# Leibniz Legible — https://leibnizlegible.com
# Piece: https://leibnizlegible.com/api/records/36153/text
# Catalogue record: 36153 — Recherches sur les équations du troisième degré inéductibles par les formules de Cardan.
# Incipit: Hoc ego more meo sic exprimo
# Date: 1675-07
# Sender: Leibniz
# Akademie-Ausgabe: AA III,1 N. 096
# Record in the Leibniz-Katalog: https://leibniz-katalog.bbaw.de/de/extended-search?id=36153&katnr=Cc2+1043
# AA III,1: its series at leibnizedition.de: https://www.leibnizedition.de/de/reihen/reihe-iii/
# Work: https://leibnizlegible.com/work/00068259
# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 3 B 9
# Folios: Bl. 1–2 (from the shelfmark LH 35, 3 B 9 Bl. 1-2 (=Cc2_1042;1344)): 4 pages, canvases 1–4, page ids 00068259:0001 to 00068259:0004
# Original at the GWLB: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/resolve?id=00068259&page=1
# Lines: 249 recognised on 4 of 4 pages, mean confidence 0.85
# Catalogue: Leibniz-Katalog / Arbeitskatalog der Leibniz-Edition (https://leibniz-katalog.bbaw.de/), ed. Arbeitsstelle Potsdam I der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, CC BY 4.0.
# Machine transcription. Not an edition. Errors are expected: about 8% character error rate on Latin and French lines, higher on German.
# Licence: CC BY 4.0, Leibniz Legible. Machine output: do not ingest it as verified text; keep this provenance with the text.
# Wording rule: say "the machine reads it as …", never "Leibniz wrote".
# After the first blank line, page by page: a "## Folio <label> — <page id>" line ("## Canvas <n>" where no folio label is recorded), "# " lines naming its source image and model, then its recognised lines in reading order, one per line.

## Folio 1r — 00068259:0001
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000001.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 83 lines, status machine
dul. 1675
LATE RUM
DEBIs 2CTIONI E2
Radices irrationales nova, quibus ad resolvendas aequationes utor, primo statim
aspectu mihi dedere tabulam aequationum quarundam, omnium graduum quae
resolvi possunt per has ipsas irrationales sui gradus. Tabula autem haec est continuabilis in intinition;
2
7
Z
76
e
etcus
A
1 4
1 + p (+3P
N + r (+p L
N. + Y (+) op Z - 5 
1) + qu (4)6 p Z+ - 9p y2
1. 3. 5. 7.. Respondent ergo eotum constrctro, constructioni Tuangul;
1.4. 9. 16
1. 5. 14. 30
1. 6. 20.50
N = X 1f7 p Z - 14p 73 (4Xpd Z
N + Y (48 p Z6 - 20p Z+ (4 16p Z
eK
ete
etc
ete a
2
e -97Z
A er 19 p27. 27pe Z (FBpPZ
Hanc Tabulam initio velut v particularem concerderaverm neglereram, sed
Lattirum
postea re altentius inspecta comperi generalem in ea contineri sectionem Potestatam
Laterum
latere altrens
Sectionem autem Poteotatum appello, expressionem potestatis a Toto, per sotestates
à tata in serieres, aice dente potesate aequate detig rone
partim a toto partim sexis a partibus Latens qua de re non nisi duo habuimus Theoremata, alterum
Euclidis pro Quadrato, alterum sive scixionis Ferrei sive quisquis is est qui regulas invenit
a Cardano sublicatas, pro Cubo.
ACpF AB, (BCB - 2L 11BC
alicubi
Sit linea AB. secta ulivis in C. demonstravit Euclides quadratum ab AB aequari
quadrato ab AC, + quad A CB, +bis rectanus. ACB.
alterutra
alitume
Et idem demonstravit,
quad ratum ab AC, acorutu partium, aequari, quadat ab AB, + quad. a CB. - rectanus ABC
AG BAB-BCB Inventor Regularum Cardani demonstravit cubum ab AB aequari cubo ab AC, + cub. a CB.
A B +B =  cb
ter Rectanu sol
+3 Rectangs. solide ACB A, sive Ccomprehensex sub rectis, AC, CB, B A: et Cubum ab AC aequari Cubo ab AB,
= cub. a CB, - 3 Rectang. solid. ACB A.
Haec Tabula, continuata, pro omnibus aliis potestatibus altioribus similia Theoremata concinnare docet
Nimirum. Surdesolidum ab AC aequatur surdesolid. ab AB, = surdes. a CB, - G Rectanu ACBA in tH C, E AD
quod concidit aequationi Z _ +r - 5p Z3 - 5 pZ, si ponamus Z AC.
a  Daiean D al+ FI soc
modo
si penamus Z ( AC.
