# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/35869/text
# Catalogue record: 35869 — De la méthode de l'universalité
# Incipit: 1. La Methode de l'Universalité, nous enseigne de trouver par une seul
# Date: 1674-05
# Akademie-Ausgabe: AA VII,7 N. 010
# Other printings: verzeichnet: Couturat, Opuscules, 1903, S.97.
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=35869&katnr=41584
# AA VII,7: the volume in the Repositorium des Leibniz-Archivs (CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/leibniz/digitale-ressourcen/repositorium-des-leibniz-archivs/laa-bd-vii-7
# In the Akademie-Ausgabe: AA VII,7, p. 128 (PDF, Repositorium des Leibniz-Archivs, CC BY-NC 4.0): https://www.gwlb.de/fileadmin/Leibniz/repositorium-des-leibniz-archivs/LAA-BdVII7.pdf#page=128
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00069349
# Title: Leibniz-Handschriften zur Philosophie LH 4, 5, 10
# Folios: Bl. 1–8 (from the shelfmark LH 4, 5, 10 Bl. 1-8): 16 pages, canvases 1–16, page ids 00069349:0001 to 00069349:0016
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## Folio 1r — 00069349:0001
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(1)
d rentela Methode del Unversalise
qui mons enteigne de trouver
La Methode de l’universalite, est paule meyen de la
quelle nous troudons des formules analytiques, et des constructions
par une seule operatiore
Geomatriques, generales, pour des sujets du cas differens, dont
chacun sans cela auroit besoin d’une analyse ou synthese
(4) On peut iuger par la, que sen usage s’étend ie loin aussi loin
particuliere.
que l’Algebre ou Anclyse, et qu’aptes
Car il arrive tous
des Mathematiques pures ou composde
les jours qu’un problema donne  plusteurs cas, dont la multet
changementu
embarasse beaucoup, et nous oblige a des repetitans inutiles, et ennuyeuses
dont cette methode nous garantira à l’avenir:
avoir plusieurs ambignitez dont l’une soit independante de l’autre (r comme toufes les bls scinet a Propositions des sciences
Mathematiques mixtes, se peuvent purgées de la matiere, et re estant
stre
 reductis à la pure Geometrie; il suffiraden nerstrer l’usage dans la
Geometrie: ce qui se revient a deux poincts; sçavoir: à la Redluction
p
des de plustors Cas differens à une seule formule, regli, 
equation, ou construction: et en second lieu à la Réduction des
figures differente, en uharmonie; pour en demonstrer ou resoudte
universellement quantité de problemes ou theoremes. Le
premier point deminue la peine; l’autre augmente la science
et donne des lumieres considerables. Car si avec le tempser
impeu plus
puroit la Geometice des auadratues pourrois estre rendue sus ceptille
(des infinis
dArchimede
de l’Analyse par meyen idles Equati. st sis problemes enoneees
et si lesP en sorte que les problemes des quadratures, des
puissent
centres, et des Dimensions des figracourbes, se pourroient resondre
par des equatiotis; comme il yla lieu di’esperer, quoyque. Mons.
des Cartes n’ait pas osé d’yaspirer  on tiveroit ’un grand
uta avantage de l’Harmonie des figures pour trouver la quadrature
des unes aussi bien tue des autre
Messieurs
4) Il est vray Que Monsiedi Desangues ei Mon Pasca l’ont cri
leur
de pouvoir reduire les Conigues en Harmonis: mais outre que leur cette
fectiono
methode est, bornée, et dependi de propriete particulieres des sections desniques
elle est deplus extremement embarassante, par ee qu’il faut quas
us
jamais quiller le Tous de l’im tousjours demeurer dans le solideaapable n
et bander l’esprit par une forte imagination du Conc: ce quichose effez
est pable d’occuper l’homme dot dutique de le rendre n moins
daffrit
propre toute autre chose, Je rois tome à moins qu’ellae il
ne soit soutenui pau une vigneur d’esprit peu commine. Je croy même ue
que  Messieuns nun qu’on auroit bien de la peine a resondre universellement
par ce moyen des probimes difficiles; a voins qu’on ne les ait
déja trouves par hazard à priori par le moyen d’un theoreme
ademonstre railleurs. An lieu qu’il n’y a rieu qui puisse
chapper a nostre Methode qui nour épargne l’esprit, qui
a cela de commun avec lees les autres parties de l’Analyse,
qu’elle épargné l’esprit dont il faut sedr tout ménager l’usage
’est le but principal deecette grande art la cette
grande Science, quel s’ay accoutume d’appeller (Baracteristique
dont ce que nous appellons l’Algebre ou Analyse, n’est qu’un branche
fort ptite petite: puisque c’est elle qui donne les paroles arglangnes, les lettres au paroles
tes tcnspes. Ctitretigue les iuti a tacaleitique. Cesta
premierement
ce que c’est que la
methode de l’uni
versa lité, et son usage
son usage
en Geometrie Reduction
des figures differentes en
harmonie.
in
par une methode
analytique, au lieu
ade la synthetique
+5
l’imagtuaton
l’Algebre n’est qu’une
branche de la Caracte
ristique

## Folio 1v — 00069349:0002
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qui nous fixe apprend le secret de fixer le raisonnement et de
l’obliger à laisser comme des traces visibles sur le papier en
petits volume, pour estre examiné à loisir: c’est en fin elle
qui nous fait raisonner à peu de frais en mettant des caracteres,
à la place des choses, pour desambarasser l’magnation
il semble, que
em
Mais quoyque il cemble les caracteres semblent arbitraires,
il y apourtant bien de regles a observer pour les rendre utils,
rendre, les caracteres propres à l’usage.
intar exemple. Monsieur Schoten et autres se servent ediun
certain caractere pour  marquer la difference, entre deux
graudeus, t comene a b c’est à dire a - b, ou b - a.
mais il est aisé de faire voir que ce caractere est contre, les
entre b, et
regles de la Caracteristique. Car soit une equation entre
a=  ou la differene t a et y; et entre le
ous
sçavoir: a a =  b.  ne sçauriez methre les connues
1b
vou
d a b. d’ue costé ny soparer a de y. mais eu  servunt
des es caracteres, oont j’expliqueray l’ysage dans la suite
dous aurez F a = y  b, ou fyr b =a, ou y v+bra
Il est Au reste j’avoue que Mons. Schoten s’est servi
quolques de quelques eare deux caracteres C, ett B, equivalens
aux mieus = et  mais c’est peut estre trois ou 4 fois, et
d’une telle maniere, qu’on voit bien qu’il n’avoit pas cette
vire reconnu  l’application ny les regles: aussi faut
ed
asse
il bien d’autres observations pout s’en servir comme il
e e
5)
Caranen
Z nons. Wacuis et
autres
conjonction de la Carachristius conjonction a la coasquo lons. Fermat dans sa Mostione de Areximis et Minimi
supposent de certaines, lettres difiniment petites, qu’egales à
crien. J’ays nit id la in l’ay mis la même chose en lisagi
Mais là mettode même fera dvois plus clairement  ce qu’il
soit trecmperse etri
asseure (8 estes Instrumens de la Methode de l’Universalité, sant les
bi
par avance que de falcul  Caracteres qui sont ou  signes on lettres n 
universel de tous les cas Les signes ambigus sont, qui marquent ou l’additien
psus difficil que cetuy du straction. Il est vray qu’on pourroit aussi faire des sges avec
e
margui
plus difficit cas particulier is qui maquen la multiplication su division, et l’extra
calcul particulier du cas Alon des racines: majs je n’en trouve point d’usage pour
ducles present dessein. Pr les dits signes sont ou simples
qpour marquer seulement deux cas possibles, ou composer pour
en marquer plusicurs. A
B.
dum  par
far x exemmple la ligne si à ligne AC se doit determiner par
le moyen de la ligne AB, et BC et si le point C, peut ober
avoir seulement deux lieux, l’un entre A et B; li’autre entre
efigne sera simple ilar an de la de B, de sorte que B toute entre luy et A ut voit
lehigne sera smple, car on voit, que selon la piomiere position AC est egal  a AB- BC.
seplement
et selon la secoude à AB + BC. Donc BC a, deux signes
possibles + ou = et par consequent nous dirons que AC
egal a AB = BC1
une grandeur infinie e des lignes egales a des rectangles,
comme sont les asymptotes, del delHypebolest et da
a de nonvean et d’avantageux
+
font
qui sea eent
exemple des fautes contre
la caracteristique
F le Exemple des fautes
contre la caratolistique
avec la Methode des
infinis.
V
avansane de la methode
 par ses preceptes
e exemples
de l’universalité pour f et a finqus
abreger la peine du colul
VIUI
signes ambigus
I1
simples. Lond
de deux significations
N dist. Liniru mustro
in dic mittu domuer
que
apa
ensemble n’est jamais
l
ilus difficil

