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# Catalogue record: 36314 — [ ]
# Incipit: il y a deux resistences l'une absolue
# Date: 1675-12
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# Title: Leibniz-Handschriften zur Mathematik LH 35, 9, 11
# Folios: Bl. 3–4 (from the shelfmark LH 35, 9, 11 Bl. 3-4 (=B;D;E;F)): 4 pages, canvases 5–8, page ids 00068135:0005 to 00068135:0008
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## Folio 3r — 00068135:0005
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Hy eme 1675
DU FROTTEMEN J.
Essais Geometriques en fait de Mecharique.
Les Geometres n’ont pas encor donné des regles sur cette matiere, et ceux qui ont fait des traitez
de Mechanique n’en parlent qu’en passant, et pour la renvoyer à l’experience des ouvriers. Il est
constant toutes fois que souvent des projects bien conceus ont avorté à cause de la perte de la force mouvante, dont
une grande partie avoit esté employée à sur monter le frollement des pieces de la machine. On sç ait que les
machines qui servent à lever des grands fardeaux, les pompes, les chariots et autres voitures y sont interessées,
et on a cherché et trouvé depuis peu quelques inventions propres à eviter ou diminuer cette perte:
Mons. Perrauet à Publié dans son Vitruue une espece de Machine à lever des fardeaux ou Barulcum, ou il n’y a
quasi point de frottement. On a presenté à l’Academie Royale une pompe tres ingeniense, ou le principe.
de Torricelli est appliqué à la mêmes fin. La perisée de celuy qui a fait faire des chariors qui se fourmissent eux
mêmes des planches pour marcher la dessus doucement, n’a pas esté mauvaise. Et je croy qu’on trouvera avec
le temps de semblables remedes pour quelques autres mouvemens. Cependant l’estime de la perte faite par le
frottement ne laisse pas d’estre utile et sans parler des  de la figure des vaisseaux qui marchent dans de l’eau
avec quelque difficulté; il est constant que les corps jettez sont retardez notablement par la resistence de l’air: et
comme il y a de l’apparence que les hommes trouveront un jour des regles assez lustes pour donner dans un point
proposé, il est aisé de juger, que ce ne sera qu’apres que le frottement sera reduit en regles: quoyque cependant
un long usage des personnes qui s’y sont exercées dés leur jeunesse, puisse suppleer à ce défaut.
Le Frotlement est la resistence du lieu par ou le mobile passe.
l’entends par le Lieu, la surface du corps ambient ou environnaut entiorement ou en partie.) comme Aristote
Cette Resistence se fait par la complication de deux causes et c’est pourquoy elle est au de deux especes le
l’a defini.
absolue, ou respectiue. Jl veux traiter icy de la resistence absolue, et je me reserve de parler de la respective
dans un autre cahier, ou j’expliqueray la difference qu’il y a entre ces deux registences, et leurs ongines.
Premiere section
De la Resistence absolue qui se trouve dans le frollement, et qui est tousjours
la même, quelque vitesse que le mobile puisse avoir
Acceleration on Retardation égale selon les lieux (remp S) est une addition ou soubstraction continuelle, d’un
même degres de vitesse en chaque point du lieu (à chaque moment du temps
celle qui est selon les temps a esté ali employée par Galilei à l’explication de la descente des corpspesans: Mais
celle qui se fait selon les lieux n’a pas encor esté reduite au calcul, à ce que j’en ay pû apprendre: quoyque plusieurs l’ayent
crû preferable à celle de Galilei pour expliquer même la dite descente. Je ne suis pas de leur opinion, et il me
suffit, de la pouvoir appliquer au frottement
n Un corps dont le mouvement est uniforme en soy même estant retardé également à chaqe endroit dulieu ou il passe les vistesses
Theoreme F.
u residues sont entre elles, comme les espaces qui restent à parcourir. (haec mollus Enuntian
Dans la Y. fig. soit un mobile M. qui parcoureroit la ligne EA. avec la vistesse uniforme representée par EG, et par
consequent avec un mouvement, qui seroit representé toutentier par EG, appliquée à tous les points . (B) et de la dite ligne
EAt ou par le rectangle GEA, si chaque point B. ou (B). etc. ne deminuoit également la vitesse du mobile Donc les vistesses
décroissant également jusque au repossans A; celles qui resteront en chaque point B. (B) etc. seront representées par les
appliquées du Triangle GE A. sç avoir par CB ou (C) (B) etc. paralleles à la base 2G. Or CB. (C) (B) sont
comme AB. A(B) espaces qui restent à parcourir. Donc les vistesses residues sont comme les espaces qui restent à parcourir.
Les mêmes conditions estant posées, le temps employé croist à chaqendroit de l’espace en raison reciproque des
Theoreme TI.
Car generalement les accroissemens lu temps en chaque endroit du liere sont en raison reciproque les vitesses que le
1) espaces qui restent à parcourir.
mobile y a, par le lemime suivant, or icy ces vitesses sont en raison des espaces qui restent à parcourir par le th. L. donc
les dits accroissemens du temps seront en raison réciproque des dits espaces.

## Folio 3v — 00068135:0006
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Lemme.