IBAC+ L+ ABC
pe= ABC
et 4Y 6I AB. _ CB
est enim - EPZ = sPZ A SPZ in Z + p soiee  est autem pZ e) Rectanus solid. A CB
fitque
E ⊓. + (5) AB. = 5 G G ACBA in ( AC
B
FS ABC
Quod verum esse calculus docebit
sive in literis, sive in
numeris
FCC 1676. Numeu Tabule sic progrediuntur oligu descnsu.
Arithimetici Pascaliani, moda prima series, cujus caecerae
sunt summae aut summarum summae, non ut allic sit
1. 2. 3. 4. sed 1. 3. 5.7 Unde facile hujus Tabulae
uneri ex allipsuo separita catento Mvemur possam si
illi dpicantur
petetatis pue. a qua
tionis purae.
Latus voco radicem
Sed ut seneranter
3H D ACBA
A A ACp

## Folio 1v — 00068259:0002
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 2r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000002.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 53 lines, status machine
dusio
appareat usus Tabulae ad sectionem potestatum, condemius aliam Tabulam sestioni propriam
cujus cum priore  paet facilis collatio erit:
+m
(X)2
+m
+ m
(+) N
_mnL
+m (+) 4mn Z
4
=A2mn
+m (+) 5 mn
CDns
=5mn
+m (+)6 mn Z4 = grini
+ 2mn
etc etc
Quod calculo sive literali sive numerico comprobare facile est, exempli causa in surdesolido
(+M+n
+ 5 m n+
+ 10 mn
(4)10 mn
45m (4) 15 m n3
nti Z - + m n
(4)5 m’nd
ubi patet quae infra lineam sunt, iis quae
sunt supra lineam consentire
Eadem in altioribus horum imitatione facili
negotio fien possunt.
Jam si Tabula posterior D. priori  conferatur, patet fore,
P  mn. constanter.
At in potestatibus inparibus quidem, esse
= Y - + M (+)n vel + m (4) n vel +n (4) n etc.
EY B (,  qui vet ) n and
vel u qut etc
M in paribus vero
Ubi quaad signa notandum, si potestates sint pares tunc + semper significare +
quia fr semper aequatur cuidam quadrato.
Si potestates sint impares, tunc
Posito signum (4) esse +. tun etiam signum + erit +. Est autem signum (+) idem
quod +. cum ponimus Z esse lineam AB et M. n. esse lineas AC, CB.
At vero cum Z est alterutra ex partibus, ut AC, tunc t m. n erunt AB. CB.
eritque Z B m = n. peendo arren et (+) erit -. ubi si m sit AB et n sit
CB erit adhuc =r quantitas affirmativa et ut et quantitas Z, et + erit +. At si
ponamus n quantitatem negatam reprasentare totum AB, et m, affirmatam, partem tantum tunc eeo.
r erit quartitas negativa, et 4 erit -. et ipsa Z, radix aequationis, erit falsa seu
nihilo minor.
Writ
ete.
y5 Y + m (4) inn Z (ghrin 4 15m ni
hutc
t)n

## Folio 2r — 00068259:0003
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1v); this page is its right half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000003.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 49 lines, status machine
usum autem sectionis potestatum gelier
 patere dubitari non potest, pim enim notavi multa compendia calculi et
pariterine constructionum inde oriri, nec contemnendam hanc videri debere sive Arithmeticae sive
Analyseos accessionem, in qua multa fortasse latent, quae dies deteget. Natura enim rerum
velut ludibunda se non nisi nomento et per partes ostendit, et prensantes inoxina fuga deserit. A
suffocerit interea usum exponere, quem habet ad resolvendas consentientes omnium
graduum aequationes.
Et quanvis alia rem via invenerim, ex ipsis scilicet radicibus
irrationalibus aequationes excitando, quae ad sectionem potestatum observandam occasionem
dedere, nunc tamen, re inventa, per sectionem potestatum, facilior, et ni fallor elegantior
ipsirem radium irrationalim in quas hujusmodi aequationes resolvuntur demonstratio habetur.
sit ergo aequatio surdesolida data
conferatur huic 
Z e
-5p
5pZ
+ Y
N - emu Z3 - end Z + m 1 ponendo Z B n = n
Ubi p. et Y. sunt quantitates datae, m et n quaesitae
Fiet mn B P.
Porro Ypy m - n
et ileo Y P et nEr 
sive re m - P. et tollendo fractionem
habebimus aequationem, mo - Y M r p. et  m F, Y + s X + ps
et m p. 10
+5
Jan cun sit -nE p - n + Y. ideo pro m substituto etus valore invento, fiet
=n . = ∞ X, pF +r. eve c unde extahendo radicem, erit
=n r 16 +Y = SX + p
et Z B m n n O = + Y + p + O= - s2.  p
Idemque in retiquis altiorum graduum hujus exemplo praestare facile est.