## Folio 2r — 00069349:0003
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p
Et si apresent nous voudrions exprime AB par BC, et
AC X l’equations AC ∞ AB = BC nous donneroits AC+ BC  AB
2 AC 1t AB + BC
ou AC it AB = BC
2AC - BC ∞ AB
ACLBC e AB.
inimples.  cest adire
or se x signe qui porte
+ ou 2, et = c’est adire - F.L
un =aubas da canctere signifie 1) tous, vineler prople negation
point d’avantage, par ce que + 4 ou f (11 lais il y
s
a une infinité de composez, et comme l’on ne dcauroit en faire
le dénombrement il suffira  de donner quelques exemples,
à fin que chatuli s’en puisse faire à leut sinitation
par exemple, sittaliu:
si les points
A. B. demeurant immobiles, le point C: peut avoir trois situations
differentes, on aura hes equations differentes pour exprimer la
valeur de la signe AC, par les lignes AB, BC
car la 1C donnera AC  - AB + BC
podum 12C . . . . . . . . . + A10 -..
13C n9. 1d 1.
3.d
.. 4.
De sorte que AC est ou la difference, ou la somte de  AB. BC.
et pour exprimer ces equations differentes par une seule, on pourra
eerare faire: AC Cx,
a ligne
pour morquer que le signe de AB est tousjou opposé un signe de BC
à moiis que toute, deux ut y sagent mat n’ayent
On peut aussi avoir besoin dentrois lignes dont les signes soyent
pour signe +.
valeur d’une seulennx Pau exemple e ae s
(1 E donnera E+F)  + AE, + AB
et j’ay adjouté des lettres a lignes infiniment gr qui represent  n ZE duo arie  3.. ed d... 1 ..  H. 1..  +
v
sont variables; pour daterminer la uleur exprimer la
8
3E.
..- . 4 oi.t - 1. 4. 1
BF
E Equation generale sera: EF B + AE + FAB+ On doit
AE id.nd
par la qu’ieu ce cas les tignes AB. BF peuvent estre prises poure
une seule AF et que par conséquent ce cas n’est point different
du precedent. J’ay pourtait voulu le rapporter pour faire voir comment
il est bon de comprendre  plusieurs lignes d’un mêmesigne, sons
un Vinculum a luimitation des racines sardes,: dont on rerra
usage dans la suite, quand il s’agiga de purger l’equation des signes
ambigus. Cependant ce vinculum a cela de commode, qu’on le
veut dissondre et qu’on en peut eximer ce qui bontinons semble
d’une racine surde e
cequee  une seule AF, en calcunant, si toute de
x sont iomnmes
(13) S’il ya plus de trois variations, ce qui ariberient on pourra
cesdem
faire des signes semblables à deux cy, par exemple on fera 4
+ A0 = (F) + AB ( = BC - AC
pour represtieo. s=
...
4
+
y aura (4) AB () BC, sçavoir le meme
signe, quoyque indeterminel; ou il quauta + AB = BC, des signes
it
c’est à dir
oppose). se lon le 1. et 2. Cas. Et à fin que deux signes
semblables = et (+)  mais differents ne se confondent pas
l’un d’eux est penferme dans une parenthese. Et à fin de disterner un seil signe
et ces tate ac  tno pi se mdeipres agare ore testlgilanuit
e
s
sçavoer = ou 4e
X
1
composez de trois signi-
fications, comme
1+ ou 1f
X II Pinceutum
A 2C B3C F 4E
(XIII signes composez
de plus que trois varia
tions.

## Folio 2v — 00069349:0004
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soubsdistinctions de
l’ambiguité
signes homogenes
XV
Signas heterogenes.
correspondents
XVII
tout a fait heterogenes
14) 1s
Il pourra arriver que les variations compremnent en elles
 mêmes des signes ambigus, comme par exemple:
so+ a + b, ou + a F b,
11
 c. ce qui vent dire:
1+ a +b, ou = a+ b, ou + a + b, ou + a - b. et il se
pourre xprimer par les signes susditst +a + = b ∞C
à moins que ce  ne soit une position déja faite, car alors
pour n’en troubler pas la connexion, il  faudroit ne faire
point de nouveau signe, mais plustost l’exprimer a de telle
amsi: F +.  + a + 1d + b ∞ e
+ + a + + b D C. Car cette marque signifie,: ou
Illais pourcomprendre mieux la raison de tout cecy, il faut
considerer, queu dans la suite d’un même calcul il y peut
ou tout a fait, ou en partie: et par consequent les signes
sont  ambigus sont ou homogene ou heterogenes. les
signes ambigus Homogenes sont, dont l’un determine l’autre
tierement et tousjou
estant explique determine l’autre aussi et cela atarrive 
umicrement
qu’en deux cas, quand l’un est le même avec l’autre; ou guand
compie + a, eta + b. du (F) C (L) d. et en second lieu,
quand d’un est oppose a lautre, comme + a, et = b
on (F)C  (F) d.nec
l’autre; et porte le signe = au bas,
Les signes ambigus Heterogenes bon on
ou en apartie. En partie seulement, quand ils cont quelque
rapport l’un autre, ce qu’arrive quand rils’ont leur origine
alors l’un estant
tousjour
expliqué quoyque il ne determine pas l’autre enfiere
S 3)
ne
laisse pas pourtant d’en diminuer l’ambiguité: pute exemple
si AC  4 H  AB + = BC: sups posons le cast quese
+ signisie + alors ou pourra changer +. = BC, en un simple +. H
Mais d’avanlager, posons que + sin fre ou += un
de deux signifie =, alors toute l’ambignité cessera, e l’autre
sera F. Cllais les Signes Hetensgpnes sans corre-
spondance sont qui naissent des equations tout a fait differentes
et dont en sorte que l’explication de l’un ne contribue rien du
tout à la determination de l’autre dont en verra des exem
ples dans la Resolution du probleme, cy joinit, et dans la constr
construction generale de la construction de tous les problemes
reglle
solides par quelque section. Conique quon voudrao
(1d Or comme tout rrouleour ce poinat de faire en sorte que
dans la fuite du calcul, on puisse discerner les signes et les
expliquer, pour ex faire l’application de la formule generale
a quelque cas particulier qu’on voudra: il est  necessaire d’avoir
des. marques pour sçavoir de quelque ambignité chaque signe
orrespondan
ne et quols les quels d’eux sayent quelq rappor ensetl. Pour
son orric
cet effect je trouve qu’il est commode de se seroir des parantheses
simplus, ot doubles, M - et de renfer et eu des parentheses seublales, semblables, des
 et ils s’ensuit que ceux quil tous les signes d’un même origme, c’est à dire qui viennent d’une
meme ambignitesi par exemple (F) a (7) b. (F) F) d
Mais s’il faudroit redoubler trop souvent la parenthese, on pourroit
se servir des nombre, par exemple, au lieu de (((C +)))) a
uipeur
in pummn feve C 4) a. Et cogme jau anaque
H peut aprive n
es
A et voila l’ambignite
XVIII
Parentheses pour discerner
les signes heterogenes qui
tirent leur origine de
differentes ambiguitez
12
diminuée
ne sont point renfermez
sont tous d’un même origine

