# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/35844/text
# Catalogue record: 35844 — Schediasma de extractione radicum.
# Incipit: c3|4480 z3-3abz~c3 a|16 z3-624~4480
# Date: 1674-09
# Akademie-Ausgabe: AA VII,1 N. 125
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=35844&katnr=Cc2+745
# AA VII,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-vii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068201
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 14, 1
# Folios: Bl. 239–242 (from the shelfmark LH 35, 14, 1 Bl. 239-242 (=Cc2_746)): 8 pages, canvases 477–484, page ids 00068201:0477 to 00068201:0484
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068201&page=477
# Lines: 748 recognised on 8 of 8 pages, mean confidence 0.80
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 239r — 00068201:0477
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 240v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000477.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 110 lines, status machine
23 = 3 abZ v c3
23-624Z V 4480
X + y HZ
3Xy v 624
Xs ∞208
2~ 208
208, 7.
Methodus est
Huddenqu
8998912 +y9 ~ 4480
73
8998712 +96~ 4480y3
96 -448073 ~ = 89989C2
6198400
y6-448073+51984003800512
y3 2 2240 ~ Y. 3800512
153 V 2240 + 19800512
2~ 1B2240 +38005C2 CV 14 +V- 12 )extrahendo Radicem ex
B X~SO 2240 =1 3800512 ~ 14-V- 12
Z VX∞y ~ 28.
Schedrasima de Extractione
Rgdicum. Aeptembs 167
6 03 28
99
16
c3]4480
a16
13
184
53
1747
8c
1952
Schotenii provenitent
duiis A. B, memodo
D.
8⊓0.
dividatur per, Z
i nen o
BIBLIOTHROM
RBCIL
MANHOVELABa,
+262
+ 160. 10.
6
4480. 0
24
Eogs
5067600
3800512
88181 12
am extrahatur hincc radio, fiet:
 + 28)
+
196.
q + 297 + 784, (184) 196
4 160
Unde Z + 7 4. pp 8, p sive 4 Z Y
25 - 140 64 = 224 4 460 2
+10Z
+ 160
Binomiam ex quo radix cubica extrahenda: 2240 + 3800512 vet 2249 + (3800512 S-i
sive 2240 +  159283 F
exactum 
Videbo hic obiter an in radicum extractionibus aliquid fractioni
59583
4
simile, comminiscilicent, quando non sunt exacte, saltem adhibito
binomio, sive nova radice, ut hic restat. 61 erit vergo Y19382,246+ bc AAAB Y
5938
59321 Ergo 59382  24b +  4 146 4, + 2460120
sive + 61p +
sive r9r2I o
uane
a
510
d2+2
2
Sbet ac, r b + ac. Eno ( ac 1 (6 + abac +  aec Ergo 1  ib + ac suc  prbispeo
(2)
sive dnique  y + aby + b  b + ac: Ergu ya b p sVrac. Ergi y(B   ac. Ergo F sac
Ergo y 2Db+ ac Ero Ergo y H sB pac +b. Ergo S6 +ac  b + ac
b ac +b
sive ) 16  ac p 1 + b sb tac + ac, sed praeferenda est expressio expressio ag. 8. eadem continuari
Nb + ac + b
uoe retitatu, am usa iq ine cerdti dorae
isto et  i eea anifili
b. + ac
2b + ac
vel pi b + ac
Semert
2b + ac
18
s
2
2b + ac
ressomet
6
ps
n
G
j
pocetrau 2
a
6
16
192
30012
368
21

## Folio 239v — 00068201:0478
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 240r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000478.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 96 lines, status machine
Honamus jam  quantitelem binomiam unde radix extrahendnest, compositam esse ex duobus-
quadratis (17) b + d P Eut B+
(14) d + b2
b+ Na 1 d + s
Praterea nemsse est quemndundum est ba  b +  ita potest feri, 4 + B
Ergo by + 4oque
Id AC efei
hint ergo
bira
dyze + b y. Eigo d 4q. beys
dyz byZ. Quod si sim ponamus
Ponamus gain esse y in certa ratione ad Z seu faciumus Z
(3
byrdy +4
.Ego Nb2+ 
Nitil ergo exhis magnopere duci potest
contumemus divisionem, fiei
ac ( ac rV +ac
b + ....
by ady + a
y fier:
sive Vb d p, d + by + dy rd
Semta jam radice: b + ac
b+ A ac
1a)- ac S. . st ac b ra) rac i a (  bi  S.
b + V. 
