et qui est partie de l’Rcomp toten
de l’Hyperbole, dont le centre A est le même avec le point de repos.
paralletes entre elles
Car par la th2. le  ces accraissements, representéz par les lignes, , BD, (B) (D) sont en ai
raison reciproque des espaces AB. A(B). par consequent EF  est a BD, comme AB a AE
donc le rectangle DBA l egal au lectangle FEA. et ta de même prenant le point (B) ienquelconque
aulieu du point B. le rectangle (D) (B) A est egal au dit rectangle fixe FEA. et par consequent le
lieu de tous les points P ( F. D. (D). sera la courbe de l’Hyperbole,.
employez à parcouri une certaine partie de l’espace omm Ba ((B)
Theoreme IV
Le même estant posé, les temps mêmes pris depuis le commeneement du mouvement, seront representes
par les portions hyperboliques, FEBDF. FE(B) (D) F. comprises entre deux appliquées, dont l’une 
passe par E. point deenement du moemient, l’autre BD eu (B) (D) par B ou(B) point ou le mobile estar
une infinite dautres
Car les acroissemens du temps, estant representez par les appliquées, C.F, BD. (B) D. etc.) par le th. 3. les 3
un certani point,
con
sommes des dits accroissemens, ou les temps employez dépais se commencement du mouuement  seront representés
et à dire par les espaces compris entre la
par les sommes des dites ordonnées prises depuis la premieres qui passe par le porit B, ou H,
premiere, et celle qui est à present la derniere, c’est à dire, ou le mobile est arrive, sçavoir entre EF, et BD
ou (B)), c’est à dire par les espaces FEBDF. FE(B) (D) F.
Theoreme V.
si le nouvoment d’un corps est uniforme en soy même mais retardé également par le lieu ou il passe 
Doulle mobile est aarri
les espacés qui restent à parcourir usque au point de réposs estant comme les nombres. les temps qui restent 
à employer jusque à un certain point p P. pris en déça du point de repos, seront comme les Logarithmes n
des raisons de ces nombres Bet ou (B) A, à  PA distante de ce point P. du point de ,
repos, prise pour l’unité.
AD. AB. A(B). AE estant en progression
Car on ub que les droites
i D(B) D) Q.  e (B ( (D) B) BD(D) DBE FD. seront
Geometrique continuelle poitro
egales, et par consequent es pares Hyperboliques L P(B) (D) S
ZDEFQ. seront en progression
liques
jernictes ins vyner representent les Logarithmes
Arithmetique d’ou il s’ensuit comme d’autres ont fait voir, que les ditrespaces
des raisons des nombres A(B). AB. AE. à l’unité AP. or les li paces re present en aussi les temps
n a employer depuis les points, Eon Bou (B) jusque au point P. (par le theor. 4.) donc les dits
temps seront aussi comme les logarithmes r susdits.
Theoreme VI.
Un point mobile estant porté par deuxmouvements, donc les lignes de direction font un angle constant entre n
eller: l’un des ces deux mouvements, estant et demeurant uniforme, l’autre estant uniforme en foy même, mais retardé
egalement en chaque endroit duliea ou _ passa  le dit point décrira la ligne Logarithmigue.
Conceuvons dans la seconde figure une ligne dirvite immobile AE, et qu’une regle inflexible BF glissecte
long de cette droite  AE. gardant tousjours le même angle FBE ou (F) (B) E etc. Lu droite AE, estant
divisée en parties egales AB, B(B). (B e t que Copendant un autre mobile otisse on roule sur la regle BF
de B vers F. d’un mouvement uniforme en soy même, mais cetardé egalemens en chaque endroit de la regle irsqeau point de repos F
en sorte que pendant que la reglé ya de A en B, de B en (B). ex. le mobile sur la regle aille de B eu D, de
(D en (D) etc. Cela posé, si les parties AB, B(B). g (B) (B)  etc. sont égales
entre elles, les espaces parcourus, AB, A(B). AIB) exc. seront en progression Arithmetique, or les espaces par courus
Par un unforme mouvement uniforme sont comme les temps (comme est celuy de la reglé le lony de la ligne AE)
sont comme les temps done lestemps employez seront aussi en progression arithmetique, et par consequent
par le th. 5. (voyeZ sa demonstration à l’endroit marqué de A.) les espaces qui restent à parcourir dans la regle
jusque au point de repos F, sçavoir DF. (D) (F) _DIF) etc. seront en progression
Geometrique, et par consequent les ordonnées de la droite
tr F(F) (F) sur la courbe D (D) (DD seront
en progression geometrique, et proe le lieue q passe pr leur terminations, D. (D) (D)
sera la ca Lagne Legarithmique ou parte tous les points, ou se trouve le mobile morchant sur la
regle, et portepar la regle de la mahiere susdité; sera la ligne Legarithmique.
eo mene tenps
ete 
 non seulement N
les etpares portions
hyperboligues FEBDF.