## Folio 3r — 00069349:0005
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souvent d’une ambiguité peut naistremune autre par une
espece de soubs distinction (:par exemple dans l’equation
susdite (Fa + b, ou + a((+)b D c. :) on
se pourra servir d’une telle facon: (3(5 =)) pour marque
que la ome ambignité n’est qu’une soubs distinction de
la 3me  quoque dans l’exemple de lilequation susdite
l’on n’en ait pas besoin, car elle se peut exprimer ainsi.
(+) + a + (3+) b C C, mais alen auroit besdin
p pour l’exprimer ainsi fol ainsi
si len on (3(4+ +)) a (3 (4 F F) b ∞ C. ce qui
revient an même: comme je viens de dire, artic. 14
Mais pour applainir toutes les rudesses de chemin
et pour en qui ne fut pas encor battu jusq’à la puisque e
rols qu’il y auroit des gens dont l’esprit secoit embarasse
par cette fabrique de tant de signes nouveaux i
remede souveratu, peu ire de sorte, quon
osolument
n’ait besoin que de deux signes  et  pour
cet effect posons le cas qu’il y ait trois equations
scavoir:
quat. 2.
par exemple _ (3 = 2) K. velit dire, que son signe
est le 2 me de la 3me aequation ambigne. C Parenthase
sans nombres f signe sans parenthese signifie la premiere
equation, quand elle est simple, elte  car et le nombre
devant le signe signifie l’equation, le nombre apres le signe
signifie le nombre du signe du la detre ambigis de cette
Quand il n’ya point de p Neantmons pour
im etdleur expression pounra estre telle:
retraucherotont e superflu; quand il il sera bon de faire cire dansledenominslaur
on sorte que tousjours l’equation simple, (qui n’est dansi mne sipoe et paut pourtant remarquer que celte
que deux cas possibles) tien la premiere place; et dn à fin de ne
donner point parenthe se a un signe simple de la premiere
equation. item quand le nombre est une unité, il pourra ter
estre obmis, comme X (3F)i au lieu de (3F 1)i
Enfin posons qu’il y ait encor une 4me Equation
n 1) (3 =2) p 9 dont l’ambiguité est une sopbs, distincion
I  + p (34)4) distinction de la 3me; alous son
n ∞ (3(+))y (3(2f2), pour margoer que le signe
de p premier de la me equation depend en quelque facon
du signe de K, ou l, qui est le pemi deuxieme de la
rue equation. Et enfir pe touve bon de fermer lesparentlese par en hait pour ses diserpe de quelques autres parentheses
ese facon des signes ul’avan tage assez considerable
de cette fason des signes sur la premiere
pas oblige aà en fare des nouveaux bien men fort
composés et ennuyeux: megenerale
Souvent recourir à la liste pour avoer teur explilation
au lieu que les autres se déchiffrent à la premiere ve
Ma Le Meilleur est, pour ceux qui comprennent assez
le fin d. l’interieur de cette methode, deles jor se
servir de l’une ou de l’autre, et de les joindre même selon
in dansense slliende    tiides culit   att rs   p  sum punt
las de les eprinen re  es
en adjoutant des nombres aux
Fet C, est tonsjours marque au signe opposé à celuy de K.)
X NVII. Prrantion  Exceptum dedetle reste
at 72H 2 dc
mais un signe opposé à un autre,  n’entre
point dans la ligne du conte et n’estipas
considere comme nouveau
rethode de reduire  expressions d’une
meme grandeur, a une seute, ne reussit
Pas quand celle grandeuida n
le coposition d’uautre de differentes fasons
par forme de division sureptraction e rucines
par exemple cy y + yt +.d, 4 +
de sorte qu’il faut chenequa lacher
d’en faire une equation, et la purger par aples
des fractions et racines: pour voir ce qui s’en
pouribit faire
sin
duoste
une explession qui vetchancer
Endroit est optet de laautre) impanement sa
dasnterme, tanso  par mulloforme de multiplication tantost
i  pel’ est
pour esparer nene pendant l’operation d plusieur
signes correspondants joints ensemble ne se détruisent
peut estre, ou s’expliquent mutuellement
comme cela arrive bien souivent quelquoe
fois; le pourles expriquor au beut au
 porrd aussi biey que dans la premiere, quel e pas li
sont correspondents, quory’elle n’explicu pas li

## Folio 3v — 00069349:0006
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s
30)9.
ambigus,
en signes ei lettres. l’est assez par lé des signes ce
me semble, et les preceptes de l’operation acaussi bien
que les exemples acheveront d’éclaireir les restes de l’obscurité.
comprn Les lettres sent ambigres en fait de l’amaly se puvent i
signifient tousjours une ligne; si même il s’agiroit de nombres
puisque les nombres sn representent par les divisions
du continu en parties égales: et s’il arrive qu’une
ligne est dite égale a un rectangle, ou une lettre au
uoi
produnt de deux ou plusieurs, il faut somaginer ala partie defectifve
de l’equation  defective est multipliée par autant de dimensions
de ta l’unite qu’il y en a qui luy manquent. Mais
on peut aussiulvonceoir des Lignes inficiment grandes,
on infiniment petites, c’est a dire egales
(2) Et pour les infigiment petites soit une ligne comle ABC.
et une droite qui la coupe la courbe en deux points
B et (B) donc pour cenceuvoir que la ligne DE est
la touchante, il faut seulement s’imaginer que les Ass D’ailleurs an sçait bien
de la ligne B(B) ou la distance des deux points ou elle qe la methodé des indivisibles n’a
coupet est infiniment petite: et cela suffit pour nen de solide, qu’autant qu’elle
trouuer les tangentes pr le culcut
Madsi fin.
toye l’usage que cette supposition
C2) Mais a fin que qu’on que l’un neti de detromper
ceux qui croyent que cette observation est inseparablement
cy
ent avoir
attactee aux Tangentes et à la methode de Maximis
et Minimis; reprenons l’exemple de la ligne AC
determinee par deux autres AB, BC te point C.
estant ambulatoire: on voit bien que le poinet C. qui’ est ambulatoire
peut tomber dans le poinct B. puisque il peut tomber
en deça et au dela de toutes les manieres; et alors
la ligne BC dera infiniment petite. Dons l’equation
AC ∞ BCX + AB = BC demeurant tous
jours veritable, il faut au cas de la coincidence des points
B et C concevor la ligne BC. infiniment petite
sin eque requation ne contredisepas l’égalité entre AC et AB.
utis qu
ocela fait vau aussi qu’il n importe point alors si le
Be signifie  ou =. suisque on pent 
blacer B C, mon, dir seulement dijectement sur nB
a signe. A.
pou faire A   AB mais on peut aussi
l placer su deja entre A, et B en (3C) pour veu
que ou au delan B en (BC) pour verifier par l’une
à des positione C’Equation AC, C + AB - BC et
par Pautre l’Equation AC  + A B. + BC. pourveu
que la ligne dC) n on (3.C)e tit conceue infiniment
petite dila ela fed vol cohmenti cette observatim
peut servir à la methode de’mniirysalité pour appliquer
me formule generale à un cas parficulier. Car pour on ne spauroi
compendre le cas de la coindidence des points B, dins
β et C. dans lequation generale AC ∞ AB = BC.
qu’en supposant des lignes infiniment petite. Donc
c
d’une
tant
ranteu
∞ a = b. en ce cas b sera einfinuiment petite
uo
XX Lettres ambigues pour
exprimer les lignes
qui se peut representer aussi par
une ligne ou lettre)
qua sonde et dem
depend de celle de
in est manifeste 
nfinis
Archimede que
Germetrie d’Archimede dont
le Gulidin, Gregoire de S. Vincent
et Cavalieri sont
les restaurateur
se sert des grandeurs infiniment petites
.  2c
19
+
Lignes Lettrs infiniment petites
trot
et
indivisibles ,t
X XIIB leur usage
en fait de lauchethode
de l’uoniversarite.
e
+ et BC egale a rien