1b + Sin
2b ac, 1tac -  b2  2a +  - aC Cbac su (+ ac B bt abacfa ) adC At biet
(- ac 2b2+ 26 ac + a S.)
+ S
b + S. v
 fiet ZH ac - ac
(21)
b32
Itaque si sit. eae y fen  V +3 saey, -
ac Z f 4c 74 ac 45  ac 76 etc.
b5r 662 b72.
y, +a y s et. Videanus jam
an quadratura figurarum haberi possit, quarum aequationes termi ordinatae alicui terminis hujus progressionis
aequales, sane  stdat parabolam _ N Sau  X, fiet X a  X at, sive:
Pone X  +Y, unde fier:  +- r +r
qat
VA a y , sive Xyt
l’ary’ay
a+ y
Sane omnium Terminitum rationalium hod loco exposit figurae quadiari possunt; sed
imationales quadrentur, snihit alud quaeritur, quam sa solidi facti ex circulo in igura
rationalem terminum irrationalem, cujus figurae quadratura quaeritur praecedentem.
quaeramus haum figurrum fangentes fiet: eg. N  4y a -6 ,7  l, et pro
2Xa
X ponendo eu valorem, fier: 4yt a2-076
2aV Sr 1- sed nihil exhis.
seneri teminorum saltem ex parte rationalim temino der calionali aequalium exhibuisse,
Redemido ad Aequationem 20, simuma ineatur separatim harum quantitatum:
23) ac + ac q + ac g4 + ac y6 en Hec summa autem cum sit progressionis sgometucae
b52
112 F
b7L, sub ratione Z facile mniri potest. erit enim:
ac proinde summa quae sita erit: 
sive ab
sux
abio
acb. sive acb
V2Z
24) b. Aqu hoc puinde non procedit, insi acb a2 cum quanlifasiun ad. tpre
serie 4 ubi - y Haciio
B- Bac sive
negativn est ut in sumima
quia series ista non23 no est, decrescens sed crescers, posito jam hulis serici summam esse b
nisi ac sit quantitas negativa, sed tunc, sume quoque ista non possumus ab ea nicise, munifestum
est seprem: Y + Y 2e st +   erc. esse decrescentem. He proinde erit
summa ad , ut Y ad _ 2a est Ergo sumu erit: a  a a y sive a s
Ego foret sat  K Saon  quodia pesesm serie termini rationales
quorum summan invenum ducti ino rationalem; sed ista sunt absuda, ita enim
valor rationatis haberetur ipsius irrationalis Error ergo incalculo. I vero in eo
imo male
consistit, quod tunt loco b  ac d scibendum b.  s.
hnterum Mettodus osta cum.  ac est quantitas affirmativa, servit, ad approx. Interim in sene
erescente hoc serviuit ad approqinquationes nam inde a terimtio dato retio summa haberi
potest, cui uddatae apsamet duora inhadurem; habetur aequalio cum ipsa radrie unde quantitas rationalis
ipsi aequalis prope vera
eodem plane res redit, si dividendo incipias a Radice
nisi quod tunc radicis multipli sunt in mnentoo nominatore trminorm, cia b vel a in nomil
nators quod antea erat contra
sun tureniemo ne tunc quidem, et ratio est, cur ista non sucedam
a tyrer a
b + b +a
arabierae AS (t a a b arb ae + ac B )   a bt biacr 
b+ sud
Eit en et ita in infinitum eritque sars et compendi carsa, radicem  inrationalem appellando
 
in signis invensus
n
25
(267
2ap =X BY

## Folio 240r — 00068201:0479
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 239v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000479.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 98 lines, status machine
(7) sunto duae ratices 56 + ac, et 1 ac, eud prior  b + ac
Notu quadrando aequalionem 27 fier 3. b + ac 
necesse est ergo
brsrae
posteror, b- 4c
D Utobrae
b +bitrac + ac v sed inde aequatio identica sinedubio
b + Sbtac
BFS6 ac  V, X ad. Eigo b +b- ac p - b - s6  ac. quod est atsendum
erorem  calculo latere. Videndum: Sb + ac p b + ac. Ergo (bfac,  ibac  a
deprehens est
sive 1 B 2b + , sive 3 - 2by + b  b 4 ac, suc tp  + ac 4) b, sive y p (4) (6. ac +b
Erit ergo b Fac rH rac 4b, et N ac 
+b () A ac
+b Et in posterore aequatione dubrum
f6 ac +b
restare potest, quomodo Explicari
debear, signem y signum _(+ Nisi velimus utrumque eigi
valorem utiobique ext adhiberi posse, unum exprimen quantitatem- sbnac, atterum + Sbrac.
ut veritas eorum clarius appareat simamus quadratum exate extrahibile, ut 4 + 5
4+5 r
+ 5.