 Les accroissemens du temps en chaque exdroit du lieu, sont en raison reciproque des vistesses, que
1 le mobile y a.
soit le lieu ou l’espace EA. divisé en partes égales entre elles moindres qu’aucune ligne donnée, EB. BB) (8)P.
Je dis, que les parties du temps (: qui seront auss moindres qu’aucun temps donné:) dans lesquelles ces parties de l’efface
sont parcourues, seront entre elles, en raison recipro que des vistesses avec lesquelles le mobile parcourt les dites parties 
de l’espace: parce que generalement les espales estant égaux comme le sont icy les parties, EB, B(8). (8) P. les
temps sont en raison reciproque des vistesses
du temps, en chaque endroit de l’espace.
Theoreme TTI
Or ces parties du temps, sont ce que j’appelle les accroissemens
) Les accroissemens du temps, en chaque endroit du lieu, qui retarde par tout également un mouvement uniforme
7) en soy même, pourront estre representez par les appliquées EF, BD. (B) (D) etc. de l’Hy perbole FD (D)q
3) menéessur EA. espace, dans le quel tout le mouvement se doit faire, et qui est partie de l’Asymptote de l’Hyperbole,
31 dont le centre A est le même avec le point de repos.
Car par le th. 2. ces accroissemens represente pur les line , BD, (2)(D) palleles entre elles sont en raison
reciproque des espaces AE, AB, A(D) par consequent  est à BD comme AD) à AE donc le rectangle 2BA
est égal au rectangle F. et de même prenant le point (B) quelconq au lieu du point B. le rectangle
(D) (B) A, est égat au dit rectangle fixe  E et par consequent le lieu de tous les points, . P. (D) sera la
courbe de l’Hyperbole.
Theoreme 1V.
Le même estant posé les temps mêmes, employez à parcourir une certaine partie de l’espace, conne B ou
1) E(B) seront representez par les portions hyperboliques EBd. E (8) () comprises entre deux  appliqúes
1) dont l’une, passe par E point d’ou le mobilé eet parti l’autre BD ou(B) D) par B ou (B) ou le mobile est arrive
Car les accroissemens du temps estant representez par les appliquées EG, BD, (B) P et une infinité d’autres
entre ent elles, par le thi. 3. les sommes des dits accroissemens ou les temps employez dépuis quelque point
comme E, seront representez par la somme des dites ordonnées dépuis celle qui est prise pour la premiere, comme 2.
c’est à dire par les espaces compris entre la premiere, et celle qui est à present la derniere, c’est adire qui passe par le
point B. ou (B) ou le mobile est arrivé, sçavoir eptre E et BP on (8, (D), c’est à dire par les espaces G283G. G5 (2 (2) 
Theoreme V.
Si le mouvement d’un corps est uniforme en soy même, mais refardé également par le lieu oy lble pa
n il passe, les espaces BA ou (B) A.. qui restent à parcourir jusque n poliit de repos. point sou le mobile est
n arrivé estant comme les nombres; les temps qui restent à  employer jusque à un certain point, p. pris en
 deca du point de repos, seront comme les Logarithmes des raisons de ces nombres, BA ou (B) A, à P A,
n distance de cepoint P, du Point de repos, prise pour l’unité.
Car on sçart que les droites AP, AB, A(B) AE, estant en progression Geometrique continuelle, les portions
Hyperboliques QP(B) (D) Q, (D)B) BD (D) DBEFD seront égales, et par consequent non seulement LB les
portions Hyperboliques GEBDF, E(B) (), FEPGG ou (par le th. 4) temps em ployez deja,
mais aussi les portions Hyperboliques Q P (B) (D) Q ZDB1Z. Z PEGZ seront en progression Arithmetique;
d’ou il s’ensuit comme d’autres ont fait voir, que les dites portions Hyperboliques represeritent ausseila ceployer
dépuisepouitcoe jusque une point  le les Logarithmes des raisons des nombres (B).
AB. AE. à l’unité AP. Or elles representent aussi les temps à employea dépuis les points E ou B. ou (B) jusque
au point P. (par le th. 4) donc les dits temps seront aussi comme les Logarithmes susdits.
Theoreme VI.
lln point mobile estant porté par deux mouvemens, dont les lignes de direction font un ange constant
d’entre elles, l’un de ces deux mouvemens estant et demeurant uniforme l’autre estant rniforme en soy même
 mais retardé également en chaque endroit du lieu ou ibpasse le mobile. le dit point décrira la ligne Logarithmique
Conceuvons dans la 2 de figure, une ligne droite immobile AE, et qu’une regle inflexible BF, glisse d’un mouvement
uniforme, et sans estre retardé, le long de cette droite AE, gardant tousjours le même angle FBE, ou (F (B) E. etc.
et que cependant un autre mobile glisse ou roule sur la regle B de B. vere D. d’un mouvement, uniforme
en soy même, mais retardé également en chaque endroit de la rgle jusque au point de repos F, en sorte, que
Pendant que la regle va de A. en B; de B en (B) etc. le mobilé sur la regle aille de B. en D. de D en (D) etC:
(ela posé, si les parties AB, B(B) (B) (B) sont égales entre elles, les espaces parcourus AB, A(B), A(B) etc.