## Folio 4r — 00069349:0007
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23
A l’exemples des infiniment petites je ne voy rien qui
nous empeche de faire  conceuvoir des infinies, ou infiniment
ma
grandes e quoyque je net voye pas un qui
dans le calcul Analytique quoque ces lignes ne o pas entierement
entierement inconnues aux Geometres Car il y a long
temps qu’on a observé les admirables proprietés des ymptes
lignes A symptortes de l’Hyperibole de a lonchoeide ele to
Tissolide et der plodieues autres, et les Geomettres n’ignorent
opas qu’on peut dire en quelque facori que l’Asymptote de
l’Hypeobole, o la touchante memée du centre à la courbe
est egat une lign infinie  a  rectangle fini. Il y
o
a d’autres Asymptotes dent upen dire par la même raison
qu’elles sont égules a des solides, et même a des sursolides;
Et pourne preverri pas mal à propos des choses lexemple
qu’on appelle vulgaremat dont nous nous servirons pour dontrey un essainde cette
ineithode, on X trouvera indans la suite, que latus Transversum
ud
de la parabole doit estre ulonce d’une longuem infinie:
Aussi aon a- on temarque dans laslables des
sinaes qued la vangente et secante sont d’une lingueur
infinier quand le sinus droit, et le sinus entier sont
qu
égaux. comme la Taugente et  sprus droit sont in finiment
petits, quand le sinus entieri est egal a la secante
1
(24) Outre cela une lettie du ligne peut, estre poseesigale
1.
a ’une an autre det par ce moyen la gereralites de tou d’une certaine tirison donnée a une autre,
dum
du probleme, ey plus tost de l’eguation peut estre pestrente.
à un certain cas plusa particulier, et bien souvent plus
uv
aise. Cela sert quelque fois à faire voir d’abord lurre
ducibilite d’une equation, comme Monsieur Huddest a 
requaro remarque: item va examiner la verite du
culcul dans un eas, ou elle est connûe d’ailleurs  mais
comme on m’a pas leseu de preceptes pour cela hil
ax
seroit inutile de s vouldir elendre la dessus d’angutage
la dessus. On peut aussi poser une lette qu’une er ettre
soit en raison donnée a une autte ou l’on peut expriuer
sa valeur par une certaine equation: tous ce la pe diminue
servir à retreindre la generalité du probleme, et peut 
qui nedut rien de commun adec le present desseiin nostre propos.
tas
servii  sont
ccelle considoration
mais il Hest pat lie les temps d en par ler apresent:
mais leur consideration est un peu chox eoignée du sget
lettres aussi peuvent servir à signifier
 nostre sujet. des Egrottions Exponeuts des Degrez des puissances, pour en faire des demonstrations universelles
a
ladcet nostre chethode, pour nons haster d veuni a
nostre exeple aux exemplect Lest perations sent
Atalitiques vn synth eliques .
Apres l’Explication
des Caracteres leur Usage curra din en
nont pas besoin
compre dite en peu de paroles Sera aise a comprendre.
e nin met dud u
itava
ied
diennu
oli coiriste dans i les cperations de la Methode de lund Faussiabion que de Caleul Algibraiqui a Generat
Universalité, qui sont semples ou composées. Lesu
e
a
er
riru Nlatemoslatum des Agu
lddition uovubstraction, multiplicationem o  ra portentln
divisiont, est ixtt d Ralines: es composees consistent seduistat at a une qration, pour la former
simples sont
dana la propuration ode lAnalus se à le sythese pour. I. Cnna
pou la potir, pour et at
 Calenl pont eveum a une Equation Analytique et a une construction sputhetique rren, retue purla resordre
auis luous  ne raspudteides que ce eyre nstre melhode a de particalient et tout recus d c di 
pn
ad
XXI. Ligus nfiunes
r
XXIV amti4
ambignité des lettre
là l’egard mêmedes lignes
findes
one
adon Algoristime,
XXV simplese
operituus dera sehettode, de lhniver
isalite.
par lignes on nombres.

## Folio 4v — 00069349:0008
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aussi courte caussi belle que faire se peut;.
monis nous ne remanquerons que ce que nostre
methode à de particulier en tout exey.
L’Addition et soubstraction n’ont que
precepte esse. si deux on 
de
un meme signe yellesise jondront par un vinculum gaur
comme sons le même s le dit signe. Par exemplem au lien
+ a +b au lieu de + a + b f c d
si ces lettres differense ont des signes opposés, et ne 
 es
un vinculum comme dans le même exemple, ou pourra
et sont d’un même costé de l’equation, ou ne sont
dans aucune equation, ou peut neantmoins les joindre
sous un même virculum, en mettant plast devant
ces deu lettres  une autre egale d’noins elle
Y0- C. Paresemple soit une grandeur de cette
valeur: 4a , cest à dire la difference entre
a et C. soit pose f ∞ 0 C alons nous aurons
le signe et- devant  que nous pretendons
de ranger sous le signe de l’autre. Par exemp
soit une grandeur, de la valeur de: +a = b
on la difference entre a et b. l’expression peut estre te
= a - b, ou =b-a, et il est a nous de ches
on peut obdenir la même chose d’une aautre façon
y meter le en cachanranbenrs colum
à la place d’une de ces deux ettres une autre égat
18∞ moius elle, par exemple en posant c
on aura = a +C, aulie au
mais cette methad façon iroit si la même lettr
B se trouveroit ailleurs dans l’equation: de sorte
que la premiere est plus commode en tout cas.
si deux lattres ont deux signes qui ne sont pas hon
sont inconnus de differantes positions? il ne faut un
’assez aisez. Il y a ou les mêmes
lettes, pou des lettres d grandeurs
non des grandeurs differentes: item les
signes sont on Hemogenes, ou ne de sont
dea st a s s  snt
qu’on quand il s’agit dode de former ou d’ordonner
pliant par le nombre d’autant d’unise,
iqu’elle se trouve de fois. Par exemple
a nb +b f fait.
si la même grandeur entre dans la
composition d’une autre avec des signes
i antre opposés, it ne fant lecaire qu’une
seule fois, en la multipliant par
s se detrurrent,ces deux epr
expressions se detruiront mutuellement
pourven que le nombre qui les multiphe
soit egal, par exemple
+3a + bD+ 3Ca fait + b
feroit + b F (ca et b
Et p et comme le multipliant pent aestre une
lettre au lieu d’un nombre
bm d
troumera un peu
monis exposée à la preniereveue: soit
sçavoir: si la même  grandeur entae dans
le composition plus d’une fois dans la composition
aleur d’une antre, avec des signes
homogees alors elle pent estre conue one
mul écrite une fois seulement estant concue
comme multipliée par la somme des multipliants
particuliens si tes signes soit l. elle est affecte
plus d’une fois d’un même signe; ou par
lem difference, quand les signes sont opposés;
et enfin par ne une grandeur composée
des multopliants ecles mêmes affectes des memes
signes, suits sont si les signes sont
heterogenes. et quand il nya point
dtifferentes de multipliant il fant concevoir la
grandeur  comme multipliée par l’unite
Par ceemple c + fsc 1+ dy
l’une aupres de l’autre, se lon que l’equation ou le f
Si deux ettes dont les fignes sont homogenes une l’une
est connue, l’autre inconni sinconin toutes les deux
et si elles y sont, il faut en eximer une: à moins
les mêmes preceptes assez courts et
en fait l’addition en ne l’écri-
onoges s  eattm) vant qu’une seule fois, et en la multi-
n soit que cas signes soyent correspondent l,on heterogenes
entierement, o j’y peut rien faire à l’egard
de l’addition ou soubstraction que de les mettre
passces regalierement les joindre sons un même vinculum,
Addition et soubstraction n’ont que
entre plus d lune fois dans M
ont, pas d’un meme costé de l’equation il faut les ou pent les
mettres toutes d’un costé; et pour les joindre sous
si deno Telrus dit eren ont des signes opposez
P’unc, et d, substituant à la place d’une de
en mettant  devant l’un dont nous retenon
celle qui nous est plus commode.
ailleur.
+y +9 + y + + yoe fera
q Car je mu sers
o grove differentes dinensions
l’equation, car alors il faut mettre lesc les inconnues diun un
sd onlo
n sacduprecedante par la silivante
Est quoyque la regle ne parle que
de la multiplication, il fet  est ai se
de l’appliquer à la dixision car par
eremple s’il est  même de diviset
X par d, ot. dele multiplier
par ex. il 9q pantant
on ne fait pas scrupule de les joindre, comme on verra plus bas
Can c’est la on le vinculum ferdvon primipalement son uesage mesee eele ptu a de eu qui est