2(+)ar5
Quare non licet facere 4 1 +5
Nam
sive  Unde patet debere fieri 2+
sansi
Sed
erit radix
2 + PA 
2+5t
nquaeramus radicem - S+te sed tunc fet, - 2 - 5
E- Sa+FI
- 5
2+3l3
2 = - s4+
sed hoc non procdit siot
potias
fier 19-5  3- Unde rursus patet debere
ccc
si sit radix extrahenda ex, 9- 5
unde patet ffien debere
mule
Jungendo aej. 27 et 28, fiet: 
(+197 + 2
F esse 1 sive
=E seu 3 = es solsum, daret eniu Y9 5  4. cum sit 2. nec procedit
+S9. 5 + 3
X e
(B 
unde fit 3 = 1 seu 2. Quotum rationem a prisi indagerre, aliter
+2 + 3
cur scilicet(4) non liceat explicare per cum tamen id calculus
fere videatur, altioris est indaginis et videorem a nemine pro merito tactam. luum tamen con-
quam per numeros rgcs
meralilet
fiderandum est, etiam sic extrahi psse radicem:
Sb f ac pi (1) b + ac Unde (b (4. 2bac e
 (V+ ac et C (+) 260 4 ac aq + , et F7 (+) 2by p ac et y +D iby +b, a
eb y +(F b, vel + +y +b si St +ac. Quam ambiguitatem ita eruntiabimus:
 ponamus +  aco, et (4)  β2, erit (+) p 2pB, et erit:
=(F) idem quod c β aco, B, aut + Jam aut aco, p B ponamus  A, fier.
 (3 +) y + (+, 2) b, seu radie ex 1+, N, + sive +, +2, F. Unde frec
(A, +) y + (+, 1) b  5b + ac. sivi _ y  (A, +) S6  ac - b
Unde gam:
Nb + ac Y ((+) b
S Casjuc  (C ) b
ut exploremus, fier: Nb (aco) ac 
- b (4, 1, ) V ac
-b (aco,  2,  () N6 (aco) ac,
sive ( sive
quorum veritatem mutriplicando
 (Yb (aco, e) b S (4c0) ac et toleendo fractionem:
ab (aco, v e  sir (au) ac
b. s V Caca)ac L(ao, 1(P ) 5 Cacosac, ) (aco, Yp ) 62 (Ye 2 1) ac  se li poi sipt n
et ordinando: b + ( (aco )b,  S. b. (4c0) C p, (aco,  β, ) 6 (y(2, -) ac (Y () 62
Et quadrando utrolique (coa, +)  () b ac
 1, 24t (ca, 1) , 1 (26) (ac) ac  (1 +. ( e04) 11,
1 -2 ( c04) + 1 B  b (ac0) ac  (x + 2 () + 1, 0 b+, + 2 (XC0) b ac + aC V
cum non vacet ita dligentius discutere
prcquis Zi
In quo vereor ne error calculi latea, quicquid sit
non dubitandum est e sucadere debere hoc examen remultiplicationis, interim, ut a
suprioa: b + (aa) ac  Y4 (( ) 6
fier: S4 +  H (B1)  +5
et Pp F
+ ac
= b (ac, Y(3, +) S6 + (ac0) ac
ad numeros applicemus ponendo ( C sive +
-225 
Jam ponendo BH F pier VB - unde 2
-2  (YC) 14 +5 et ponendo B Vp a fier Y (2 4, unde -2 +  p. 2 +5 p,+ 3.
- 2+3
Notabilehr
ut autea 73
n. 3+ 5 = +2. semper Moi
similier ponendo acop.  fier: Sg.  +3 +   3 - 1 p2 et puoundo PB.. fier: - 3 +
et sacedit, sintaotua puo saro subtiluas .d.-Sa re intantus anter midesre. 2 aluo este cun talu avicem coumarta

## Folio 240v — 00068201:0480
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 239r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000480.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
Quoniam antem Nominator sit -b. s- b + (YB) Sb Fac Hini forte ampeditur divisio
et oonitur absurditas, qa. sed sa diliglntius exintienda, confer schediasmata, unius schedae
in q. de divisionum tinuatione in infinitum
alerum venit in mentem hoc loco, ut obiter dicam alterius Methiodi qua etiam. per series
in infinitum productas exhiberi potest summa efinita redix quaesita summa infinita
esto aequatio quaecunque opX + bX + ac A fier: X + b - d +
dividatur
BIBEIE
BFC
IIAHLOVENANI
Unde   d b, 2. b
+ X
I
d = , bd + ac
d +x
d. ∞ bd fac
X+ d
+ ac
70
d, fiei defuboac
cutque dH
X+b infinitam
Atque ita dividendo licebit seriem habere, sed
quam ipsa X ingreditur, ipsimet X aequalem
Quod retiam usus suos habere potest.