seront en progression Arithmetique: or les espaces parcourus les éter cerploee
 par un mouvement uni forme ( comme est celuy de la regle BF le longde
la ligne AE:) sont comme les temps employez, donc les temps employez seront aussi en progression Arithmetique; et
par consequent par le th. 5 (: voyez sa demonstration à l’endroit marqué de N, qul pl, ou il est
monstré, que les temps employes ou portions qui les representent EB. GEB) (D) G.GEI2 estant eu pro pessio Ari thmetique
les espaces qui restent, EA, (B) A, BA, PA sont eu progrestion Geometrique:) et par consequent, dis-je; les espaces qui
restent à parcourir dans la regle BF (: de la seconde figure:) jusque au point de repos F, sçavoir DF, (D) (Y) (D) (F,
etc. ordonnées, de la droite F (F) (F) sur la courbe D(D) (D) seront en progression Geometrique: donc le lieu
de toutes leurs terminations, ou de tous les points, ou se trouve le mobile marchant sur la regle, et porte
en même temps par la regle, de la maniere susdite, sera la ligne Logarithmique.
2de figure

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(B
bHt
12
AB. 2+. AB3L AE.
et
Le n3 irater
2
1. AB: 12 A
BC PZ
nder 2
rutia
Avertissement.
La Demonstration de ces Theoremes est incontestable; mais pour ce qui est de l’application au
frotement, dont les theoremes mêmes ne parlent point, je l’expliqueruy dans un autre discours, aussi
bien que l’origine et les loix de la resistence respective, qui reviennent aussi aux Logarithmes
mais d’une maniere differente de celles de la resistence absolue, que je viens de donuer icy. Les
Theoremes cependant ne laissent pas d’estre considerables sans avoir mêmes egard au frollement.
par ce qu’ils donnent une description physique de la ligne des Logarithmes, dont nous n’avons point
de description Geometrique.
vera quidem sunt Theorenata et magni ad Geometram pariter et Mechanicam momenti
haec
recta
 si cogitemus corpus aliquod ut globum, super
2bi
al   b.
virium diminutionem, nam in flectendis illis fitis perditur vis quae flectendis filis impenditur nec recmperatur
quia fila se sponte restituentia postquam corpus discessit,  aerem verberant, non corpus Attamen
aliud est vires aequaliter diminui aliud celeritatem. etsi enim idem sit corpus, vis tamen
ditem minuitur corpus. Ergo
in corpus ducta, sed ex quadrato celent
sejusdem corporis celeritas, aequaliter minuitur, etiam vis celerittum diminationem in sub duplicata
astimanda est non ex celeritate
cor
ratione Hinc et celeritates vires residuae er unt ut rectae B C. (8) (C). fig. 1. Sed celeritates
deminatione posita ubique aequali
residuae erunt in subduplicata virium residuarum ratione adeoque et in subduplicata ratione
hinc patet virium
locorum qui adhuc perrcurri debent seu rectarum AB. A(B) id est ut applicatae BH. B) (H).
Hinc incrementa temporis insumendi ad aliqualia spatii percunendi
loca cum (per Lemma) sint in reciproca ratione celeritatum, erunt in reciproca ratione appsicalarum parabolae
parabolae A(H) H cujus vertex in H.
id est ut applicatae autiparabolae qua seu Hyperbolae secundi gradus, quam ponamus esse ) (aquam
in ipsa demostratione male posueramus esse Hyperbolam ipsam commanem seu primi gradus) erunt ipsae B(D)
erunt ipsae icata incrementa temporis insumendi in quolibet loc, in, seu ut tempus insumendum in qualibet loc
loci parte ergo tempora percursa eruut ut spatia hujus autiporabolae LEBML. LE(B () L
id est ut rectae ipseus Hyperbolae D(D) applicatae (ita puto, nunc ita obiter ta assumendo;  forte enim
Hini jam sequitur, si coppus feratur
duobus motibus, uno recto, aeq ad seinorcem perpendicularibus uno aequabili altero per fraitionem
alia est, sed haec deteminare facile, ubi otium eris)
sapetis retardato; descrpturum esse ineam Hyperbolicam. Fingemus scilicet totam labulam
un
tapete intermi moveri in hansversum, dum Ecum eo progreditur corpus in Tapete
Si resistentiae spatii ubique aequales, erunt diminutiones altitudinum, ad quos grave aeleritate sursum conversa
il y a deuo resisteraes l’une absolue, qui est la même soit que le corps aille leutement ou
ascendere potest longitudinibus spatus percursi proportionales
ppomtement, l’autre respectibe, qui est commecelle dela friction; l’autu respective
qui est plus grande quand le corps va plus viste, et’s comme la resistence de
Vair  ou d’un autre milieu. la premiere se peut expliquer par l’hypothose
de plusieurs ressorts de distance et distance qu’on est oblige de forcer en passant; l’autre
pau quelques petits montinets, qu’on tourne et met en mounement en passant
experiendum quantum aqua eostistalt corpori cu eadem cam aqua gravila perfita
qui
senel perdita hic

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