## Folio 5r — 00069349:0009
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quan
30)
Si les signes de oux serandeurs differentes ne sont 
point homogenes soit que  signes soyent correspondantsun
on heterogenes entierement ou n’y peut rien faire à l’égard
de l’addition on soubetracton de les placer simplement
 leurs signes, par eremple
a  monit 
choix à faire à l’egard dis autdes operations pour en venir Sivs voulez adjoiter = a a b
about avec plus de facilité mais il faut 
la dessus à la fage practique
3) Ce que nons venons de aequendes ven ons cor
qui composent une autre
casement à plusieurs, car on en peut tousjours faire deux 
est
applisquer.
mu
seulement en prenant ensemble celles qu’on voudra, a
une sente et ex les considerant comme unese
d’entrer
si plosieurs grandeurs au lie Gndeurs au lieu de compoer dans le compositions
une seule grandeur, composent une Equation, on peut D pinic des Grandeurs qui
tousjours faire qu’elles composent une seule cgrander, vil un audro eintrent dans la
en les rangeant d’un même costé de l’équation si elles un lurita,
n’y sont déja. De sorte que qu’il ne fait que cheuher
des equations et reduire plus ieus equations en une scule,
pour faire que plusieurs grandeurs d’un même calcul
entrent en composition d’une seule, à fin que la practique des
regles que nous venons d’expliquer paisse avoir lieu. et ro
Dien souvent on peut épargner la transposition fe
l’Equation par ce qu’on voit deja cequi en arriveroit
jar exemple, s’il ya, + a c b Fuca, n
voit bien, que cela fait: l d b=cae ∞ d.
Apresent en passant
(32) Avait que de psse de l l’Addition ou soubles
straction à la Multiplication ou division
il est a propos de remarquer une difference 
considerable intre elles, sc avoir que les signes certa n 
peuvent estre consideres comme
quoque corre
heterogenes, quoyq corres pondants à l’égard de quelque autre
d’un signe ambigu: mais en fait de Multiplication ou a 
division on les peut considerer comme homogenes avec quelque autre
ousjoux un avalitions en un seul signe
Signe que se puisse
on divitent avec quelque chaugement, n lieu comme font
les homogenes ou lien que les heterogenes le plus souvens
restent do tous deux et nous obligentderles écrire
ensemble. Par exemple ponr adjouter = et +B
olt pour soubstraire l’un de l’autre, on ne sçauroit
rienfaire quem de les écrire lhn aupres de l’autre
avec les signes convenientsFa + b, ou  = a b. =
ellais en multipliant =a par +a, nous aurons F à
. . F divisant S Fa par - a .. . . . . . . = a dc N +
on aivi
Am.
tout sigue multipliés par demeure tel qu’il eston dun nvi
et toyt signe multiplie ou devise par = est cun
changé en son contraire. Comme l’affirmation, d’unen
affirmation est dousjovas une affirmatiem, et la negation
d’une negation est tousjours une negation: mais la
negation d’une affirmatin est une negation, et la negation
s ngoin est me m esimution
quand les signes sont retelugines
XXX
adjoute a +b, fait + + a +b,
+F a oste solibstrait de L b
fait L a +b. sans aucune autre
observation quant a cette opeation,
composition diune
autre
l raiom de l hon tore de
la mulliplicatione;
des signet + et = sont heletu
ares, es deditur et comgeenes
ln finsite
XXXI a
dun
que f qu’en fait  da de lsidition on bl bstraction
XXXI 
et l’egnro de la Mostaphentis
on division, un d’un signe
ambisu par un liore determine
si les signes determinez sout
homogenes cou heterogenes à
l’egard des ambigus P
laut 3ldu
un dau XX
nuca 3
stemltiplica ton ou Division d’un signe
ambiga par un determine
alin dme
vil ne
d putun

## Folio 5v — 00069349:0010
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dou vient que dans l’Algebre ou Analyse commune 
+ 0+ ∞ + et +  + ∞ +
a-
 -
+
ida
.
-
par consoptut.c  (
dans la nostre :.
de memie
al L. +
ais à fin qu’on ne tronne pas cette mattere n lind.
se scandalise pas de retted maniere de perte ique estou sont multiplies et diviséls)
signes  X maltiplient, et A divisent je trouve à proposunde
de la justifier d’autant plus qu’on en peut tirer quelques
Dobservations intiles je idis donc, que soubstrai qu’adjonter. du didiser
vous
triam
ex Aat
 la grandemir a adjouter, ou si voule, truu
son signe upar A, 1. et soubstraire est multiplier on dqviter
e d.
la dite grandeur r ou son signé par  1. or  nquand il y a quelque autre chose à la pluce 
sepent obmettre impunement, puisque elle
nepoite point de changement à la multiplication ou division
donc l’on peut dire que les signes multiplient ou divisent
et sont multiplies ou divisés. C’est pourquos u
C’est pourquoy, adj outer =b à tC est multiplier
.  1o 3 etid
odum no
nn no saviou un
= par 1+2 et Mecrire caupres detc, pour faire ni isn
, +2 +bHc mais par let regle demultiplicatum in
2 - 5
que nous venons d’expliquer = =1 +. dons l’versa.
 0 d
l4
 R3+
deddin de , adjouterrles termes susdits faitse =b
soustraire
l.. =..S
et l’on voit que la raison de l’addition et soubstraction depend
eulcas de la multiplication et division
m=
sini R
Cette observation palt contribur aussi  con est conforme
pousser plus a confirmer ou expliquea, et meme a aussi auxi
pousser plus toin les regles susdites de l’addition 
on soubstraction données cy dessus, car en verhe pod
de ces regles on pourra changer +a f+, en v n arilus a
a, +1 + et + a +b en +1 atb
ou + a +b. Tout cela est de grane grand nd
usage pour la transposition des signes d’une lettre on grandéur  supimlamstonce em la trodistation du signe
lation.
ava
 à l’autre, dont il sera parlé par apres plus bas
ira
de la diviscon asta liplication
Lese signis a liguo honrgeres nesemultigbene r ardantr
Nous avons remarquebigus cy dessus que les
Jamais sans  coalition en un seul signe cemais davantage
en comprenant t  et - sous le nom dles homogepes;
a par
mais les signes domogenes ambigus ont 4 et
ou + + et 4 =, on (+) et () Mt. se 
ont cela de propre considerable, qu’ils se multiplientu
entre eux
janais ny divisent gamais, que l’nob faus destruction
entiere de l’ambignité: dont la regle convient avec
commune,
vigu
şavoir; que deux signes homogenes de aussi bien
queambigus multipliez on divisez ensemble font 
eterminez
et deux opposez font -.
do
e
+t+
1000000
+(
nm
FE
std. X∞X 1K
aint
qu’on a raison de dire que a
les signes mêmes multiplient
on divisent, et qu’ils sont mul-
tipliez et daisens 1
12odb euop Hem 4 c lv4 octe
adut
eud nix vuiita
XXXV. mult
Mulligliatim on divesien d’un sipne homogene
ambigu par un antae antre
rct
 les signes dete
parfs comme e, on = et-
 segtes honogn
5
Ic’est à diré les memes 4 et f ou  et =
ou F et 2 f, ou 1 f et + F) et
et les opposez tquidum in LviD
N. utile infra ad pestrnctines ambiguditatur
pour le Moix des plces, en fmtn
les homogenes enseble, carinsi ac une
seule quadsature defruit toute l’ambiguité
e ss cele il en faut plaseurs
Squinuv  ad no
mantur ina p odum eosta nun Y. audap
u ta
dut
Eru. pavt A) motm 
A AB iurtn 2a guu D