Geometriam
ipsas esse quarum extractionem docuit Schotenius in appendice Commenturiorum adCartesis
siquae sunt
Unde radices ejusmodi aequationum rationales, statim invenientur, sine methodo vietae, sine
tentatione divisionum per divisores termini, ultimi
demto culico
Fateor tamen nullum esse gradum, Cin quo aequationes omnes ad format cpri reduci possiat.
Et comperi radices generales quae ad resolutionem totius gradus quinti serviant, ex quinque aut
nov
minimum quatuor irrationalium aggregato constare. Quarum formam cuperto, et multa s
aequationes earum ope resolvere possum, et  spero generalem reddere methodum, et efficere
in surdesolidis, quod in cubicis jam habemus.
obiter adjicio, (in exemplum aliarum regularum) formam aquationis quadrato cubicae valde generalis, quae ose
radicum cubicarum resolvi potest, quod magni potestusus esse: saepe enim cum prublemata sunt d’eprimibilia
id est ope irrationalium sui grat
calculum ita moderari licet, ut ad formae ejus modi deprimittes prodeant. Formula hac est:
X 4PX +9X + _ YX  X + Ps X -
Mi veter qua sui stua ee ea aemum. P. i L. pe c. el s pe g. rdi  cam ce ti reiti s

## Folio 2v — 00068259:0004
# Scan: One image of two folio pages side by side, registered by the library under both labels (also fol. 1r); this page is its left half.
# Source image: https://digitale-sammlungen.gwlb.de/content/00068259/jpgs/default/00000004.jpg
# Model: FoNDUE-GD_v2_ft_Leibniz, run 74, 2026-09-06T16:05:13Z — 64 lines, status machine
Nimirum si centrao A descriptus   arus circuli BDC,. Dataque sit subtenso arcus BDC
-1 + X +
-
i-
dentis ex circulo ortae, e (nempe Cycloeidis) quemadmodum orta ex Hyperbole, (Scilicet
et 10
Logarithigica) jam fece observaveram
eo sit X. posita ABA1. erit DLH X
Aaam
SN, R et QLB APerit,
arcus miter at ipsa EC NPB R5 est arcus C M DZM9
sumtis cogo ec R pro numeris, y, secundum
Posita ergo qR b QM it dixip X.
2C2 2DQ arcu H R
debet et
 RS  eMQ, positoque
5 toties contineri in RT, quotie
unitas in numero V. ergo F appellando cd.  et RS vocando Z. erit Z HL.
adtoque 3H G:. ram XA(+ I + b. + r, + sendo ergo
a
QL p V B X. B SN
eut aequatio explicans naturam cuvae cireiociis per ordinatas ad basin
2V5
Posita ordinata
22) +b + 12-1 +
8+L-sP-i
la alscissa RS,, Z. ordinata  sN H v. radio, 1
constatte quodam arculi eusque sasim   subtensa, b.
Si vero pro E0 sumamus non arcum, sed rectam quamlibuerit, vcognitam, vigs. 2. fiet
Ciuva non cycloeides, sed ei proportionalis, cujus omnia puncta quot libuerit Geometrice potere
inveniri, ersi non quod vis datum. Analytice tamen ope aequationis hujus transscendentis comnia
habebuntur: et si faciumus et b7. fiei denique aequatio  transscendentis figurae
Cycloeidi proportionalis eu figurae angulerm
2 
Quemadmodui aequatio
1I
alscissa
+ 2 posita matnatu RS
et ab ordinata A
b est aequatio Legarithmorum 
Et illud inprimis memorabile est Logarithmicam exegtipris ad refotvendas aequationes
erae
puras pertinere, Agutacegu
partes duas
Vicissimi ubi jam dantur cclculi circa bujusmodi figuras, quemadmodum dantur tangentes Cycloeidis
et Logaritmice, hinc vicissim lux aliqua circa tructanius aequationes transcendentes exergat
emicabit
nempe BC, et ponendo arcum BD esse ad arcum BDC ut Unitas ad quendam
numerum V. tunc posito radio 2. ebite et
BC  b. fe er BD X
fier
in
Hinc jam illut praeclaram ducemus, analyticam scilicet enuntiationem. curvae transcen-
1Z vocando 2, fei et multiplimd a ao, 
V)
aequatio  curvae
Angulorum, quemadmodum
Co (1) b aequaetio est curva
raltonum sive Logarithmicae
quas nsoledt da radicis sectione in partes opus esti
Angularem autem ad affectas prii gratus regerri, ubi resolutionis causa necesse est rancem secari in
Hinc illudiam praeclarum ducimus omnes aequasionum radices irrationales, etiam quibus interveniant
imaginariae, Geometrice explicari, per sectionem scilicet sive anguli sive rationis
illuo jam quaerendum est, quanam ratione hujusmodi aequationes calculo tractabiles reddi possint