d ex binomis radicem binomiam li habentibus
aperes ut redeam ad ex tractionem radicis cubicae binomiae, quam ahobuius.  quem nona Tac.
de Wassenaer jam publicatam, cum demonstratione dedit: ) Ante omnia a binomio auferendae fractiones mul
tiplicando ipsum per earum denominatorem: Unde postea niventa radix, per eandm erutdem prominatoris radicem,
(1) si nenta binomi pars est rationali accernta potest reddi rationalis redicatur. ab aliud binomum
cjus althutia pars rationalis, quod fit multiplicando omap binomium per unam ex irrationa lbus, optimum
est autem multiplicari per Minorem (. Multiplicabitur regalanter divisio fiet, quando prodibunt integri)
dividenda est.
4) Quando una binomii pars est rationalis, necesse est, et quadratum altrius Partis debere esse ratronale
v.g. si sit ab + itae S da, non posse extrahi redicem. Nimrum esto  ab 4bcae + s aa 1Y
negat extrahi posse radicem, videndum est tamen, inam peis ponamus  y. fier: ab + Ca Et Yaa BY
et y + bY + ab  va + sda. itaque nit vider qud obstet extrati radicm, explorandum
ouni est tantum au possit extrahi ex ea, ac denique: et + 2ab y + et  da. uod si
(5) quando ex hahenda radix injus exponens
jani orta aequatio alia quadam ratione deprimu possit, ubique um
est numerus compositus extahendae radicies quarum exponentes sunt primi qui eum componunt. (6) Quando hadrie
forte deprimumporribile est, eo ipso quia eracta foret, nisi da accedere.
auq exponens numerus imus extrahenda est; major quadratica, mag de hac quidem non est opus praecepta
amplius dare: explorandum imo an radix binomium esse possit, cujus una pars rationalis quod innotescit
Subtrahendo quadrata partium a se invicem, et ex reliquo extrahendo radicem, nmpeandem quam ex
ipso binomio (B. quid in h hoc tentari possit, etiam quando quadtata partium non sunt rationalia) Nam
eato nhil refene si differentia hocum quadratorum non est habei radicem ratenalem, etiam uRadix quaesita dati binomi
07
si qua est non habet radicem rationalem. (7) sed quoniam rarix tilla  nihilominus potest essse
binomium, cujus utraque pars irrationalis, hinc ad eam extrahendam datum binomium, per differentiam quadratorum
do) partium est multiplicandum si agitur de extractione radicis quadratae, aut per quadratum hujus differentiae,
si agitur de extractione radicis (5)) per cubum, si agitur extractine radur (2), per sondesolidum huus differenta
si agitur de extractiare radicis. ((1. Quo facto aliud semper tinomium habebitur, in quo radix differentiae
quadratorum partium sit rationalis, nempe aequalis differentiae  bi quadralorum partium prioris binom
Habetur ergo Semper binomium  una pars, et alterius partis quadratum, est radix differentitae quadratorum
partium rationales, et ex hoc binonuo jam ita producto, radix extrahenda ess inveniatur Nnumerus radice quae sita
paulo major, ita ut differentia non sit major quam At quod facileest per arithmeticam vulgarem. (Q)jam si pars rationalis
dati binonui reliqua parte major fuerit, oportet  radici rationati isti prope verae addere radicem differentia
quadratorum Partium, divitam per eandem radicem prope verano; eritque maximus numens integer in aggregato contentus
pars rationalis radicis quaesitae a cujus partis quadrato si aueatur si anfilatur (10) Sin minor fuerit a radice prope
vera radix differentiae dicta subtuatenda est eritque semis maximi numeri integri in aagregato contenti pars hationalis
radicis quaesitie (11) Habita, jam parte ratio nali radiciis quaesite  b inomio num 7. formato; ab ejus quadrato
auferatur in casu num. 9. aut ejus quadrato addatur in casu numeri 10, radio differentiae quadratorum.