## Folio 6r — 00069349:0011
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Par consequent
+∞+ ∞ + ou 1f
n +. -
F...... +
1. +. -
..-.
++ c +
++ . -
10  4
+ + ... -
Lies, signes Hethrogenes ordinguiement me
produisent point der changement Correspondands
estant multiplie du divisez ensemble, bicu sonvent
eate
Les signes tout a fait Heterogenes  affirmati
eux
ne produiseu se multiplient et se divisent sans changement
et saus, il n’y a point d’autre formalité a observer
que de lest écrire l’unf auprés de l’autre
par exemple +a (+ +) fit (+ +) b fait
+ (+ F) ab. et + + a (t +)b
1 fait = a
+ +) b
Deux  signes He terogenes Negatiss t c’est
à dire qui portent  au bas du caractere, 
1vx
estant multipliczue ou divisez l’un par l’autre se
changent en affrmatifs, et le produit est le idd
même que celuy de deur deux affirmatifs, per exemple
= a (+ + b fait = (+ f) ab
ac.. ( Xii
+ a
+b
Si de deux signes hetrogenes l’un est affirmatis
l’autre negatif, vous prunez chauger eu affirmatf
avez le choix de c faire. ou laisser affirmatif 
celuy de deux qui bon vous semblera; pourveu que
l’autre soit fait, ou demeure negatif, par exemple
Fa (+ F) b fait s_ = ( +) ab
rin , d+ (+ +)...
.. C.......- 6
6
E1 4)b
5
eut
Ce Si deux signes correspondants se multiplient 
on divisent ils suivent l’exemple des Heterogenes
a moins que leur nature particuliere ne nous oblige
quoqueqe
à quelque autre changement. Et commelles exemples
en soyent infinis, on pent nean tmonis il suffira neantmonis
d’en rapporter deupour estre instruit à l’égard
iderer
de tous les autresnaresoit une même grandeure
tan tost +a + b, tantost + a = b. Ba par consequeat
sa valeur generale + + a t b ∞ C. apresent
si la suite du calcul nous oblige de multiplier, ou de
e
diviser a par b chacum avec son signe, nous aurons en multipliant + ab au licu de
++ ++ ab et
 au lieu de
+ + a
=+ b
Iterqs multipliant oc divisant + + a, par + d 4+ b par =d
ut aunt lsquis ses eiresiau e tis ms t at  l tisaou lo  la d. 4. , et ndt t1
f=b X+C = X  a
+a
X+DX Fc = +X fb2 +b
CXXVI
de deux sigues heterogetes Catre cuxus 
affirmatif on algatist
2F
stui
XXXI
Mull de de signes heterogenes
eta enu
de deux sgres correspondents
. Y

## Folio 6v — 00069349:0012
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XXXVII
d quand pta une memes em ra
plusieurs signes se trouvent
ensemblet devant un
mem e grandeur en un mere
enigont, ompet dir qu’ils
m
Pout ce que nous venons de dire de la multiplieation et division
des signes, se doit enfendre aussi quand nous  trouvons
que deux signes as une mame grandeur n rmême
une même grandeum déja poses signes ensemble
l’un auprés ou au dessons de l’autre, calo car alors
ils se multiphient ou divisent. Si s’il y a plus de
deux, les mêmes regles, ont lieu, car ou peut comprendre
un seul
quelque paire de signes qu’on voudra sous le nom d’nde n
fenle par exemple  + + + + + a fait
endu
ou = + + fait t +, et + + + + fait f va
ou enfin + + = + fait F, et  = fait f.
39
L
nesera plus diff
Extraction des Raciules nest pas
’a l’ordinaire
eti
à celuy qui aurat compris
difficile de regles
ce peu de precptes que nous venons de débiter par cequelle
car pour le reste elle est entierenont confome avec
l’orde se cof et à fin qu’on ait de quoyque s’exercer
susdits pour
un peu sur ces preceptes, à fin de  comprendre mieux
l’apporteraq
petit.
je rapporteray un exemple tout
fait, cavec sa preuve, et je laisseray au lecteurn
de le faire par se lon les dits preceptes. Soit
une equation 2aX Y X 2aX F a X C2
et la question est, comment il faut exprimer la
valeur de X. conformement à cette equation
je dis donc que X est egal à = Sg 14+C
dont voicy la preuve, X ∞ + sagutYq F 4
done X = 9c = s a4 +34, et par consequent
+X = 29X +9 ∞ a9+Y9 ou si vous voulez 1)
aX +2aqX + ag eotaq = 59:  ostant aq de deux costez, il vous restera point de taline d =  0t
vous aurez + aX = 2a9X ∞ = y9. ou
+ aX 2+2a4 X  Y, ou = ̀ X + 2aX C y comme nous l’avious suppose 
+4
= 9
confformement à la premiere Supposition. La
consideration de cette operation peut servir d’exemple
à la plus part de nos preceptes:
1)
 au commencement
Il voila les 5 operations simples du Calcul
les composées, sont la formation,  la Reductn Preparation
et la construction  d’une Equationcomme
nous iaves ren ee particler sur la Redaction mas nous adjouterons lacquatrione, qui  est partculice
nons substituerns ca sa place une autre part qui est a nostre sujest sçavoir la interpretation
particuliene a nostre supet, scavoir l’interpretation
d’une Equation ou formule ambigue trouvee.
Tout ce que nous ayons de particuler à de
sur la formation dna Equation cusis de dons 
translation des sigust de place en xare
sd q Parru contrende
on sucte fesi lat oro ationd aane
. B Resumi les cettres abc arlicu da
XXX VXI
extration des racines.
40) il
XHX , XL. L
nequ’il y
a des grandeurs quic n’ont poin
de racine imaginable à l’egard des
Il faut pourtant remarquer qu’il y a
de certains cas, ou l’oe ne sçauroit
extraire la hacine d’netgrimieur affectee
d’un sigue ombigre B, c’et pour la
Tonscati +X erc a a
fait X + 5 4 ae et x  +  a
quoyque on la puss extraire, si le signe
ambigu  estoit pars changé en 7
par exemple = XV n’a point de racine
car il n’y a point de grandeur qui prodnife
=X multipliée par elle même, pourveu
quion aitg egaro aux signes. La
raison en est, parte qu’il n’y a
 est compris dans fX
ans la preparation de l’Egracon
(4) opralivus composćes qui s
rapportent a une Equation
+
+
tra d’unerEquation on formule ambigi
tronaee +