FE(B) (D) F. FE
nei len
employez deja, at
ae (par lo tr4)
mais aussi

## Folio 2r — 00068135:0003
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F
fvertissement
La demonstration de ces Theoremes est incontestable
mais pour ce qui est de lapplcation au frottement
dont le Theoremes mêmes ne partent point se l’expliqueray dans
un autre discours sussi bier qu’elle l’origme et les ton dela
restistanee respective qui reviennent aussiaux loganthimes mais
d’une maniere jrfferente de celles de la resistence ubsolue que je
vieus de donner icy. les freoremes cependant, ne
Caissent pas d’estre considerables sans avoir mêmes egard
au frottemens parce qu’ils donnent une descrption physi que
de la ligne des logarithines, dont nous n’avons point
de sescription revimetius
Asiu de faire voir en peu de mots, que
 le retardement uniforme selon les licux
peut avoir lieu dans le calcul du frollement. Conceuvons
frottement
que le  dans les corps durs vient des negalitez
de leur surfaces, et equelques eminences ou pointes 
quie  plient  atà l’entour
du centre B. qui se plient p. a l’entour
du centre C pour faire plac au mobile M
quoyque ils se remettent par leur propre restoit, quand le
mobile est passe. Cela posé, il est manifeste
que le mobile perd, autant de sa force qu’il en
a communiqué un ressort  ou à la pointe F
seusanteur
du corps, et de sa vitesse, il est manifeste.
que le corps M. demeurant le même, la demination
de la force, ne sera que celle de la vitesse.
Or supposons apresent que le csMobile M. continne
son mouvement sur la même surface, quoyque avec une
vitesse diminuée, et qu’il rencontre une autre pointe 
semblable en tout à la premiere, parce que nous.
supp osons la dite sur face également apre par tout
alors le mobile pourveu qu’il ait encor ced assez
de force, ne laissera pas de plier encor de même
sedcon
lu pointe () (D) pour se faire passage. et pour
se fairi passage il fau suffit tous,
Or pour farre passage o la ponite au mobiles, (que non ssupposons
bien uni pour la facilité de l’imagination ne donnant les
inegalitez qu’à la surfac C du corps sur le quel il marche)
il suffit oue la pointe toit pliće qusy à ce que la dite pointe qu’elle
couthant
et n teeps suo aveme qratele iil vusne san aele s antes apiter lorgurs) AB
Je ay corrigé dans un autre  papies
touchant l’application

## Folio 2v — 00068135:0004
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les
receuuront,
R est donc à cet egard que l pointes auront tousjour
le même  p
our
O un cessoit receuvant tousjours un même pli recoit
tousjours une même force. Donc le mobile M, quelle
vistesse qu’il puisse avoir, aperdra tousjours une même
force quantité de force,  et par consequent, (puisque
son corps demeure le meme) un même degrez de
vistesse. Ainsi supposant la surface AB. ou le lieu on le mobile passe
parsomet ot egulement, de distancet en distance
pertes
d’egale force
les diminations des vitesses
de semblailes pointes.
à tdegurd seront proportionelles aux espaces perconns
de la manione que je viens d’expliquer. cele
il retardera par tout également le lieucce 
le lieu
le mobile, et que suns avoir egard et deminuera tousjours son mouvement
sa intesse d’un même de
uilla
les theoremes  susdits auront lieu.
 pose vtent
respective est compliquée avec la Resistence absolue.
Car imaginons que la surface AB. comme percée en
sa4 en sorte que la pointe  P ne
sse
serteeur luys deverur paraleele estant plice;mais aller qu’elle puisse
per au dessons de la supface jusque à .
cela pose il est usseure, que qu’elle sera poussée d’antant
pac loinus que le mobile monvement du mobile M.
seu plus viste. et qu’ansi à l’égard de ce surp
pl superflu du dit ressot d ressoit qui fait la pointe 
le mobile perdra d’autant plus de force, qu’il va avec
de vistesse. Parce qu’il communique plus de force
an ressoit qu’il plie d’avantage Et cela vray
est cay, quoyque la surface ne soit point percée, car et quoyque
que ce per superflu ne puisse anver effectivement, car toute
usgoet
la masse du corps qui emparha a AB dont AB est.
luy surface rrecenurn le choc, et empechera la pointe
dd’aller plus avant qu’en p. (Fependant le mobile:
G. ne laissera pus d’avoir perdu autant de force,
que si la pointe auroit pu alled effectivement
vit
1sque en . puisqu’il luy a donné une fois un
sque suffisant pour le faire sans l’obstacle qui est s’est houve.
residuis,
en a empeche l’effect.
In diminutione mutus arithmetica secundum loca spatii sexistentibus AB
celeritates sunt BC celeritatum imminutiones sunt BC sit ABX
y B X tmporis autem diminationes sunt
celeritates residuae sunt AB  spatia ABC, nempe a X
ert erBCA.
 ergo tempora jam temporum quous incrementa sunt in reciproca
ED
D invidem aequales celeritatis residuce  a B.
BC⊓ X celeritates residuae
AB. H X. spatia residua
ba eltates temporum incrementa: Et logarichmi
fiei Xp
 a X  Ae erunt ipsa tempora. ponc ba Z
pone BCBC. tiet Cp =X. sive X  C si sit dimiuutro
non celeritatum sed virium, proc pronendum est
erut fier icutat
incrementa verram
arsa x
et fia X 1 C et
et c na ta X
nou gravium
Emetica temporum ratione. Sceleritates
ut tempora etiom insumta, spatiorum incrementa, ut celem
tates ergo ut tempora. Spatia percursa in duplicata rationa celentatur
in crementorum suorum, seu in duplicata ratione celeritatum quaesitam
vel tempo rum Ergo celeritates graesitae in duplicata ratone subduplicata
PX
quae incrementa celcritutum in aequalibus scilicet partibus spatii
aequiruntur. Haec autem imaementum celeritatur in
no per
locum returdato sunt decrementa Ergo celeritates residuae erunt
ratione patiorum snt spatia X sceleritates c. erit SM
CH sbs. Jum d incrementa celeritatum Z bs +  Bb - Sbs.