partium, et producta quantitas erit Radix quaesita tinomii num T formari si modo aliquam habet
Nam si non est, quod statim probari potest, nimirum productam quantitatem, in se ipsam toties ducendo, quoties
exponeps extrahendae radicis postulat; nam si binomium dictum num Y. formatum ea multiplicatione
non prodit, certum est, dictum binomium carere radice proposita, a (12) Jam si inventa sit radio.
binonii)  7. Jormati, etiam radio Binomii dati habetitur quantum fieri potest, nam ejus rudix fiet ex
raadice binomii ,  11. inventa et radice mneri per quem secundum lartic. i  quosve Binomium
ab initio datum secundum leges num articulorum, 1. 2. 7. multipercatum est. s Ingemiosissima
sunt ista, sine controversia, quare operae pretium erit rimari eorum demonstrationem, etsis non satis universalia
atr, qut. soloreno rleetam in addilmenta connentorum ad Cortesiunt.
 2
slunente
epsi nons
+ b0
a
rationalis sit radix
in non, quae ex
differentia quadra-
torum partium
extrahi potest
sit aliqua

## Folio 241r — 00068201:0481
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 242v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000481.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 105 lines, status machine
pars. rdams schedrasimatis. de extractionibus radicum pars 2da septb 1674C
etsi non satis universalia ubiter, s et credam abias praeterea vias superesse:
stonro ante omna
si chimomions aliquod in se multipletur
va
debin
erum radicos
sive a + 3 aYbC + habe + b  bc, sive a + habe +3a + bc sbC, qquorum duorum nommum, Quadrata
sunt: ab +bc + 9a b  et 9a bc +6 a b c + bc quorum differentiae sunt:
a - 3a bc + 2 ab7 = b C qui esst cubus ab a = bc. Genemliter Clapus
et smpliius res ita euum tiaei potest: d + e cubus pi dd + Bdie + M + C erit d’ +3de, H
3de + eH rubo ab d - e., suc d + 3C, d, H  - 3d + e,  C, B, p cubo a d e
vel d Theorema est per elegans, sed qua arte sit moculum, id est quod nosse velim Nisi
id forte per ind inductionem scontiga, observatione in numeris facta, quod sane saepe ad thecrem ata
invenienda commodissimum est. Aeud Theorema: Binomium multiplicatum per differentiam quadcatorum
partium producae aliud binomium: in quo differentia quadratorum partium sie numerus ubus ianultiplicetur
a + soc per (4) a 4) bc fier: (4 a (4Ibca + () a ) bc, bc Quorum partium quadrata a se invicem
subducta relinquunt  a- 2ab +bCa - bc 2a bc  - b2 sive : a - 3a bc + 3a bc - bE
Elegantissimuta est hoc quoue theorema. Esto jam binomium 2 10+13800SFE ex qua
est cubica; 2249 + sur 53800SI2. , hatius hoc nullum continet fractum, et alterum partem habet
rationalem, secundum artic. 1. et 2. Sed et squadcatum pantis irrationatis, rationale est; cupdum artic. I.
Quadrata partium habent  sunt  501 7b0a
-230e0L
818IV2
vdendm est ergo an ex qe17068 extrta
ex qua extrahenda radiim cubica, fiet:
Obiter annotabo Theorema memirabile:
Omnis numerus cubus Terminatur in numerum,
qui est differentia ultimi numori radicis a denario
sematium
vel idem cum ipso altirmo numtr rudici quinadium
alterminatur in unitatemretiam cubus termi nalitur
si Eosiger
quinarium, septenarium, octonalium,  rubus ter-
minabitur in ejus differentiam alimia denario.
Hinc monus cubus terminatur in seplenatium 
1488. 8
et3800512. quolum differentia: 2 121088
274 + S- 12, nise cubere dabu.