## Folio 7r — 00069349:0013
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La Formations d’une Eqratim Universelle qui
dort comprendre quantité de cas particuliers se
trouuera aisement parle moyen des lignes et
des panits marguées des points, en partie ambul atorres
en partie fixes comme en dressant une liste
de tous les cas possibles. Or pour ouver cette histe,
il faut reduire tout a une ligne, ou grandeur, dont
la valeur est requise ’et qui se doit determiner
par le moyena de quelques autres lignes ou grandeurs
adjoutées ou soubstraites, par consequent il faut qu’il
 ait certainns points fixes, on pris pour fixes, icar
comme e mahee le mouvement et le repos ne consist
(ces metipicaais soes (X LII. 
ci leur place, les peuvent faire cranduir les amphibolies
car il est manifeste, que +a = b, estant quarre,
donne + a - 2 ab + b. Mais on voit aussi que
il est imjortant d jocidre d’autres moyens, qui servent
à la même fin. Car quoyque les amphibolies ne naissent
les endroits possibles differents, nous donnent le Catalogles
il faute unaque redure et hauone tous les ca
l’art de former des Equations universelles
memies l en lesquadrant, en fn substituant le quarrem
que dans une relation:) et d’autres ambulatoires; dont
de tous les cas possibles. les lignes dont nous
tous servons sommes servit au commencement de cette
le feront comprendre aisement: et ou bouvera d’autres
aut trouve cette liste
eh
que par l’extraction des dannes; elles evanonissent
sans multplocation d’une mente quendem
même sans aucune multiplication, car
= a. Donc il faut tacher de profiter de  les
b moyens pr il est possilles de vant que de venir
a la multiplication de la grandeur par elle même.
(53) pour en donner un exemple, voyons, si s’il
est possi ble, de trouver une notion ab solument univer
selle, de toutes les sactions coniques, sans aucune
amphibolie, po a fine que nous puissions
dire d’avoir tronne une definition de la section
conique  en genera, pans mention du cone.
l’equation gmerale ambigne est ax
hax + a X- y ∞ 0. que si nous
donc + a X ∞ y= 2aX. et 
possibles, par le moyen des signes ambigus, et des
cettres d’une valeur tautos ordinaire dont la valeur
est tan test ordinaire, tantast intfiniment petite grande in perik; a X y + aXY + 4a X L
ul I X ++X ∞ y 4ax Y
Jose dire qu’il n’y a rien de Si brguillé et different
qu’on ne puisse reduire en haimonie par ce moyen
et si on me donne même jusque mêmes aux figures su courbes
de differents degres, comme sunt un orvite, une ha ellipse entque hec sedioni
quadratum omnatae quadruplicato aechnulo, sub latere
et une cissoeide, je pretende de trouver le moyen non
seulement de faire quantité de Theoremes on propriete
dans les quelles ces ligues  s’accordent, mais de resonde
recto et eab scissa digiantum sit ad garatum alpsae
lateris recti adiio
laters recti, ut quadratum ordniata est qataum scisse
même en elles quelque probleme n, que ce puisse
universelle; excepté les probletes
estre, par une constre hentres de Gravite
theoremes des quadratures et autres dont la solution
ne se honne pas par les mapen consiste pas dans
la resolution d’une Equation.
pour en donner un exemple j’ay trouvé à propos
me servir des Coniques. soit une section Conique
ABY, dont le sommet A
et la AX = X, X YXy
cette equation aX
0 seca e ou la ligne ABY
section Conique, et recipio quement qu’il n’y a
point de section de Conique dont l’Equation
nel soit 2a∞ = a X~ y0
Car si AB  lua dun cerale, a et 9 estant
posées egales, et  estant expli que par = nous
amons cette equation 2a F 2aX = X
il est constant que celte Equation convient au cercle a
estat le mineta mgon, DA _ BE _ sa v q
La toutes lessons coniques
(24 bien souvent nous trouvons des Theoremes Uni
sans faire evanour ar  quicai les signes
exemple; soit une section conique ABCV
et les ordinnées BE, CF, DG les
extes c’es adne sorent les dipances es
perpendiculairis et ordonnées a l’axe
appliquées à l’axe pas paralle les
entre elles; et aux oidonnées de
de sorte qu’elles tombent dans l’axe
Motot Ltm dcrectum avec l’ordonne
est une ligne droite. Mons. Hugens
a observe dej a ee theoreme doul je
aut calutas iolitesce

## Folio 7v — 00069349:0014
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de ême de même
 estant explique par -, a et 9
mais
 sans determiner si a, et q sont egales
ou inegales, l’equation produite F sera
2 ax =  X sç avoir celle de l’Ellipse, a
estant son latu rectum 9 e Transversum
La memon chose estant poseer, hors mis le signe
u hor excepte le chaugement dusigne Mais
 le signe ’ex estant eypliqué pr +
l’equation
et
fin pour y comprendre la parabole ed la
d lignem droite il sera edo il faut se
servir des que
 l’equation generale (quoque amphibole de toutes
les sections Coniques est:
etd
2a∞ +_ XV ∞ y donc
par la methnde des Tangdates 2yr l 
rar f a XY ∞ 2y, r estant pose ∞ ER. distanoe
de la tangenté de et de l’ordonnée prise dans l’axe, ou
 fa XY d Ha raX + a g doter,
Y ∞ rax f a x
le reste offt pose de mêne comme auparavant
Equation 2aX  _ X
ec Y3 Hyperbole,  ad 
4i
Or posons la ligne q, once latus Transversum
a +taX
d ~
l’Eptum 2AX 9 = ax9y sera equi valente
à cellecys: 2aXq Y ou 2aX  y ar parce que
de le la de l’equation aX est e infiniment 
p
bet
perit, à l’egard des autres 2ax9 et qu
4
or EB∞  aX+ ax
est moyenne proportionnelle
entre A ER, ∞Y,
et Ei, que nous appellerons P. dons
2ax fa x X p, ∞ na= F a Xp.
donc p ∞ rax + a X 2
3
2ax +.
X
a + aX
IX LIV
a + aX
aussi bieu qu’à la Parabole
et ligne droiter. Mingle
3 Id Per abole soit d’unt longueur infinie il est manifeste, que l’equatior
le nombre d lettes des olferres estant posé le
ou p ∞ a + a X. or
+ c’est à dire
il est manifeste, que le
lieu de toutes les a + a X
est une  ligne droite  ce
qu’il falloit demonstrer.
que celuy dont les lettres re sout qu’ord inaires
et qui par sensequent  pourra ney este negliges
puisque Verreur qui en provonra ne sera quinfiniment
à dire nulle. On voit par la qu’il n’inporte
remaquer l’usage que du vinculum en cette
matiere, que le vinculum a icy; soit, une
equatim +a ∞ a -x _ Y +
nous aurons arya t y ∞ a=X)
ox, +2ya = y ∞ X, et par consequento
le lieu de cette equation est un cercle.
donne au signe.  puisque son terme evanouit. item que le Parametre de la Parmbole i est 2a
(45) Enfin àd l’egard de la ligne droite, on peut
concevoir a, aussi bien que 9 infiniment
petites pars consequent dans l’Equation:
 1 le terme 2aX evanouira
comme infiniment petits à l’égord de = X et Y2
et ce qui restera sera 4 a X2: y l le signe  estant changé en 4. or la
raison de deux lignes infiniment petete peut estre
la même avec telles de deux lignes oldinaires soit
donc la raison  egale à la aison
lignes ordinaires behe? et nous auro 
1X = y2 ou +. X
 Y.
er s dont le lieu tombe dans une droite, car
les lignes nons posons  mes anons
l ere les lignes D  A4 et E ct
c
e
dd AD et e  DE ex raison sons douple de l. et C, 
et la n et soit  decrit ne Triangle esagte
ADE il ex manifeste quAD est a DE∞ comm
oupar Jehy pothese  q à a) come  d’ane
commet AX b - X, d
et u 
1o Y 3 y. donf e ex X
er
 ou , done Xa ∞ yq
3X ∞y2
1
(qui est celle de la Parabole
même  puisque  y aytant de lettes de l’une ou dimensions il dine faitons + a -y ∞ Sa X, et
d’un terme que deautre, et que ceux dont la
une lettre  infini seront infiniment plus grands
petite;  ou moinde qu’ancure erreur contrée, c’est
noint a l’égard de la parobole qu’elle valeur qu’on
qua
2a∞ = a X
et enfin
e
At
et au Triansle
même de deux quare et ou reclangles
d
laq
soit
soit menée
+AD prolongée à l’infini vers C. et XY
parallele aSDE