est psolum Juuma
2744 + 588 s. in +4 -  504 +  - 1728. Vem  (Y 1728  12S.1
2240 + 600 s-E, vel 40. f tror 1.3 ex qua quantitate jam radicem
Cubidam exhahemus. sane omnes habet terminos fractis carentes et altrum ex nominib,
srationale, et quadratum utrisque nominis est etiam rationale. Debet ergo radio inbica
(+ ad
14a + f- 12 bc. in se cubice ducta dant: 2744 a + (588) (3) 196 a f- 12bc - () 168 abe
exhasi posse ex differentia quaddatorum partuim
Et  tiet: - 744 a
(4-BLes abc
(2240)
B 196 a s- 12bc
(588)
+ 12 bc
(600)
+L 1n8b2
Et quadratorum
unde otrihenda fradio cubice
partium hijus binonius 33760d est cubus, a a differentia quadratorm partum vinbum, quod est
Pone sim datum esse numerum: 2240 af +b0o L- 12 BC
Extralendi binami radix, seu est cubus a 196 a +  12 bc seu es cubus a Nam:
av  6abc rgab, +A9a bc Y, 6 a V5 4b2c3
F9aVc 16a76C - b25
a + +bC cubietoens:  a 3 a V+bc ∞+3 abc (bC SZbC, beretesse XbC (+)
cum ilbeat esse a  a bc +9ae u
radicem ab
+ 2a Y 4 bc. Quadraturi prions: a +6abC +gb posteriors 9ab Fabeq
auferendo unum a sudouaorum padialou ab atterofu: a 3a bC +9 abC +63. Unde pates
sive a+ 3abc
jumsomendi )  + pate regulam supra demonstratam n procederte n binomid quae irratio en injeginatiam stiment
Sed ideogl eo s dissimulanda fucrit. Quasi iinclusum in isa radise. Anpotius uandum am
constat ipsum- in summam 2240 ingrestum) ejusque quadatum esse percnsensuens ab + 6a bc + 9ac, adeoque
quad binomium cmpio aetrum concipendum esse fingendum et 3a- bc, bc, vel 3a +d 1b Aaneltum
Dutique differenta ert quadratorum patium erit cibus, sed quia hac dignosci ex jam facto non potest
moiteile adeatuo tegerus sitonn ad vectansiven ad inignaus apescare
= 2240.
89600
4 4 8
0 760
64,
a si
i
q 
196- 1
580
125)
iret
in 1s
ado extrahend
a 8818112. nempe:
o sit cubica
xquo radio extrat
4860
69600
448
000c
3600
differentia
881 8112
360000
a b habet
a +6a bc + 9ab
F9a bc -6 a bc +b2:
+3aebb
superest difficultas, quod
a = 3 at 

## Folio 241v — 00068201:0482
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 242r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000482.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 80 lines, status machine
ed
satus erit ret dem nlegro ordiri, epe e quasi de meo quarere
ope collationum: Esto 2240 + 16001 cujus quaeritur radiu Cubica
quaeratur primnum, an a radix ejus esse possit binomtum, cu rationale, cum ipsa urationali 
esto illud binomium. d + er - 12. cujus cubus: d3 +3de - 12 436d e + e 1- 1728
namfestimest confeundum hoc factitium eum dato; haberi solutionem.
va5
Generaliter: ad + e tab, multiplicatum cubice dat: ad3 +Bad C ab + 3adeab + etab
sive ad + 3ade Vab + 3adeab + Cz ab t ab. sive + a d + 3ae sab
p
+ 3ad eb + ac b
Nam radix ex ab est + ab. ) Hoc productum conferamus cum data quantitate binomia
Hoc confera ex rationali etradice quadrata composita at +m an necesse est
esse  b  incognitam pn. datae, itemque +3a de
+a cH H ma ac denique ad’thadem
aequari ael. Ex ag  erit multiplicata per d, erit d dmaden itemque
C.
3ge
exaeq O d. a1 l- 39deM, Ergo  a el - 3 dn e  dma
3du
d mao + aetid et ex aeque  fit. de  a ade
3are
Ergo maed fde d +9 aden  a el. Aa rectius facilisque sic ex aeu atione
 habebimus vatorem ipsius d, qui est d mat taen inserendo in aequatione C fiest:
enque d ale snmae  aetuy
dma idae tnmat aen at a e
o
19n
ma + a en
ma frma’en +aen
quem valorem conferendo cum superiore ipsius d xatore, patet fieri
cubum ma  aen,  multiplicatum per a aequalem quadrato ab
a ate-In mau
extrahi possit sive multo magis si ex quadrato extrahi potest cubica dinensones
deprimentur). Vderu compendiit opus essante collationem, ne ad calculus Bam
probixos assurgamus, et primum quadrabimus ubrumque e nominibus cubi factitu
fiet. dd gad Sed rans video errorem calculi a me commissum ponfendo
alicubi a pro d. Resuntis ergrs collationibus aequatia f D fiet: 3adetqena
et aequati Ofier: a d + 3den p al, Mutticlicando D per d, fiet:
a d  mad + aend ve ad mad+ e nd, quem nalorem inserendo inaeq. 0
3at
c= 3a
fer: mad + end +3d eat haden al
amad + end +gaden ppatl
1 t
et du
3al
 nmae f en 9a en
at dem dps, na 3 + deBquarum duarum aequ atdonum collatione
3ate
invendi t et ipssa de. sed num ond commpendum accedereote:
depermaquadnlim ade + 6 d cb + 9a26
ad
= gaed eb +6ad E2b de582
in et
cubica 3
cujus radix(+) a (V 4B
eba
E quod aequabitura-madn
see multigeratis omnibus perde
riliater () ms d) (+)a 3t (+) raden et tus (+ ad (4) daen e (3)..
ejas is
d-
 ergo prd 4)a de substituendo e batorem (+) a i(o)) haden  fiet:
dad
d
a (7) aden d (3) i Ergo pest) daen, substituendo ejus
valorem (4) a l (+) ad  ex aequatione O. fier:
() a d (+) ael p7 3d 5(3). . p. sive  C4) at
in  X 1  B ab ain  d _r a po  Aliuneoi
A
tiletu cerim e pori e
1
ma en ac
t
ha
oetgien
binonisi factiti,
et expricando F per
oe

## Folio 242r — 00068201:0483
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 241v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000483.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 88 lines, status machine
ino nullum est lale arbitrium
Ob signi autem (+) arbitrium emper effici potest, ut dh signum in multiplo ipsius d
sgna affirmativa praevaleant, quo facto semper extrahi poterit radio Cubica, sive inveniri
Queuq
poterit ipsa d, per inventionem duarum proportionalium Habita gam d poterit per
a
collationem ipsarum aequationum D et C haberietiam C nam multiplicando aequationem
Oper e, fier; in ea C, ale = ade, eumque cubi ab e valorem inserendo
in aeq. D, siet: 3ade 4a lexp fd d’ex p ma sive: Eglicando + pr-
une
u
3 ma 2d
9ad-al ra
e
3d X
sive pro d substituendo ejus valorem, fiet:
3mat d
D. efrra. Sal nn d rall
2113) a
duo sut binuia ex quibus radix cubica extrahenda, ut si ponamus
15) a l + ma san +.  al Masar
imad - dma d ro d,  id est 2d.
+1ra VBal mnd +at-
fiet:
ivene
BIBLIOE
Ac prinde iventa est ratio exhitendi construendi quaelibet sroblemata, Solida, er
monis medias rpo duarum tantum mediarum proportionatium inventione
Quare non dubito hac arte in altioribus etiam aequationibus constructiones aequationum
omnes ad solas mediarum proportionalium inventiones reduri posse.
Nimirum aequationes cubicae ad duas reduci possunt Formulas, unam quandus sergudis tenuinus
setundo Termino carentes
erius seu penatiim
ess trtii est affirmatious, arteram quando est negativus Quandocunque terminus tertius esse
affirmations, haberi potest  radio Geometrice solis mediis proportionalibus, ape reglarum
Scipionis Ferrei, sed quando est negativus,  non semper nnisidcum limutatione, quando scilicet
cognit
quadratum a semisse ultimi, majus est minus non est cubo a triente penultimi
Esto  Si atequalio data sit 2A PZ +
Z H
10 +29 + 529.
63 - t
des puento + 197 l, et mpc. a 4  p
fier
fier: 3il +m su
pstelicet proposita. R adix scilicet ei quam hactenus resolvimus similis
sed si aequatio sit
Z+1V
10) +  + S. q   p = 1-  + Sq.Y2 p
i
patet e, non destim, nam
nec opus est et magis est ut ipsari d desturi credamus
H
debet, nam forte d hoc quidem casu nihil destuitur
s
quod taruen exptotari
ium habumus Doe a l + d a pqC
crxo fier. ad a bradu da 13.... . .  ., sive 4 gd   -..., po et ondinando
Hanse cubica est: ad = a en  a 13 al = min,
d3
n2
-2 aV(3) at- nend e.
1
o
 Aequatio haec
a
P
Dever ng esse a
Ponendum gam  cicit aegrationum per regutas. Cardam Geomehrice intractabaium, e mp a, etn 9.