## Folio 8r — 00069349:0015
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(46)
Puisus donc nous avons trouvé uns Equation
qui
generale po explique la nature des se de la
section conique en general nous pouerrons proceder
à l’avenir, comme s’il y a voit une se certaine
figure. d particuliere dans le monde, qui s’appellat
qui s qu’on appelldit: section Conique, dont es
Tongentes, les perpendiculartes les intersections avec,
quelque autre ligne, et infon nuite une infinité dantres
pros proprictem on accidens se pourront determine
nepal
qui ne sera pas plus difficil,
que si l’on calculort ple pour la seule
cillipse Ce calcul general montrera même à la premiere
vue quand  interpre tation a vantrala perricus c’est,
à dire qu’and par l’applicution a une figure particuliere
bien de termes eva nouisset et la formule devientra
ton
fort simple: d’on vient ge que l’Hyperbola a des
(11) Adtrent que de quiter ce ponct, il fait  Asymptoles, que les autres  nont pas; que
la paabole et la doite a nont point de Centre quoyqe
les autres en ayent, et quantité d’autres diversités
dont la clef est dans le calcul general,
La preparation de l’Equation derine Equation consiste
dans la purgation df des signes radicales et fractions, dons
son arrangement et enfin dans sareduction ou depression. Mais
Je ne trouve rien de particulier à dire que sur la Translation
signes de plce caplae
Pon Preparer une Equation à la Resolution, it
les S.
(ut
est est bon de la purger des fractions et racine s de
et pour cet effect on se sert de plusi plusieus transpositions
rien de particulier à nostre sujet, que la Translation
fut affectée. inelavest touspouy by de grant usage parce
qu’il est bon, ordinairement, d’avoir l’inconvue sans,
signes ambigus autant que cela se peut, pour tausfere
l’embarras du coste des ograndeurs connues Par exemple,
soit b la difference entrea, et y, l’equation
raleu de y. donc ) b 4 a, et en   enfin
V, ∞ = b + a. Celo se pent jullifier par
les nombres soit b. c 4. et a ∞ 10, et
y ∞ 16Y c’est à dire tanto s, à6, tantost à 14.
14
b  sera tonsjons la difference eutre a, et y ou
710 + V ∞ D car si f ∞ + jaley = 1 2
L
+s
et soit donc 5 + 10 - 6 c 4 1 de même y co f4 + 10
et
2 - .. 414 ∞ .. 3
sil
tor hausposition
la mettre en ordre; et enfin de tacher je l l’abbaisser
ou translations sans l’egalité Mais je h’ytrouve
des signes de place, en place, sane la grandeur qui en
sera Fa = y ∞ b mais nous cherchons la
dis ques
c
mais, si nous posons que y est inconnue, que nous la
cherchons, nous aurons, V ∞ +4 + 10t par ensequent, egale à
sa valeur
 ue is n ai ie i   
XLVI
Qu’une telle Equation est la def
de toutes les cove harmonies et.
differences etre des choses
x LV
preparation de l’Equation, par
la Translation des signes

## Folio 8v — 00069349:0016
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Mluy pour faire voir comment une ref Equation
+a = y ∞b, se change en cellecy y ofbra
il faut considerer cette operatione = a =y ∞ +b, donc
fa du coste de b, il faut luy donner le signe oppose
, et faire =3 ∞ +b + a. ou par les regles
cydessis FY +y ∞ +b 4a, donc divisant l’equation
Or = fait +Fb, et et  fait == a
par une muxime Generale que dont nous allous donner
la demonstration, que de si qu’il n’importe point
dans une fraction, si le signe est mis devant le
numeraleur ou devant le nominaleur, ou devant tous
deux c’est à dire devant la fraction même; enfin
multiplication donnes cy dessus donc nous aurons = y eo fb +a.
Pour montrer ca verité de cette maxime
n’est que la mene chose, il faut faire
or F est egil à  ou à =1 dan e ci
L’interprelation des Formules Ambigues roeer
consiste dans se peut faire de deux facons, en
se fait à l’egard des lettres ou signes: à l’egan
des, lettres, nous pouvons rejetter les grandeur
qui’ infiniment petits à l’egard des autres, mais
il ’y a des grandes precantions à prende
l’Axe dépuis le sommet, par le l’ordonné, de la
Section conique, est 449437 4 + 9.
Or 4 y, est infiniment petit à l’egard de q donc
du 9 qui est infiui, mais il est de nul usage
donc il faut se garder de recetter
quelque chose devant que d’avoir nettoye
l’equation des fractions et racines sourdes
si elles comprennent la lettre infinie, ou
i l’egard de tignes l’interpretation lensiste dan 
doit delivrer, la formule de toute, qui vocation. Car il faut
considerer que l’ambiguité qui vient des lettres donne une Univocation
 ou Universalité mais celle qui vient des signes produit une veritable
Equivocation de serte que las mes une formule, qui n’a que des
XLIX st denuc un Theoreme ver itallus
Accsite de e hanslutim pour l’extracthion
universel qu’en apparence, et à l’eaud de l’uniformit on calent.
Donc l’interprestation est de deux fayons nen qui pe les si doit
deliuret la formule des signes ambigus cen qu’elle fait, ou en
ou +1 a ou =1 , sont particularisant la pomule, it en substituant la valeur s
ne sont que la même chose dont la premiere fait 
signes ambigus  d’un cast particulier donné à deur place
la seconde a la troisictine =F Cett observation
on en faisant evanouir les signes ambigrs aufa unlese
est fort abile dans le calcul avec des signes ambigns.
univer salite. La premiere fee forte d’interpretation est san
aueune fagon ny difficulte, mais l’autre est aussi
subtile qu’importante  car elle nous donne le moyen
de faite des theorenes, et des constmchoins oenmer
49) Cette observation est fort utile dans tou pour à toute universelles et detrouver des proene
o operation avece des signes d de grand usage dans
toute la suite du l’operation tout le calcul de la
Methode de l’universalité, et netu par exemple
s’il y a = X ∞ a fb’on ne sçauroit
en extraire la racine, car il sensit ce seroit d’une
errem. d’en faire = X e S a +b.  par ce que
4X + X +X, fait + X, et point = X
afin donc qu’on en puisse extraire la racine, ilo
faut changer =X ∞ a fb, en X ∞ =a + b
et alors nous aurons X ∞ S + a + 
se) Il reste seutement sa remarquer, que s’il y a une
grandeur faite de la mustiplication de plusieus signes
ou lettres, on les peur des-unir, et on joindre
ensemble les signes et lettres qu’on voutra, ce qui
a souvent des issages considerables: par exemple
suit y ligr  yb J  sint ta y b so
fint +ay + bagu b+ s a3 dividenque
a pro
soit l’equation stoutes sortes de figures et même du
bont nors nous serviroy pour la constrire par lem differentes intersectione
supplee ront à ce de faut et d determineront toutes les racines
ui cs
per +. a l nous aurius y RY ∞-v +cla
ou  ∞ ceat que cette intupolationeved put la
construction on enunciation d’un problemeon
ba thepieme devient plus composée par ce moyen
quelle est. Mais en recom
pense, cellecys de la desunion des lettres pour es an
Donne des lumieres  taus feres en parta avec les signe
12) Le fondement de cette l’Aitde fades trouuer
des formules  altolument universelles coasiste en ce
que les qu figures haronarhiones homogenes
se détrusent ieu se multipliant oy divesant
vatroye me fit naistie la pensé desu tracher de por
d’equton formmlet ds ambipe poun sit nelioger
=a en Fa y et l’equaton l’equivocation, en
b remarquer que ribien, soluent
dans une equation ou fouvnte sans ambiguité
en pemt naistre une quand une grandeur polstone
peut avoir  des racines i expi
as
aendicem habet differantiamonitem ba et a
+  + b. Y Mais quand les racine, sont
nexprimables, gomme si la grandeur estoit 73 l’equation
estoit: 23- B7+ quo elle dememera sans amplibolie malgre nons
donne, les extractions des racines quandelles sont ex primables en peuvent faire naistre
la dessus. Car par exemple, la valent
X ou de l’Abscisse du dommes par londonande
le negligeant nous aurous X . 4, s9 =G
ou  X ∞ d. ce qui est bien vray à l’egar