videamus jam an aequatio haec sit per Regulas cerdam
bet esse Iea majus quam tractabilis, nimirum al ag, et - ma-a
sufict
Dc e
eux fier dipa duaqio.ero ess   Unde mnihil alud sequitur, quam d’aequari
et biget in
quam d equani 24
nam eadem plane aequatio est, quam habuissemus  ex aequatione proposita
e
sed profecumus
nihil
du +
MaNHOVEIIqI
+I + m Sa
al-ann
a
Quo si gum
quaeri
Resumendum:

## Folio 242v — 00068201:0484
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 241r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068201/jpgs/default/00000484.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 88 lines, status machine
Juterm hac acterRabue ver si quae sunt in nuneris extrahi possunt u stampioe
et possicunt a Sichotenio prasciplum est; ad literales verd aequationes non serviunt, nisi
literae ad numeros rationales irrationalesque reducantur un
Si sinel habetur nethodu
LH
Methodus
3 aet 7 ps an 4. () at =  l. an p Bp a Y
fier ay p dal (+ a S -an) +31 à V- a l s- an, + 2a (5 a 
et( à Lan
(ab + an J-an
+35() à 13+ a l S-an, - 2a ls an a ln
a y - 2al 25) Al( VS an) Al. Laan)  3aIn + ams au
Xqu
a lp). ant an
ja  l S. an) J an talm alque
B sa vocemus 13- 3aln H94, et 17 anssfa
si Et quodrm Do cubando a -GXa ) Yquit  agstuns on    ga t atlanasn
.71) il Lan) ( 8i) alu = 27 an S an
fas-an
YA(7 d (271 1 an) + 27 aln = 27 an Juam
Jiii 54 (a = X2a - 54 a n appellemus Va  5+  a
et ga + fas- an appellemus
=9X + 27X 3 ea
brevius X  Aph + K. Unde
ta  X - hp K. Ergo X - 3Xh + 3X h - W  K3
Ex puire Xp KY va l + axte
et mnehijolicatis omnibus per , fit: 3X b3 - 3 X t  H 2 ati 
hep K x + h + 3X h, exquem valorem inserendo
1d1X
in posteriore, fier:
+ 3X - 2 X h  (3 Xt to) p. 3K ht BXTh) + h+ X eritque
sie tam Ergounk X - 6xhid - 3X3 4 3X
6Xth - 3 xta p3 + 3X C 3 H 3) 
3MX + het ada
125 X H etc
1: cub a 3K3+h3
tier a L-an  X F axb- la Fta brb
et avaetae eta
4.54 an
fiei: -9ua D ea +. 27p D Ca  va, fier.
S0 eae
Ergo 3X h = 3X h.  K3 - x3+ h
3XK3
Lvoce
a vat -2va + l’at explicet
2per cubum ab ∞ +b, separanda tandem
3X3 + hi
sie H, (3NX) (C XH) ( H DXK) x
3K3 + H3
3.Xha + 17X ta vaer 1 quin et -9Xi + 27xh iuah
Ergo h  vah - 27X h3
inseratur in prioue, fier: - 9  ha  - 31 (a 81  aX H3 va X
rt
hi AvaX +or axh
in duas, ita ut si fieri potest, valor ipsarum xerb sine
+9+a+ 3a
is Eetracionibus imaginaris obtineatur, tai enin =ani p Xb( X +6X b (42X9Xb2+ (18 Xb  64b (t bD ab
- 2X3a 2l - 6 X bael - 6xb a l = 2b a l = l at. Vrdendum q
I X + b noundo y esse rudicem cubicam, et et a esse quadraticam,
 X + 3x d  2Xt + B pro y ponamus ar, et pro X ponamus ea
aequatio dissui possi
in duas, ut liceat et
fier: aV Ea X + 3Fab. = 3Xb + b3 sive a 6 - 3Eab - b X. Ergo purum tractabilem
Ea H a = 6aVXb 2 a vb rgs al a  5a + 32
2 a + 68 ab + 9bZ
unde
(+65 ab + b.
5a +68ab 96  aa a b a   ab
et ordinando a ua 3bac + 3Eab  = b5-
  av- 6 a 2b- 2ab,  V.
sive as- b+  y 1 a - 6a xb 2ab3 Explicetur jam b ita, ut ex radice porit
extrahe radix cubica, quod non difficile ope aequationis planas indeterminatione
ponendo b  expercando b per duas quantitates, atque inde destructiones comminiscendo) 3t ab - b
aequatio carens radice cubica, si pro y substituatur ejus valor nempe b  ac 3F ab - b3
 potndo at -b 10. fit aequatio ejusdem cum eodent Z a +li
Za + 36
opem ita) inti provemientem licebit
de fal1362
sejungere in
mas, sive altentiam arbitrariam
tandum aeq. 8 dividi posse per x + b) et fieri: x- b 1Va = a b 263 explicare quam licet commodissime, ut valor
2a- 0a5l. (3b3 Ea (346) + 3 xb  (- b)
ie val a 1o npt- l X L 1 Xb sanibu laratr at
quasitus habeatur ipsius V. aequatione vel planam
les alora quo, su Mnoris geomretire Hoactabiti
sive X
b, vel ipsius x, et
tandem per ipsas ipsio